Головна > електроінструмент > Найбільше значення функції на відрізку алгоритм. Найбільше і найменше значення функції. Необхідна умова екстремуму функції однієї змінної

Найбільше значення функції на відрізку алгоритм. Найбільше і найменше значення функції. Необхідна умова екстремуму функції однієї змінної

\\ (\\ Blacktriangleright \\) Для того, щоб знайти найбільше / найменше значення функції на відрізку \\ (\\), необхідно схематично зобразити графік функції на цьому відрізку.
У завданнях з даної підтеми це можна зробити за допомогою похідної: знайти проміжки зростання (\\ (f "\u003e 0 \\)) і зменшення (\\ (f"<0\) ) функции, критические точки (где $f"=0$ или $f"$ не существует).

\\ (\\ Blacktriangleright \\) Не варто забувати, що найбільше / найменше значення функція може приймати не тільки у внутрішніх точках відрізка \\ (\\), а також на його кінцях.

\\ (\\ Blacktriangleright \\) Найбільша / найменше значення функції - це значення координати \\ (y \u003d f (x) \\).

\\ (\\ Blacktriangleright \\) Похідна складної функції \\ (f (t (x)) \\) шукається за правилом: \\ [(\\ Large (f "(x) \u003d f" (t) \\ cdot t "(x))) \\]
\\ [\\ Begin (array) (| r | c | c |) \\ hline & \\ text (Функція) f (x) & \\ text (Похідна) f "(x) \\\\ \\ hline \\ textbf (1) & c & 0 \\\\ && \\\\ \\ textbf (2) & x ^ a & a \\ cdot x ^ (a-1) \\\\ && \\\\ \\ textbf (3) & \\ ln x & \\ dfrac1x \\\\ && \\\\ \\ & a ^ x \\ cdot \\ ln a \\\\ && \\\\ \\ textbf (7) & \\ sin x & \\ cos x \\\\ && \\\\ \\ textbf (8) & \\ cos x & - \\ sin x \\\\ \\ hline \\ end (array) \\ quad \\ quad \\ quad \\ quad \\ begin (array) (| r | c | c |) \\ hline & \\ text (Функція) f (x) & \\ text (Похідна) f "(x) \\\\ \\ hline \\ textbf (9) & \\ mathrm (tg) \\, x & \\ dfrac1 (\\ cos ^ 2 x) \\\\ && \\\\ \\ textbf (10) & \\ mathrm (ctg) \\, x & - \\ arccos x & - \\, \\ dfrac1 (\\ sqrt (1-x ^ 2)) \\\\ && \\\\ \\ textbf (13) & \\ mathrm (arctg) \\, x & \\ dfrac1 (1 + x ^ 2) \\\\ Завдання 1 # 2357

Рівень завдання: Рівний ЄДІ

Знайдіть найменше значення функції \\ (y \u003d e ^ (x ^ 2 - 4) \\) на відрізку \\ ([- 10; -2] \\).

ОДЗ: \\ (x \\) - довільний.

Таким чином, \\ (y "\u003d 0 \\) при \\ (x \u003d 0 \\).

1) \

\ 3) Знайдемо проміжки знакопостоянства \\ (y "\\) на даному відрізку \\ ([- 10; -2] \\):

4) Ескіз графіка на відрізку \\ ([- 10; -2] \\):

Таким чином, найменшого на \\ ([- 10; -2] \\) значення функція досягає в \\ (x \u003d -2 \\).

\\ Разом: \\ (1 \\) - найменше значення функції \\ (y \\) на \\ ([- 10; -2] \\).

Відповідь: 1

Завдання 2 # 2355

\\ (Y \u003d \\ sqrt (2) \\ cdot \\ sqrt (x ^ 2 + 1) \\)

Знайдіть найменше значення функції \\ (y \u003d e ^ (x ^ 2 - 4) \\) на відрізку \\ ([- 10; -2] \\).

на відрізку \\ ([- 1; 1] \\).

Таким чином, \\ (y "\u003d 0 \\) при \\ (x \u003d 0 \\).

1) \

Знайдемо критичні точки (тобто внутрішні точки області визначення функції, в яких її похідна дорівнює \\ (0 \\) або не існує): \\ [\\ Sqrt (2) \\ cdot \\ dfrac (x) (\\ sqrt (x ^ 2 + 1)) \u003d 0 \\ qquad \\ Leftrightarrow \\ qquad x \u003d 0 \\,. \\] Похідна існує при будь-якому \\ (x \\).

2) Знайдемо проміжки знакопостоянства \\ (y "\\):

3) Знайдемо проміжки знакопостоянства \\ (y "\\) на даному відрізку \\ ([- 1; 1] \\):

4) Ескіз графіка на відрізку \\ ([- 1; 1] \\):

Таким чином, найбільшого на \\ ([- 1; 1] \\) значення функція досягає в \\ (x \u003d -1 \\) або в \\ (x \u003d 1 \\). Порівняємо значення функції в цих точках.

\ Разом: \\ (2 \\) - найбільше значення функції \\ (y \\) на \\ ([- 1; 1] \\).

Відповідь: 2

Завдання 3 # 2356

Знайдіть найменше значення функції \\ (y \u003d e ^ (x ^ 2 - 4) \\) на відрізку \\ ([- 10; -2] \\).

Знайдіть найменше значення функції \\ (y \u003d \\ cos 2x \\) на відрізку \\ (\\).

Таким чином, \\ (y "\u003d 0 \\) при \\ (x \u003d 0 \\).

1) \

Знайдемо критичні точки (тобто внутрішні точки області визначення функції, в яких її похідна дорівнює \\ (0 \\) або не існує): \\ [- 2 \\ cdot \\ sin 2x \u003d 0 \\ qquad \\ Leftrightarrow \\ qquad 2x \u003d \\ pi n, n \\ in \\ mathbb (Z) \\ qquad \\ Leftrightarrow \\ qquad x \u003d \\ dfrac (\\ pi n) (2), n \\ in \\ mathbb (Z) \\,. \\] Похідна існує при будь-якому \\ (x \\).

2) Знайдемо проміжки знакопостоянства \\ (y "\\):

(Тут нескінченне число проміжків, в яких чергуються знаки похідної).

3) Знайдемо проміжки знакопостоянства \\ (y "\\) на даному відрізку \\ (\\):

4) Ескіз графіка на відрізку \\ (\\):

Таким чином, найменшого на \\ (\\) значення функція досягає в \\ (x \u003d \\ dfrac (\\ pi) (2) \\).

\ Разом: \\ (- 1 \\) - найменше значення функції \\ (y \\) на \\ (\\).

Відповідь: -1

Завдання 4 # 915

Знайдіть найменше значення функції \\ (y \u003d e ^ (x ^ 2 - 4) \\) на відрізку \\ ([- 10; -2] \\).

Знайдіть найбільше значення функції

\\ (Y \u003d - \\ log_ (17) (2x ^ 2 - 2 \\ sqrt (2) x + 2) \\).

ОДЗ: \\ (2x ^ 2 - 2 \\ sqrt (2) x + 2\u003e 0 \\). Вирішимо на ОДЗ:

1) Позначимо \\ (2x ^ 2-2 \\ sqrt (2) x + 2 \u003d t (x) \\), тоді \\ (y (t) \u003d - \\ log_ (17) t \\).

Знайдемо критичні точки (тобто внутрішні точки області визначення функції, в яких її похідна дорівнює \\ (0 \\) або не існує): \\ [- \\ dfrac (1) (\\ ln 17) \\ cdot \\ dfrac (4x-2 \\ sqrt (2)) (2x ^ 2-2 \\ sqrt (2) x + 2) \u003d 0 \\ qquad \\ Leftrightarrow \\ qquad 4x-2 \\ sqrt (2) \u003d 0 \\] - на ОДЗ, звідки знаходимо корінь \\ (x \u003d \\ dfrac (\\ sqrt (2)) (2) \\). Похідна функції \\ (y \\) не існує при \\ (2x ^ 2-2 \\ sqrt (2) x + 2 \u003d 0 \\), але у даного рівняння негативний дискриминант, отже, у нього немає рішень. Для того, щоб знайти найбільше / найменше значення функції, потрібно зрозуміти, як схематично виглядає її графік.

2) Знайдемо проміжки знакопостоянства \\ (y "\\):

3) Ескіз графіка:

Таким чином, найбільше значення функція досягає в \\ (x \u003d \\ dfrac (\\ sqrt (2)) (2) \\):

\\ (Y \\ left (\\ dfrac (\\ sqrt (2)) (2) \\ right) \u003d - \\ log_ (17) 1 \u003d 0 \\),

Разом: \\ (0 \\) - найбільше значення функції \\ (y \\).

Відповідь: 0

Завдання 5 # 2344

Знайдіть найменше значення функції \\ (y \u003d e ^ (x ^ 2 - 4) \\) на відрізку \\ ([- 10; -2] \\).

Знайдіть найменше значення функції

\\ (Y \u003d \\ log_ (3) (x ^ 2 + 8x + 19) \\).

ОДЗ: \\ (x ^ 2 + 8x + 19\u003e 0 \\). Вирішимо на ОДЗ:

1) Позначимо \\ (x ^ 2 + 8x + 19 \u003d t (x) \\), тоді \\ (y (t) \u003d \\ log_ (3) t \\).

Знайдемо критичні точки (тобто внутрішні точки області визначення функції, в яких її похідна дорівнює \\ (0 \\) або не існує): \\ [\\ Dfrac (1) (\\ ln 3) \\ cdot \\ dfrac (2x + 8) (x ^ 2 + 8x + 19) \u003d 0 \\ qquad \\ Leftrightarrow \\ qquad 2x + 8 \u003d 0 \\] - на ОДЗ, звідки знаходимо корінь \\ (x \u003d -4 \\). Похідна функції \\ (y \\) не існує при \\ (x ^ 2 + 8x + 19 \u003d 0 \\), але у даного рівняння негативний дискриминант, отже, у нього немає рішень. Для того, щоб знайти найбільше / найменше значення функції, потрібно зрозуміти, як схематично виглядає її графік.

2) Знайдемо проміжки знакопостоянства \\ (y "\\):

3) Ескіз графіка:

Таким чином, \\ (x \u003d -4 \\) - точка мінімуму функції \\ (y \\) і найменше значення досягається в ній:

\\ (Y (-4) \u003d \\ log_ (3) 3 \u003d 1 \\).

Разом: \\ (1 \\) - найменше значення функції \\ (y \\).

Завдання 2 # 2355

Завдання 6 # 917

Рівень завдання: Складніше ЄДІ

Знайдіть найбільше значення функції

\\ (Y \u003d -e ^ ((x ^ 2 - 12x + 36 + 2 \\ ln 2)) \\).

У цій статті я розповім про алгоритм пошуку найбільшого і найменшого значення функції, точок мінімуму і максимуму.

З теорії нам точно стане в нагоді таблиця похідних і правила диференціювання. Все це є в цій табличці:

Алгоритм пошуку найбільшого і найменшого значення.

Мені зручніше пояснювати на конкретному прикладі. Розглянемо:

приклад: Знайдіть найбільше значення функції y \u003d x ^ 5 + 20x ^ 3-65x на відрізку [-4; 0].

Крок 1. Беремо похідну.

Y "\u003d (x ^ 5 + 20x ^ 3-65x)" \u003d 5x ^ 4 + 20 * 3x ^ 2 - 65 \u003d 5x ^ 4 + 60x ^ 2 - 65

Крок 2. Знаходимо точки екстремуму.

точкою екстремуму ми називаємо такі точки, в яких функція досягає свого найбільшого або найменшого значення.

Щоб знайти точки екстремуму, треба прирівняти похідну функції до нуля (y "\u003d 0)

5x ^ 4 + 60x ^ 2 - 65 \u003d 0

Тепер вирішуємо це біквадратне рівняння і знайдені коріння є наші точки екстремуму.

Я вирішую такі рівняння заміною t \u003d x ^ 2, тоді 5t ^ 2 + 60t - 65 \u003d 0.

Скоротимо рівняння на 5, отримаємо: t ^ 2 + 12t - 13 \u003d 0

D \u003d 12 ^ 2 - 4 * 1 * (- 13) \u003d 196

T_ (1) \u003d (-12 + sqrt (196)) / 2 \u003d (-12 + 14) / 2 \u003d 1

T_ (2) \u003d (-12 - sqrt (196)) / 2 \u003d (-12 - 14) / 2 \u003d -13

Робимо зворотну заміну x ^ 2 \u003d t:

X_ (1 і 2) \u003d ± sqrt (1) \u003d ± 1
x_ (3 і 4) \u003d ± sqrt (-13) (виключаємо, під коренем не може бути негативних чисел, якщо звичайно не йдеться про комплексні числа)

Разом: x_ (1) \u003d 1 і x_ (2) \u003d -1 - це і є наші точки екстремуму.

Крок 3. Визначаємо найбільше та найменше значення.

Метод підстановки.

В умови нам було дано відрізок [b] [- 4; 0]. Точка x \u003d 1 в цей відрізок не входить. Значить її ми не розглядаємо. Але крім точки x \u003d -1 нам також треба розглянути ліву і праву межу нашого відрізка, тобто точки -4 і 0. Для цього підставляємо всі ці три точки в вихідну функцію. Зауважте вихідну - це ту, яка дана в умови (y \u003d x ^ 5 + 20x ^ 3-65x), деякі починають підставляти в похідну ...

Y (-1) \u003d (-1) ^ 5 + 20 * (- 1) ^ 3 - 65 * (- 1) \u003d -1 - 20 + 65 \u003d [b] 44
y (0) \u003d (0) ^ 5 + 20 * (0) ^ 3 - 65 * (0) \u003d 0
y (-4) \u003d (-4) ^ 5 + 20 * (- 4) ^ 3 - 65 * (- 4) \u003d -1024 - 1280 + 260 \u003d -2044

Значить найбільше значення функції це [b] 44 і досягається воно в точки [b] -1, яка називається точкою максимуму функції на відрізку [-4; 0].

Ми вирішили і отримали відповідь, ми молодці, можна розслабитися. Але стоп! Вам не здається, що вважати y (-4) якось занадто складно? В умовах обмеженого часу краще скористатися іншим способом, я називаю його так:

Через проміжки знакопостоянства.

Знаходяться ці проміжки для похідної функції, тобто для нашого біквадратних рівняння.

Я роблю це в такий спосіб. Малюю спрямований відрізок. Розставляю точки: -4, -1, 0, 1. Не дивлячись на те, що 1 не входить в заданий відрізок, її все одно слід зазначити для того, щоб коректно визначити проміжки знакопостоянства. Візьмемо якусь кількість у багато разів більше 1, припустимо 100, подумки підставимо його в наше біквадратне рівняння 5 (100) ^ 4 + 60 (100) ^ 2 - 65. Навіть нічого не рахуючи стає очевидно, що в точці 100 функція має знак плюс. А значить і на проміжки від 1 до 100 вона має знак плюс. При переході через 1 (ми йдемо справа наліво) функція змінить знак на мінус. При переході через точку 0 функція збереже свій знак, так як це лише межа відрізка, а не корінь рівняння. При переході через -1 функція знову змінить знак на плюс.

З теорії ми знаємо, що там, де похідна функції (а ми саме для неї це і креслили) змінює знак з плюса на мінус (Точка -1 в нашому випадку) функція досягає свого локального максимуму (Y (-1) \u003d 44, як була пораховано раніше) на даному відрізку (це логічно дуже зрозуміло, функція перестала зростати, так як досягла свого максимуму і почала спадати).

Відповідно, там де похідна функції змінює знак з мінуса на плюс, досягається локальний мінімум функції. Так, так, ми також знайшли точку локального мінімуму це 1, а y (1) - це мінімальне значення функції на відрізку, припустимо від -1 до + ∞. Зверніть величезну увагу, що це лише ЛОКАЛЬНИЙ МІНІМУМ, тобто мінімум на певному відрізку. Так як дійсний (глобальний) мінімум функція буде досягнуто десь там, в -∞.

На мій погляд перший спосіб простіше теоретично, а другий простіше з точки зору арифметичних дій, але набагато складніше з точки зору теорії. Адже іноді бувають випадки, коли функція не змінює знак при переході через корінь рівняння, та й взагалі можна заплутатися з цими локальними, глобальними максимумами і мінімумами, хоча Вам так і так доведеться це добре освоїти, якщо ви плануєте вступати до технічного ВНЗ (а для чого інакше здавати профільне ЄДІ і вирішувати це завдання). Але практика і тільки практика раз і назавжди навчить Вас вирішувати такі завдання. А тренуватися можете на нашому сайті. Ось.

Якщо з'явилися якісь питання, чи щось незрозуміло - обов'язково запитайте. Я з радістю Вам відповім, і внесу зміни, доповнення до статті. Пам'ятайте ми робимо цей сайт разом!

Найбільше (найменше) значення функції - це найбільше (маленьке) прийняте значення ординати на розглянутому інтервалі.

Щоб знайти найбільше або найменше значення функції необхідно:

Перевірити, які стаціонарні точки входять в заданий відрізок.
Обчислити значення функції на кінцях відрізка і в стаціонарних точках з п.3
Вибрати з отриманих результатів найбільше або найменше значення.

Щоб знайти точки максимуму або мінімуму необхідно:

Знайти похідну функції $ f "(х) $
Знайти стаціонарні точки, вирішивши рівняння $ f "(х) \u003d 0 $
Розкласти похідну функції на множники.
Накреслити координатну пряму, розставити на ній стаціонарні точки і визначити знаки похідної в отриманих інтервалах, користуючись записом п.3.
Знайти точки максимуму або мінімуму за правилом: якщо в точці похідна змінює знак з плюса на мінус, то це буде точка максимуму (якщо з мінуса на плюс, то це буде точка мінімуму). На практиці зручно використовувати зображення стрілок на проміжках: на проміжку, де похідна позитивна, стрілка малюється вгору і навпаки.

Таблиця похідних деяких елементарних функцій:

функція	похідна
$ C $	$0$
$ X $	$1$
$ X ^ n, n∈N $	$ Nx ^ (n-1), n∈N $
$ (1) / (x) $	$ - (1) / (x ^ 2) $
$ (1) / x (^ n), n∈N $	$ - (n) / (x ^ (n + 1)), n∈N $
$ √ ^ n (x), n∈N $	$ (1) / (n√ ^ n (x ^ (n-1)), n∈N $
$ Sinx $	$ Cosx $
$ Cosx $	$ -Sinx $
$ Tgx $	$ (1) / (cos ^ 2x) $
$ Ctgx $	$ - (1) / (sin ^ 2x) $
$ Cos ^ 2x $	$ -Sin2x $
$ Sin ^ 2x $	$ Sin2x $
$ E ^ x $	$ E ^ x $
$ A ^ x $	$ A ^ xlna $
$ Lnx $	$ (1) / (x) $
$ Log_ (a) x $	$ (1) / (xlna) $

Основні правила диференціювання

1. Похідна суми і різниці дорівнює похідною кожного доданка

$ (F (x) ± g (x)) '\u003d f' (x) ± g '(x) $

Знайти похідну функції $ f (x) \u003d 3x ^ 5 - cosx + (1) / (x) $

Похідна суми і різниці дорівнює похідною кожного доданка

$ F '(x) \u003d (3x ^ 5)' - (cosx) '+ ((1) / (x)) "\u003d 15x ^ 4 + sinx- (1) / (x ^ 2) $

2. Похідна твори.

$ (F (x) ∙ g (x)) '\u003d f' (x) ∙ g (x) + f (x) ∙ g (x) '$

Знайти похідну $ f (x) \u003d 4x ∙ cosx $

$ F '(x) \u003d (4x)' ∙ cosx + 4x ∙ (cosx) '\u003d 4 ∙ cosx-4x ∙ sinx $

3. Похідна приватного

$ ((F (x)) / (g (x))) "\u003d (f ^" (x) ∙ g (x) -f (x) ∙ g (x) ") / (g ^ 2 (x) ) $

Знайти похідну $ f (x) \u003d (5x ^ 5) / (e ^ x) $

$ F "(x) \u003d ((5x ^ 5)" ∙ e ^ x-5x ^ 5 ∙ (e ^ x) ") / ((e ^ x) ^ 2) \u003d (25x ^ 4 ∙ e ^ x- 5x ^ 5 ∙ e ^ x) / ((e ^ x) ^ 2) $

4. Похідна складної функції дорівнює добутку похідної зовнішньої функції на похідну внутрішньої функції

$ F (g (x)) '\u003d f' (g (x)) ∙ g '(x) $

$ F '(x) \u003d cos' (5x) ∙ (5x) '\u003d - sin (5x) ∙ 5 \u003d -5sin (5x) $

Знайдіть точку мінімуму функції $ y \u003d 2x-ln\u2061 (x + 11) + 4 $

1. Знайдемо ОПЗ функції: $ х + 11\u003e 0; х\u003e -11 $

2. Знайдемо похідну функції $ y "\u003d 2 (1) / (x + 11) \u003d (2x + 22-1) / (x + 11) \u003d (2x + 21) / (x + 11) $

3. Знайдемо стаціонарні точки, прирівнявши похідну до нуля

$ (2x + 21) / (x + 11) \u003d 0 $

Дріб дорівнює нулю якщо чисельник дорівнює нулю, а знаменник не дорівнює нулю

$ 2x + 21 \u003d 0; x ≠ -11 $

4. Накреслимо координатну пряму, розставимо на ній стаціонарні точки і визначимо знаки похідної в отриманих інтервалах. Для цього підставимо в похідну будь-яке число з крайньої правої області, наприклад, нуль.

$ Y "(0) \u003d (2 ∙ 0 + 21) / (0 + 11) \u003d (21) / (11)\u003e 0 $

5. У точці мінімуму похідна змінює знак з мінуса на плюс, отже, точка $ -10,5 $ - це точка мінімуму.

Відповідь: $ -10,5 $

Знайдіть найбільше значення функції $ y \u003d 6x ^ 5-90x ^ 3-5 $ на відрізку $ [- 5; 1] $

1. Знайдемо похідну функції $ y '\u003d 30x ^ 4-270x ^ 2 $

2. Дорівняємо похідну до нуля і знайдемо стаціонарні точки

$ 30x ^ 4-270x ^ 2 \u003d 0 $

Винесемо загальний множник $ 30x ^ 2 $ за дужки

$ 30x ^ 2 (x ^ 2-9) \u003d 0 $

$ 30x ^ 2 (х-3) (х + 3) \u003d 0 $

Прирівняємо кожен множник до нуля

$ X ^ 2 \u003d 0; х-3 \u003d 0; х + 3 \u003d 0 $

$ Х \u003d 0; х \u003d 3; х \u003d -3 $

3. Виберемо стаціонарні точки, які належать заданому відрізку $ [- 5; 1] $

Нам підходять стаціонарні точки $ x \u003d 0 $ і $ х \u003d -3 $

4. Обчислимо значення функції на кінцях відрізка і в стаціонарних точках з п.3

Подивимося, як досліджувати функцію за допомогою графіка. Виявляється, дивлячись на графік, можна дізнатися все, що нас цікавить, а саме:

область визначення функції
область значень
нулі функції
проміжки зростання та спадання
точки максимуму і мінімуму
найбільше і найменше значення функції на відрізку.

Уточнимо термінологію:

абсциса - це координата точки по горизонталі.
ордината - координата по вертикалі.
вісь абсцис - горизонтальна вісь, найчастіше звана вісь.
вісь ординат - вертикальна вісь, або вісь.

аргумент - незалежна змінна, від якої залежать значення функції. Найчастіше позначається.
Іншими словами, ми самі вибираємо, підставляємо в формулу функції і отримуємо.

Область визначення функції - безліч тих (і тільки тих) значень аргументу, при яких функція існує.
Позначається: або.

На нашому малюнку область визначення функції - це відрізок. Саме на цьому відрізку намальований графік функції. Тільки тут дана функція існує.

Область значень функції - це безліч значень, які приймає змінна. На нашому малюнку це відрізок - від найнижчого до найвищого значення.

нулі функції - точки, де значення функції дорівнює нулю, тобто. На нашому малюнку це точки і.

Значення функції позитивні там де . На нашому малюнку це проміжки і.
Значення функції негативні там де . У нас це проміжок (або інтервал) від до.

Найважливіші поняття - зростання і спадання функції на деякій множині. Як безлічі можна взяти відрізок, інтервал, об'єднання проміжків або всю числову пряму.

функція зростає

Іншими словами, чим більше, тим більше, тобто графік йде вправо і вгору.

функція убуває на безлічі, якщо для будь-яких і, що належать безлічі, з нерівності слід нерівність.

Для спадної функції більшому значенню відповідає менше значення. Графік йде вправо і вниз.

На нашому малюнку функція зростає на проміжку і убуває на проміжках і.

Визначимо, що таке точки максимуму і мінімуму функції.

точка максимуму - це внутрішня точка області визначення, така, що значення функції в ній більше, ніж у всіх досить близьких до неї точках.
Іншими словами, точка максимуму - така точка, значення функції в якій більше, Ніж в сусідніх. Це локальний «горбок» на графіку.

На нашому малюнку - точка максимуму.

точка мінімуму - внутрішня точка області визначення, така, що значення функції в ній менше, ніж у всіх досить близьких до неї точках.
Тобто точка мінімуму - така, що значення функції в ній менше, ніж в сусідніх. На графіку це локальна «ямка».

На нашому малюнку - точка мінімуму.

Точка - гранична. Вона не є внутрішньою точкою області визначення і тому не підходить під визначення точки максимуму. Адже у неї немає сусідів зліва. Точно так само і на нашому графіку не може бути точкою мінімуму.

Точки максимуму і мінімуму разом називаються точками екстремуму функції. У нашому випадку це і.

А що робити, якщо потрібно знайти, наприклад, мінімум функції на відрізку? В даному випадку відповідь:. Тому що мінімум функції - це її значення в точці мінімуму.

Аналогічно, максимум нашої функції дорівнює. Він досягається в точці.

Можна сказати, що екстремуми функції рівні і.

Іноді в завданнях потрібно знайти найбільше і найменше значення функції на заданому відрізку. Вони не обов'язково збігаються з екстремумами.

У нашому випадку найменше значення функції на відрізку одно і збігається з мінімумом функції. А ось найбільше її значення на цьому відрізку одно. Воно досягається в лівому кінці відрізка.

У будь-якому випадку найбільше та найменше значення неперервної функції на відрізку досягаються або в точках екстремуму, або на кінцях відрізка.

І для її вирішення потрібно мінімальне знання теми. закінчується черговий навчальний рік, Всім хочеться на канікули, і щоб наблизити цей момент я відразу ж переходжу до справи:

Почнемо з області. Область, про яку йде мова в умови, являє собою обмежене замкнутий безліч точок площині. Наприклад, безліч точок, обмежене трикутником, включаючи ВЕСЬ трикутник (Якщо з межі «Виколоти» хоча б одну точку, то область перестане бути замкнутої). На практиці також зустрічаються області прямокутної, круглої і трохи складніших форм. Слід зазначити, що в теорії математичного аналізу даються строгі визначення обмеженості, замкнутості, кордони і т.д., Але, думаю, все усвідомити ці поняття на інтуїтивному рівні, а більшого зараз і не треба.

Плоска область стандартно позначається буквою, і, як правило, задається аналітично - декількома рівняннями (Не обов'язково лінійними); рідше нерівностями. Типовий словесний оборот: «замкнута область, обмежена лініями».

Невід'ємною частиною розглянутого завдання є побудова області на кресленні. Як це зробити? Потрібно накреслити всі перераховані лінії (в даному випадку 3 прямі) І проаналізувати, що ж вийшло. Шукану область зазвичай злегка штрихують, а її кордон виділяють жирною лінією:

Цю ж область можна задати і лінійними нерівностями:, Які чомусь частіше записують перечислительного списком, а не системою.
Так як межа належить області, то все нерівності, зрозуміло, несуворі.

А тепер суть завдання. Уявіть, що з початку координат прямо на вас виходить вісь. Розглянемо функцію, яка неперервна в кожній точці області. Графік цієї функції є деякою поверхню, І маленьке щастя полягає в тому, що для вирішення сьогоднішньої завдання нам зовсім не обов'язково знати, як ця поверхня виглядає. Вона може розташовуватися вище, нижче, перетинати площину - все це не важливо. А важливо наступне: згідно теорем Вейерштрасса, безперервна в обмеженій замкненійобласті функція досягає в ній найбільшого (Самого «високого») і найменшого (Самого «низького») значень, які і потрібно знайти. Такі значення досягаються або в стаціонарних точках, що належать областіD , абов точках, які лежать на кордоні цієї області. З чого випливає простий і прозорий алгоритм рішення:

приклад 1

В обмеженій замкненій області

Рішення: Перш за все, потрібно зобразити область на кресленні. На жаль, мені технічно важко зробити інтерактивну модель завдання, і тому я відразу наведу фінальну ілюстрацію, на якій зображено все «підозрілі» точки, знайдені в ході дослідження. Зазвичай вони проставляються одна за одною по мірі їх виявлення:

Виходячи з преамбули, рішення зручно розбити на два пункти:

I) Знайдемо стаціонарні точки. Це стандартне дію, які ми неодноразово виконували на уроці про екстремуми декількох змінних:

Знайдена стаціонарна точка належить області: (Відзначаємо її на кресленні), А значить, нам слід обчислити значення функції в даній точці:

- як і в статті Найбільше і найменше значення функції на відрізку, Важливі результати я буду виділяти жирним шрифтом. У зошиті їх зручно обводити олівцем.

Зверніть увагу на наше друге щастя - немає ніякого сенсу перевіряти достатня умова екстремуму. Чому? Навіть якщо в точці функція досягає, наприклад, локального мінімуму, То це ЩЕ НЕ ОЗНАЧАЄ, що отримане значення буде мінімальним у всій області (Див. Початок уроку про безумовних екстремуму) .

Що робити, якщо стаціонарна точка НЕ \u200b\u200bналежить області? Майже нічого! Потрібно відзначити, що і перейти до наступного пункту.

II) Досліджуємо кордон області.

Оскільки межа складається з сторін трикутника, то дослідження зручно розбити на 3 підпункту. Але краще це зробити не аби як. З моєї точки зору, спочатку вигідніше розглянути відрізки, паралельні координатним осях, і в першу чергу - лежать на самих осях. Щоб вловити всю послідовність і логіку дій постарайтеся вивчити кінцівку «на одному диханні»:

1) Розберемося з нижньою стороною трикутника. Для цього підставимо безпосередньо в функцію:

Як варіант, можна оформити і так:

Геометрично це означає, що координатна площину (Яка теж задається рівнянням) «Висікає» з поверхні «Просторову» параболу, вершина якої негайно потрапляє під підозру. з'ясуємо, де вона знаходиться:

- отримане значення «попало» в область, і цілком може статися, що в точці (Відзначаємо на кресленні) функція досягає найбільшого або найменшого значення у всій області. Так чи інакше, проводимо обчислення:

Інші «кандидати» - це, звичайно ж, кінці відрізка. Обчислимо значення функції в точках (Відзначаємо на кресленні):

Тут, до речі, можна виконати усну міні-перевірку по «урізаною» версією:

2) Для дослідження правого боку трикутника підставляємо у функцію і «наводимо там порядок»:

Тут відразу ж виконаємо чорнову перевірку, «прозванивая» вже оброблений кінець відрізка:
, Відмінно.

Геометрична ситуація споріднена попереднього пункту:

- отримане значення теж «увійшло в сферу наших інтересів», а значить, потрібно обчислити, чому дорівнює функція в з'явилася точці:

Досліджуємо другий кінець відрізка:

використовуючи функцію , Виконаємо контрольну перевірку:

3) Напевно, всі здогадуються, як досліджувати залишилася сторону. Підставляємо у функцію і проводимо спрощення:

кінці відрізка вже досліджені, але на чернетці все одно перевіряємо, чи правильно ми знайшли функцію :
- співпав з результатом 1-го підпункту;
- співпав з результатом 2-го підпункту.

Залишилося з'ясувати, чи є щось цікаве всередині відрізка:

- є! Підставляючи в рівняння прямої, отримаємо ординату цієї «цікавинки»:

Відзначаємо на кресленні точку і знаходимо відповідне значення функції:

Проконтролюємо обчислення по «бюджетної» версії :
, Порядок.

І заключний крок: УВАЖНО переглядаємо всі «жирні» числа, початківцям рекомендую навіть скласти єдиний список:

з якого вибираємо найбільше і найменше значення. відповідь запишемо в стилістиці завдання знаходження найбільшого і найменшого значень функції на відрізку:

Про всяк випадок ще раз закоментуйте геометричний сенс результату:
- тут найвища точка поверхні в області;
- тут найнижча точка поверхні в області.

У розібраної задачі у нас виявилося 7 «підозрілих» точок, але від завдання до завдання їх кількість варіюється. Для трикутної області мінімальний «дослідницький набір» складається з трьох точок. Таке буває, коли функція, наприклад, задає площину - абсолютно зрозуміло, що стаціонарні точки відсутні, і функція може досягати найбільшого / найменшого значень тільки в вершинах трикутника. Але подібних прикладів раз, два та й усе - зазвичай доводиться мати справу з якоюсь поверхнею 2-го порядку.

Якщо ви трохи повирішувати такі завдання, то від трикутників голова може піти обертом, і тому я приготував для вас незвичайні приклади щоб вона стала квадратної :))

приклад 2

Знайти найбільше і найменше значення функції в замкнутій області, обмеженої лініями

приклад 3

Знайти найбільше і найменше значення функції в обмеженій замкненій області.

Особливу увагу зверніть на раціональний порядок і техніку дослідження кордону області, а також на ланцюжок проміжних перевірок, яка майже повністю дозволить уникнути обчислювальних помилок. Взагалі кажучи, вирішувати можна як завгодно, але в деяких завданнях, наприклад, в тому ж Прімері 2, є всі шанси значно ускладнити собі життя. Зразок чистового оформлення завдань в кінці уроку.

Систематизуємо алгоритм рішення, а то з моєї старанністю павука він якось загубився в довгій нитці коментарів 1-го прикладу:

- На першому етапі будуємо область, її бажано заштрихувати, а кордон виділити жирною лінією. В ході вирішення з'являтимуться точки, які потрібно проставляти на кресленні.

- Знайдемо стаціонарні точки і обчислимо значення функції тільки в тих з них, Які належать області. Отримані значення виділяємо в тексті (наприклад, обводимо олівцем). Якщо стаціонарна точка НЕ \u200b\u200bналежить області, то відзначаємо цей факт значком або словесно. Якщо ж стаціонарних точок немає зовсім, то робимо письмовий висновок про те, що вони відсутні. У будь-якому випадку даний пункт пропускати не можна!

- Досліджуємо кордон області. Спочатку вигідно розібратися з прямими, які паралельні координатним осях (Якщо такі є взагалі). Значення функції, обчислені в «підозрілих» точках, також виділяємо. Про техніку рішення дуже багато сказано вище і ще дещо буде сказано нижче - читайте, перечитуйте, вникати!

- З виділених чисел вибираємо найбільше і найменше значення і даємо відповідь. Іноді буває, що такі значення функція досягає відразу в декількох точках - в цьому випадку всі ці точки слід відобразити у відповіді. Нехай, наприклад, і виявилося, що це найменше значення. Тоді записуємо, що

Прикінцеві приклади присвячені іншим корисним ідеям, які стануть в нагоді на практиці:

приклад 4

Знайти найбільше і найменше значення функції в замкненій області .

Я зберіг авторську формулювання, в якій область задана у вигляді подвійного нерівності. Цю умову можна записати еквівалентною системою або ж в більш традиційному для даного завдання вигляді:

Нагадую, що з нелінійними нерівностями ми стикалися на, і якщо вам не зрозумілий геометричний сенс записи, то, будь ласка, не зволікайте і проясніть ситуацію прямо зараз ;-)

Рішення, Як завжди, починається з побудови області, яка представляє собою своєрідну «підошву»:

Мда, іноді доводиться гризти не тільки граніт науки ....

I) Знайдемо стаціонарні точки:

Система-мрія ідіота :)

Стаціонарна точка належить області, а саме, лежить на її кордоні.

А так, воно, нічого ... весело урок пішов - ось що означає попити правильного чаю \u003d)

II) Досліджуємо кордон області. Не мудруючи лукаво, почнемо з осі абсцис:

1) Якщо, то

Знайдемо, де вершина параболи:
- цінуєте такі моменти - «потрапили» прямо в точку, з якої вже все ясно. Але про перевірку все одно не забуваємо:

Обчислимо значення функції на кінцях відрізка:

2) З нижньою частиною «підошви» розберемося «за один присід» - без жодних комплексів підставляємо у функцію, причому, цікавити нас буде лише відрізок:

контроль:

Ось це вже вносить деяке пожвавлення в монотонну їзду по накатаній колії. Знайдемо критичні точки:

вирішуємо квадратне рівняння, Пам'ятайте ще про таке? ... Втім, пам'ятайте, звичайно, інакше б не читали ці рядки \u003d) Якщо в двох попередніх прикладах були зручні обчислення в десяткових дробах (Що, до речі, рідкість), то тут нас чекають звичні звичайні дроби. Знаходимо «іксові» коріння і по рівнянню визначаємо відповідні «ігрековие» координати точок- «кандидатів»:

Обчислимо значення функції в знайдених точках:

Перевірку по функції проведіть самостійно.

Тепер уважно вивчаємо завойовані трофеї і записуємо відповідь:

Ось це «кандидати», так «кандидати»!

Для самостійного рішення:

приклад 5

Знайти найменше та найбільше значення функції в замкнутій області

Запис з фігурними дужками читається так: «безліч точок, таких, що».

Іноді в подібних прикладах використовують метод множників Лагранжа, Але реальна необхідність його застосовувати навряд чи виникне. Так, наприклад, якщо дана функція з тієї ж областю «де», то після підстановки в неї - з похідною від ніяких труднощів; причому оформляється все «одним рядком» (зі знаками) без потреби розглядати верхню і нижню півкола окремо. Але, звичайно, бувають і більш складні випадки, де без функції Лагранжа (Де, наприклад, той же рівняння кола) обійтися важко - як важко обійтися і без хорошого відпочинку!

Всім добре здати сесію і до швидких зустрічей в наступному сезоні!

Рішення і відповіді:

Приклад 2: Рішення: Зобразимо область на кресленні: