Десяткові дроби іменна частина. Запис і читання десяткових дробів. Множення десяткових дробів

Десяткова дріб відрізняється від звичайного дробу тим, що знаменник у неї - це розрядна одиниця.

наприклад:

Десяткові дроби виділені з звичайних дробів в окремий вид, що призвело до власними правилами порівняння, додавання, віднімання, множення і ділення цих дробів. В принципі, з десятковими дробами можна працювати і за правилами звичайних дробів. Власні правила перетворення десяткових дробів спрощують обчислення, а правила перетворення звичайних дробів на десяткові, і навпаки, служать зв'язкою між цими видами дробу.

Запис і читання десяткових дробів дозволяє їх записувати, порівнювати і робити дії над ними за правилами, дуже схожим на правила дій з натуральними числами.

Вперше система десяткових дробів і дій над ними була викладена в XV в. самаркандським математиком і астрономом Джемшид ібн-Масудаль-Каші в книзі «Ключ до мистецтва рахунки».

Ціла частина десяткового дробу відокремлена від дробової частини коми, в деяких країнах (США) ставлять крапку. Якщо в десяткового дробу немає цілої частини, то перед коми ставлять число 0.

До дробової частини десяткового дробу праворуч можна дописувати будь-яку кількість нулів, це величину дробу не змінює. Дрібна частина десяткового дробу читається за останнім значущому розряду.

наприклад:
0,3 - три десятих
0,75 - сімдесят п'ять сотих
0,000005 - п'ять мільйонних.

Читання цілої частини десяткового дробу таке ж, як і натуральних чисел.

наприклад:
27,5 - двадцять сім ...;
1,57 - одна ...

Після цілої частини десяткового дробу вимовляється слово «цілих».

наприклад:
10.7 - десять цілих сім десятих

0,67 - нуль цілих шістдесят сім сотих.

Десяткові знаки - це цифри дробової частини. Дрібна частина читається не за розрядами (на відміну від натуральних чисел), а цілком, тому дрібна частина десяткового дробу визначається останнім справа значущим розрядом. Розрядний дробової частини десяткового дробу дещо інша, ніж у натуральних чисел.

• 1-й розряд після зайнятої - розряд десятих
• 2-й розряд після коми - розряд сотих
• 3-й розряд після коми - розряд тисячних
• 4-й розряд після коми - розряд десятитисячних
• 5-й розряд після коми - розряд стотисячних
• 6-й розряд після коми - розряд мільйонних
• 7-й розряд після коми - розряд десятимільйонних
• 8-й розряд після коми - розряд стомільйонний

В обчисленнях найчастіше використовуються перші три розряди. Велика розрядність дробової частини десяткових дробів використовується тільки в специфічних галузях знань, де обчислюються нескінченно малі величини.

Переклад десяткового дробу в змішану дріб складається н наступному: число, що стоїть до коми записати цілою частиною змішаної дробу; число, що стоїть після коми - чисельником її дробової частини, а в знаменнику дробової частини записати одиницю зі стількома нулями, скільки цифр варто після коми.

У цьому уроці ми розглянемо кожну з цих операцій окремо.

зміст уроку

Додавання десяткових дробів

Як ми знаємо, десяткова дріб має цілу і дробову частину. При додаванні десяткових дробів, цілі і дробові частини складаються окремо.

Наприклад, складемо десяткові дроби 3,2 і 5,3. Десяткові дроби зручніше складати в стовпчик.

Запишемо спочатку ці дві дробу в стовпчик, при цьому цілі частини обов'язково повинні бути під цілими, а дробові під дробовими. У школі це вимога називають «Кома під коми».

Запишемо дробу в стовпчик так, щоб кома була під коми:

Починаємо складати дробові частини: 2 + 3 \u003d 5. Записуємо п'ятірку в дробової частини нашої відповіді:

Тепер складаємо цілі частини: 3 + 5 \u003d 8. Записуємо вісімку в цілій частині нашої відповіді:

Тепер відділяємо коми цілу частину від дробової. Для цього знову ж дотримуємося правило «Кома під коми»:

Отримали відповідь 8,5. Значить вираження 3,2 + 5,3 одно 8,5

Насправді не все так просто, як здається на перший погляд. Тут теж є свої підводні камені, про які ми зараз поговоримо.

Розряди в десяткових дробах

У десяткових дробів, як і у звичайних чисел, є свої розряди. Це розряди десятих, розряди сотих, розряди тисячних. При цьому розряди починаються після коми.

Перша цифра після коми відповідає за розряд десятих, друга цифра після коми за розряд сотих, третя цифра після коми за розряд тисячних.

Розряди в десяткових дробах зберігають в собі деяку корисну інформацію. Зокрема, вони повідомляють скільки в десяткового дробу десятих частин, сотих частин і тисячних частин.

Наприклад, розглянемо десяткову дріб 0,345

Позиція, де знаходиться трійка, називається розрядом десятих

Позиція, де знаходиться четвірка, називається розрядом сотих

Позиція, де знаходиться п'ятірка, називається розрядом тисячних

Подивимося на даний малюнок. Бачимо, що в розряді десятих розташовується трійка. Це говорить про те, що в десяткового дробу 0,345 міститься три десятих.

Якщо ми складемо дробу, і то отримаємо початкову десяткову дріб 0,345

Видно, що спочатку ми отримали відповідь, але перевели його в десяткову дріб і отримали 0,345.

При додаванні десяткових дробів дотримуються ті ж принципи і правила, що і при додаванні звичайних чисел. Додавання десяткових дробів відбувається за розрядами: десяті частини складаються з десятими частинами, соті з сотими, тисячні з тисячними.

Тому при додаванні десяткових дробів вимагають дотримуватися правила «Кома під коми». Кома під коми забезпечує той самий порядок, в якому десяті частини складаються з десятими, соті з сотими, тисячні з тисячними.

Приклад 1. Знайти значення виразу 1,5 + 3,4

В першу чергу складаємо дробові частини 5 + 4 \u003d 9. Записуємо дев'ятку в дробової частини нашої відповіді:

Тепер складаємо цілі частини 1 + 3 \u003d 4. Записуємо четвірку в цілій частині нашої відповіді:

Тепер відділяємо коми цілу частину від дробової. Для цього знову ж дотримуємося правило «кома під коми»:

Отримали відповідь 4,9. Значить значення виразу 1,5 + 3,4 одно 4,9

Приклад 2. Знайти значення виразу: 3,51 + 1,22

Записуємо в стовпчик цей вислів, дотримуючись правило «кома під коми»

В першу чергу складаємо дробову частину, а саме соті частини 1 + 2 \u003d 3. Записуємо трійку в сотої частини нашої відповіді:

Тепер складаємо десяті частини 5 + 2 \u003d 7. Записуємо сімку в десятої частини нашої відповіді:

Тепер складаємо цілі частини 3 + 1 \u003d 4. Записуємо четвірку в цілій частині нашої відповіді:

Відокремлюємо коми цілу частину від дробової, дотримуючись правило «кома під коми»:

Отримали відповідь 4,73. Значить значення виразу 3,51 + 1,22 одно 4,73

3,51 + 1,22 = 4,73

Як і в звичайних числах, при додаванні десяткових дробів може статися. В цьому випадку у відповіді записується одна цифра, а решта переносять на наступний розряд.

Приклад 3. Знайти значення виразу 2,65 + 3,27

Записуємо в стовпчик даний вираз:

Складаємо соті частини 5 + 7 \u003d 12. Число 12 не поміститься в сотої частини нашої відповіді. Тому в сотої частини записуємо цифру 2, а одиницю переносимо на наступний розряд:

Тепер складаємо десяті частини 6 + 2 \u003d 8 плюс одиниця, яка дісталася від попередньої операції, отримаємо 9. Записуємо цифру 9 в десятої частини нашої відповіді:

Тепер складаємо цілі частини 2 + 3 \u003d 5. Записуємо цифру 5 в цілій частині нашої відповіді:

Отримали відповідь 5,92. Значить значення виразу 2,65 + 3,27 одно 5,92

2,65 + 3,27 = 5,92

Приклад 4. Знайти значення виразу 9,5 + 2,8

Записуємо в стовпчик цей вислів

Складаємо дробові частини 5 + 8 \u003d 13. Число 13 не поміститься в дробової частина нашої вiдповiдi, тому спочатку записуємо цифру 3, а одиницю переносимо на наступний розряд, точніше переносимо її до цілої частини:

Тепер складаємо цілі частини 9 + 2 \u003d 11 плюс одиниця, яка дісталася від попередньої операції, отримуємо 12. Записуємо число 12 в цілій частині нашої відповіді:

Відокремлюємо коми цілу частину від дробової:

Отримали відповідь 12,3. Значить значення виразу 9,5 + 2,8 одно 12,3

9,5 + 2,8 = 12,3

При додаванні десяткових дробів кількість цифр після коми в обох дробах має бути однаковим. Якщо цифр не вистачає, то ці місця в дробової частини заповнюються нулями.

приклад 5. Знайти значення виразу: 12,725 + 1,7

Перш ніж записувати в стовпчик цей вислів, зробимо кількість цифр після коми в обох дробах однаковим. В десяткового дробу 12,725 після коми три цифри, а в дробу 1,7 тільки одна. Значить в дробу 1,7 в кінці потрібно додати два нулі. Тоді отримаємо дріб 1,700. Тепер можна записати в стовпчик цей вислів і почати обчислювати:

Складаємо тисячні частини 5 + 0 \u003d 5. Записуємо цифру 5 в тисячної частини нашої відповіді:

Складаємо соті частини 2 + 0 \u003d 2. Записуємо цифру 2 в сотої частини нашої відповіді:

Складаємо десяті частини 7 + 7 \u003d 14. Число 14 не поміститься в десятої частини нашої відповіді. Тому спочатку записуємо цифру 4, а одиницю переносимо на наступний розряд:

Тепер складаємо цілі частини 12 + 1 \u003d 13 плюс одиниця, яка дісталася від попередньої операції, отримуємо 14. Записуємо число 14 в цілій частині нашої відповіді:

Відокремлюємо коми цілу частину від дробової:

Отримали відповідь 14,425. Значить значення виразу 12,725 + 1,700 одно 14,425

12,725+ 1,700 = 14,425

Віднімання десяткових дробів

При відніманні десяткових дробів потрібно дотримуватися тих самих правил, що і при додаванні: «кома під коми» і «рівне кількості цифр після коми».

Приклад 1. Знайти значення виразу 2,5 - 2,2

Записуємо в стовпчик цей вислів, дотримуючись правило «кома під коми»:

Обчислюємо дробову частину 5-2 \u003d 3. Записуємо цифру 3 в десятої частини нашої відповіді:

Обчислюємо цілу частину 2-2 \u003d 0. Записуємо нуль в цілій частині нашої відповіді:

Відокремлюємо коми цілу частину від дробової:

Отримали відповідь 0,3. Значить значення виразу 2,5 - 2,2 одно 0,3

2,5 − 2,2 = 0,3

Приклад 2. Знайти значення виразу 7,353 - 3,1

У цьому виразі різну кількість цифр після коми. У дробу 7,353 після коми три цифри, а в дробу 3,1 тільки одна. Значить в дробу 3,1 в кінці потрібно додати два нулі, щоб зробити кількість цифр в обох дробах однаковим. Тоді отримаємо 3,100.

Тепер можна записати в стовпчик даний вираз і обчислити його:

Отримали відповідь 4,253. Значить значення виразу 7,353 - 3,1 одно 4,253

7,353 — 3,1 = 4,253

Як і в звичайних числах, іноді доведеться займати одиницю у сусіднього розряду, якщо віднімання стане неможливим.

Приклад 3. Знайти значення виразу 3,46 - 2,39

Віднімаємо соті частини 6-9. Від число 6 Не відняти число 9. Тому потрібно зайняти одиницю у сусіднього розряду. Зайнявши одиницю у сусіднього розряду число 6 звертається в число 16. Тепер можна обчислити соті частини 16-9 \u003d 7. Записуємо сімку в сотої частини нашої відповіді:

Тепер віднімаємо десяті частини. Оскільки ми зайняли в розряді десятих одну одиницю, то цифра, яка там розташовувалася, зменшилася на одну одиницю. Іншими словами, в розряді десятих тепер не цифра 4, а цифра 3. Обчислимо десяті частини 3-3 \u003d 0. Записуємо нуль в десятої частини нашої відповіді:

Тепер віднімаємо цілі частини 3-2 \u003d 1. Записуємо одиницю в цілій частині нашої відповіді:

Відокремлюємо коми цілу частину від дробової:

Отримали відповідь 1,07. Значить значення виразу 3,46-2,39 одно 1,07

3,46−2,39=1,07

приклад 4. Знайти значення виразу 3-1,2

У цьому прикладі з цілого числа віднімається десяткова дріб. Запишемо цей вираз стовпчиком так, щоб ціла частина десяткового дробу 1,23 опинилася під числом 3

Тепер зробимо кількість цифр після коми однаковим. Для цього після числа 3 поставимо кому і допишемо один нуль:

Тепер віднімаємо десяті частини: 0-2. Від нуля трохи відняти число 2. Тому потрібно зайняти одиницю у сусіднього розряду. Зайнявши одиницю у сусіднього розряду, 0 звертається в число 10. Тепер можна обчислити десяті частини 10-2 \u003d 8. Записуємо вісімку в десятої частини нашої відповіді:

Тепер віднімаємо цілі частини. Раніше в цілій розташовувалося число 3, але ми зайняли у нього одну одиницю. В результаті воно звернулося до числа 2. Тому з 2 віднімаємо 1. 2-1 \u003d 1. Записуємо одиницю в цілій частині нашої відповіді:

Відокремлюємо коми цілу частину від дробової:

Отримали відповідь 1,8. Значить значення виразу 3-1,2 одно 1,8

Множення десяткових дробів

Множення десяткових дробів це просто і навіть захоплююче. Щоб перемножити десяткові дроби, потрібно перемножити їх як звичайні числа, не звертаючи уваги на коми.

Отримавши відповідь, необхідно відокремити коми цілу частину від дробової. Щоб зробити це, треба порахувати кількість цифр після коми в обох дробах, потім у відповіді відрахувати справа стільки ж цифр і поставити кому.

Приклад 1. Знайти значення виразу 2,5 × 1,5

Перемножимо ці десяткові дроби як звичайні числа, не звертаючи уваги на коми. Щоб не звертати уваги на коми, можна на час уявити, що вони взагалі відсутні:

Отримали 375. У цьому числі необхідно відокремити коми цілу частину від дробової. Для цього потрібно порахувати кількість цифр після коми в дробах 2,5 і 1,5. У першій дробу після коми одна цифра, в другій дроби теж одна. Разом дві цифри.

Повертаємося до числа 375 і починаємо рухатися справа наліво. Нам потрібно відрахувати дві цифри праворуч і поставити кому:

Отримали відповідь 3,75. Значить значення виразу 2,5 × 1,5 одно 3,75

2,5 × 1,5 \u003d 3,75

Приклад 2. Знайти значення виразу 12,85 × 2,7

Перемножимо ці десяткові дроби, не звертаючи уваги на коми:

Отримали 34695. У цьому числі потрібно відокремити коми цілу частину від дробової. Для цього необхідно порахувати кількість цифр після коми в дробах 12,85 і 2,7. У дробу 12,85 після коми дві цифри, в дробу 2,7 одна цифра - разом три цифри.

Повертаємося до числа 34695 і починаємо рухатися справа наліво. Нам потрібно відрахувати три цифри справа і поставити кому:

Отримали відповідь 34,695. Значить значення виразу 12,85 × 2,7 одно 34,695

12,85 × 2,7 \u003d 34,695

Множення десяткового дробу на звичайне число

Іноді виникають ситуації, коли потрібно помножити десяткову дріб на звичайне число.

Щоб перемножити десяткову дріб і звичайне число, потрібно перемножити їх, не звертаючи уваги на кому в десяткового дробу. Отримавши відповідь, необхідно відокремити коми цілу частину від дробової. Для цього потрібно порахувати кількість цифр після коми в десяткового дробу, потім у відповіді відрахувати справа стільки ж цифр і поставити кому.

Наприклад, помножимо 2,54 на 2

Множимо десяткову дріб 2,54 на звичайне число 2, не звертаючи уваги на кому:

Отримали число 508. В цьому числі потрібно відокремити коми цілу частину від дробової. Для цього необхідно порахувати кількість цифр після коми в дробу 2,54. У дробу 2,54 після коми дві цифри.

Повертаємося до числа 508 і починаємо рухатися справа наліво. Нам потрібно відрахувати дві цифри праворуч і поставити кому:

Отримали відповідь 5,08. Значить значення виразу 2,54 × 2 одно 5,08

2,54 × 2 \u003d 5,08

Множення десяткових дробів на 10, 100, 1000

Множення десяткових дробів на 10, 100 або 1000 виконується таким же чином, як і множення десяткових дробів на звичайні числа. Потрібно виконати множення, не звертаючи уваги на кому в десяткового дробу, потім у відповіді відокремити цілу частину від дробової, відрахувавши справа стільки ж цифр, скільки було цифр після коми в десяткового дробу.

Наприклад, помножимо 2,88 на 10

Помножимо десяткову дріб 2,88 на 10, не звертаючи уваги на кому в десяткового дробу:

Отримали 2880. У цьому числі потрібно відокремити коми цілу частину від дробової. Для цього необхідно порахувати кількість цифр після коми в дробу 2,88. Бачимо, що в дробу 2,88 після коми дві цифри.

Повертаємося до числа 2880 і починаємо рухатися справа наліво. Нам потрібно відрахувати дві цифри праворуч і поставити кому:

Отримали відповідь 28,80. Відкинемо останній нуль - отримаємо 28,8. Значить значення виразу 2,88 × 10 одно 28,8

2,88 × 10 \u003d 28,8

Є і другий спосіб множення десяткових дробів на 10, 100, 1000. Цей спосіб набагато простіше і зручніше. Він полягає в тому, що кома в десяткового дробу пересувається вправо на стільки цифр, скільки нулів у множнику.

Наприклад, вирішимо попередній приклад 2,88 × 10 цим способом. Не наводячи ніяких обчислень, відразу ж дивимося на множник 10. Нас цікавить скільки в ньому нулів. Бачимо, що в ньому один нуль. Тепер в дробу 2,88 пересуваємо кому вправо на одну цифру, отримаємо 28,8.

2,88 × 10 \u003d 28,8

Спробуємо помножити 2,88 на 100. Відразу ж дивимося на множник 100. Нас цікавить скільки в ньому нулів. Бачимо, що в ньому два нуля. Тепер в дробу 2,88 пересуваємо кому вправо на дві цифри, отримуємо 288

2,88 × 100 \u003d 288

Спробуємо помножити 2,88 на 1000. Відразу ж дивимося на множник 1000. Нас цікавить скільки в ньому нулів. Бачимо, що в ньому три нуля. Тепер в дробу 2,88 пересуваємо кому вправо на три цифри. Третьою цифри там немає, тому ми дописуємо ще один нуль. У підсумку отримуємо 2880.

2,88 × 1000 \u003d 2880

Множення десяткових дробів на 0,1 0,01 і 0,001

Множення десяткових дробів на 0,1, 0,01 і 0,001 відбувається таким же чином, як і множення десяткового дробу на десятковий дріб. Необхідно перемножити дробу, як звичайні числа, і у відповіді поставити кому, відрахувавши стільки цифр справа, скільки цифр після коми в обох дробах.

Наприклад, помножимо 3,25 на 0,1

Множимо ці дроби, як звичайні числа, не звертаючи уваги на коми:

Отримали 325. У цьому числі потрібно відокремити коми цілу частину від дробової. Для цього необхідно порахувати кількість цифр після коми в дробах 3,25 і 0,1. У дробу 3,25 після коми дві цифри, в дробу 0,1 одна цифра. Разом три цифри.

Повертаємося до числа 325 і починаємо рухатися справа наліво. Нам потрібно відрахувати три цифри справа і поставити кому. Відрахувавши три цифри ми виявляємо, що цифри закінчилися. В цьому випадку потрібно дописати один нуль і поставити кому:

Отримали відповідь 0,325. Значить значення виразу 3,25 × 0,1 одно 0,325

3,25 × 0,1 \u003d 0,325

Є і другий спосіб множення десяткових дробів на 0,1, 0,01 і 0,001. Цей спосіб набагато простіше і зручніше. Він полягає в тому, що кома в десяткового дробу пересувається вліво на стільки цифр, скільки нулів у множнику.

Наприклад, вирішимо попередній приклад 3,25 × 0,1 цим способом. Не наводячи ніяких обчислень відразу ж дивимося на множник 0,1. Нас цікавить скільки в ньому нулів. Бачимо, що в ньому один нуль. Тепер в дробу 3,25 пересуваємо кому вліво на одну цифру. Пересунувши кому на одну цифру вліво ми бачимо, що перед трійкою більше немає ніяких цифр. В цьому випадку дописуємо один нуль і ставимо кому. В результаті отримуємо 0,325

3,25 × 0,1 \u003d 0,325

Спробуємо помножити 3,25 на 0,01. Відразу ж дивимося на множник 0,01. Нас цікавить скільки в ньому нулів. Бачимо, що в ньому два нуля. Тепер в дробу 3,25 пересуваємо кому вліво на дві цифри, отримуємо 0,0325

3,25 × 0,01 \u003d 0,0325

Спробуємо помножити 3,25 на 0,001. Відразу ж дивимося на множник 0,001. Нас цікавить скільки в ньому нулів. Бачимо, що в ньому три нуля. Тепер в дробу 3,25 пересуваємо кому вліво на три цифри, отримуємо 0,00325

3,25 × 0,001 \u003d 0,00325

Не можна плутати множення десяткових дробів на 0,1, 0,001 і 0,001 з множенням на 10, 100, 1000. типова помилка більшості людей.

При множенні на 10, 100, 1000 кома переноситься вправо на стільки ж цифр скільки нулів у множнику.

А при множенні на 0,1, 0,01 і 0,001 кома переноситься вліво на стільки ж цифр скільки нулів у множнику.

Якщо на перших порах це складно запам'ятати, можна користуватися першим способом, в якому множення виконується як зі звичайними числами. У відповіді потрібно буде відокремити цілу частину від дробової, відрахувавши справа стільки ж цифр, скільки цифр після коми в обох дробах.

Розподіл меншого числа на більше. Просунутий рівень.

В одному з попередніх уроків ми сказали, що при розподілі меншого числа на більшу виходить дріб, у чисельнику якого ділене, а в знаменнику - дільник.

Наприклад, щоб розділити одне яблуко на двох, потрібно в чисельник записати 1 (одне яблуко), а в знаменник записати 2 (двоє друзів). В результаті отримаємо дріб. Значить кожному одному дістанеться по яблука. Іншими словами, по половині яблука. Дріб це відповідь до задачі «Як розділити одне яблуко на двох»

Виявляється, можна вирішувати цю задачу і далі, якщо розділити 1 на 2. Адже дрібна риса в будь-який дробу означає розподіл, а значить і в дробу це поділ дозволено. Але як? Адже ми звикли до того, що ділене завжди більше дільника. А тут навпаки, ділене менше дільника.

Все стане ясним, якщо згадати, що дріб означає дроблення, розподіл, поділ. А значить і одиниця може бути роздроблена на скільки завгодно частин, а не тільки на дві частини.

При поділі меншого числа на більшу виходить десяткова дріб, в якій ціла частина буде 0 (нульовий). Дрібна частина ж може бути будь-хто.

Отже, розділимо 1 на 2. Вирішимо цей приклад куточком:

Одиницю на два просто так націлена не розділити. Якщо задати питання «Скільки двійок в одиниці» , То відповіддю буде 0. Тому в приватному записуємо 0 і ставимо кому:

Тепер як зазвичай множимо приватне на дільник, щоб витягнути залишок:

Настав момент, коли одиницю можна дробити на дві частини. Для цього праворуч від отриманої одинички дописуємо ще один нуль:

Отримали 10. Ділимо 10 на 2, отримуємо 5. Записуємо п'ятірку в дробової частини нашої відповіді:

Тепер витягуємо останній залишок, щоб завершити обчислення. Множимо 5 на 2, отримуємо 10

Отримали відповідь 0,5. Значить дріб дорівнює 0,5

Половину яблука можна записати і за допомогою десяткового дробу 0,5. Якщо скласти ці дві половинки (0,5 і 0,5), ми знову отримаємо початкове одне ціле яблуко:

Цей момент також можна зрозуміти, якщо уявити, як 1 см ділиться на дві частини. Якщо 1 сантиметр розділити на 2 частини, то вийде 0,5 см

Приклад 2. Знайти значення виразу 4: 5

Скільки п'ятірок в четвірці? Анітрохи. Записуємо в приватному 0 і ставимо кому:

Множимо 0 на 5, отримуємо 0. Записуємо нуль під четвіркою. Відразу ж віднімаємо цей нуль з діленого:

Тепер почнемо дробити (ділити) четвірку на 5 частин. Для цього праворуч від 4 дописуємо нуль і ділимо 40 на 5, отримуємо 8. Записуємо вісімку в приватному.

Завершуємо приклад, помноживши 8 на 5, і отримавши 40:

Отримали відповідь 0,8. Значить значення виразу 4: 5 дорівнює 0,8

Приклад 3. Знайти значення виразу 5: 125

Скільки чисел 125 в п'ятірці? Анітрохи. Записуємо 0 в приватному і ставимо кому:

Множимо 0 на 5, отримуємо 0. Записуємо 0 під п'ятіркою. Відразу ж віднімаємо з п'ятірки 0

Тепер почнемо дробити (ділити) п'ятірку на 125 частин. Для цього праворуч від цієї п'ятірки запишемо нуль:

Ділимо 50 на 125. Скільки чисел 125 в числі 50? Анітрохи. Значить в приватному знову записуємо 0

Множимо 0 на 125, отримуємо 0. Записуємо цей нуль під 50. Відразу ж віднімаємо 0 з 50

Тепер ділимо число 50 на 125 частин. Для цього праворуч від 50 запишемо ще один нуль:

Ділимо 500 на 125. Скільки чисел 125 в числі 500. У числі 500 чотири числа 125. Записуємо четвірку в приватному:

Завершуємо приклад, помноживши 4 на 125, і отримавши 500

Отримали відповідь 0,04. Значить значення виразу 5: 125 одно 0,04

Розподіл чисел без залишку

Отже, поставимо в приватному після одиниці кому, тим самим вказуючи, що розподіл цілих частин закінчилося і ми приступаємо до дробової частини:

Допишемо нуль до залишку 4

Тепер ділимо 40 на 5, отримуємо 8. Записуємо вісімку в приватному:

40-40 \u003d 0. Отримали 0 в залишку. Значить розподіл на цьому повністю завершено. При розподілі 9 на 5 виходить десяткова дріб 1,8:

9: 5 = 1,8

приклад 2. Розділити 84 на 5 без залишку

Спочатку розділимо 84 на 5 як зазвичай із залишком:

Отримали в приватному 16 і ще 4 в залишку. Тепер розділимо цей залишок на 5. Поставимо в приватному кому, а до залишку 4 допишемо 0

Тепер ділимо 40 на 5, отримуємо 8. Записуємо вісімку в приватному після коми:

і завершуємо приклад, перевіривши чи є ще залишок:

Розподіл десяткового дробу на звичайне число

Десяткова дріб, як ми знаємо складається з цілої і дробової частини. При розподілі десяткового дробу на звичайне число в першу чергу потрібно:

• розділити цілу частину десяткового дробу на це число;
• після того, як ціла частина буде розділена, потрібно в приватному відразу ж поставити кому і буде продовжувати обчислювати, як в звичайному розподілі.

Наприклад, розділимо 4,8 на 2

Запишемо цей приклад куточком:

Тепер розділимо цілу частину на 2. Чотири розділити на два буде два. Записуємо двійку в приватному і відразу ж ставимо кому:

Тепер множимо приватне на дільник і дивимося чи залишок від ділення:

4-4 \u003d 0. Залишок дорівнює нулю. Нуль поки не записуємо, оскільки рішення не завершено. Далі продовжуємо вважати, як в звичайному розподілі. Зносимо 8 і ділимо її на 2

8: 2 \u003d 4. Записуємо четвірку в приватному і відразу множимо її на дільник:

Отримали відповідь 2,4. Значення виразу 4,8: \u200b\u200b2 одно 2,4

Приклад 2. Знайти значення виразу 8,43: 3

Ділимо 8 на 3, отримуємо 2. Відразу ж ставимо кому після двійки:

Тепер множимо приватне на дільник 2 × 3 \u003d 6. Записуємо шістку під вісімкою і знаходимо залишок:

Ділимо 24 на 3, отримуємо 8. Записуємо вісімку в приватному. Відразу ж множимо її на дільник, щоб знайти залишок від ділення:

24-24 \u003d 0. Залишок дорівнює нулю. Нуль поки не записуємо. Зносимо останню трійку з діленого і ділимо на 3, отримаємо 1. Відразу ж множимо 1 на 3, щоб завершити цей приклад:

Отримали відповідь 2,81. Значить значення виразу 8,43: 3 одно 2,81

Розподіл десяткового дробу на десятковий дріб

Щоб розділити десяткову дріб на десяткову дріб, треба в подільному і в дільнику перенести кому вправо на стільки ж цифр, скільки їх після коми в дільнику, і потім виконати поділ на звичайне число.

Наприклад, розділимо 5,95 на 1,7

Запишемо куточком цей вислів

Тепер в подільному і в дільнику перенесемо кому вправо на стільки ж цифр, скільки їх після коми в дільнику. У дільнику після коми одна цифра. Значить ми повинні в подільному і в дільнику перенести кому вправо на одну цифру. переносимо:

Після перенесення коми вправо на одну цифру десяткова дріб 5,95 звернулася в дріб 59,5. А десяткова дріб 1,7 після перенесення коми вправо на одну цифру звернулася в звичайне число 17. А як ділити десяткову дріб на звичайне число ми вже знаємо. Подальше обчислення не складає особливих труднощів:

Кома переноситься вправо з метою полегшити поділ. Це допускається через те, що при множенні або діленні діленого і дільника на одне і те ж число, приватне не змінюється. Що це означає?

Це одна з цікавих особливостей ділення. Його називають властивістю приватного. Розглянемо вираз 9: 3 \u003d 3. Якщо в цьому виразі ділене і дільник помножити або розділити на одне й те саме число, то приватна 3 не зміниться.

Давайте помножимо ділене і дільник на 2, і подивимося, що з цього вийде:

(9 × 2): (3 × 2) \u003d 18: 6 \u003d 3

Як видно з прикладу, приватне не змінилося.

Теж саме відбувається, коли ми переносимо кому в подільному і в дільнику. У попередньому прикладі, де ми ділили 5,91 на 1,7 ми перенесли в подільному і дільнику кому на одну цифру вправо. Після перенесення коми, дріб 5,91 перетворилася в дріб 59,1 а дріб 1,7 перетворилася в звичайне число 17.

Насправді всередині цього процесу відбувалося множення на 10. Ось як це виглядало:

5,91 × 10 \u003d 59,1

Тому від кількості цифр після коми в дільнику залежить те, на що буде помножено ділене і дільник. Іншими словами, від кількості цифр після коми в дільнику буде залежати те, на скільки цифр в подільному і в дільнику кома буде перенесена вправо.

Розподіл десяткового дробу на 10, 100, 1000

Розподіл десяткового дробу на 10, 100, або 1000 здійснюється таким же чином, як і. Наприклад, розділимо 2,1 на 10. Вирішимо цей приклад куточком:

Але є і другий спосіб. Він легший. Суть цього способу в тому, що кома в подільному переноситься вліво на стільки цифр, скільки нулів в дільнику.

Вирішимо попередній приклад цим способом. 2,1: 10. Дивимося на дільник. Нас цікавить скільки в ньому нулів. Бачимо, що там один нуль. Значить в подільному 2,1 потрібно перенести кому вліво на одну цифру. Переносимо кому вліво на одну цифру і бачимо, що там більше не залишилося цифр. У цьому випадку перед цифрою дописуємо ще один нуль. У підсумку отримуємо 0,21

Спробуємо розділити 2,1 на 100. У числі 100 два нуля. Значить в подільному 2,1 треба перенести кому вліво на дві цифри:

2,1: 100 = 0,021

Спробуємо розділити 2,1 на 1000. У значилися 1000 три нуля. Значить в подільному 2,1 треба перенести кому вліво на три цифри:

2,1: 1000 = 0,0021

Розподіл десяткового дробу на 0,1, 0,01 і 0,001

Розподіл десяткового дробу на 0,1, 0,01, і 0,001 здійснюється таким же чином, як і. У подільному і в дільнику треба перенести кому вправо на стільки цифр, скільки їх після коми в дільнику.

Наприклад, розділимо 6,3 на 0,1. В першу чергу перенесемо коми в подільному і в дільнику вправо на стільки ж цифр, скільки їх після коми в дільнику. У дільнику після коми одна цифра. Значить переносимо коми в подільному і в дільнику вправо на одну цифру.

Після перенесення коми вправо на одну цифру, десяткова дріб 6,3 перетворюється в звичайне число 63, а десяткова дріб 0,1 після перенесення коми вправо на одну цифру перетворюється в одиницю. А розділити 63 на 1 дуже просто:

Значить значення виразу 6,3: 0,1 одно 63

Але є і другий спосіб. Він легший. Суть цього способу в тому, що кома в подільному переноситься вправо на стільки цифр, скільки нулів в дільнику.

Вирішимо попередній приклад цим способом. 6,3: 0,1. Дивимося на дільник. Нас цікавить скільки в ньому нулів. Бачимо, що там один нуль. Значить в подільному 6,3 потрібно перенести кому вправо на одну цифру. Переносимо кому вправо на одну цифру і отримуємо 63

Спробуємо розділити 6,3 на 0,01. У дільнику 0,01 два нуля. Значить в подільному 6,3 треба перенести кому вправо на дві цифри. Але в подільному після коми тільки одна цифра. В цьому випадку в кінці потрібно дописати ще один нуль. В результаті отримаємо 630

Спробуємо розділити 6,3 на 0,001. У дільнику 0,001 три нуля. Значить в подільному 6,3 треба перенести кому вправо на три цифри:

6,3: 0,001 = 6300

Завдання для самостійного рішення

Сподобався урок?
Вступай в нашу нову групу Вконтакте і почни отримувати повідомлення про нові уроках

З безлічі дробів, що зустрічаються в арифметиці, на окрему увагу заслуговують такі, у яких в знаменнику стоїть 10, 100, 1000 - в загальному, будь-яке десятки. У цих дробів є спеціальну назву і форма запису.

Десяткова дріб - це будь-яка числова дріб, в знаменнику якої коштує ступінь десятки.

Приклади десяткових дробів:

Навіщо взагалі було потрібно виділяти такі дроби? Чому для них потрібна власна форма запису? На то є як мінімум три причини:

1. Десяткові дроби набагато зручніше порівнювати. Згадайте: для порівняння звичайних дробів їх потрібно відняти один з одного і, зокрема, привести дроби до спільного знаменника. У десяткових дробах нічого подібного не потрібно;
2. Скорочення обчислень. Десяткові дроби складаються і множаться за власними правилами, і після невеликого тренування ви будете працювати з ними набагато швидше, ніж зі звичайними;
3. Зручність запису. На відміну від звичайних дробів, десяткові записуються в один рядок без втрати наочності.

Більшість калькуляторів також дають відповіді саме в десяткових дробах. У деяких випадках інший формат запису може привести до проблем. Наприклад, що, якщо зажадати в магазині здачу в розмірі 2/3 рубля :)

Правила запису десяткових дробів

Основна перевага десяткових дробів - зручна і наочна запис. А саме:

Десяткова запис - це форма запису десяткових дробів, де ціла частина відділяється від дробової за допомогою звичайної крапку чи кому. При цьому сам роздільник (крапка або кома) називається десятковою крапкою.

Наприклад, 0,3 (читається: «нуль цілих, 3 десятих»); 7,25 (7 цілих, 25 сотих); 3,049 (3 цілих, 49 тисячних). Всі приклади взяті з попереднього визначення.

На листі в якості десяткового дробу зазвичай використовується кома. Тут і далі на всьому сайті теж буде використовуватися саме кома.

Щоб записати довільну десяткову дріб у зазначеній формі, треба виконати три простих кроки:

1. Виписати окремо чисельник;
2. Зрушити десяткову точку вліво на стільки знаків, скільки нулів містить знаменник. Вважати, що спочатку десяткова точка стоїть праворуч від всіх цифр;
3. Якщо десяткова точка зрушила, а після неї в кінці запису залишилися нулі, їх треба закреслити.

Буває, що на другому етапі у чисельника не вистачає цифр для завершення зсуву. В цьому випадку відсутні позиції заповнюються нулями. Та й взагалі, зліва від будь-якого числа можна без шкоди для здоров'я приписувати будь-яку кількість нулів. Це негарно, але іноді корисно.

На перший погляд, даний алгоритм може здатися досить складним. Насправді все дуже і дуже просто - треба лише трохи потренуватися. Погляньте на приклади:

Завдання. Для кожного дробу вкажіть її десяткову запис:

Чисельник першого дробу: 73. Зрушуємо десяткову точку на один знак (тому що в знаменнику стоїть 10) - отримуємо 7,3.

Чисельник другого дробу: 9. Зрушуємо десяткову точку на два знака (тому що в знаменнику стоїть 100) - отримуємо 0,09. Довелося дописати один нуль після десяткового дробу і ще один - перед нею, щоб не залишати дивну запис виду «, 09».

Чисельник третьої дробу: 10029. Зрушуємо десяткову точку на три знака (тому що в знаменнику коштує 1000) - отримаємо 10,029.

Чисельник останньої дробу: 10500. Знову зрушуємо точку на три знака - отримаємо 10,500. В кінці числа утворилися зайві нулі. Зачеркиваем їх - отримуємо 10,5.

Зверніть увагу на два останні приклади: числа 10,029 і 10,5. Згідно з правилами, нулі справа треба закреслити, як це зроблено в останньому прикладі. Однак ні в якому разі не можна чинити так з нулями, що стоять всередині числа (які оточені іншими цифрами). Саме тому ми отримали 10,029 і 10,5, а не 1,29 і 1,5.

Отже, з визначенням і формою запису десяткових дробів розібралися. Тепер з'ясуємо, як переводити звичайні дроби в десяткові - і навпаки.

Перехід від звичайних дробів до десятковим

Розглянемо просту числову дріб виду a / b. Можна скористатися основною властивістю дробу і помножити чисельник і знаменник на таке число, щоб внизу вийшла ступінь десятки. Але перш, ніж це робити, прочитайте наступне:

Існують знаменники, які не наводяться до ступеня десятки. Вчіться розпізнавати такі дроби, тому що з ними не можна працювати за алгоритмом, описаним нижче.

Ось такі справи. Ну і як зрозуміти, наводиться знаменник до ступеня десятки чи ні?

Відповідь проста: розкладіть знаменник на прості множники. Якщо в розкладанні присутні тільки множники 2 і 5, це число можна привести до ступеня десятки. Якщо знайдуться інші числа (3, 7, 11 - що завгодно), про ступінь десятки можна забути.

Завдання. Перевірити, чи можна уявити зазначені дроби у вигляді десяткових:

Випишемо і розкладемо на множники знаменники цих дробів:

20 \u003d 4 · 5 \u003d 2 2 · 5 - присутні тільки числа 2 і 5. Отже, дріб можна представити у вигляді десяткового.

12 \u003d 4 · 3 \u003d 2 + 2 · 3 - є «заборонений» множник 3. Дріб НЕ представимо у вигляді десяткового.

640 \u003d 8 · 8 · 10 \u003d 2 3 · 2 3 · 2 · 5 \u003d 2 7 · 5. Все гаразд: окрім чисел 2 і 5 нічого немає. Дріб представимо у вигляді десяткового.

48 \u003d 6 · 8 \u003d 2 · 3 · 2 3 \u003d 2 4 · 3. Знову «сплив» множник 3. Уявити у вигляді десяткового дробу не можна.

Отже, зі знаменником розібралися - тепер розглянемо весь алгоритм переходу до десятковим дробям:

1. Розкласти знаменник вихідної дробу на множники і переконатися, що вона взагалі бути подана у вигляді десяткового. Тобто перевірити, щоб в розкладанні присутні тільки множники 2 і 5. Інакше алгоритм не працює;
2. Порахувати, скільки двійок і п'ятірок присутній в розкладанні (інших чисел там вже не буде, пам'ятаєте?). Підібрати такий додатковий множник, щоб кількість двійок і п'ятірок зрівнялося.
3. Власне, помножити чисельник і знаменник вихідної дробу на цей множник - отримаємо шукане подання, тобто в знаменнику буде стояти ступінь десятки.

Зрозуміло, додатковий множник теж буде розкладатися тільки на двійки і п'ятірки. При цьому, щоб не ускладнювати собі життя, слід вибирати найменший такий множник з усіх можливих.

І ще: якщо у вихідній дробу присутній ціла частина, обов'язково переведіть цю дріб в неправильну - і тільки потім застосовуйте описаний алгоритм.

Завдання. Перевести дані числові дроби в десяткові:

Розкладемо на множники знаменник першого дробу: 4 \u003d 2 · 2 \u003d 2 2. Отже, дріб представимо у вигляді десяткового. У розкладанні присутні дві двійки і жодної п'ятірки, тому додатковий множник дорівнює 5 2 \u003d 25. З ним кількість двійок і п'ятірок зрівняється. маємо:

Тепер розберемося з другої дробом. Для цього зауважимо, що 24 \u003d 3 · 8 \u003d 3 • 2 3 - в розкладанні присутній трійка, тому дріб не може бути подана у вигляді десяткового.

Дві останніх дроби мають знаменники 5 (просте число) і 20 \u003d 4 · 5 \u003d 2 + 2 · 5 відповідно - всюди присутні тільки двійки і п'ятірки. При цьому в першому випадку «для повного щастя» не вистачає множника 2, а в другому - 5. Отримуємо:

Перехід від десяткових дробів до звичайних

Зворотне перетворення - від десяткової форми запису до звичайної - виконується набагато простіше. Тут немає обмежень і спеціальних перевірок, тому перевести десяткову дріб в класичну «двоповерхову» можна завжди.

Алгоритм перекладу наступний:

1. Закреслюйте всі нулі, що стоять в десяткового дробу зліва, а також десяткову точку. Це буде чисельник шуканої дробу. Головне - не перестарайтеся і не закресліть внутрішні нулі, оточені іншими цифрами;
2. Підрахуйте, скільки знаків стоїть у вихідній десяткового дробу після коми. Візьміть цифру 1 і припишіть справа стільки нулів, скільки знаків ви нарахували. Це буде знаменник;
3. Власне, запишіть дріб, чисельник і знаменник якого ми тільки що знайшли. По можливості, скоротіть. Якщо у вихідній дробу була присутня ціла частина, зараз ми отримаємо неправильну дріб, що дуже зручно для подальших обчислень.

Завдання. Перевести десяткові дроби в звичайні: 0,008; 3,107; 2,25; 7,2008.

Закреслимо нулі зліва і коми - отримаємо такі цифри (це будуть числители): 8; 3107; 225; 72008.

У першій і в другій дробах після коми стоїть по 3 знаки, в другій - 2, а в третій - цілих 4 знака. Отримаємо знаменники 1000; 1000; 100; 10000.

Нарешті, об'єднаємо числители і знаменники в звичайні дроби:

Як видно з прикладів, отриману дріб дуже часто можна скоротити. Ще раз зазначу, що будь-яка десяткова дріб представимо у вигляді звичайної. Зворотне перетворення можна виконати не завжди.

Тема: Десяткові дроби. Додавання і віднімання десяткових дробів

Урок: Десятковий запис дробових чисел

Знаменник дробу може бути виражений будь-яким натуральним числом. Дробові числа, в яких знаменник виражений числом 10; 100; Тисячу; ..., де n, домовилися записувати без знаменника. Будь-яке дробове число, В знаменнику якого 10; 100; 1000 і т.д. (Тобто одиниця з декількома нулями), можна представити у вигляді десяткового запису (у вигляді десяткового дробу). Спочатку пишуть цілу частину, потім чисельник дробової частини, і цілу частину від дробової відокремлюють комою.

наприклад,

Якщо ціла частина відсутня, тобто дріб правильна, тоді цілу частину записують у вигляді 0.

Щоб правильно записати десяткову дріб, чисельник дробової частини повинен мати стільки ж знаків, скільки нулів в дробової частини.

1. Запишіть у вигляді десяткового дробу.

2. Уявити десяткову дріб у вигляді дробу або змішаного числа.

3. Прочитайте десяткові дроби.

12,4 - 12 цілих 4 десятих;

0,3 - 0 цілих 3 десятих;

1,14 - 1 ціла 14 сотих;

2,07 - 2 цілих 7 сотих;

0,06 - 0 цілих 6 сотих;

0,25 - 0 цілих 25 сотих;

1,234 - 1 ціла 234 тисячних;

1,230 - 1 ціла 230 тисячних;

1,034 - 1 ціла 34 тисячних;

1,004 - 1 ціла 4 тисячних;

1,030 - 1 ціла 30 тисячних;

0,010101 - 0 цілих 10101 мільйонних.

4. Перенесіть кому в кожній цифрі на 1 розряд вліво і прочитайте числа.

34,1; 310,2; 11,01; 10,507; 2,7; 3,41; 31,02; 1,101; 1,0507; 0,27.

5. Перенесіть кому в кожному з чисел на 1 розряд вправо і прочитайте вийшло число.

1,37; 0,1401; 3,017; 1,7; 350,4; 13,7; 1,401; 30,17; 17; 3504.

6. Виразіть в метрах і сантиметрах.

3,28 м \u003d 3 м +.

7. Виразіть в тоннах і кілограмах.

24,030 т \u003d 24 т.

8. Запишіть у вигляді десяткового дробу приватне.

1710: 100 = ;

64: 10000 =

803: 100 =

407: 10 =

9. Виразіть в дм.

5 дм 6 см \u003d 5 дм + ;

9 мм \u003d

Десяткова дріб використовується, коли потрібно виконувати дії з нецілі числами. Це може здатися нераціональним. Але такий вид чисел істотно полегшує математичні операції, які з ними необхідно виконувати. Це розуміння приходить з часом, коли їх запис стає звичною, а прочитання не викликає труднощів, і освоєні правила десяткових дробів. Тим більше що всі дії повторюють вже відомі, які засвоєні з натуральними числами. Тільки потрібно запам'ятати деякі особливості.

Визначення десяткового дробу

Десяткова дріб - це особливе уявлення нецілого числа зі знаменником, який ділиться на 10, а відповідь виходить у вигляді одиниці і, можливо, нулів. Іншими словами, якщо в знаменнику 10, 100, 1000 і так далі, то зручніше переписати число з використанням коми. Тоді до неї буде розташована ціла частина, а потім - дрібна. Причому запис другої половини числа буде залежати від знаменника. Кількість цифр, які знаходяться в дробової частини, має дорівнювати розряду знаменника.

Проілюструвати вищесказане можна цими числами:

9/10=0,9; 178/10000=0,0178; 3,05; 56 003,7006.

Причини, за якими знадобилося застосування десяткових дробів

Математикам потрібні були десяткові дроби з кількох підстав:

Спрощення записи. Така дріб розташована уздовж однієї лінії без рисочки між знаменником і чисельником, при цьому наочність не страждає.

Простота в порівнянні. Досить просто співвіднести цифри, що знаходяться в однакових позиціях, в той час як з звичайними дробами довелося б приводити їх до спільного знаменника.

Спрощення обчислень.

Калькулятори не розраховані на введення звичайних дробів, вони для всіх операцій використовують десяткову запис чисел.

Як правильно прочитати такі числа?

Відповідь проста: так само, як звичайне змішане число зі знаменником, кратним 10. Виняток становлять тільки дробу без цілого значення, тоді при читанні треба вимовляти «нуль цілих».

Наприклад, 45/1000 потрібно вимовити як сорок п'ять тисячних, В той же час 0,045 звучатиме як нуль цілих сорок п'ять тисячних.

Змішане число з цілою частиною дорівнює 7 і дробом 17/100, що запишеться як 7,17, в обох випадках буде прочитано як сім цілих сімнадцять сотих.

Роль розрядів у записі дробів

Вірно відзначити розряд - це те, що вимагає математика. Десяткові дроби і їх значення можуть суттєво змінитися, якщо записати цифру не в тому місці. Втім, це було справедливо і раніше.

Для прочитання розрядів цілої частини десяткового дробу потрібно просто скористатися правилами, відомими для натуральних чисел. А в правій частині вони дзеркально відображаються і по-іншому читаються. Якщо в цілій частині звучало "десятки", то після коми це будуть вже "десяті".

Наочно це можна побачити в цій таблиці.

Таблиця розрядів десяткового дробу

клас	тисячі			одиниці			,	дробова частина
розряд	сот.	дес.	од.	сот.	дес.	од.		десята	сота	тисячна	десятитисячна

Як правильно записати змішане число десятковим дробом?

Якщо в знаменнику стоїть число, що дорівнює 10 або 100, і інші, то питання про те, як дріб перевести в десяткову, нескладний. Для цього досить по-іншому переписати всі її складові частини. У цьому допоможуть такі пункти:

трохи в стороні написати чисельник дробу, в цей момент десяткова кома розташовується праворуч, після останньої цифри;

перемістити кому вліво, тут найголовніше - правильно порахувати цифри - пересунути її потрібно на стільки позицій, скільки нулів у знаменнику;

якщо їх не вистачає, то на порожніх позиціях повинні виявитися нулі;

нулі, які були в кінці чисельника, тепер не потрібні, і їх можна закреслити;

перед коми приписати цілу частину, якщо її не було, то тут теж виявиться нуль.

Увага. Не можна закреслювати нулі, які опинилися оточені іншими цифрами.

Про те, як бути в ситуації, коли в знаменнику число не тільки з одиниці і нулів, як дріб переводити в десяткову, можна прочитати трохи нижче. Це важлива інформація, з якої обов'язково варто ознайомитися.

Як дріб перевести в десяткову, якщо знаменник - довільне число?

Тут можливі два варіанти:

Коли знаменник можна представити у вигляді числа, що дорівнює десяти в будь-якого ступеня.

Якщо таку операцію виконати не можна.

Як це перевірити? Потрібно розкласти знаменник на множники. Якщо в творі присутні тільки 2 і 5, то все добре, і дріб легко перетворюється в кінцеву десяткову. В іншому випадку, якщо з'являються 3, 7 і інші прості числа, то результат буде нескінченним. Таку десяткову дріб для зручності використання в математичних операціях прийнято округляти. Про це буде мова трохи нижче.

Вивчає, як виходять такі десяткові дроби, 5 клас. Приклади тут будуть дуже до речі.

Нехай в знаменниках знаходяться числа: 40, 24 і 75. Розклад на прості множники для них буде таке:

• 40 \u003d 2 · 2 · 2 · 5;
• 24 \u003d 2 · 2 · 2 · 3;
• 75 \u003d 5 · 5 · 3.

У цих прикладах тільки перша дріб може бути представлена \u200b\u200bу вигляді кінцевої.

Алгоритм перекладу звичайного дробу в кінцеву десяткову

Перевірити розкладання знаменника на прості множники і переконатися в тому, що воно буде складатися з 2 і 5.

Додати до цих чисел стільки 2 і 5, щоб їх стало рівну кількість. Вони дадуть значення додаткового множника.

Провести множення знаменника і чисельника на це число. В результаті вийде звичайна дріб, під рискою у якій коштує 10 в деякій мірі.

Якщо в задачі ці дії виконуються зі змішаним числом, то його спочатку потрібно представити у вигляді неправильного дробу. А вже потім діяти за описаним сценарієм.

Подання звичайного дробу у вигляді округленої десяткової

Цей спосіб того, як дріб переводити в десяткову, комусь здасться навіть простіше. Тому що в ньому немає великої кількості дій. Потрібно тільки розділити значення чисельника на знаменник.

До будь-якого числа з десяткової частиною праворуч від коми можна приписати нескінченну кількість нулів. Цим властивістю і потрібно скористатися.

Спочатку записати цілу частину і поставити після неї кому. Якщо дріб правильна, то написати нуль.

Потім покладається виконати поділ чисельника на знаменник. Так, щоб кількість цифр у них було однаковим. Тобто приписати праворуч у чисельника потрібну кількість нулів.

Виконувати ділення в стовпчик до тих пір, поки не буде набрано потрібну кількість цифр. Наприклад, якщо округлити потрібно буде до сотих, то у відповіді їх повинно бути 3. Загалом, цифр має бути на одну більше, ніж потрібно отримати в результаті.

Записати проміжну відповідь після коми і округлити за правилами. Якщо остання цифра - від 0 до 4, то її потрібно просто відкинути. А коли вона дорівнює 5-9, то що стоїть перед нею потрібно збільшити на одиницю, відкинувши останню.

Повернення від десяткового дробу до звичайної

У математиці зустрічаються завдання, коли десяткові дроби зручніше представити у вигляді звичайних, в яких є чисельник зі знаменником. Можна зітхнути з полегшенням: ця операція можлива завжди.

Для цієї процедури потрібно зробити наступне:

записати цілу частину, якщо вона дорівнює нулю, то нічого писати не треба;

провести дробову риску;

над нею записати цифри з правої частини, якщо першими йдуть нулі, то їх потрібно закреслити;

під рискою написати одиницю з такою кількістю нулів, скільки цифр варто після коми в первісної дробу.

Це все, що потрібно зробити, щоб перевести десяткову дріб в звичайну.

Що можна робити з десятковими дробами?

У математиці це будуть певні дії з десятковими дробами, які раніше виконувалися для інших чисел.

Ними є:

порівняння;

додавання і віднімання;

множення і ділення.

Перша дія, порівняння, схоже на те, як це робилося для натуральних чисел. Щоб визначити, яке більше, потрібно порівнювати розряди цілої частини. Якщо вони виявляться рівними, то переходять до дробової і так само за розрядами порівнюють їх. Те число, де опиниться велика цифра в старшому розряді, і буде відповіддю.

Додавання і віднімання десяткових дробів

Це, мабуть, найпростіші дії. Тому що виконуються за правилами для натуральних чисел.



Так, щоб виконати додавання десяткових дробів, їх потрібно записати один під одним, розмістивши коми в стовпчик. При такому записі зліва від ком виявляються цілі частини, а праворуч - дробові. І тепер потрібно скласти цифри поразрядно, як це робиться з натуральними числами, знісши вниз кому. Починати складання потрібно з самого маленького розряду дробової частини числа. Якщо в правій половині бракує цифр, то дописують нулі.

При відніманні діють так само. І тут діє правило, яке описує можливість зайняти одиницю у старшого розряду. Якщо в зменшується дробу після коми менше цифр, ніж у від'ємника, то в ній просто приписують нулі.

Трохи складніше йде справа з завданнями, де потрібно виконати множення і ділення десяткових дробів.

Як помножити десяткову дріб в різних прикладах?

Правило, за яким здійснюється множення десяткових дробів на натуральне число, таке:

записати їх в стовпчик, не звертаючи уваги на кому;

перемножити, як якщо б вони були натуральними;

відокремити коми стільки цифр, скільки їх було в дробової частини вихідного числа.

Окремим випадком є \u200b\u200bприклад, в якому натуральне число дорівнює 10 в будь-якого ступеня. Тоді для отримання відповіді потрібно просто пересунути кому вправо на стільки позицій, скільки нулів в іншому множнику. Іншими словами, при множенні на 10 кома зсувається на одну цифру, на 100 - їх буде вже дві, і так далі. Якщо цифр у дробовій частині не вистачає, то потрібно записати на порожніх позиціях нулі.

Правило, яким користуються, коли в завданні потрібно зробити множення десяткових дробів на інше таке ж число:

записати їх один під одним, не звертаючи уваги на коми;

помножити, як якщо б вони були натуральними;

відокремити коми стільки цифр, скільки їх було в дрібних частинах обох вихідних дробах разом.

Окремим випадком виділяються приклади, в яких один з множників дорівнює 0,1 або 0,01 і далі. У них потрібно виконати переміщення коми вліво на кількість цифр в представлених множниках. Тобто якщо множиться на 0,1, то кома зсувається на одну позицію.

Як розділити десяткову дріб в різних завданнях?

Розподіл десяткових дробів на натуральне число виконується за таким правилом:

записати їх для ділення в стовпчик, як якщо б вони були натуральними;

ділити за звичним правилом до тих пір, поки не закінчиться ціла частина;

поставити у відповідь кому;

продовжити поділ дробової складової до отримання в залишку нуля;

якщо потрібно, то можна приписати потрібну кількість нулів.

Якщо ціла частина дорівнює нулю, то і у відповіді її теж не буде.

Окремо варто розподіл на числа, рівні десятці, сотні і так далі. У таких завданнях потрібно пересунути кому вліво на кількість нулів в дільнику. Буває, що цифр в цілій частині не вистачає, тоді замість них використовують нулі. Можна помітити, що ця операція подібна множенню на 0,1 і подібним їй числах.

Щоб виконати ділення десяткових дробів, потрібно скористатися цим правилом:

перетворити дільник в натуральне число, а для цього перенести в ньому кому вправо до кінця;

виконати переміщення коми і в подільному на таке ж число цифр;

діяти за попереднім сценарієм.

Виділяється розподіл на 0,1; 0,01 і інші подібні числа. У таких прикладах кома зсувається вправо на число цифр у дробовій частині. Якщо вони закінчилися, то потрібно приписати відсутню кількість нулів. Варто відзначити, що це дія повторює розподіл на 10 та подібні йому числа.



Висновок: вся справа в практиці

Ніщо в навчанні не дається легко і без зусиль. Для надійного освоєння нового матеріалу потрібні час і тренування. Математика не виняток.

Щоб тема про десяткові дроби не викликала труднощів, потрібно вирішувати з ними прикладів як можна більше. Адже був час, коли і складання натуральних чисел ставило в глухий кут. А тепер все нормально.

Тому, перефразовуючи відому фразу: вирішувати, вирішувати і ще раз вирішувати. Тоді і завдання з такими числами будуть виконуватися легко і невимушено, як чергова головоломка.

До речі, і головоломки спочатку вирішуються складно, а потім потрібно робити звичні руху. Так само і в математичних прикладах: пройшовши по одному шляху кілька разів, потім вже не будеш замислюватися над тим, куди повернути.