Десяткова дріб буває. Десяткові дроби. Поняття десяткового дробу. Основні дії з десятковими дробами

даний матеріал ми присвятимо такій важливій темі, як десяткові дроби. Спочатку визначимося з основними визначеннями, наведемо приклади і зупинимося на правилах десяткового запису, а також на те, що з себе представляють розряди десяткових дробів. Далі виділимо основні види: кінцеві і нескінченні, періодичні та неперіодичні дроби. У фінальній частині ми покажемо, як точки, відповідні дробовим числам, розташовані на осі координат.

Що таке десяткова запис дробових чисел

Так звана десяткова запис дробових чисел може бути використана як для натуральних, так і для дрібних чисел. Вона виглядає як набір з двох і більше цифр, між якими є кома.

Десяткова кома потрібна для того, щоб відокремлювати цілу частину від дробової. Як правило, остання цифра десяткового дробу не буває нулем, за винятком випадків, коли десяткова кома стоїть відразу після першого ж нуля.

Які можна навести приклади дробових чисел в десяткового запису? Це може бути 34, 21, 0, 35035044, 0, 0001 11 231 552, 9 та ін.

У деяких підручниках можна зустріти використання точки замість коми (5. 67, 6789. 1011 і ін.) Це варіант вважається рівнозначним, але він більш характерний для англомовних джерел.

Визначення десяткових дробів

Грунтуючись на зазначеному вище понятті десяткового запису, ми можемо сформулювати наступне визначення десяткових дробів:

визначення 1

Десяткові дроби є дробові числа в десяткового запису.

Для чого нам потрібна запис дробів в такій формі? Вона дає нам деякі переваги перед звичайними, наприклад, більш компактну запис, особливо в тих випадках, коли в знаменнику стоять тисячі, 100, 10 і ін. Або змішане число. Наприклад, замість 6 10 років ми можемо вказати 0, 6, замість 25 10000 - 0, 0023, замість 512 3 100 - 512, 03.

Про те, як правильно подати в десятковому вигляді звичайні дроби з десятками, сотнями, тисячами в знаменнику, буде розказано в рамках окремого матеріалу.

Як правильно читати десяткові дроби

Існують деякі правила читання записів десяткових дробів. Так, ті десяткові дроби, яким відповідають їх правильні звичайні еквіваленти, читаються майже так само, але з додаванням слів «нуль десятих» на початку. Так, запис 0, 14, якій відповідає 14 100, читається як «нуль цілих чотирнадцять сотих».

Якщо ж десяткового дробу можна поставити у відповідність змішане число, то вона читається тим же чином, як і це число. Так, якщо у нас є дріб 56, 002, якою відповідає 56 2 1000, ми читаємо такий запис як «п'ятдесят шість цілих дві тисячних».

Значення цифри в запису десяткового дробу залежить від того, на якому місці вона розташована (так само, як і в випадку з натуральними числами). Так, в десяткового дробу 0, 7 сімка - це десяті частки, в 0, 0007 - десятитисячні, а в дроби 70 000, 345 вона означає сім десятків тисяч цілих одиниць. Таким чином, в десяткових дробах теж існує поняття розряду числа.

Назви розрядів, розташованих до коми, аналогічні тим, що існують в натуральних числах. Назви тих, що розташовані після, наочно представлені в таблиці:

Розберемо приклад.

приклад 1

У нас є десяткова дріб 43, 098. У неї в розряді десятків знаходиться четвірка, в розряді одиниць трійка, в розряді десятих - нуль, сотих - 9, тисячних - 8.

Прийнято розрізняти розряди десяткових дробів по старшинству. Якщо ми рухаємося по цифрам зліва направо, то ми будемо йти від старших розрядів до молодших. Виходить, що сотні старше десятків, а мільйонні частки молодше, ніж соті. Якщо взяти ту кінцеву десяткову дріб, яку ми наводили як приклад вище, то в ній старшим, або вищим буде розряд сотень, а молодшим, або нижчим - розряд 10 -тисячною.

Будь-яку десяткову дріб можна розкласти по окремим розрядам, тобто представити у вигляді суми. Ця дія виконується так само, як і для натуральних чисел.

приклад 2

Спробуємо розкласти дріб 56, 0455 по розрядах.

У нас вийде:

56 , 0455 = 50 + 6 + 0 , 4 + 0 , 005 + 0 , 0005

Якщо ми згадаємо властивості складання, то зможемо представити цю дріб і в інших видах, наприклад, як суму 56 + 0, 0455, або 56, 0055 + 0, 4 і ін.

Що таке кінцеві десяткові дроби

Все дробу, про які ми говорили вище, є кінцевими десятковими дробами. Це означає, що кількість цифр, розташоване у них після коми, є кінцевим. Виведемо визначення:

визначення 1

Кінцеві десяткові дроби є вид десяткових дробів, у яких після знака коми стоїть кінцеве число знаків.

Прикладами таких дробів можуть бути 0, 367, 3, 7, 55, 102 567 958, 231 032, 49 і ін.

Будь-яку з цих дробів можна перевести або в змішане число (якщо значення їх дробової частини відрізняється від нуля), або в звичайну дріб (при нульовій цілої частини). Тому, як це робиться, ми присвятили окремий матеріал. Тут просто вкажемо пару прикладів: так, кінцеву десяткову дріб 5, 63 ми можемо привести до виду 5 63 100, а 0, 2 відповідає 2 10 (або будь-яка інша рівна їй дріб, наприклад, 4 20 або 1 5.)

Але зворотний процес, тобто запис звичайного дробу в десятковому вигляді, може бути виконаний не завжди. Так, 5 13 можна замінити на рівну дріб з знаменником 100, 10 і ін., Отже, кінцева десяткова дріб з неї не вийде.

Основні види нескінченних десяткових дробів: періодичні і неперіодичні дроби

Ми зазначали вище, що кінцеві дроби називаються так тому, що після коми у них коштує кінцеве число цифр. Однак воно цілком може бути і нескінченним, і в цьому випадку самі дробу також будуть називатися нескінченними.

визначення 2

Нескінченними десятковими дробами називаються такі, у яких після коми стоїть нескінченна кількість цифр.

Очевидно, що повністю такі числа записані бути просто не можуть, тому ми вказуємо лише частина з них і далі ставимо три крапки. Це знак говорить про нескінченному продовженні послідовності знаків після коми. Прикладами нескінченних десяткових дробів можуть бути 0, 143346732 ..., 3, 1415989032 ..., 153, 0245005 ..., 2, 66666666666 ..., 69, 748 768 152 .... і т.д.

У «хвості» такої дробу можуть стояти не тільки випадкові на перший погляд послідовності цифр, але постійне повторення одного і того ж знака або групи знаків. Дробу з чергуванням після десяткової коми називаються періодичними.

визначення 3

Періодичними десятковими дробами називаються такі нескінченні десяткові дроби, у яких після коми повторюється одна цифра або група з декількох цифр. Повторювана частина називається періодом дробу.

Наприклад, для дробу 3, 444444 .... періодом буде цифра 4, а для 76, 134 134 134 134 ... - група 134.

Яке ж мінімальну кількість знаків допустимо залишити в запису періодичної дробу? Для періодичних дробів досить буде записати весь період один раз в круглих дужках. Так, дріб 3, 444444 .... правильно буде записати як 3, (4), а 76, 134 134 134 134 ... - як 76, (134).

В цілому записи з декількома періодами в дужках будуть мати точно такий же сенс: наприклад, періодична дріб 0, 677777 - це те ж саме, що 0, 6 (7) і 0, 6 (77) і т.д. Також допустимі записи виду 0, 67777 (7), 0, 67 (7777) і ін.

Щоб уникнути помилок введемо одноманітність позначень. Домовимося записувати тільки один період (максимально коротку послідовність цифр), який стоїть найближче до коми, і укладати його в круглі дужки.

Тобто для зазначеної вище дробу основний будемо вважати запис 0, 6 (7), а, наприклад, у випадку з дробом 8, 9134343434 писатимемо 8, 91 (34).

Якщо знаменник звичайного дробу містить прості множники, нерівні 5 і 2, то при перекладі в десяткову запис з них вийдуть нескінченні дробу.

В принципі, будь-яку кінцеву дріб ми можемо записати у вигляді періодичної. Для цього нам просто потрібно додати справа нескінченно багато нулів. Як це виглядає в запису? Припустимо, у нас є кінцева дріб 45, 32. У періодичному вигляді вона буде виглядати як 45, 32 (0). Ця дія можливо тому, що додавання нулів праворуч в будь-яку десяткову дріб дає нам в результаті рівну їй дріб.

Окремо слід зупинитися на періодичних дробах з періодом 9, наприклад, 4, 89 (9), 31, 6 (9). Вони є альтернативної записом схожих дробів з періодом 0, тому їх часто замінюють при листі саме дробом з нульовим періодом. При цьому до значення наступного розряду додають одиницю, а в круглих дужках вказують (0). Рівність одержані чисел легко перевірити, представивши їх у вигляді звичайних дробів.

Наприклад, дріб 8, 31 (9) можна замінити на відповідну їй дріб 8, 32 (0). Або 4, (9) \u003d 5, (0) \u003d 5.

Нескінченні десяткові періодичні дроби відносяться до раціональних числах. Інакше кажучи, будь-яку періодичну дріб можна представити у вигляді звичайного, і навпаки.

Існують і дробу, у яких після коми нескінченно повторюється послідовність відсутня. У такому випадку їх називають непериодическими дробом.

визначення 4

До неперіодичних десятковим дробям відносяться ті нескінченні десяткові дроби, в яких після коми не міститься періоду, тобто повторюваної групи цифр.

Іноді неперіодичні дроби виглядають дуже схожими на періодичні. Наприклад, 9, 03003000300003 ... на перший погляд здається що має період, однак детальний аналіз знаків після коми підтверджує, що це все ж неперіодичних дріб. З такими числами треба бути дуже уважним.

Неперіодичні дроби відносяться до ірраціональним числам. У звичайні дроби їх не перекладають.

Основні дії з десятковими дробами

З десятковими дробами можна проводити наступні дії: порівняння, віднімання, складання, розподіл і множення. Розберемо кожне з них окремо.

Порівняння десяткових дробів може бути зведене до порівняння звичайних дробів, які відповідають вихідним десятковим. Але нескінченні неперіодичні дроби звести до такого виду не можна, а переклад десяткових дробів в звичайні часто є трудомістким завданням. Як же швидко провести дію порівняння, якщо нам потрібно зробити це по ходу виконання завдання? Зручно порівнювати десяткові дроби за розрядами таким же чином, як ми порівнюємо натуральні числа. Цьому методу ми присвятимо окрему статтю.

Щоб складати одні десяткові дроби з іншими, зручно використовувати метод складання стовпчиком, як для натуральних чисел. Щоб складати періодичні десяткові дроби, необхідно попередньо замінити їх звичайними і вважати за стандартною схемою. Якщо ж за умовами завдання нам треба скласти нескінченні неперіодичні дроби, то потрібно перед цим округлити їх до деякого розряду, а потім вже складати. Чим менше розряд, до якого ми округляємо, тим вище буде точність обчислення. Для вирахування, множення і ділення нескінченних дробів попереднє округлення також необхідно.

Знаходження різниці десяткових дробів назад дії складання. По суті, за допомогою віднімання ми можемо знайти таке число, сума якого з віднімається дробом дасть нам зменшується. Детальніше про це розповімо в рамках окремого матеріалу.

Множення десяткових дробів проводиться так само, як і для натуральних чисел. Для цього теж підходить метод обчислення стовпчиком. Ця дія з періодичними дробами ми знову ж зводимо до множення звичайних дробів з уже вивченим правилам. Нескінченні дробу, як ми пам'ятаємо, треба округлити перед підрахунками.

Процес поділу десяткових дробів є зворотним процесу множення. При вирішенні завдань ми також користуємося підрахунками в стовпчик.

Можна встановити точну відповідність між кінцевої десятковим дробом і точкою на осі координат. З'ясуємо, як відзначити точку на осі, яка буде точно відповідати необхідної десяткового дробу.

Ми вже вивчали, як побудувати точки, відповідні звичайним дробям, але ж десяткові дроби можна привести до такого виду. Наприклад, звичайна дріб 14 10 - це те ж саме, що і 1, 4, тому відповідна їй точка буде віддалена від початку відліку в позитивному напрямку рівно на таку ж відстань:

Можна обійтися без заміни десяткового дробу на звичайну, а взяти на основу метод розкладання за розрядами. Так, якщо нам треба відзначити точку, координата якої буде дорівнює 15, 4008, то ми попередньо уявімо це число у вигляді суми 15 + 0, 4 +, 0008. Для початку відкладемо від початку відліку 15 цілих поодиноких відрізків в позитивному напрямку, потім 4 десятих частки одного відрізка, а потім 8 десятитисячних доль одного відрізка. У підсумку ми отримаємо точку координат, який відповідає дріб 15, 4008.

Для нескінченного десяткового дробу краще користуватися саме цим способом, оскільки він дозволяє наблизитися до потрібної точки як завгодно близько. У деяких випадках можна побудувати і точну відповідність нескінченної дробу на осі координат: так, 2 \u003d 1, 41421. . . , І з цієї дробом може бути співвіднесена точка на координатному промені, віддалена від 0 на довжину діагоналі квадрата, сторона якого буде дорівнює одному одиничному відрізку.

Якщо ми знаходимо не крапку на осі, а десяткову дріб, відповідну їй, то ця дія називається десятковим виміром відрізка. Подивимося, як правильно це зробити.

Припустимо, нам потрібно потрапити від нуля в задану точку на осі координат (або максимально наблизитися у випадку з нескінченної дробом). Для цього ми поступово відкладаємо поодинокі відрізки від початку координат, поки не потрапимо в потрібну точку. Після цілих відрізків при необхідності відміряє десяті, соті і більш дрібні частки, щоб відповідність було максимально точним. У підсумку ми отримали десяткову дріб, яка відповідає заданій точці на осі координат.

Вище ми наводили малюнок з точкою M. Подивіться на нього ще раз: щоб потрапити в цю точку, потрібно відміряти від нуля один одиничний інтервал і чотири десятих частки від його, оскільки цій точці відповідає десяткова дріб 1, 4.

Якщо ми не можемо потрапити в точку в процесі десяткового вимірювання, то значить, що їй відповідає нескінченна десяткова дріб.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl + Enter

Дробу записані у формі 0,8; 0,13; 2,856; 5,2; 0,04 називають десятковими. Насправді десяткові дроби це спрощена запис звичайних дробів. Цей запис зручно використовувати для всіх дробів, у яких знаменники рівні 10, 100, 1000 і так далі.

Розглянемо приклади (0,5 читають як, нуль цілих п'ять десятих);

(0,15 читають як, нуль цілих п'ятнадцять сотих);

(5,3 читають як, п'ять цілих три десятих).

Звернемо увагу, що в запису десяткового дробу кома відокремлює цілу частину числа від дробової, ціла частина правильної дробу рана 0. Запис дробової частини десяткового дробу містить стільки цифр, скільки нулів у запису знаменника відповідної звичайного дробу.

Розглянемо приклад, , , .

У деяких випадках буває необхідно розглядати натуральне число як десяткову дріб, у якої дрібна частина дорівнює нулю. Прийнято записувати що, 5 \u003d 5,0; 245 \u003d 245,0 і так далі. Зауважимо, що в десяткового запису натурального числа одиниця молодшого розряду в 10 разів менше одиниці сусіднього старшого розряду. Таким же властивістю володіє запис десяткових дробів. Тому відразу після коми йде розряд десятих, далі розряд сотих, потім розряд тисячних і так далі. Нижче наведені назви розрядів числа 31,85431 перші два стовпці - ціла частина, решта стовпці - дрібна частина.

Читається ця дріб як тридцять одна ціла вісімдесят п'ять тисяч чотири сотні тридцять одна стотисячна.

Додавання і віднімання десяткових дробів

Перший спосіб, це звернути десяткові дроби в звичайні і зробити складання.

як видно з прикладу цей спосіб дуже незручний і краще скористатися другим способом більш правильним, не звертаючи десяткові дроби в звичайні. Для того щоб скласти дві десяткові дроби, треба:

• зрівняти в доданків кількість цифр після коми;
• записати складові один під одним так, щоб кожен розряд другого доданка виявився під відповідним розрядом першого доданка;
• скласти отримані числа так, як складають натуральні числа;
• поставити в отриманої суми кому під комами в доданків.

Розглянемо приклади:

• зрівняти в зменшуваному і віднімається кількість цифр після коми;
• записати від'ємник під зменшуваним так, щоб кожен розряд від'ємника виявився під відповідним розрядом зменшуваного;
• провести віднімання так, як віднімають натуральні числа;
• поставити в отриманої різниці кому під комами в зменшуваному і віднімається.

Розглянемо приклади:

У розглянутих вище прикладах видно, що додавання і віднімання десяткових дробів виконувалося поразрядно, тобто так, як ми робили аналогічні дії з натуральними числами. Це і є головна перевага десяткової форми запису дробів.

Множення десяткових дробів

Для того щоб помножити десяткову дріб на 10, 100, 1000 і так далі, треба в цій дробу перенести кому вправо відповідно на 1, 2, 3 і так далі цифри. Отже, якщо кому перенести вправо на 1, 2, 3 і так далі цифри, то дріб збільшиться відповідно в 10, 100, 1000 і так далі раз. Для того щоб перемножити дві десяткові дроби, треба:

• помножити їх як натуральні числа, не звертаючи уваги на коми;
• в отриманому творі відокремити коми справа стільки цифр, скільки їх стоїть після коми в обох множниках разом.

Зустрічаються випадки, коли твір містить менше цифр, ніж потрібно відокремити коми, зліва перед цим твором дописують необхідну кількість нулів, а потім переносять кому вліво на потрібну кількість цифр.

Розглянемо приклади: 2 * 4 \u003d 8, тоді 0,2 * 0,4 \u003d 0,08; 23 * 35 \u003d 805, тоді 0,023 * 0,35 \u003d 0,00805.

Зустрічаються випадки, коли один з множників дорівнює 0,1; 0,01; 0,001 і так далі, зручніше користуватися таким правилом.

• Для того щоб помножити десяткову дріб на 0,1; 0,01; 0,001 і так далі, треба в цій десяткового дробу перенести кому вліво відповідно на 1, 2, 3 і так далі цифри.

Розглянемо приклади: 2,65 * 0,1 \u003d 0,265; 457,6 * 0,01 \u003d 4,576.

Властивості множення натуральних чисел виконуються і для десяткових дробів.

• ab \u003d ba - переместительное властивість множення;
• (Ab) c \u003d a (bc) - сполучна властивість множення;
• a (b + c) \u003d ab + ac - розподільна властивість множення, щодо складання.

Розподіл десяткових дробів

Відомо, якщо розділити натуральне число a на натуральне число b означає знайти таке натуральне число c, Яке при множенні на b дає число a. Це правило залишається вірним, якщо хоча б одне з чисел a, b, c є десятковим дробом.

Розглянемо приклад, потрібно розділити 43,52 на 17 куточком, не звертаючи уваги на кому. При цьому кому в приватному слід поставити безпосередньо перед тим, як буде використана перша цифра після коми в подільному.

Бувають випадки коли ділене менше дільника, тоді ціла частина приватного дорівнює нулю. Розглянемо приклад:

Розглянемо ще один цікавий приклад.

Процес поділу зупинений, тому що цифри діленого закінчилися, а в залишку нуль не отримали. Відомо, що десяткова дріб не зміниться, якщо до неї справа приписати будь-яку кількість нулів. Тоді стає зрозуміло, що цифри діленого закінчиться не можуть.

Для того щоб розділити десяткову дріб на 10, 100, 1000 і так далі, треба в цій дробу перенести кому вліво на 1, 2, 3 і так далі цифри. Розглянемо приклад: 5,14: 10 \u003d 0,514; 2: 100 \u003d 0,02; 37,51: 1000 \u003d 0,03751.

Якщо ділене і дільник збільшити одночасно в 10, 100, 1000 і так далі раз, то приватне не зміниться.

Розглянемо приклад: 39,44: 1,6 \u003d 24,65 збільшимо ділене і дільник в 10 разів 394,4: 16 \u003d 24,65 справедливо зауважити, що ділити десяткову дріб на натуральне число у другому прикладі легше.

Для того щоб розділити десяткову дріб на десяткову, треба:

• перенести в подільному і в дільнику коми вправо на стільки цифр, скільки їх міститься після коми в дільнику;
• виконати поділ на натуральне число.

Розглянемо приклад: 23,6: 0,02 зауважимо, що в дільнику стоїть два знака після коми, отже множимо обидва числа на 100 отримуємо 2360: 2 \u003d 1180 ділимо результат на 100 і отримуємо відповідь 11,80 або 23,6: 0, 02 \u003d 11,8.

Порівняння десяткових дробів

Існує два способи порівняння десяткових дробів. Спосіб перший, потрібно порівняти дві десяткові дроби 4,321 і 4,32 зрівнює кількість знаків після коми і починаємо порівнювати поразрядно, десяті з десятими, соті з сотими і так далі в підсумку отримуємо 4,321\u003e 4,320.

Другий спосіб порівняння десяткових дробів проводиться за допомогою множення, помножимо вищенаведений приклад на 1000 і порівняємо 4321\u003e 4320. Який спосіб зручніше, кожен вибирає для себе сам.

З безлічі дробів, що зустрічаються в арифметиці, на окрему увагу заслуговують такі, у яких в знаменнику стоїть 10, 100, 1000 - в загальному, будь-яке десятки. У цих дробів є спеціальну назву і форма запису.

Десяткова дріб - це будь-яка числова дріб, в знаменнику якої коштує ступінь десятки.

Приклади десяткових дробів:

Навіщо взагалі було потрібно виділяти такі дроби? Чому для них потрібна власна форма запису? На то є як мінімум три причини:

1. Десяткові дроби набагато зручніше порівнювати. Згадайте: для порівняння звичайних дробів їх потрібно відняти один з одного і, зокрема, привести дроби до спільного знаменника. У десяткових дробах нічого подібного не потрібно;
2. Скорочення обчислень. Десяткові дроби складаються і множаться за власними правилами, і після невеликого тренування ви будете працювати з ними набагато швидше, ніж зі звичайними;
3. Зручність запису. На відміну від звичайних дробів, десяткові записуються в один рядок без втрати наочності.

Більшість калькуляторів також дають відповіді саме в десяткових дробах. У деяких випадках інший формат запису може привести до проблем. Наприклад, що, якщо зажадати в магазині здачу в розмірі 2/3 рубля :)

Правила запису десяткових дробів

Основна перевага десяткових дробів - зручна і наочна запис. А саме:

Десяткова запис - це форма запису десяткових дробів, де ціла частина відділяється від дробової за допомогою звичайної крапку чи кому. При цьому сам роздільник (крапка або кома) називається десятковою крапкою.

Наприклад, 0,3 (читається: «нуль цілих, 3 десятих»); 7,25 (7 цілих, 25 сотих); 3,049 (3 цілих, 49 тисячних). Всі приклади взяті з попереднього визначення.

На листі в якості десяткового дробу зазвичай використовується кома. Тут і далі на всьому сайті теж буде використовуватися саме кома.

Щоб записати довільну десяткову дріб у зазначеній формі, треба виконати три простих кроки:

1. Виписати окремо чисельник;
2. Зрушити десяткову точку вліво на стільки знаків, скільки нулів містить знаменник. Вважати, що спочатку десяткова точка стоїть праворуч від всіх цифр;
3. Якщо десяткова точка зрушила, а після неї в кінці запису залишилися нулі, їх треба закреслити.

Буває, що на другому етапі у чисельника не вистачає цифр для завершення зсуву. В цьому випадку відсутні позиції заповнюються нулями. Та й взагалі, зліва від будь-якого числа можна без шкоди для здоров'я приписувати будь-яку кількість нулів. Це негарно, але іноді корисно.

На перший погляд, даний алгоритм може здатися досить складним. Насправді все дуже і дуже просто - треба лише трохи потренуватися. Погляньте на приклади:

Завдання. Для кожного дробу вкажіть її десяткову запис:

Чисельник першого дробу: 73. Зрушуємо десяткову точку на один знак (тому що в знаменнику стоїть 10) - отримуємо 7,3.

Чисельник другого дробу: 9. Зрушуємо десяткову точку на два знака (тому що в знаменнику стоїть 100) - отримуємо 0,09. Довелося дописати один нуль після десяткового дробу і ще один - перед нею, щоб не залишати дивну запис виду «, 09».

Чисельник третьої дробу: 10029. Зрушуємо десяткову точку на три знака (тому що в знаменнику коштує 1000) - отримаємо 10,029.

Чисельник останньої дробу: 10500. Знову зрушуємо точку на три знака - отримаємо 10,500. В кінці числа утворилися зайві нулі. Зачеркиваем їх - отримуємо 10,5.

Зверніть увагу на два останні приклади: числа 10,029 і 10,5. Згідно з правилами, нулі справа треба закреслити, як це зроблено в останньому прикладі. Однак ні в якому разі не можна чинити так з нулями, що стоять всередині числа (які оточені іншими цифрами). Саме тому ми отримали 10,029 і 10,5, а не 1,29 і 1,5.

Отже, з визначенням і формою запису десяткових дробів розібралися. Тепер з'ясуємо, як переводити звичайні дроби в десяткові - і навпаки.

Перехід від звичайних дробів до десятковим

Розглянемо просту числову дріб виду a / b. Можна скористатися основною властивістю дробу і помножити чисельник і знаменник на таке число, щоб внизу вийшла ступінь десятки. Але перш, ніж це робити, прочитайте наступне:

Існують знаменники, які не наводяться до ступеня десятки. Вчіться розпізнавати такі дроби, тому що з ними не можна працювати за алгоритмом, описаним нижче.

Ось такі справи. Ну і як зрозуміти, наводиться знаменник до ступеня десятки чи ні?

Відповідь проста: розкладіть знаменник на прості множники. Якщо в розкладанні присутні тільки множники 2 і 5, це число можна привести до ступеня десятки. Якщо знайдуться інші числа (3, 7, 11 - що завгодно), про ступінь десятки можна забути.

Завдання. Перевірити, чи можна уявити зазначені дроби у вигляді десяткових:

Випишемо і розкладемо на множники знаменники цих дробів:

20 \u003d 4 · 5 \u003d 2 2 · 5 - присутні тільки числа 2 і 5. Отже, дріб можна представити у вигляді десяткового.

12 \u003d 4 · 3 \u003d 2 + 2 · 3 - є «заборонений» множник 3. Дріб НЕ представимо у вигляді десяткового.

640 \u003d 8 · 8 · 10 \u003d 2 3 · 2 3 · 2 · 5 \u003d 2 7 · 5. Все гаразд: окрім чисел 2 і 5 нічого немає. Дріб представимо у вигляді десяткового.

48 \u003d 6 · 8 \u003d 2 · 3 · 2 3 \u003d 2 4 · 3. Знову «сплив» множник 3. Уявити у вигляді десяткового дробу не можна.

Отже, зі знаменником розібралися - тепер розглянемо весь алгоритм переходу до десятковим дробям:

1. Розкласти знаменник вихідної дробу на множники і переконатися, що вона взагалі бути подана у вигляді десяткового. Тобто перевірити, щоб в розкладанні присутні тільки множники 2 і 5. Інакше алгоритм не працює;
2. Порахувати, скільки двійок і п'ятірок присутній в розкладанні (інших чисел там вже не буде, пам'ятаєте?). Підібрати такий додатковий множник, щоб кількість двійок і п'ятірок зрівнялося.
3. Власне, помножити чисельник і знаменник вихідної дробу на цей множник - отримаємо шукане подання, тобто в знаменнику буде стояти ступінь десятки.

Зрозуміло, додатковий множник теж буде розкладатися тільки на двійки і п'ятірки. При цьому, щоб не ускладнювати собі життя, слід вибирати найменший такий множник з усіх можливих.

І ще: якщо у вихідній дробу присутній ціла частина, обов'язково переведіть цю дріб в неправильну - і тільки потім застосовуйте описаний алгоритм.

Завдання. Перевести дані числові дроби в десяткові:

Розкладемо на множники знаменник першого дробу: 4 \u003d 2 · 2 \u003d 2 2. Отже, дріб представимо у вигляді десяткового. У розкладанні присутні дві двійки і жодної п'ятірки, тому додатковий множник дорівнює 5 2 \u003d 25. З ним кількість двійок і п'ятірок зрівняється. маємо:

Тепер розберемося з другої дробом. Для цього зауважимо, що 24 \u003d 3 · 8 \u003d 3 • 2 3 - в розкладанні присутній трійка, тому дріб не може бути подана у вигляді десяткового.

Дві останніх дроби мають знаменники 5 (просте число) і 20 \u003d 4 · 5 \u003d 2 + 2 · 5 відповідно - всюди присутні тільки двійки і п'ятірки. При цьому в першому випадку «для повного щастя» не вистачає множника 2, а в другому - 5. Отримуємо:

Перехід від десяткових дробів до звичайних

Зворотне перетворення - від десяткової форми запису до звичайної - виконується набагато простіше. Тут немає обмежень і спеціальних перевірок, тому перевести десяткову дріб в класичну «двоповерхову» можна завжди.

Алгоритм перекладу наступний:

1. Закреслюйте всі нулі, що стоять в десяткового дробу зліва, а також десяткову точку. Це буде чисельник шуканої дробу. Головне - не перестарайтеся і не закресліть внутрішні нулі, оточені іншими цифрами;
2. Підрахуйте, скільки знаків стоїть у вихідній десяткового дробу після коми. Візьміть цифру 1 і припишіть справа стільки нулів, скільки знаків ви нарахували. Це буде знаменник;
3. Власне, запишіть дріб, чисельник і знаменник якого ми тільки що знайшли. По можливості, скоротіть. Якщо у вихідній дробу була присутня ціла частина, зараз ми отримаємо неправильну дріб, що дуже зручно для подальших обчислень.

Завдання. Перевести десяткові дроби в звичайні: 0,008; 3,107; 2,25; 7,2008.

Закреслимо нулі зліва і коми - отримаємо такі цифри (це будуть числители): 8; 3107; 225; 72008.

У першій і в другій дробах після коми стоїть по 3 знаки, в другій - 2, а в третій - цілих 4 знака. Отримаємо знаменники 1000; 1000; 100; 10000.

Нарешті, об'єднаємо числители і знаменники в звичайні дроби:

Як видно з прикладів, отриману дріб дуже часто можна скоротити. Ще раз зазначу, що будь-яка десяткова дріб представимо у вигляді звичайної. Зворотне перетворення можна виконати не завжди.

§ 102. Попередні роз'яснення.

У попередній частині ми розглядали дроби зі всілякими знаменниками і називали їх звичайними дробами. Нас цікавила будь-яка дріб, яка виникала в процесі вимірювання або поділу, незалежно від того, який у нас виходив знаменник.

Тепер зі всієї безлічі дробів ми виділимо дроби із знаменниками: 10, 100, 1 000, 10 000 і т. Д., Т. Е. Такі дроби, знаменателями яких є тільки числа, зображувані одиницею (1) з наступними нулями (одним або декількома). Такі дроби називаються десятковими.

Ось приклади десяткових дробів:

З десятковими дробами ми зустрічалися і раніше, але не вказували ніяких особливих притаманних їм властивостей. Тепер ми покажемо, що вони володіють деякими чудовими властивостями, внаслідок чого спрощуються всі обчислення з дробом.

§ 103. Зображення десяткового дробу без знаменника.

Десяткові дроби зазвичай записують не так, як звичайні, а за тими правилами, за якими записуються цілі числа.

Щоб зрозуміти, яким чином записати десяткову дріб без знаменника, потрібно пригадати, як пишеться по десяткової системі будь-яке ціле число. Якщо, наприклад, ми напишемо тризначне число за допомогою однієї лише цифри 2, т. Е. Число 222, то кожна з цих двійок матиме особливе значення в залежності від того місця, яке вона займає в числі. Перша двійка з права позначає одиниці, друга - десятки, третя - сотні. Таким чином, будь-яка цифра, що стоїть ліворуч від будь-якої іншої цифри, позначає одиниці, в десять разів більші, ніж ті, які позначені попередньої цифрою. Якщо який-небудь розряд відсутній, то на його місці пишуть нуль.

Отже, в цілому числі на першому місці справа стоять одиниці, на другому місці - десятки і т. Д.

Тепер поставимо питання, якого розряду одиниці вийдуть, якщо ми, наприклад, в числі 222 з правою боку пріпішем ще одну цифру. Щоб відповісти на це питання, потрібно взяти до уваги, що остання двійка (перша справа) позначає одиниці.

Отже, якщо після двійки, що позначає одиниці, ми, трохи відступивши, напишемо ще якусь цифру, наприклад 3, то вона буде позначати одиниці, в десять разів менші попередніх, Іншими словами, вона буде позначати десяті частки одиниці; вийде число, що містить 222 цілих одиниці і 3 десяті частки одиниці.

Прийнято між цілою і дробовою частиною числа ставити кому, т. Е. Писати так:

Якщо ми після трійки в цьому числі пріпішем ще цифру, наприклад 4, то вона буде позначати 4 сотих частки одиниці; число набуде вигляду:

і вимовляється: двісти двадцять дві цілих, тридцять чотири сотих.

Нова цифра, наприклад 5, будучи приписана до цього числа, дає нам тисячні частки: 222,345 (двісті двадцять дві цілих, сотні сорок і п'ять тисячних).

Для більшої ясності розташування в числі цілих і дробових розрядів можна представити у вигляді таблиці:

Таким чином, ми роз'яснили, як пишуться десяткові дроби без знаменника. Напишемо кілька таких дробів.

Щоб написати без знаменника дріб 5/10, потрібно взяти до уваги, що у неї немає цілих і, отже, місце цілих має бути зайнято нулем, т. Е. 5/10 \u003d 0,5.

Дріб 2 9/100 без знаменника напишется так: 2,09, т. Е. На місці десятих потрібно поставити нуль. Якби ми пропустили цей 0, то отримали б зовсім іншу дріб, а саме 2,9, т. Е. Дві цілих і дев'ять десятих.

Значить, при написанні десяткових дробів потрібно позначати нулем відсутні цілі і дробові розряди:

0,325 - немає цілих,
0,012 - немає цілих і немає десятих,
1,208 - немає сотих,
0,20406 - немає цілих, немає сотих і немає десятитисячних.

Цифри, що стоять правіше коми, прийнято називати десятковими знаками.

Щоб не допустити помилки при написанні десяткових дробів, потрібно пам'ятати, що після коми в зображенні десяткового дробу повинно бути стільки цифр, скільки буде нулів в знаменнику, якби цей дріб ми написали зі знаменником, т. Е.

0,1 \u003d 1/10 (в знаменнику один нуль і після коми одна цифра);

§ 104. Приписування нулів до десяткового дробу.

У попередньому параграфі було розказано, як зображуються десяткові дроби без знаменників. Велике значення при написанні десяткових дробів має нуль. Будь-яка правильна десяткова дріб має нуль на місці цілих для позначення того, що цілі у такий дробу відсутні. Ми напишемо зараз кілька різних десяткових дробів за допомогою цифр: 0, 3 і 5.

0,35 - 0 цілих, 35 сотих,
0,035 - 0 цілих, 35 тисячних,
0,305 - 0 цілих, 305 тисячних,
0,0035 - 0 цілих, 35 десятитисячних.

З'ясуємо тепер, яке значення мають н у л і, поставлені в кінці десяткового дробу, т. Е. Справа.

Якщо ми візьмемо ціле число, наприклад 5, поставимо після нього кому, а потім після коми напишемо нуль, то цей нуль означатиме нуль десятих. Отже, цей приписаний справа нуль на величину числа не вплине, т. Е.

Візьмемо тепер число 6,1 і припишемо до нього справа нуль, отримаємо 6,10, т. Е. У нас після коми була 1/10, а стало 10/100, але 10/100 рівні 1/10. Значить, величина числа не змінилася, а от приписування справа нуля змінився тільки вид числа і вимова (6,1 - шість цілих одна десята; 6,10 - шість цілих десять сотих).

Подібними міркуваннями ми можемо переконатися в тому, що приписування справа нулів до десяткового дробу не змінює її величини. Отже, можна написати такі рівності:

1 = 1,0,
2,3 = 2,300,
6,7 \u003d 6,70000 і т. Д.

Якщо ж ми припишемо нулі зліва від десяткового дробу, то вони не будуть мати ніякого значення. Справді, якщо зліва від числа 4,6 ми напишемо нуль, то число прийме від04,6. На якому місці стоїть нуль? Він стоїть на місці десятків, т. Е. Показує, що в цьому числі немає десятків, але це ясно і без нуля.

Слід, однак, запам'ятати, що іноді до десятковим дробям приписуються праворуч нулі. Наприклад, є чотири дроби: 0,32; 2,5; 13,1023; 5,238. Приписуємо справа нулі до тих дробям, у яких менше десяткових знаків після коми: 0,3200; 2,5000; 13,1023; 5,2380.

Для чого це зроблено? Приписуючи справа нулі, ми отримали у кожного числа після коми чотири цифри, значить, у кожного дробу знаменник буде 10 000, а до приписування нулів у першого дробу знаменник був 100, у другій 10, у третій 10 000 і у четвертій 1 000. Таким чином, приписуванням нулів ми зрівняли число десяткових знаків наших дробів, т. е. привели їх до спільного знаменника. Отже, приведення десяткових дробів до спільного знаменника здійснюється за допомогою приписування нулів до цих дробям.

З іншого боку, якщо у якої-небудь десяткового дробу є справа нулі, то ми можемо їх відкинути, не змінюючи її величини, наприклад: 2,60 \u003d 2,6; 3,150 \u003d 3,15; 4,200 \u003d 4,2.

Як потрібно розуміти таке відкидання нулів праворуч від десяткового дробу? Воно рівносильно її скорочення, і це видно, якщо ми дані десяткові дроби запишемо з знаменником:

§ 105. Порівняння десяткових дробів за величиною.

При вживанні десяткових дробів дуже важливо вміти порівнювати між собою дробу і відповідати на питання, які з них рівні, які більше і які менше. Порівняння десяткових дробів виконується інакше, ніж порівняння цілих чисел. Наприклад, ціле двозначне число завжди більше однозначного, скільки б одиниць не було в однозначному числі; тризначне число більше двозначного і тим більше однозначного. Але при порівнянні десяткових дробів було б помилково підраховувати все знаки, за допомогою яких написані дробу.

Візьмемо дві дробу: 3,5 і 2,5, і порівняємо їх за величиною. Десяткові знаки у них однакові, але у першого дробу 3 цілих, а у другій 2. Перша дріб більше другий, т. Е.

Візьмемо інші дроби: 0,4 і 0,38. Для порівняння цих дробів корисно приписати справа до першого дробу нуль. Тоді ми будемо порівнювати дроби 0,40 і 0,38. Кожна з них має після коми дві цифри: значить, у цих дробів один і той же знаменник 100.

Нам потрібно тільки порівняти їх чисельники, але чисельник 40 більше 38. Значить, перша дріб більше другий, т. Е.

У першій дробу число десятих часток більше, ніж у другій, правда, друга дріб має ще 8 сотих, але вони менше однієї десятоі, тому що 1/10 \u003d 10/100.

Порівняємо тепер такі дроби: 1,347 і 1,35. Припишемо справа до другого дробу нуль і будемо порівнювати десяткові дроби: 1,347 і 1,350. Цілі частини у них однакові, значить, потрібно порівняти тільки дробові частини: 0,347 і 0,350. Знаменник у цих дробів загальний, але чисельник другого дробу більше чисельника першої, значить, друга дріб більше першої, т. Е. 1,35\u003e 1,347.

Порівняємо, нарешті, ще дві дробу: 0,625 і 0,62473. Припишемо до першого дробу два нуля, щоб зрівнялися розряди, і порівняємо отримані дробу: 0,62500 і 0,62473. Знаменники у них однакові, але чисельник першого дробу 62 500 більше чисельника другого дробу 62 473. Отже, перша дріб більше другий, т. Е. 0,625\u003e 0,62473.

На підставі викладеного ми можемо зробити такий висновок: з двох десяткових дробів та більше, у якій число цілих більше; за однакової кількості цілих та дріб більше, у якій число десятих більше; за однакової кількості цілих і десятих та дріб більше, у якій число сотих більше, і т. д.

§ 106. Збільшення і зменшення десяткового дробу в 10, в 100, в 1 000 і т. Д. Раз.

Ми вже знаємо, що приписування нулів до десяткового дробу не впливає на її величину. Коли ж ми вивчали цілі числа, то бачили, що всякий приписаний справа нуль збільшував число в 10 разів. Неважко зрозуміти, чому це відбувалося. Якщо ми візьмемо ціле число, наприклад 25, і припишемо до нього справа нуль, то число збільшиться в 10 разів, число 250 в 10 разів більше 25. Коли справа з'явився нуль, то число 5, яке раніше позначало одиниці, тепер стало позначати десятки, а число 2, яке раніше позначало десятки, тепер стало позначати сотні. Значить, завдяки появі нуля, колишні розряди замінилися новими, вони укрупнилися, вони пересунулися на одне місце вліво. Коли потрібно збільшити десяткову дріб, наприклад, в 10 разів, то ми теж повинні пересунути розряди на одне місце вліво, але таке пересування не може бути досягнуто за допомогою нуля. Десяткова дріб складається з цілої і дробової частин і кордоном між ними служить кома. Зліва від коми стоїть наинизший цілий розряд, праворуч - найвищий дробовий. Розглянемо дріб:

Як нам пересунути в ній розряди, хоча б на одне місце, т. Е., Іншими словами, як нам збільшити її в 10 разів? Якщо ми пересунемо кому на одне місце вправо, то перш за все це позначиться на долі п'ятірки: вона з області дробових чисел потрапляє в область цілих. Число тоді набуде вигляду: 12345,678. Зміна відбулася і з усіма іншими цифрами, а не тільки з п'ятіркою. Все що входять до числа цифри стали грати нову роль, відбулося наступне (див. Таблицю):

Всі розряди змінили своє найменування, і все розрядні одиниці, так би мовити, підвищилися на одне місце. Від цього все число збільшилося в 10 разів. Таким чином, перенесення коми на один символ вправо збільшує число в 10 разів.

Розглянемо ще приклади:

1) Візьмемо дріб 0,5 і перенесемо кому на одне місце вправо; отримаємо число 5, яке в 10 разів більше 0,5, тому що раніше п'ятірка позначала десяті частки одиниці, а тепер вона позначає цілі одиниці.

2) Перенесемо в числі 1,234 кому на два знака вправо; число набуде вигляду 123,4. Це число в 100 разів більше, ніж раніше тому що в ньому цифра 3 стала позначати одиниці, цифра 2 - десятки, а цифра 1 - сотні.

Таким чином, щоб збільшити десяткову дріб в 10 разів, потрібно перенести кому в ній на один символ вправо; щоб збільшити її в 100 разів, потрібно перенести кому на два знака вправо; щоб збільшити в 1 000 разів - на три знака вправо, і т. д.

Якщо при цьому не вистачає знаків у числа, то приписують до нього справа нулі. Наприклад, збільшимо дріб 1,5 в 100 раз, перенісши кому на два знака; отримаємо 150. Збільшимо дріб 0,6 в 1 000 разів; отримаємо 600.

Назад, якщо потрібно зменшити десяткову дріб в 10, в 100, в 1 000 і т. д. раз, то потрібно перенести в ній кому вліво на один, два, три і т. д. знака. Нехай дана дріб 20,5; зменшимо її в 10 разів; для цього перенесемо кому на один знак вліво, дріб набуде вигляду 2,05. Зменшимо дріб 0,015 в 100 разів; отримаємо 0,00015. Зменшимо число 334 в 10 разів; отримаємо 33,4.

Наприклад. $ \\ Frac (3) (10), 4 \\ frac (7) (100), \\ frac (11) (10000) $

Такі дробу зазвичай записують без знаменника, а значення кожної цифри залежить від місця, на якому вона стоїть. Для таких дробів ціла частина відокремлюється комою, а після коми повинно бути стільки цифр, скільки нулів має одиниця в знаменнику звичайного дробу. Цифри дробової частини називаються десятковими знаками.

Наприклад. $ \\ Frac (21) (100) \u003d 0,21; 3 \\ frac (21) (100) \u003d 3,21 $

Перший десятковий знак після коми відповідає десятим, другий - сотим, третій - тисячним і т.д.

Якщо кількість нулів у знаменнику десяткового дробу більше, ніж кількість цифр в чисельнику цієї ж дробу, то після десяткової коми перед цифрами чисельника дописується потрібну кількість нулів.

Так як нулів в знаменнику чотири штуки, а цифр в чисельнику дві, то в десяткового запису дробу перед чисельником дописуємо $ 4-2 \u003d 2 $ нуля.

Основна властивість десяткового дробу

властивість

Якщо до десяткового дробу праворуч дописати кілька нулів, то величина десяткового дробу не зміниться.

Наприклад. $ 12,034 \u003d 12,0340 \u003d 12,03400 \u003d 12,034000 \u003d \\ ldots $

зауваження

Таким чином, нулі в кінці десяткового дробу не враховуються, тому при виконанні різних дій ці нулі можна закреслити / відкинути.

Порівняння десяткових дробів

Щоб порівняти дві десяткові дроби (з'ясувати, яка з двох десяткових дробів більше), треба порівняти їх цілі частини, потім десяті, соті і т.д. Якщо ціла частина однієї з дробів більше цілої частини іншої дробу, то перша дріб вважається більшою. У разі рівного розподілу цілих частин більше та дріб, у якої десятих більше і т.д.

приклад

Завдання. Порівняти дроби $ 2,432 $; $ 2,41 $ і $ 1,234 $

Рішення. Дріб $ 1,234 $ є найменшою, так як її ціла частина дорівнює 1, а $ 1

Порівняємо тепер за величиною дробу $ 2,432 $ і $ 1,234 $. Їх цілі частини рівні між собою і дорівнюють 2. Порівнюємо десяті: $ 4 \u003d 4 $. Порівнюємо соті: $ 3\u003e 1 $. Таким чином, $ 2,432\u003e 2,41 $.