Піфагорові однієї ширини. Різні способи доведення теореми Піфагора: приклади, опис та відгуки. Дивитися що таке "Піфагорови штани" в інших словниках
« піфагорові штани - на всі сторони рівні.
Щоб це довести, треба зняти і показати ».
Цей віршик відомий всім з середньої школи, з тих самих пір, коли на уроці геометрії ми вивчали знамениту теорему Піфагора: квадрат довжини гіпотенузи прямокутного трикутника дорівнює сумі квадратів катетів. Хоча сам Піфагор ніколи не носив штанів - в ті часи греки їх не носили. Хто ж такий Піфагор?
Піфагор Самоський від лат. Pythagoras, Піфійського мовник (570-490 гг.до н.е.) - давньогрецький філософ, математик і містик, творець релігійно-філософської школи піфагорійців.
Серед суперечливих навчань своїх вчителів Піфагор шукав живого зв'язку, синтезу єдиного великого цілого. Він поставив собі за мету - знайти шлях веде до світла істини, тобто пізнати життя в єдності. З цією метою Піфагор відвідав весь стародавній світ. Він вважав, що повинен розширити і без того вже широкої кругозір, вивчаючи всі релігії, доктрини і культи. Він жив серед рабинів і багато дізнався про таємні традиціях Мойсея, законодавця Ізраїлю. Потім відвідав Єгипет, де був посвячений у Містерії Адоніса, і, зумівши перетнути долину Євфрату, він перебував довго у халдеїв, щоб перейняти їх секретну мудрість. Піфагор відвідав Азію і Африку, в тому числі Індостан і Вавилон. У Вавилоні він вивчив знання магів.
Заслугою піфагорійців було висунення думки про кількісні закономірності розвитку світу, що сприяло розвитку математичних, фізичних, астрономічних і географічних знань. В основі речей лежить Число, вчив Піфагор, пізнати світ - значить пізнати керуючі їм числа. Вивчаючи числа, піфагорійці розробили числові відносини і знайшли їх у всіх областях людської діяльності. Піфагор вчив таємно і не залишив після себе письмових праць. Піфагор надавав велике значення числу. Його філософські погляди значною мірою обумовлені математичними уявленнями. Він говорив: «Все є число», «всі речі суть числа», виділяючи, таким чином, одну сторону в розумінні світу, а саме, його измеряемость числовим виразом. Піфагор вважав, що число володіє всіма речами, в тому числі і моральними, і духовними якостями. Він вчив (відповідно до Аристотеля): «Справедливість ... є число, помножене саме на себе». Він вважав, що в кожному предметі, крім його мінливих станів, існує незмінне буття, якась незмінна субстанція. Це і є число. Звідси основна ідея пифагореизма: число - основа всього сущого. Піфагорійці бачили в числі і в математичних відносинах пояснення прихованого сенсу явищ, законів природи. На думку Піфагора, об'єкти думки більш реальні, ніж об'єкти чуттєвого пізнання, так як числа мають позачасову природу, тобто вічні. Вони - якась реальність, що стоїть вище реальності речей. Піфагор каже, що всі властивості предмета можуть бути знищені, або можуть змінитися, крім одного лише числового властивості. Це властивість - Одиниця. Одиниця - це буття речей, незнищувана і неразложимая, незмінне. Роздробити будь-який предмет на найдрібніші частинки - кожна частка буде одна. Стверджуючи, що числове буття є єдино незмінне буття, Піфагор прийшов до висновку, що всі предмети є суть копії чисел.
Одиниця є абсолютне число одиниця володіє вічністю. Одиниці не треба перебувати ні в якому відношенні до будь-чого іншого. Вона існує сама по собі. Два є тільки ставлення одного до одного. Всі числа є лише
числові відносини Одиниці, її модифікації. А всі форми буття є лише певні сторони нескінченності, а значить і Одиниці. Первісне Один укладає в собі все числа, отже, містить в собі елементи усього світу. Предмети - це реальні прояви абстрактного буття. Піфагор був першим, хто позначив космос з усіма що знаходяться в ньому речами, як порядок, який встановлюється числом. Цей порядок доступний розуму, усвідомлюється їм, що дозволяє абсолютно по-новому бачити світ.
Процес пізнання світу, за Піфагором, є процес пізнання керуючих їм чисел. Космос після Піфагора став розглядатися як впорядковане числом світобудови.
Піфагор вчив, що душа людини безсмертна. Йому належить ідея про переселення душ. Він вважав, що все, що відбувається в світі знову і знову повторюється через певні періоди часу, а душі померлих через якийсь час вселяються в інших. Душа, як число являє собою Одиницю, тобто душа досконала по суті. Але всяке досконалість, оскільки воно починає рухатися, звертається в недосконалість, хоча і прагне знайти знову своє колишнє досконалий стан. Недосконалістю Піфагор називав відхилення від Одиниці; тому Два вважалося проклятому числом. Душа в людині перебуває в стані порівняльного недосконалості. Вона складається з трьох елементів: розум, розум, пристрасть. Але якщо розумом і пристрастями володіють і тварини, то розумом (розумом) наділений тільки людина. Будь-яка з цих трьох сторін у людині може взяти гору, і тоді людина стає переважно або розумним, або розсудливим, або ж чуттєвим. Відповідно він виявляється або філософом, або звичайною людиною, або твариною.
Однак повернемося до чисел. Так дійсно числа є абстрактним проявом основного філософського закону Всесвіту - Єдності Протилежностей.
Примітка. Абстракція служить базою для процесів узагальнення і утворення понять. вона - необхідна умова категоризації. Нею формуються узагальнені образи реальності, що дозволяють виділити значущі для певної діяльності зв'язки і відносини об'єктів.
Єдність Протилежностей Всесвіту складаються з Форми і Змісту, Форма є кількісної категорією, а Зміст якісної категорією. Природно, що числа виражають в абстракції кількісну і якісну категорії. Звідси додавання (віднімання) чисел це кількісна складова абстракції Форм, а множення (ділення) - це якісна складова абстракції Змісту. Числа абстракції Форм і Змісту знаходяться в нерозривному зв'язку Єдності Протилежностей.
Спробуємо зробити математичні операції, над числами встановивши нерозривний зв'язок Форми і Змісту.
Так розглянемо числовий ряд.
1,2,3,4,5,6,7,8,9. 1 + 2 \u003d 3 (3) 4 + 5 \u003d 9 (9) ... (6) 7 + 8 \u003d 15 -1 + 5 \u003d 6 (9). Далі 10 - (1 + 0) + 11 (1 + 1) \u003d (1 + 2 \u003d 3) - 12 - (1 + 2 \u003d 3) (3) 13- (1 + 3 \u003d 4) + 14 - (1 + 4 \u003d 5) \u003d (4 + 5 \u003d 9) (9) ... 15 - (1 + 5 \u003d 6) (6) ... 16- (1 + 6 \u003d 7) + 17 - (1 + 7 \u003d 8) ( 7 + 8 \u003d 15) - (1 + 5 \u003d 6) ... (18) - (1 + 8 \u003d 9) (9). 19 - (1 + 9 \u003d 10) (1) -20 - (2 + 0 \u003d 2) (1 + 2 \u003d 3) 21 - (2 + 1 \u003d 3) (3) - 22- (2 + 2 \u003d 4 ) 23- (2 + 3 \u003d 5) (4 + 5 \u003d 9) (9) 24- (2 + 4 \u003d 6) 25 - (2 + 5 \u003d 7) 26 - (2 + 6 \u003d 8) - 7 + 8 \u003d 15 (1 + 5 \u003d 6) (6) І т.д.
Звідси ми спостерігаємо циклічне перетворення Форм, якому відповідав би цикл Змісту -1-й -цикл - 3-9-6 - 6-9-3 2-й цикл - 3-9- 6 -6-9-3 і т.д.
6
9 9
3
Цикли відображають виворіт тора Всесвіту, де Протилежностями чисел абстакціі Форм і Змісту є 3 і 6, де 3 визначає Стиснення, а 6 - Розтягування. Компромісом для їх взаємодії є число 9.
Далі 1,2,3,4,5,6,7,8,9. 1х2 \u003d 2 (3) 4х5 \u003d 20 (2 + 0 \u003d 2) (6) 7х8 \u003d 56 (5 + 6 \u003d 11 1 + 1 \u003d 2) (9) і т.д.
Цикл виглядає так 2- (3) -2- (6) - 2- (9) ... де 2 є складовим елементом циклу 3-6-9.
Далі таблиця множення:
2х1 \u003d 2
2х2 \u003d 4
(2+4=6)
2х3 \u003d 6
2х4 \u003d 8
2х5 \u003d 10
(8+1+0 = 9)
2х6 \u003d 12
(1+2=3)
2х7 \u003d 14
2х8 \u003d 16
(1+4+1+6=12;1+2=3)
2х9 \u003d 18
(1+8=9)
Цикл -6,6- 9- 3,3 - 9.
3х1 \u003d 3
3х2 \u003d 6
3х3 \u003d 9
3х4 \u003d 12 (1 + 2 \u003d 3)
3х5 \u003d 15 (1 + 5 \u003d 6)
3х6 \u003d 18 (1 + 8 \u003d 9)
3х7 \u003d 21 (2 + 1 \u003d 3)
3х8 \u003d 24 (2 + 4 \u003d 6)
3х9 \u003d 27 (2 + 7 \u003d 9)
Цикл 3-6-9; 3-6-9; 3-6-9.
4х1 \u003d 4
4х2 \u003d 8 (4 + 8 \u003d 12 1 +2 \u003d 3)
4х3 \u003d 12 (1 + 2 \u003d 3)
4х4 \u003d 16
4х5 \u003d 20 (1 + 6 + 2 + 0 \u003d 9)
4х6 \u003d 24 (2 + 4 \u003d 6)
4х7 \u003d 28
4х8 \u003d 32 (2 + 8 + 3 + 2 \u003d 15 1 +5 \u003d 6)
4х9 \u003d 36 (3 + 6 \u003d 9)
Цикл 3,3 - 9 - 6,6 - 9.
5х1 \u003d 5
5х2 \u003d 10 (5 + 1 + 0 \u003d 6)
5х3 \u003d 15 (1 + 5 \u003d 6)
5х4 \u003d 20
5х5 \u003d 25 (2 + 0 + 2 + 5 \u003d 9)
5х6 \u003d 30 (3 + 0 \u003d 3)
5х7 \u003d 35
5х8 \u003d 40 (3 + 5 + 4 + 0 \u003d 12 1 +2 \u003d 3)
5х9 \u003d 45 (4 + 5 \u003d 9)
Цикл -6,6 - 9 - 3,3- 9.
6х1 \u003d 6
6х2 \u003d 12 (1 + 2 \u003d 3)
6х3 \u003d 18 (1 + 8 \u003d 9)
6х4 \u003d 24 (2 + 4 \u003d 6)
6х5 \u003d 30 (3 + 0 \u003d 3)
6х6 \u003d 36 (3 + 6 \u003d 9)
6х7 \u003d 42 (4 + 2 \u003d 6)
6х8 \u003d 48 (4 + 8 \u003d 12 1 +2 \u003d 3)
6х9 \u003d 54 (5 + 4 \u003d 9)
Цикл - 3-9-6; 3-9-6; 3-9.
7х1 \u003d 7
7х2 \u003d 14 (7 + 1 + 4 \u003d 12 1 + 2 \u003d 3)
7х3 \u003d 21 (2 + 1 \u003d 3)
7х4 \u003d 28
7х5 \u003d 35 (2 + 8 + 3 + 5 \u003d 18 1 +8 \u003d 9)
7х6 \u003d 42 (4 + 2 \u003d 6)
7х7 \u003d 49
7х8 \u003d 56 (4 + 9 + 5 + 6 \u003d 24 +2 +4 \u003d 6)
7х9 \u003d 63 (6 + 3 \u003d 9)
Цикл - 3,3 - 9 - 6,6 - 9.
8х1 \u003d 8
8х2 \u003d 16 (8 + 1 + 6 \u003d 15 1 + 5 \u003d 6.
8х3 \u003d 24 (2 + 4 \u003d 6)
8х4 \u003d 32
8х5 \u003d 40 (3 + 2 + 4 + 0 \u003d 9)
8х6 \u003d 48 (4 + 8 \u003d 12 1 +2 \u003d 3)
8х7 \u003d 56
8х8 \u003d 64 (5 + 6 + 6 + 4 \u003d 21 2 + 1 \u003d 3)
8х9 \u003d 72 (7 + 2 \u003d 9)
Цикл -6,6 - 9 - 3,3 - 9.
9х1 \u003d 9
9х2 \u003d 18 (1 + 8 \u003d 9)
9х3 \u003d 27 (2 + 7 \u003d 9)
9х4 \u003d 36 (3 + 6 \u003d 9)
9х5 \u003d 45 (4 + 5 \u003d 9)
9х6 \u003d 54 (5 + 4 \u003d 9)
9х7 \u003d 63 (6 + 3 \u003d 9)
9х8 \u003d 72 (7 + 2 \u003d 9)
9х9 \u003d 81 (8 + 1 \u003d 9).
Цикл - 9-9-9-9-9-9-9-9-9.
Числа якісної категорії Змісту - 3-6-9, вказують на ядро \u200b\u200bатома з різною кількістю нейтронів, а кількісної категорії вказують на кількість електронів атома. Хімічні елемент - це ядра, маси яких кратні 9, а кратні - 3 і 6 є ізотопами.
Примітка. Ізотоп (від грец. «Рівний», «однаковий» і «місце») - різновиди атомів і ядер одного хімічного елемента з різною кількістю нейтронів в ядрі. Хімічний елемент - це сукупність атомів з однаковими зарядами ядра. Ізотопи-різновиди атомів хімічного елемента з однаковим зарядом ядра, але різним масовим числом.
Всі дійсні предмети складаються з атомів, а атоми визначаються числами.
Тому природно, що Піфагор був переконаний, що числа є дійсні предмети, а не прості символи. Число - це певний стан матеріальних предметів, сутність речі. І в цьому Піфагор мав рацію.
Теорема Піфагора всім відома зі шкільної пори. Видатний математик довів велику гіпотезу, якої в даний час користуються багато людей. Звучить правило так: квадрат довжини гіпотенузи прямокутного трикутника дорівнює сумі квадратів катетів. За багато десятиліть жоден математик не зміг переспорити дане правило. Адже Піфагор довго йшов до своєї мети, щоб в результаті креслення мали місце в повсякденному житті.
- Невеликий вірш до даної теоремі, який придумали незабаром після докази, безпосередньо доводить властивості гіпотези: «Піфагороі штани всі сторони рівні». Це двустрочье відклалося в пам'яті у багатьох людей - донині вірш згадують при обчисленнях.
- Дана теорема отримала назву «Піфагорови штани» внаслідок того, що при кресленні по середині виходив прямокутний трикутник, з боків якого розташовувалися квадрати. На вигляд дане креслення нагадувало штани - звідси і назва гіпотези.
- Піфагор пишався розробленої теоремою, адже дана гіпотеза відрізняється від нею подібних максимальною кількістю доказів. Важливо: рівняння було занесено в книгу рекордів Гіннесса внаслідок 370 правдивих доказів.
- Гіпотезу доводило величезна кількість математиків і професорів з різних країн багатьма способами. Англійський математик Джонс незабаром оголошення гіпотези довів її за допомогою диференціального рівняння.
- В даний час нікому невідомо доказ теореми самим Піфагором. Факти про докази математика сьогодні не відомі нікому. Вважається, що доказ креслень Евклидом - це і є доказ Піфагора. Однак деякі вчені сперечаються з цим твердженням: багато хто вважає, що Евклід самостійно довів теорему, без допомоги творця гіпотези.
- Нинішні вчені виявили, що великий математик був не першим, хто відкрив цю гіпотезу. Рівняння було відомо ще задовго до відкриття Пифагором. Даний математик зумів лише возз'єднати гіпотезу.
- Піфагор не давав рівняння назву «Теорема Піфагора». Ця назва закріпилася після «гучного двустрочья». Математик лише хотів, щоб його старання і відкриття дізнався весь світ і користувався ними.
- Моріц Кантор - великий найбільший математик знайшов і розгледів на стародавньому папірусі записи з кресленнями. Незабаром після цього Кантор зрозумів, що дана теорема була відома єгиптянам ще 2300 років до нашої ери. Тільки тоді нею ніхто не скористався і не став намагатися довести.
- Нинішні вчені вважають, що гіпотеза була відома ще в 8 столітті до нашої ери. Індійські вчені того часу виявили приблизне обчислення гіпотенузи трикутника, наділеного прямими кутами. Правда в той час ніхто не зміг довести напевно рівняння за приблизними розрахунками.
- Великий математик Бартель Ван дер Варден після доведення гіпотези уклав важливий висновок: «Заслуга грецького математика вважається не відкриттям напрямки і геометрії, а лише її обґрунтуванням. В руках Піфагора були обчислювальні формули, які грунтувалися на припущеннях, неточних обчисленнях і неясних уявленнях. Однак видатному вченому вдалося перетворити з в точну науку ».
- Відомий поет сказав, що в день відкриття свого креслення він спорудив бикам славну жертву. Саме після відкриття гіпотези пішли чутки, що жертвоприношення ста биків «пішло мандрувати по сторінках книг і видань». Дотепники донині жартують, що з тих пір все бики бояться нового відкриття.
- Доказ того, що ні Піфагор придумав вірш про штани, щоб довести висунуті ним креслення: за часів життя великого математика штанів ще не було. Вони були придумані через кілька десятиліть.
- Пекка, Лейбніц і ще кілька вчених намагалися довести раніше відому теорему, проте це нікому не вдавалося.
- Назва креслень «теорема Піфагора» означає «переконання промовою». Так перекладається слово Піфагор, яке взяв математик за псевдонім.
- Роздуми Піфагора про власний правилі: секрет сущого на землі криється в цифрах. Адже математик, спираючись на власну гіпотезу, вивчив властивості чисел, виявив парність і непарність, створив пропорції.
Ми сподіваємося Вам сподобалася підбірка з картинками - Цікаві факти про теорему Піфагора: дізнаємося нове про відому теорему (15 фото) онлайн хорошої якості. Залиште будь ласка ваша думка в коментарях! Нам важливо кожна думка.
Опис презентації по окремим слайдів:
1 слайд
Опис слайда:
МБОУ Бондарська ЗОШ Учнівський проект на тему: «Піфагор і його теорема» Підготував: Ектов Костянтин, учень 7 А класу Керівник: Долотова Надія Іванівна, вчитель математики 2015 р
2 слайд
Опис слайда:
3 слайд
Опис слайда:
Анотація. Геометрія - дуже цікава наука. Вона містить безліч несхожих один на одного теорем, але часом так необхідних. Я дуже зацікавився теоремою Піфагора. На жаль, одне з найголовніших тверджень ми проходимо лише у восьмому класі. Я вирішив відкрити завісу таємниці і досліджувати теорему Піфагора.
4 слайд
Опис слайда:
5 слайд
Опис слайда:
6 слайд
Опис слайда:
Завдання Вивчити біографію Піфагора. Дослідити історію виникнення і доведення теореми. З'ясувати, як теорема використовується в мистецтві. Знайти історичні завдання, у вирішенні яких застосовується теорема Піфагора. Познайомитися зі ставленням дітей різних часів до даної теоремі. Створити проект.
7 слайд
Опис слайда:
Хід дослідження Біографія Піфагора. Заповіді і афоризми Піфагора. Теорема Піфагора. Історія теореми. Чому «піфагорові штани в усі сторони рівні»? Різні доведення теореми Піфагора іншими вченими. Застосування теореми Піфагора. Опитування. Висновок.
8 слайд
Опис слайда:
Піфагор - хто ж він такий? Піфагор Самоський (580 - 500 до н. Е.) Давньогрецький математик і філософ-ідеаліст. Народився на острові Самос. отримав хороша освіта. За переказами Піфагор, щоб ознайомитися з мудрістю східних вчених, виїхав до Єгипту і прожив там 22 роки. Добре оволодівши усіма науками єгиптян, в тому числі і математикою, він переїхав до Вавилону, де прожив 12 років і ознайомився з науковими знаннями вавилонських жерців. Передання приписують Піфагору відвідування і Індії. Це дуже ймовірно, так як Іонія і Індія тоді мали торговельні зв'язки. Повернувшись на батьківщину (бл. 530 р. До н.е..), Піфагор спробував організувати свою філософську школу. Однак з невідомих причин він незабаром залишає Самос і селиться в Кротоні (грецької колонії на півночі Італії). Тут Піфагору вдалося організувати свою школу, яка діяла майже тридцять років. Школа Піфагора, або, як її ще називають, піфагорійський союз, була одночасно і філософською школою, і політичною партією, І релігійним братством. Статус пифагорейского союзу був дуже суворим. За своїми філософськими поглядами Піфагор був ідеалістом, захисником інтересів рабовласницької аристократії. Можливо, в цьому і полягала причина його від'їзду з Самоса, так як в Іонії дуже великий вплив мали прихильники демократичних поглядів. У громадських питаннях під "порядком" піфагорійці розуміли панування аристократів. Давньогрецьку демократію вони засуджували. Пифагорейская філософія була примітивною спробою обгрунтувати панування рабовласницької аристократії. В кінці V ст. до н. е. в Греції і її колоніях прокотилася хвиля демократичного руху. Перемогла демократія в Кротоні. Піфагор разом з учнями залишає Кротон і їде в Тарент, а потім в Метапонт. Прибуття піфагорійців в Метапонт збіглося зі спалахом там народного повстання. В одній з нічних сутичок загинув майже дев'яностолітню Піфагор. Його школа припинила своє існування. Учні Піфагора, рятуючись від переслідувань, розселилися по всій Греції і її колоній. Здобуваючи собі гроші на прожиття, вони організовували школи, в яких викладали головним чином арифметику і геометрію. Відомості про їхні досягнення містяться в творах пізніших учених - Платона, Аристотеля та ін.
9 слайд
Опис слайда:
Заповіді і афоризми Піфагора Думка - понад усе між людьми на землі. Не сідай на хлібну міру (т. Е. Живи без праці). Йдучи, не оглядайся (т. Е. Перед смертю не чіплявся за життя). За битим шляхом не ходи (т. Е. Слід не думкам натовпу, а думкам небагатьох розуміють). Ластівок в будинку не тримай (т. Е. Не візьмеш гостей балакучих і не стриманих на мову). Будь з тим, хто ношу звалює, не будь з тим, хто ношу звалює (т. Е. Заохочуй людей не до неробства, а до чесноти, до праці). На поле життя, подібно сівачеві, ходи рівним і постійним кроком. Істинне батьківщину там, де є добрі звичаї. Не будь членом вченої суспільства: наймудріші, складаючи суспільство, робляться простолюдинами. Почитай священними числа, вага і міру, як чад витонченого рівності. Виміряй свої бажання, зважуй свої думки, перелічиш свої слова. Нічому не дивуйся: здивування справило богів.
10 слайд
Опис слайда:
Формулювання теореми. У прямокутному трикутнику квадрат довжини гіпотенузи дорівнює сумі квадратів довжин катетів.
11 слайд
Опис слайда:
Доведення теореми. На даний момент в науковій літературі зафіксовано 367 доказів даної теореми. Ймовірно, теорема Піфагора є єдиною теоремою з настільки значним числом доказів. Зрозуміло, все їх можна розбити на мале число класів. Найвідоміші з них: докази методом площ, аксіоматичні і екзотичні докази.
12 слайд
Опис слайда:
Теорема Піфагора Доказ Дан прямокутний трикутник з катетами a, b і гіпотенузою c. Доведемо, що c² \u003d a² + b² Добудуємо трикутник до квадрата зі стороною a + b. Площа S цього квадрата дорівнює (a + b) ². З іншого боку, квадрат складений з чотирьох рівних прямокутних трикутників, S кожного з яких дорівнює ½ a b, і квадрата зі стороною c. S \u003d 4 · ½ a b + c² \u003d 2 a b + c² Таким чином, (a + b) ² \u003d 2 a b + c², звідки c² \u003d a² + b² c c c c з а b
13 слайд
Опис слайда:
Історія теореми Піфагора Цікава історія теореми Піфагора. Хоча ця теорема і зв'язується з ім'ям Піфагора, вона була відома задовго до нього. У вавилонських текстах ця теорема зустрічається за 1200 років до Піфагора. Можливо, що тоді ще не знали її докази, а саме співвідношення між гіпотенузою і катетами було встановлено дослідним шляхом на основі вимірів. Піфагор, мабуть, знайшов доказ цього співвідношення. Збереглося давнє передання, що на честь свого відкриття Піфагор приніс в жертву богам бика, а за іншими свідченнями - навіть сто биків. Протягом наступних століть були знайдені різні інші доведення теореми Піфагора. В даний час їх налічується більше ста, але найбільш популярна теорема з побудовою квадрата за допомогою даного прямокутного трикутника.
14 слайд
Опис слайда:
Теорема в Стародавньому Китаї "Якщо прямий кут розкласти на складові частини, то лінія, що з'єднує кінці його сторін, буде 5, коли підстава є 3, а висота 4".
15 слайд
Опис слайда:
теорема в Стародавньому Єгипті Кантор (найбільший німецький історик математики) вважає, що рівність 3 ² + 4 ² \u003d 5² було відомо вже єгиптянам ще близько 2300 р. До н.е. е., за часів царя Аменемхета (згідно папірусу 6619 Берлінського музею). На думку Кантора гарпедонапти, або "натягівателі мотузок", будували прямі кути за допомогою прямокутних трикутників зі сторонами 3, 4 і 5.
16 слайд
Опис слайда:
Про теорему в Вавилонії «Заслугою перших грецьких математиків, таких як Фалес, Піфагор і піфагорійці, є не відкриття математики, але її систематизація та обгрунтування. В їх руках обчислювальні рецепти, засновані на неясних уявленнях, перетворилися в точну науку. "
17 слайд
Опис слайда:
Чому «піфагорові штани в усі сторони рівні»? Протягом двох тисячоліть найбільш поширеним доказом теореми Піфагора було придумане Евклидом. Воно поміщено в його знаменитій книзі «Начала». Евклід опускав висоту СН з вершини прямого кута на гіпотенузу і доводив, що її продовження ділить добудований на гіпотенузі квадрат на два прямокутника, площі яких дорівнюють площам відповідних квадратів, побудованих на катетах. Креслення, застосовуваний при доказі цієї теореми, жартома називають «піфагорові штани». Протягом довгого часу він вважався одним із символів математичної науки.
18 слайд
Опис слайда:
Ставлення дітей давнини до Доказ теореми Піфагора учні середніх століть вважали дуже важким. Слабкі учні, завчити теореми напам'ять, без розуміння, і прозвані тому «ослами», були не в змозі подолати теорему Піфагора, що служила для них начебто непереборного моста. Через креслень, які супроводжують теорему Піфагора, учні називали її також «вітряком», складали вірші, на кшталт «Піфагорови штани на всі сторони рівні», малювали карикатури.
19 слайд
Опис слайда:
Доведення теореми Найпростіше доведення теореми виходить в разі рівнобедреного прямокутного трикутника. Справді, досить просто подивитися на мозаїку рівнобедрених прямокутних трикутників, щоб переконатися в справедливості теореми. Наприклад, для трикутника ABC: квадрат, побудований на гіпотенузі АС, містить 4 вихідних трикутника, а квадрати, побудовані на катетах, - по два.
20 слайд
Опис слайда:
«Стілець нареченої» На малюнку квадрати, побудовані на катетах, розміщені ступенями один поруч з іншим. Цю фігуру, яка зустрічається в доказах, що датуються не пізніше, ніж 9 століттям н. е., індуси називали "стільцем нареченої".
21 слайд
Опис слайда:
Застосування теореми Піфагора В даний час загальне визнання отримало те, що успіх розвитку багатьох галузей науки і техніки залежить від розвитку різних напрямків математики. Важливою умовою підвищення ефективності виробництва є широке впровадження математичних методів в техніку і народне господарство, Що передбачає створення нових, ефективних методів якісного і кількісного дослідження, які дозволяють вирішувати завдання, що висуваються практикою.
22 слайд
Опис слайда:
Застосування теореми в будівництві У будівлях готичного і романського стилю верхні частини вікон расчленяются кам'яними ребрами, які не тільки грають роль орнаменту, а й сприяють міцності вікон.
23 слайд
Опис слайда:
24 слайд
Опис слайда:
Історичні завдання Для кріплення щогли потрібно встановити 4 троса. Один кінець кожного троса повинен кріпитися на висоті 12 м, інший на землі на відстані 5 м від щогли. Чи вистачить 50 м троса для кріплення щогли?
В одному можна бути впевненим на всі сто відсотків, що на питання, чому дорівнює квадрат гіпотенузи, будь-яка доросла людина сміливо відповість: «Сумі квадратів катетів». Ця теорема міцно засіла у свідомості кожної освіченої людини, але досить лише попросити кого-небудь її довести, і тут можуть виникнути складності. Тому давайте згадаємо і розглянемо різні способи доведення теореми Піфагора.
Короткий огляд біографії
Теорема Піфагора знайома практично кожному, але чомусь біографія людини, який справив її на світло, не так популярна. Це можна виправити. Тому перш ніж вивчити різні способи доведення теореми Піфагора, потрібно коротко познайомитися з його особистістю.
Піфагор - філософ, математик, мислитель родом з Сьогодні дуже складно відрізнити його біографію від легенд, які склалися в пам'ять про цю велику людину. Але як випливає з праць його послідовників, Піфагор Самоський народився на острові Самос. Його батько був звичайний каменеріз, а ось мати походила зі знатного роду.
Судячи з легендою, поява на світ Піфагора передбачила жінка на ім'я Піфія, в чию честь і назвали хлопчика. За її передбачення народжений хлопчик повинен був принести багато користі і добра людству. Що взагалі-то він і зробив.
народження теореми
В юності Піфагор переїхав з в Єгипет, щоб зустрітися там з відомими єгипетськими мудрецями. Після зустрічі з ними він був допущений до навчання, де і пізнав усі великі досягнення єгипетської філософії, математики та медицини.
Ймовірно, саме в Єгипті Піфагор надихнувся величністю і красою пірамід і створив свою велику теорію. Це може шокувати читачів, але сучасні історики вважають, що Піфагор не доводяться свою теорію. А лише передав своє знання послідовникам, які пізніше і завершили всі необхідні математичні обчислення.
Як би там не було, сьогодні відома не одна методика докази даної теореми, а відразу декілька. Сьогодні залишається лише гадати, як саме древні греки виробляли свої обчислення, тому тут розглянемо різні способи доведення теореми Піфагора.
теорема Піфагора
Перш ніж починати будь-які обчислення, потрібно з'ясувати, яку теорію належить довести. Теорема Піфагора звучить так: «У трикутнику, у якого один з кутів дорівнює 90 о, сума квадратів катетів дорівнює квадрату гіпотенузи».
Всього існує 15 різних способів доведення теореми Піфагора. Це досить велика цифра, тому приділимо увагу найпопулярнішим з них.
спосіб перший
Спочатку позначимо, що нам дано. Ці дані будуть поширюватися і на інші способи доказів теореми Піфагора, тому варто відразу запам'ятати всі наявне позначення.
Припустимо, дано прямокутний трикутник, з катетами а, в і гіпотенузою, що дорівнює с. Перший спосіб докази грунтується на тому, що з прямокутного трикутника потрібно домалювати квадрат.
Щоб це зробити, потрібно до катету довжиною а домалювати відрізок рівний катету в, і навпаки. Так повинно вийти дві рівні сторони квадрата. Залишається тільки намалювати дві паралельні прямі, і квадрат готовий.
Усередині вийшла фігури потрібно накреслити ще один квадрат зі стороною рівною гіпотенузі вихідного трикутника. Для цього від вершин ас і св потрібно намалювати два паралельних відрізка рівних с. Таким чином, вийти три сторони квадрата, одна з яких і є гіпотенуза вихідного прямокутного трикутники. Залишається лише Дочерті четвертий відрізок.
На підставі отриманого малюнка можна зробити висновок, що площа зовнішнього квадрата дорівнює (а + в) 2. Якщо заглянути всередину фігури, можна побачити, що крім внутрішнього квадрата в ній є чотири прямокутних трикутника. Площа кожного дорівнює 0,5ав.
Тому площа дорівнює: 4 * 0,5ав + з 2 \u003d 2АВ + з 2
Звідси (а + в) 2 \u003d 2АВ + з 2
І, отже, з 2 \u003d а 2 + в 2
Теорема доведена.
Спосіб два: подібні трикутники
Дана формула доведення теореми Піфагора була виведена на підставі затвердження з розділу геометрії про подібні трикутники. У ньому йдеться, що катет прямокутного трикутника - середнім пропорційним для його гіпотенузи і відрізка гіпотенузи, що виходить з вершини кута 90 о.
Вихідні дані залишаються ті ж, тому почнемо відразу з докази. Проведемо перпендикулярний стороні АВ відрізок СД. Грунтуючись на вищеописаному затвердження катети трикутників рівні:
АС \u003d √АВ * АТ, СВ \u003d √АВ * ДВ.
Щоб відповісти на питання, як довести теорему Піфагора, доказ потрібно прокласти зведенням в квадрат обох нерівностей.
АС 2 \u003d АВ * АТ і СВ 2 \u003d АВ * ДВ
Тепер потрібно скласти отримані нерівності.
АС 2 + СВ 2 \u003d АВ * (АТ * ДВ), де АТ + ДВ \u003d АВ
Виходить що:
АС 2 + СВ 2 \u003d АВ * АВ
І, отже:
АС 2 + СВ 2 \u003d АВ 2
Доказ теореми Піфагора і різні способи її вирішення потребують різнобічному підході до даної задачі. Однак цей варіант є одним з найпростіших.
Ще одна методика розрахунків
Опис різних способів доведення теореми Піфагора можуть ні про що не сказати, до тих самих пір поки самостійно не приступиш до практики. Багато методики передбачають не тільки математичні розрахунки, але і побудова з вихідного трикутника нових фігур.
В даному випадку необхідно від катета ВС добудувати ще один прямокутний трикутник ВСД. Таким чином, тепер є два трикутника із загальним катетом ВС.
Знаючи, що площі подібних фігур мають співвідношення як квадрати їх подібних лінійних розмірів, то:
S АВС * з 2 - S авд * в 2 \u003d S авд * а 2 - S ВСД * а 2
S АВС * (з 2-в 2) \u003d а 2 * (S авд -S ВСД)
з 2-в 2 \u003d а 2
з 2 \u003d а 2 + в 2
Оскільки з різних способів доказів теореми Піфагора для 8 класу цей варіант навряд чи підійде, можна скористатися наступною методикою.
Найпростіший спосіб довести теорему Піфагора. Відгуки
Як вважають історики, цей спосіб був вперше використаний для доведення теореми ще в стародавній Греції. Він є найпростішим, оскільки не вимагає абсолютно ніяких розрахунків. Якщо правильно накреслити малюнок, то доказ твердження, що а 2 + в 2 \u003d з 2, буде видно наочно.
Умови для даного способу буде трохи відрізнятися від попереднього. Щоб довести теорему, припустимо, що прямокутний трикутник АВС - рівнобедрений.
Гіпотенузи АС приймаємо за сторону квадрата і закінчувати три його сторони. Крім цього необхідно провести дві діагональні прямі в отриманому квадраті. Таким чином, щоб усередині нього вийшло чотири рівнобедрених трикутника.
До катетам АВ і СВ так само потрібно Дочерті по квадрату і провести по одній діагональної прямої в кожному з них. Першу пряму креслимо з вершини А, другу - з С.
Тепер потрібно уважно вдивитися в вийшов малюнок. Оскільки на гіпотенузі АС лежить чотири трикутники, рівні вихідного, а на катетах по два, це говорить про правдивість даної теореми.
До речі, завдяки цій методиці доведення теореми Піфагора і з'явилася на світ знаменита фраза: «Піфагороі штани всі сторони рівні».
Доказ Дж. Гарфілда
Джеймс Гарфілд - двадцятий президент Сполучених Штатів Америки. Крім того, що він залишив свій слід в історії як правитель США, він був ще й обдарованим самоучкою.
На початку своєї кар'єри він був звичайним викладачем в народній школі, але незабаром став директором одного з вищих учбових закладів. Прагнення до саморозвитку і дозволило йому запропонувати нову теорію доведення теореми Піфагора. Теорема і приклад її рішення виглядає наступним чином.
Спочатку потрібно накреслити на аркуші паперу два прямокутних трикутника таким чином, щоб катет одного з них був продовженням другого. Вершини цих трикутників потрібно з'єднати, щоб в кінцевому підсумку вийшла трапеція.
Як відомо, площа трапеції дорівнює добутку півсуми її підстав на висоту.
S \u003d а + в / 2 * (а + в)
Якщо розглянути отриману трапецію, як фігуру, що складається з трьох трикутників, то її площа можна знайти так:
S \u003d ав / 2 * 2 + з 2/2
Тепер необхідно зрівняти два вихідних вираження
2АВ / 2 + с / 2 \u003d (а + в) 2/2
з 2 \u003d а 2 + в 2
Про теорему Піфагора і способах її докази можна написати не один том навчального посібника. Але чи є в ньому сенс, коли ці знання не можна застосувати на практиці?
Практичне застосування теореми Піфагора
На жаль, в сучасних шкільних програмах передбачено використання даної теореми тільки в геометричних задачах. Випускники скоро покинуть шкільні стіни, так і не дізнавшись, а як вони можуть застосувати свої знання і вміння на практиці.
Насправді ж використовувати теорему Піфагора в своєму повсякденному житті може кожен. Причому не тільки в професійній діяльності, а й у звичайних домашніх справах. Розглянемо кілька випадків, коли теорема Піфагора і способи її докази можуть виявитися вкрай необхідними.
Зв'язок теореми і астрономії
Здавалося б, як можуть бути пов'язані зірки і трикутники на папері. Насправді ж астрономія - це наукова сфера, в якій широко використовується теорема Піфагора.
Наприклад, розглянемо рух світлового променя в космосі. Відомо, що світло рухається в обидва боки з однаковою швидкістю. Траєкторію АВ, якій рухається промінь світла назвемо l. А половину часу, який необхідний світлу, щоб потрапити з точки А в точку Б, назвемо t. І швидкість променя - c. Виходить що: c * t \u003d l
Якщо подивитися на цей самий промінь з іншої площини, наприклад, з космічного лайнера, який рухається зі швидкістю v, то при такому спостереженні тел їх швидкість зміниться. При цьому навіть нерухомі елементи стануть рухатися зі швидкістю v в зворотному напрямку.
Припустимо, комічний лайнер пливе вправо. Тоді точки А і В, між якими метається промінь, стануть рухатися вліво. Причому, коли промінь рухається від точки А в точку В, точка А встигає переміститися і, відповідно, світло вже прибуде в нову точку С. Щоб знайти половину відстані, на яке змістилася точка А, потрібно швидкість лайнера помножити на половину часу подорожі променя (t ").
А щоб знайти, яку відстань за цей час зміг пройти промінь світла, потрібно позначити половину шляху нової букової s і отримати такий вираз:
Якщо уявити, що точки світла С і В, а також космічний лайнер - це вершини рівнобедреного трикутника, то відрізок від точки А до лайнера розділить його на два прямокутні трикутники. Тому завдяки теоремі Піфагора можна знайти відстань, яку зміг пройти промінь світла.
Цей приклад, звичайно, не найвдаліший, так як тільки одиницям може пощастити випробувати його на практиці. Тому розглянемо більш приземлені варіанти застосування цієї теореми.
Радіус передачі мобільного сигналу
Сучасне життя вже неможливо уявити без існування смартфонів. Але чи багато було б від них пуття, якби вони не могли з'єднувати абонентів за допомогою мобільного зв'язку ?!
Якість мобільного зв'язку безпосередньо залежить від того, на якій висоті перебувати антена мобільного оператора. Для того щоб обчислити, якій відстані від мобільного вишки телефон може приймати сигнал, можна застосувати теорему Піфагора.
Припустимо, потрібно знайти приблизну висоту стаціонарної вишки, щоб вона могла поширювати сигнал в радіусі 200 кілометрів.
АВ (висота вежі) \u003d х;
ВС (радіус передачі сигналу) \u003d 200 км;
ОС (радіус земної кулі) \u003d 6380 км;
ОВ \u003d ОА + АВОВ \u003d r + х
Застосувавши теорему Піфагора, з'ясуємо, що мінімальна висота вежі повинна скласти 2,3 кілометра.
Теорема Піфагора в побуті
Як не дивно, теорема Піфагора може виявитися корисною навіть в побутових справах, таких як визначення висоти шафи-купе, наприклад. На перший погляд, немає необхідності використовувати такі складні обчислення, адже можна просто зняти мірки з допомогою рулетки. Але багато хто дивується, чому в процесі складання виникають певні проблеми, якщо все мірки були зняті більш ніж точно.
Справа в тому, що шафа-купе збирається в горизонтальному положенні і тільки потім піднімається і встановлюється до стіни. Тому боковина шафи в процесі підйому конструкції повинна вільно проходити і по висоті, і по діагоналі приміщення.
Припустимо, є шафа-купе глибиною 800 мм. Відстань від підлоги до стелі - 2600 мм. Досвідчений мебляр скаже, що висота шафи повинна бути на 126 мм менше, ніж висота приміщення. Але чому саме на 126 мм? Розглянемо на прикладі.
За ідеальних габаритах шафи перевіримо дію теореми Піфагора:
АС \u003d √АВ 2 + √ВС 2
АС \u003d √2474 2 +800 2 \u003d 2600 мм - все сходиться.
Припустимо, висота шафи одно не 2474 мм, а 2505 мм. тоді:
АС \u003d √2505 2 + √800 2 \u003d 2629 мм.
Отже, ця шафа не підійде для установки в даному приміщенні. Так як при піднятті його у вертикальне положення можна завдати шкоди його корпусу.
Мабуть, розглянувши різні способи доведення теореми Піфагора різними вченими, можна зробити висновок, що вона більш ніж правдива. Тепер можна використовувати отриману інформацію в своєму повсякденному житті і бути повністю впевненим, що всі розрахунки будуть не тільки корисні, але і вірні.
Деякі дискусії мене розважають безмірно ...
Привіт що робиш?
-Так ось, завдання вирішую з журналу.
-Ну ти даєш! Не чекав від тебе.
-Чого не очікував?
-Що ти опуститися до задачок. Начебто розумний адже, а віриш у всілякі дурниці.
-Вибач не розумію. Що ти називаєш дурницями?
-Так всю цю вашу математику. Адже очевидно ж, що фігня повна.
-Як ти можеш так говорити? Математика - цариця наук ...
-Ось тільки давай без цього пафосу, так? Математика - взагалі не наука, а одне суцільне нагромадження безглуздих законів і правил.
-Що ?!
-Ой, ну не роби такі великі очі, ти ж сам знаєш, що я маю рацію. Ні, я не сперечаюся, таблиця множення - велика річ, вона зіграла чималу роль в становленні культури і історії людства. Але тепер-то це все вже неактуально! І потім, навіщо було все ускладнювати? У природі не існує ніяких інтегралів або логарифмів, це все вигадки математиків.
-Погода. Математики нічого не вигадували, вони відкривали нові закони взаємодії чисел, користуючись перевіреною інструментарієм ...
-Ну так звичайно! І ти цьому віриш? Ти що, сам не бачиш, яку нісенітницю вони постійно несуть? Тобі навести приклад?
-Та вже, будь добрий.
-Так будь ласка! Теорема Піфагора.
-Ну і що в ній не так?
-Так все не так! "Піфагорови штани на всі сторони рівні", розумієте. А ти в курсі, що греки за часів Піфагора не носили штанів? Як Піфагор міг взагалі міркувати про те, про що не мав ніякого поняття?
-Погода. При чому тут штани?
-Ну вони ж начебто Піфагорови? Чи ні? Ти визнаєш, що у Піфагора не було штанів?
-Ну, взагалі-то, звичайно, не було ...
Ага, значить, уже в самій назві теореми явна невідповідність! Як після цього можна ставитися серйозно до того, що там говориться?
-Мінутку. Піфагор нічого не говорив про штанях ...
-Ти це визнаєш, так?
-Так ... Так ось, можна я продовжу? Піфагор нічого не говорив про штанях, і не треба йому приписувати чужі дурниці ...
Ага, ти сам згоден, що це все дурниці!
-Та не говорив я такого!
-Тільки що сказав. Ти сам собі суперечиш.
-Так. Стоп. Що говориться в теоремі Піфагора?
-Що все штани рівні.
-Блин, та ти взагалі читав цю теорему ?!
-Я знаю.
-Звідки?
-Я читав.
-Що ти читав ?!
-Лобачевского.
* Пауза *
-Пробач, а яке відношення має Лобачевський до Піфагору?
-Ну, Лобачевський ж теж математик, і він начебто навіть більш крутий авторитет, ніж Піфагор, скажеш ні?
* Зітхання *
-Ну і що ж сказав Лобачевський про теорему Піфагора?
-Що штани рівні. Але це ж нісенітниця! Як такі штани взагалі можна носити? І до того ж, Піфагор взагалі не носив штанів!
-Лобачевскій так сказав ?!
* Секундна пауза, з упевненістю *
-Так!
-Покажи мені, де це написано.
-Ні, ну там це не написано так прямо ...
-Як називається книга?
-Так це не книга, це стаття в газеті. Про те, що Лобачевський насправді був агент німецької розвідки ... ну, це до справи не відноситься. Все-одно він напевно так говорив. Він же теж математик, значить вони з Піфагором заодно.
-Піфагор нічого не говорив про штани.
-Ну так! Про те і мова. Фігня це все.
Давай по порядку. Звідки ти особисто знаєш, про що йдеться в теоремі Піфагора?
-Ой, ну кинь! Це ж все знають. Будь-якого спитай, тобі відразу дадуть відповідь.
-Піфагорови штани - це не штани ...
-А, ну звичайно! Це алегорія! Знаєш, скільки разів я вже таке чув?
-Теорема Піфагора говорить, що сума квадратів катетів дорівнює квадрату гіпотенузи. І ВСЕ!
-А де штани?
-Та не було у Піфагора ніяких штанів !!!
-Ну ось бачиш, я тобі про те і кажу. Фігня вся ваша математика.
-А ось і не фігня! Дивись сам. Ось трикутник. Ось гіпотенуза. Ось катети ...
-А чому раптом саме це катети, а це гіпотенуза? Може навпаки?
-Ні. Катетами називаються дві сторони, що утворюють прямий кут.
-Ну ось тобі ще один прямий кут.
-Він не прямий.
-А який же він, кривої?
-Ні, він гострий.
-Так і цей теж гострий.
-Він не гострий, він прямий.
Знаєш, що не мороч мені голову! Ти просто називаєш речі як тобі зручно, аби підігнати результат під бажаний.
-Дві короткі сторони прямокутного трикутника - це катети. Довга сторона - гіпотенуза.
-А, хто коротше - той катет? І гіпотенуза, значить, вже не котить? Ти сам-то послухай себе з боку, який ти марення несеш. На дворі 21 століття, розквіт демократії, а в тебе середньовіччя якесь. Сторони у нього, бач, нерівні ...
-Прямоугольного трикутника з рівними сторонами не існує...
-А ти впевнений? Давай я тобі намалюю. Ось дивись. Прямокутний? Прямокутний. І всі сторони рівні!
-Ти намалював квадрат.
-Ну і що?
-Квадрат - чи не трикутник.
-А, ну звичайно! Як тільки він нас не влаштовує, відразу «не трикутник"! Чи не мороч мені голову. Вважай сам: один кут, два кута, три кути.
-Чотири.
-Ну і що?
-Це квадрат.
-А квадрат що, чи не трикутник? Він гірше, так? Тільки тому, що я його намалював? Три кута є? Є, і навіть ось один запасний. Ну і нєфіг тут, розумієш ...
-Добре, залишимо цю тему.
Ага, вже здаєш? Нічого заперечити? Ти визнаєш, що математика - фігня?
-Ні, не визнаю.
-Ну от, знову знову-здорово! Я ж тобі щойно все докладно довів! Якщо в основі всієї вашої геометрії лежить вчення Піфагора, а воно, перепрошую, повна нісенітниця ... то про що взагалі можна далі міркувати?
-Вчення Піфагора - НЕ нісенітниця ...
-Ну як же! А то я не чув про школу піфагорійців! Вони, якщо хочеш знати, віддавалися оргій!
-До чого тут...
-А Піфагор взагалі був педик! Він сам сказав, що Платон йому друг.
-Піфагор ?!
-А ти не знав? Так вони взагалі все педики були. І на голову трёхнутие. Один в бочці спав, інший голяка по місту бігав ...
-В бочці спав Діоген, але він був філософ, а не математик ...
-А, ну звичайно! Якщо хтось в бочку поліз, то вже і не математик! Навіщо нам зайвий ганьба? Знаємо, знаємо, проходили. А ось ти поясни мені, чому всякі педики, які жили три тисячі років тому і бігали без штанів, повинні бути для мене авторитетом? З якого дива я повинен приймати їх точку зору?
-Добре, залиш ...
-Та ні, ти послухай! Я тебе, врешті-решт, теж слухав. Ось ці ваші обчислення, підрахунки ... Вважати ви все вмієте! А запитай у вас що-небудь по суті, тут же відразу: "це приватна, це змінна, а це два невідомих". А ти мені в о-о-о-общем скажи, без подробиць! І без всяких там невідомих, непізнаних, екзистенціальних ... Мене від цього нудить, розумієш?
-Розумієте.
-Ну ось поясни мені, чому двічі два завжди чотири? Хто це придумав? І чому я повинен приймати це як даність і не маю права сумніватися?
-Так сумнівайся скільки хочеш ...
-Ні, ти мені поясни! Тільки без цих ваших штучок, а нормально, по-людськи, щоб зрозуміло було.
-Дважди два дорівнює чотирьом, тому що два рази по два буде чотири.
-Масло масляне. Що ти мені нового сказав?
-Дважди два - це два, помножене на два. Візьми два і два і склади їх ...
-Так скласти або помножити?
-Це одне і теж...
-Обидва на! Виходить, якщо я складу і помножу сім і вісім, теж вийде одне і те ж?
-Ні.
-А чому?
-Тому що сім плюс вісім НЕ дорівнює ...
-А якщо я дев'ять помножу на два, вийде чотири?
-Ні.
-А чому? Два примножував - вийшло, а з дев'яткою раптом облом?
-Так. Двічі дев'ять - вісімнадцять.
-А двічі сім?
-Чотирнадцять.
-А двічі п'ять?
-Десять.
-Тобто, чотири виходить тільки в одному окремому випадку?
-Саме так.
-А тепер подумай сам. Ти говориш, що існують якісь жорсткі закони і правила множення. Про які закони тут взагалі може йти мова, якщо в кожному конкретному випадку виходить інший результат ?!
-Це не зовсім так. Іноді результат може збігатися. Наприклад, двічі шість дорівнює дванадцяти. І чотири рази три - теж ...
-Ще гірше! Два, шість, три чотири - взагалі нічого спільного! Ти сам бачиш, що результат ніяк не залежить від вихідних даних. Приймається одне і те ж рішення в двох кардинально різних ситуаціях! І це при тому, що одна і та ж двійка, яку ми беремо постійно і ні на що не змінюємо, з усіма числами завжди дає різний відповідь. Де, питається, логіка?
-Але це ж, як-раз, логічно!
-Для тебе - може бути. Ви, математики, завжди вірите у всяку позамежну хрень. А мене ці ваші викладки не переконують. І знаєш чому?
-Чому?
-Тому що я знаю, Навіщо потрібна насправді ваша математика. Адже вона вся до чого зводиться? "У Каті в кишені одне яблуко, а у Мишка п'ять. Скільки яблук повинен віддати Миша Каті, щоб яблук у них стало порівну?" І знаєш, що я тобі скажу? Миша нікому нічого не винен віддавати! У Каті одне яблуко є - і вистачить. Мало їй? Нехай йде працювати, і сама собі чесно заробить хоч на яблука, хоч на груші, хоч на ананаси в шампанському. А якщо хтось хоче не працювати, а тільки завдання вирішувати - нехай сидить зі своїм одним яблуком і не випендрюються!
