Що таке система рівнянь. Методи рішення систем рівнянь - Гіпермаркет знань. Рішення задач з дробовими числами

Матеріал цієї статті призначений для першого знайомства з системами рівнянь. Тут ми введемо визначення системи рівнянь і її рішень, а також розглянемо найбільш часто зустрічаються види систем рівнянь. Зазвичай будемо приводити пояснюють приклади.

Навігація по сторінці.

Що таке система рівнянь?

До визначення системи рівнянь будемо підбиратися поступово. Спочатку лише скажемо, що його зручно дати, вказавши два моменти: по-перше, вид запису, і, по-друге, вкладений в цю запис сенс. Зупинимося на них по черзі, а потім узагальнимо міркування в визначення систем рівнянь.

Нехай перед нами кілька якихось. Для прикладу візьмемо два рівняння 2 · x + y \u003d -3 і x \u003d 5. Запишемо їх одне під іншим і об'єднаємо зліва фігурною дужкою:

Записи подібного виду, що представляють собою кілька розташованих в стовпчик рівнянь і об'єднаних зліва фігурною дужкою, є записами систем рівнянь.

Що ж означають такі записи? Вони задають безліч всіх таких рішень рівнянь системи, які є рішенням кожного рівняння.

Не завадить описати це іншими словами. Припустимо, якісь рішення першого рівняння є рішеннями і всіх інших рівнянь системи. Так ось запис системи якраз їх і позначає.

Тепер ми готові гідно сприйняти визначення системи рівнянь.

Визначення.

системами рівнянь називають записи, які становлять розташовані один під одним рівняння, об'єднані зліва фігурною дужкою, які позначають безліч всіх рішень рівнянь, які одночасно є рішеннями кожного рівняння системи.

Аналогічне визначення наведене в підручнику, проте там воно дано не для загального випадку, а для двох раціональних рівнянь з двома змінними.

Основні види

Зрозуміло, що різноманітних рівнянь нескінченно багато. Природно, і складених з їх використанням систем рівнянь також нескінченно багато. Тому, для зручності вивчення і роботи з системами рівнянь є сенс їх розділити на групи за схожими характеристиками, а далі перейти до розгляду систем рівнянь окремих видів.

Перший підрозділ напрошується по числу рівнянь, що входять в систему. Якщо рівнянь два, то можна сказати, що перед нами система двох рівнянь, якщо три - то система трьох рівнянь, і т.д. Зрозуміло, що не має сенсу говорити про систему одного рівняння, так як в цьому випадку по суті ми маємо справу з самим рівнянням, а не з системою.

Наступний розподіл базується на кількості змінних, що беруть участь у записі рівнянь системи. Якщо змінна одна, то ми маємо справу з системою рівнянь з однією змінною (ще говорять з однієї невідомої), якщо дві - то з системою рівнянь з двома змінними (з двома невідомими), і т.д. наприклад, - це система рівнянь з двома змінними x і y.

При цьому мається на увазі число всіх різних змінних, що беруть участь у записі. Вони не обов'язково повинні все відразу входити в запис кожного рівняння, досить їх наявності хоча б в одному рівнянні. Наприклад, - це система рівнянь з трьома змінними x, y і z. У першому рівняння змінна x присутній явно, а y і z - неявно (можна вважати, що ці змінні мають нуль), а в другому рівнянні є x і z, а змінна y явно не представлена. Іншими словами, перше рівняння можна розглядати як , А друге - як x + 0 · y-3 · z \u003d 0.

Третій момент, в якому розрізняються системи рівнянь, це вид самих рівнянь.

У школі вивчення систем рівнянь починається з систем двох лінійних рівнянь з двома змінними . Тобто, такі системи становлять два лінійних рівняння. Ось пара прикладів: і . На них і пізнаються ази роботи з системами рівнянь.

При вирішенні більш складних завдань можна зіткнутися і з системами трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими.

Далі в 9 класі в системи двох рівнянь з двома змінними додаються нелінійні рівняння, здебільшого цілі рівняння другого ступеня, рідше - більш високих ступенів. Ці системи називають системами нелінійних рівнянь, при необхідності уточнюють число рівнянь і невідомих. Покажемо приклади таких систем нелінійних рівнянь: і.

А далі в системах зустрічаються і, наприклад,. Їх зазвичай називають просто системами рівнянь, не уточнюючи, які саме рівнянь. Тут варто зауважити, що найбільш часто про систему рівнянь кажуть просто «система рівнянь», а уточнення додають лише при необхідності.

У старших класах у міру вивчення матеріалу в системи проникають ірраціональні, тригонометричні, логарифмічні і показникові рівняння: , , .

Якщо заглянути ще далі в програму перших курсів ВНЗ, то основний упор зроблений на дослідження і рішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР), тобто, рівнянь, в лівих частинах яких многочлени першого ступеня, а в правих - деякі числа. Але там, на відміну від школи, вже беруться не два лінійних рівняння з двома змінними, а довільне число рівнянь з довільним числом змінних, часто не збігається з числом рівнянь.

Що називається рішенням системи рівнянь?

До систем рівнянь безпосередньо відноситься термін «рішення системи рівнянь». У школі дається визначення рішення системи рівнянь з двома змінними :

Визначення.

Рішенням системи рівнянь з двома змінними називається пара значень цих змінних, звертає кожне рівняння системи в вірне, іншими словами, що є рішенням кожного рівняння системи.

Наприклад, пара значень змінних x \u003d 5, y \u003d 2 (її можна записати як (5, 2)) є рішенням системи рівнянь за визначенням, так як рівняння системи при підстановці в них x \u003d 5, y \u003d 2 звертаються в вірні числові рівності 5 + 2 \u003d 7 і 5-2 \u003d 3 відповідно. А ось пара значень x \u003d 3, y \u003d 0 не є вирішенням цієї системи, так як при підстановці цих значень в рівняння, перше з них звернеться в невірне рівність 3 + 0 \u003d 7.

Аналогічні визначення можна сформулювати і для систем з однією змінною, а також для систем з трьома, чотирма і т.д. змінними.

Визначення.

Рішенням системи рівнянь з однією змінною буде значення змінної, що є коренем усіх рівнянь системи, тобто, що звертає всі рівняння в вірні числові рівності.

Наведемо приклад. Розглянемо систему рівнянь з однією змінною t виду . Число -2 є її рішенням, так як і (-2) 2 \u003d 4, і 5 · (-2 + 2) \u003d 0 - вірні числові рівності. А t \u003d 1 - не є рішенням системи, так як підстановка цього значення дасть два невірних рівності 1 2 \u003d 4 і 5 · (1 + 2) \u003d 0.

Визначення.

Рішенням системи з трьома, чотирма і т.д. змінними називається трійка, четвірка і т.д. значень змінних відповідно, звертає в вірні рівності все рівняння системи.

Так за визначенням трійка значень змінних x \u003d 1, y \u003d 2, z \u003d 0 - рішення системи , Так як 2 · 1 \u003d 2, 5 · 2 \u003d 10 і 1 + 2 + 0 \u003d 3 - вірні числові рівності. А (1, 0, 5) не є вирішенням цієї системи, так як при підстановці цих значень змінних в рівняння системи друге з них звертається в невірне рівність 5 · 0 \u003d 10, так і третє теж 1 + 0 + 5 \u003d 3.

Зауважимо, що системи рівнянь можуть не мати рішень, можуть мати кінцеве число рішень, наприклад, одне, два, ..., а можуть мати нескінченно багато рішень. У цьому Ви переконаєтесь у міру поглиблення в тему.

З огляду на визначення системи рівнянь і їх рішень можна зробити висновок, що рішення системи рівнянь являє собою перетин множин рішень всіх її рівнянь.

На закінчення наведемо кілька пов'язаних визначень:

Визначення.

несумісною, Якщо вона не має рішень, в іншому випадку система називається спільної.

Визначення.

Система рівнянь називається невизначеною, Якщо вона має нескінченно багато рішень, і певної, Якщо має кінцеве число рішень, або не має їх взагалі.

Ці терміни вводяться, наприклад, в підручнику, проте в школі застосовуються досить рідко, частіше їх можна почути в вищих навчальних закладах.

Список літератури.

1. алгебра: навч. для 7 кл. загальноосвіт. установ / [Ю. Н. Макаричєв, Н. Г. Миндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; під ред. С. А. Теляковского. - 17-е изд. - М.: Просвещение, 2008. - 240 с. : Ил. - ISBN 978-5-09-019315-3.
2. алгебра: 9 клас: навч. для загальноосвіт. установ / [Ю. Н. Макаричєв, Н. Г. Миндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; під ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М.: Просвещение, 2009. - 271 с. : Ил. - ISBN 978-5-09-021134-5.
3. Мордкович А. Г. Алгебра. 7 клас. У 2 ч. Ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ / А. Г. Мордкович. - 17-е изд., Доп. - М .: Мнемозина, 2013. - 175 с .: іл. ISBN 978-5-346-02432-3.
4. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 клас. У 2 ч. Ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 13-е изд., Стер. - М .: Мнемозина, 2011. - 222 с .: іл. ISBN 978-5-346-01752-3.
5. Мордкович А. Г. Алгебра і початки математичного аналізу. 11 клас. У 2 ч. Ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ (профільний рівень) / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 2-е изд., Стер. - М .: Мнемозина, 2008. - 287 с .: іл. ISBN 978-5-346-01027-2.
6. алгебра і початки аналізу: Учеб. для 10-11 кл. загальноосвіт. установ / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудніцин і ін .; Під ред. А. Н. Колмогорова.- 14-е вид.- М .: Просвещение, 2004. 384 с .: іл.- ISBN 5-09-013651-3.
7. А. Г. Курош. Курс вищої алгебри.
8. Ільїн В. А., Позняк Е. Г. Аналітична геометрія: Учеб .: Для вузів. - 5-е изд. - М .: Наука. Фізматліт, 1999. - 224 с. - (Курс вищої математики і мат. Фізики). - ISBN 5-02-015234 - X (вип. 3)

зміст уроку

Лінійні рівняння з двома змінними

У школяра є 200 рублів, щоб пообідати в школі. Тістечко коштує 25 рублів, а чашка кави 10 рублів. Скільки тістечок і чашок кави можна накупити на 200 рублів?

Позначимо кількість тістечок через x , А кількість чашок кави через y . Тоді вартість тістечок буде позначатися через вираз 25 x , А вартість чашок кави через 10 y .

25x -вартість xтістечок
10y -вартість yчашок кави

Підсумкова сума повинна дорівнювати 200 рублів. Тоді вийде рівняння з двома змінними x і y

25x+ 10y= 200

Скільки коренів має дане рівняння?

Все залежить від апетиту школяра. Якщо він купить 6 тістечок і 5 чашок кави, то корінням рівняння будуть числа 6 і 5.

Кажуть, що пара значень 6 і 5 є корінням рівняння 25 x+ 10y\u003d 200. Записується як (6; 5), при цьому перше число є значенням змінної x , А друге - значенням змінної y .

6 і 5 не єдині коріння, які звертають рівняння 25 x+ 10y\u003d 200 в тотожність. При бажанні на ті ж 200 рублів школяр може купити 4 тістечка і 10 чашок кави:

В цьому випадку корінням рівняння 25 x+ 10y\u003d 200 є пара значень (4; 10).

Більш того, школяр може взагалі не купувати каву, а купити тістечка на все 200 рублів. Тоді корінням рівняння 25 x+ 10y\u003d 200 будуть значення 8 і 0

Або навпаки, не купувати тістечка, а купити кави на всі 200 рублів. Тоді корінням рівняння 25 x+ 10y\u003d 200 будуть значення 0 і 20

Спробуємо перерахувати всі можливі коріння рівняння 25 x+ 10y\u003d 200. Домовимося, що значення x і y належать множині цілих чисел. І нехай ці значення будуть більшими або рівними нулю:

x∈ Z, y∈ Z;
x ≥0, Y ≥0

Так буде зручно і самому школяреві. Тістечка зручніше купувати цілими, ніж наприклад кілька цілих тістечок і половину тістечка. Кава також зручніше брати цілими чашками, ніж наприклад кілька цілих чашок і половину чашки.

Зауважимо, що при непарному x неможливо досягти рівності ні при якому y . тоді значеннями x будуть наступні числа 0, 2, 4, 6, 8. А знаючи x можна без зусиль визначити y

Таким чином, ми отримали наступні пари значень (0; 20), (2; 15), (4; 10), (6; 5), (8; 0). Ці пари є рішеннями або корінням рівняння 25 x+ 10y\u003d 200 .Вони звертають дане рівняння в тотожність.

рівняння виду ax + by \u003d c називають лінійним рівнянням з двома змінними. Рішенням або корінням цього рівняння називають пару значень ( x; y ), Яка звертає його в тотожність.

Відзначимо також, що якщо лінійне рівняння з двома змінними записано у вигляді ax + b y \u003d c, то кажуть, що воно записано в канонічному (Нормальному) вигляді.

Деякі лінійні рівняння з двома змінними можуть бути приведені до канонічного вигляду.

Наприклад, рівняння 2(16x+ 3y -4) = 2(12 + 8x − y) можна привести до виду ax + by \u003d c . Розкриємо дужки в обох частинах цього рівняння, отримаємо 32x + 6y − 8 = 24 + 16x − 2y . Складові, що містять невідомі згрупуємо в лівій частині рівняння, а складові вільні від невідомих - в правій. тоді отримаємо 32x -16x+ 6y+ 2y = 24 + 8 . Наведемо подібні доданки в обох частинах, отримаємо рівняння 16 x+ 8y\u003d 32. Це рівняння приведено до виду ax + by \u003d c і є канонічним.

Розглянуте раніше рівняння 25 x+ 10y\u003d 200 також є лінійним рівнянням з двома змінними в канонічному вигляді. У цьому рівнянні параметри a , b і c дорівнюють значенням 25, 10 і 200 відповідно.

Насправді рівняння ax + by \u003d c має незліченну кількість рішень. вирішуючи рівняння 25x+ 10y= 200, ми шукали його коріння толькона множині цілих чисел. В результаті отримали кілька пар значень, які звертали дане рівняння в тотожність. Але на безлічі раціональних чисел рівняння 25 x+ 10y\u003d 200 буде мати безліч рішень.

Для отримання нових пар значень, потрібно взяти довільне значення для x , Потім висловити y . Наприклад, візьмемо для змінної x значення 7. Тоді отримаємо рівняння з однією змінною 25 × 7 + 10y= 200 в якому можна висловити y

нехай x \u003d 15. тоді рівняння 25x+ 10y\u003d 200 набуде вигляду 25 × 15 + 10y= 200. Звідси знаходимо, що y = −17,5

нехай x \u003d -3. тоді рівняння 25x+ 10y\u003d 200 набуде вигляду 25 × (-3) + 10y= 200. Звідси знаходимо, що y = −27,5

Система двох лінійних рівнянь з двома змінними

для рівняння ax + by \u003d c можна скільки завгодно раз брати довільні значення для x і знаходити значення для y . Окремо взяте таке рівняння матиме безліч рішень.

Але буває і так, що змінні x і y пов'язані не одним, а двома рівняннями. У цьому випадку вони утворюють так звану систему лінійних рівнянь з двома змінними. Така система рівнянь може мати одну пару значень (або по-іншому: «одне рішення»).

Може трапитися і так, що система зовсім не має рішень. Сила-силенна рішень система лінійних рівнянь може мати в рідкісних і у виняткових випадках.

Два лінійних рівняння утворюють систему тоді, коли значення x і y входять в кожне з цих рівнянь.

Повернемося до найпершого рівняння 25 x+ 10y\u003d 200. Однією з пар значень для цього рівняння була пара (6; 5). Це випадок, коли на 200 рублів можна можна було купити 6 тістечок і 5 чашок кави.

Складемо задачу так, щоб пара (6; 5) стала єдиним рішенням для рівняння 25 x+ 10y\u003d 200. Для цього складемо ще одне рівняння, яке пов'язувало б ті ж x тістечок і y чашок кави.

Поставимо текст завдання наступним чином:

«Школяр купив на 200 рублів кілька тістечок і кілька чашок кави. Тістечко коштує 25 рублів, а чашка кави 10 рублів. Скільки тістечок і чашок кави купив школяр, якщо відомо що кількість тістечок на одну одиницю більше кількості чашок кави? »

Перше рівняння у нас вже є. Це рівняння 25 x+ 10y\u003d 200. Тепер складемо рівняння до умови «Кількість тістечок на одну одиницю більше кількості чашок кави» .

Кількість тістечок це x , А кількість чашок кави це y . Можна записати цю фразу за допомогою рівняння x - y \u003d 1. Це рівняння буде означати, що різниця між тістечками і кавою становить 1.

x \u003d y + 1. Це рівняння означає, що кількість тістечок на одиницю більше, ніж кількість чашок кави. Тому для отримання рівності, до кількості чашок кави додана одиниця. Це легко можна зрозуміти, якщо скористатися моделлю ваг, які ми розглядали при вивченні найпростіших завдань:

Отримали два рівняння: 25 x+ 10y\u003d 200 і x \u003d y + 1. Оскільки значення x і y , А саме 6 і 5 входять в кожне з цих рівнянь, то разом вони утворюють систему. Запишемо цю систему. Якщо рівняння утворюють систему, то вони обрамляются знаком системи. Знак системи це фігурна дужка:

Давайте вирішимо цю систему. Це дозволить побачити, як ми прийдемо до значень 6 і 5. Існує багато методів вирішення таких систем. Розглянемо найбільш популярні з них.

метод підстановки

Назва цього методу говорить сама за себе. Суть його полягає в тому, щоб одне рівняння підставити в інше, попередньо висловивши одну з змінних.

У нашій системі нічого висловлювати не потрібно. У другому рівнянні x = y + 1 змінна x вже виражена. Ця змінна дорівнює висловом y+ 1. Тоді можна підставити цей вираз в перше рівняння замість змінної x

Після підстановки виразу y + 1 в перше рівняння замість x , Отримаємо рівняння 25(y+ 1) + 10y= 200 . Це лінійне рівняння з однією змінною. Таке рівняння вирішити досить просто:

Ми знайшли значення змінної y . Тепер підставимо це значення в одне з рівнянь і знайдемо значення x . Для цього зручно використовувати друге рівняння x = y + 1. У нього і підставимо значення y

Значить пара (6; 5) є рішенням системи рівнянь, як ми і задумували. Виконуємо перевірку і переконуємося, що пара (6; 5) задовольняє системі:

приклад 2

Підставами перше рівняння x= 2 + y в друге рівняння 3 x -2y\u003d 9. У першому рівнянні змінна x дорівнює висловом 2 + y . Цей вислів і підставимо в друге рівняння замість x

Тепер знайдемо значення x . Для цього підставимо значення y в перше рівняння x= 2 + y

Значить рішенням системи є пара значення (5; 3)

приклад 3. Вирішити методом підстановки наступну систему рівнянь:

Тут на відміну від попередніх прикладів, одна з змінних не виражена явно.

Щоб підставити одне рівняння в інше, спочатку потрібно.

Висловлювати бажано ту змінну, яка має коефіцієнт одиницю. Коефіцієнт одиницю має змінна x , Яка міститься в першому рівнянні x+ 2y\u003d 11. Цю змінну і висловимо.

Після виразу змінної x , Наша система прийме наступний вигляд:

Тепер підставимо перше рівняння на друге і знайдемо значення y

підставами y x

Значить рішенням системи є пара значень (3, 4)

Звичайно, висловлювати можна і змінну y . Коріння від цього не зміняться. Але якщо висловити y, вийде не дуже-то і просте рівняння, на рішення якого піде більше часу. Виглядати це буде наступним чином:

Бачимо, що в даному прикладі висловлювати x набагато зручніше, ніж висловлювати y .

приклад 4. Вирішити методом підстановки наступну систему рівнянь:

Висловимо в першому рівнянні x . Тоді система набуде вигляду:

y

підставами y в перше рівняння і знайдемо x . Можна скористатися початковим рівнянням 7 x+ 9y\u003d 8, або скористатися рівнянням, в якому виражена змінна x . Цим рівнянням і скористаємося, оскільки це зручно:

Значить рішенням системи є пара значень (5; -3)

метод складання

Метод складання полягає в тому, щоб почленно скласти рівняння, що входять в систему. Це складання призводить до того, що утворюється нове рівняння з однією змінною. А вирішити таке рівняння досить просто.

Вирішимо наступне систему рівнянь:

Складемо ліву частину першого рівняння з лівою частиною другого рівняння. А праву частину першого рівняння з правою частиною другого рівняння. Отримаємо наступне рівність:

Наведемо подібні доданки:

В результаті отримали просте рівняння 3 x\u003d 27 корінь якого дорівнює 9. Знаючи значення x можна знайти значення y . підставами значення x в друге рівняння x - y\u003d 3. Отримаємо 9 - y \u003d 3. Звідси y= 6 .

Значить рішенням системи є пара значень (9; 6)

приклад 2

Складемо ліву частину першого рівняння з лівою частиною другого рівняння. А праву частину першого рівняння з правою частиною другого рівняння. В отриманому рівність наведемо подібні доданки:

В результаті отримали просте рівняння 5 x\u003d 20, корінь якого дорівнює 4. Знаючи значення x можна знайти значення y . підставами значення x в перше рівняння 2 x + y\u003d 11. Отримаємо 8 + y \u003d 11. Звідси y= 3 .

Значить рішенням системи є пара значень (4; 3)

Процес складання докладно не розписують. Його потрібно виконувати в умі. При додаванні обидва рівняння повинні бути приведені до канонічного вигляду. Тобто до виду ac + by \u003d c .

З розглянутих прикладів видно, що основна мета складання рівнянь це позбавлення від однієї з змінних. Але не завжди вдається відразу вирішити систему рівнянь методом складання. Найчастіше систему попередньо приводять до вигляду, при якому можна скласти рівняння, що входять в цю систему.

Наприклад, систему можна відразу вирішити шляхом складання. При додаванні обох рівнянь, складові y і -y зникнуть, оскільки їх сума дорівнює нулю. В результаті утворюється просте рівняння 11 x\u003d 22, корінь якого дорівнює 2. Потім можна буде визначити y рівний 5.

А систему рівнянь шляхом складання відразу вирішити не можна, оскільки це не призведе до зникнення однієї з змінних. Додавання призведе до того, що утворюється рівняння 8 x+ y\u003d 28, що має безліч рішень.

Якщо обидві частини рівняння помножити або розділити на одне й те саме число, не рівне нулю, то вийде рівняння рівносильне даному. Це правило справедливо і для системи лінійних рівнянь з двома змінними. Одне з рівнянь (або обидва рівняння) можна помножити на яке-небудь число. В результаті вийде рівносильна система, коріння якої будуть збігатися з попередньою.

Повернемося до найпершої системі, яка описувала скільки тістечок і чашок кави купив школяр. Рішенням цієї системи була пара значень (6; 5).

Помножимо обидва рівняння, що входять в цю систему на якісь числа. Скажімо перше рівняння помножимо на 2, а друге на 3

В результаті отримали систему
Рішенням цієї системи як і раніше є пара значень (6; 5)

Це означає, що рівняння входять в систему можна привести до вигляду, придатного для застосування методу складання.

Повернемося до системи , Яку ми не змогли вирішити шляхом складання.

Помножимо перше рівняння на 6, а друге на -2

Тоді отримаємо наступну систему:

Складемо рівняння, що входять в цю систему. Додавання компонентів 12 x і -12 x дасть в результаті 0, складання 18 y і 4 y дасть 22 y , А складання 108 і -20 дасть 88. Тоді вийде рівняння 22 y \u003d 88, звідси y = 4 .

Якщо перший час важко складати рівняння в розумі, то можна записувати як складається ліва частина першого рівняння з лівою частиною другого рівняння, а права частина першого рівняння з правою частиною другого рівняння:

Знаючи, що значення змінної y дорівнює 4, можна знайти значення x. підставами y в одне з рівнянь, наприклад в перше рівняння 2 x+ 3y\u003d 18. Тоді отримаємо рівняння з однією змінною 2 x+ 12 \u003d 18. Перенесемо 12 в праву частину, змінивши знак, отримаємо 2 x\u003d 6, звідси x = 3 .

приклад 4. Вирішити таку систему рівнянь методом складання:

Помножимо друге рівняння на -1. Тоді система прийме наступний вигляд:

Складемо обидва рівняння. додавання компонентів x і -x дасть в результаті 0, складання 5 y і 3 y дасть 8 y , А складання 7 і 1 дасть 8. У результаті вийде рівняння 8 y\u003d 8, коріння якого дорівнює 1. Знаючи, що значення y дорівнює 1, можна знайти значення x .

підставами y в перше рівняння, отримаємо x+ 5 \u003d 7, звідси x= 2

приклад 5. Вирішити таку систему рівнянь методом складання:

Бажано, щоб складові містять однакові змінні, розташовувалися один під одним. Тому в другому рівнянні складові 5 y і -2 x поміняємо місцями. В результаті система набуде вигляду:

Помножимо друге рівняння на 3. Тоді система набуде вигляду:

Тепер складемо обидва рівняння. В результаті складання отримаємо рівняння 8 y\u003d 16, корінь якого дорівнює 2.

підставами y в перше рівняння, отримаємо 6 x- 14 \u003d 40. Перенесемо доданок -14 в праву частину, змінивши знак, отримаємо 6 x\u003d 54. Звідси x= 9.

приклад 6. Вирішити таку систему рівнянь методом складання:

Позбудемося дробів. Помножимо перше рівняння на 36, а друге на 12

У вийшла системі перше рівняння можна помножити на -5, а друге на 8

Складемо рівняння в вийшла системі. Тоді отримаємо просте рівняння -13 y\u003d -156. Звідси y\u003d 12. підставами y в перше рівняння і знайдемо x

приклад 7. Вирішити таку систему рівнянь методом складання:

Наведемо обидва рівняння до нормального вигляду. Тут зручно застосувати правило пропорції в обох рівняннях. Якщо в першому рівнянні праву частину уявити як, а праву частину другого рівняння як, то система прийме вигляд:

У нас вийшла пропорція. Перемножимо її крайні і середні члени. Тоді система набуде вигляду:

Перше рівняння помножимо на -3, а в другому розкриємо дужки:

Тепер складемо обидва рівняння. В результаті складання цих рівнянь, ми отримаємо рівність, в обох частинах якого буде нуль:

Виходить, що система має незліченну безліч рішень.

Але ми не можемо просто так взяти з неба довільні значення для x і y . Ми можемо вказати одне зі значень, а інше визначиться в залежності від значення, зазначеного нами. Наприклад, нехай x\u003d 2. Підставами це значення в систему:

В результаті рішення одного з рівнянь, визначиться значення для y , Яке буде задовольняти обом рівнянням:

Отримана пара значень (2; -2) буде задовольняти системі:

Знайдемо ще одну пару значень. нехай x\u003d 4. Підставами це значення в систему:

На око можна визначити, що значення y дорівнює нулю. Тоді отримаємо пару значень (4; 0), яка задовольняє нашій системі:

приклад 8. Вирішити таку систему рівнянь методом складання:

Помножимо перше рівняння на 6, а друге на 12

Перепишемо то, що залишилося:

Перше рівняння помножимо на -1. Тоді система набуде вигляду:

Тепер складемо обидва рівняння. В результаті складання утворюється рівняння 6 b\u003d 48, корінь якого дорівнює 8. Підставами b в перше рівняння і знайдемо a

Система лінійних рівнянь з трьома змінними

В лінійне рівняння з трьома змінними входить три змінні з коефіцієнтами, а також вільний член. У канонічному вигляді його можна записати в такий спосіб:

ax + by + cz \u003d d

Дане рівняння має незліченну кількість рішень. Надаючи двом змінним різні значення, можна знайти третє значення. Рішенням в цьому випадку є трійка значень ( x; y; z) Яка звертає рівняння в тотожність.

якщо змінні x, y, z пов'язані між собою трьома рівняннями, то утворюється система трьох лінійних рівнянь з трьома змінними. Для вирішення такої системи можна застосовувати ті ж методи, які застосовуються до лінійних рівнянь з двома змінними: метод підстановки і метод складання.

приклад 1. Вирішити таку систему рівнянь методом підстановки:

Висловимо в третьому рівнянні x . Тоді система набуде вигляду:

Тепер виконаємо підстановку. Мінлива x дорівнює висловом 3 − 2y − 2z . Підставами цей вислів в перше і друге рівняння:

Розкриємо дужки в обох рівняннях і наведемо подібні доданки:

Ми прийшли до системи лінійних рівнянь з двома змінними. В даному випадку зручно застосувати метод складання. В результаті змінна y зникне, і ми зможемо знайти значення змінної z

Тепер знайдемо значення y . Для цього зручно скористатися рівнянням - y+ z\u003d 4. Підставами в нього значення z

Тепер знайдемо значення x . Для цього зручно скористатися рівнянням x= 3 − 2y − 2z . Підставами в нього значення y і z

Таким чином, трійка значень (3; -2; 2) є рішенням нашої системи. Перевіркою переконуємося, що ці значення задовольняють системі:

приклад 2. Вирішити систему шляхом складання

Складемо перше рівняння з другим, помноженим на -2.

Якщо друге рівняння помножити на -2, то воно набуде вигляду −6x+ 6y -4z = −4 . Тепер складемо його з першим рівнянням:

Бачимо, що в результаті елементарних перетворень, визначилося значення змінної x . Воно дорівнює одиниці.

Повернемося до головної системи. Складемо друге рівняння з третім, помноженим на -1. Якщо третє рівняння помножити на -1, то воно набуде вигляду −4x + 5y − 2z = −1 . Тепер складемо його до другого рівняння:

отримали рівняння x -2y\u003d -1. Підставами в нього значення x , Яке ми знаходили раніше. Тоді ми зможемо визначити значення y

Тепер нам відомі значення x і y . Це дозволяє визначити значення z . Скористаємося одним з рівнянь, що входять в систему:

Таким чином, трійка значень (1; 1; 1) є рішенням нашої системи. Перевіркою переконуємося, що ці значення задовольняють системі:

Завдання на складання систем лінійних рівнянь

Завдання на складання систем рівнянь вирішується шляхом введення декількох змінних. Далі складаються рівняння на підставі умов завдання. З складених рівнянь утворюють систему і вирішують її. Вирішивши систему, необхідно виконати перевірку на те, чи задовольняє її рішення умовами завдання.

завдання 1. З міста в колгосп виїхала машина «Волга». Назад вона поверталася по іншій дорозі, яка була на 5 км коротше першої. Всього в обидва кінці машина проїхала 35 км. Скільки кілометрів становить довжина кожної дороги?

Рішення

нехай x - довжина першої дороги, y - довжина другої. Якщо в обидва кінці машина проїхала 35 км, то перше рівняння можна записати як x+ y\u003d 35. Це рівняння описує суму довжин обох доріг.

Сказано, що назад машина поверталася по дорозі яка була коротшою першою на 5 км. Тоді друге рівняння можна записати як x− y\u003d 5. Це рівняння показує, що різниця між довжинами доріг становить 5 км.

Або друге рівняння можна записати як x= y+ 5. Цим рівнянням і скористаємося.

оскільки змінні x і y в обох рівняннях означають одне і те ж число, то ми можемо утворити з них систему:

Вирішимо цю систему яким-небудь з вивчених раніше методів. В даному випадку зручно скористатися методом підстановки, оскільки в другому рівнянні змінна x вже виражена.

Підставами друге рівняння в перше і знайдемо y

Підставами знайдене значення y в в друге рівняння x= y+ 5 і знайдемо x

Довжина першої дороги була позначена через змінну x . Тепер ми знайшли її значення. Мінлива x дорівнює 20. Значить довжина першої дороги становить 20 км.

А довжина другої дороги була позначена через y . Значення цієї змінної дорівнює 15. Значить довжина другої дороги становить 15 км.

Виконаємо перевірку. Для початку переконаємося, що система вирішена правильно:

Тепер перевіримо чи задовольняє рішення (20; 15) умовам завдання.

Було сказано, що всього в обидва кінці машина проїхала 35 км. Складаємо довжини обох доріг і переконуємося, що рішення (20; 15) задовольняє даній умові: 20 км + 15 км \u003d 35 км

Наступна умова: назад машина поверталася по іншій дорозі, яка була на 5 км коротше першої . Бачимо, що рішення (20; 15) задовольняє і цій умові, оскільки 15 км коротше, ніж 20 км на 5 км: 20 км - 15 км \u003d 5 км

При складанні системи важливо, щоб змінні позначали одні й ті ж числа у всіх рівняннях, що входять в цю систему.

Так наша система містить два рівняння. Ці рівняння в свою чергу містять змінні x і y , Які позначають одні й ті ж числа в обох рівняннях, а саме довжини доріг, рівних 20 км і 15 км.

завдання 2. На платформу були занурені дубові і соснові шпали, всього 300 шпал. Відомо, що всі дубові шпали важили на 1 т менше, ніж всі соснові. Визначити, скільки було дубових і соснових шпал окремо, якщо кожна дубова шпала важила 46 кг, а кожна соснова 28 кг.

Рішення

нехай x дубових і y соснових шпал було завантажено на платформу. Якщо все шпал було 300, то перше рівняння можна записати як x + y = 300 .

Всі дубові шпали важили 46 x кг, а соснові важили 28 y кг. Оскільки дубові шпали важили на 1 т менше, ніж соснові, то друге рівняння можна записати, як 28y -46x= 1000 . Це рівняння показує, що різниця мас між дубовими і сосновими шпалами, становить 1000 кг.

Тонни були переведені в кілограми, оскільки маса дубових і соснових шпал виміряна в кілограмах.

В результаті отримуємо два рівняння, які утворюють систему

Вирішимо дану систему. Висловимо в першому рівнянні x . Тоді система набуде вигляду:

Підставами перше рівняння на друге і знайдемо y

підставами y в рівняння x= 300 − y і дізнаємося чому дорівнює x

Значить на платформу було завантажено 100 дубових і 200 соснових шпал.

Перевіримо чи задовольняє рішення (100; 200) умовам завдання. Для початку переконаємося, що система вирішена правильно:

Було сказано, що всього було 300 шпал. Складаємо кількість дубових і соснових шпал і переконуємося, що рішення (100; 200) задовольняє даній умові: 100 + 200 = 300.

Наступна умова: всі дубові шпали важили на 1 т менше, ніж всі соснові . Бачимо, що рішення (100; 200) задовольняє і цій умові, оскільки 46 × 100 кг дубових шпал легше, ніж 28 × 200 кг соснових шпал: 5600 кг - 4600 кг \u003d 1000 кг.

завдання 3. Взяли три шматка сплаву міді з нікелем у відносинах 2: 1, 3: 1 і 5: 1 за масою. З них сплавлен шматок масою 12 кг з відношенням змісту міді і нікелю 4: 1. Знайдіть масу кожного вихідного шматка, якщо маса першого з них вдвічі більша за масу другого.

вирішити систему з двома невідомими - це значить знайти всі пари значень змінних, які задовольняють кожному з заданих рівнянь. Кожна така пара називається рішенням системи.

приклад:
Пара значень \\ (x \u003d 3 \\); \\ (y \u003d -1 \\) є рішенням першої системи, тому що при підстановці цих трійки і мінус одиниці в замість \\ (x \\) і \\ (y \\), обидва рівняння перетворяться в вірні рівності \\ (\\ begin (cases) 3-2 \\ cdot (-1) \u003d 5 \\\\ 3 \\ cdot 3 + 2 \\ cdot (-1) \u003d 7 \\ end (cases) \\)

А ось \\ (x \u003d 1 \\); \\ (Y \u003d -2 \\) - не є рішенням першої системи, тому що після підстановки друге рівняння «не сходиться» \\ (\\ begin (cases) 1-2 \\ cdot (-2) \u003d 5 \\\\ 3 \\ cdot1 + 2 \\ cdot (-2) ≠ 7 \\ end (cases) \\)

Відзначимо, що такі пари часто записують коротше: замість "\\ (x \u003d 3 \\); \\ (y \u003d -1 \\)" пишуть так: \\ ((3; -1) \\).

Як вирішити систему лінійних рівнянь?

Є три основних способи вирішення систем лінійних рівнянь:

1. Спосіб підстановки.

1. \\ (\\ Begin (cases) 13x + 9y \u003d 17 \\\\ 12x-2y \u003d 26 \\ end (cases) \\)

   У другому рівнянні кожний доданок - парне, тому спрощуємо рівняння, ділячи його на \\ (2 \\).
   

   \\ (\\ Begin (cases) 13x + 9y \u003d 17 \\\\ 6x-y \u003d 13 \\ end (cases) \\)

   Цю систему лінійних рівнянь можна вирішити будь-яким із способів, але мені здається, що спосіб підстановки тут найзручніше. Висловимо y з другого рівняння.
   

   \\ (\\ Begin (cases) 13x + 9y \u003d 17 \\\\ y \u003d 6x-13 \\ end (cases) \\)

   Підставами \\ (6x-13 \\) замість \\ (y \\) в перше рівняння.
   

   \\ (\\ Begin (cases) 13x + 9 (6x-13) \u003d 17 \\\\ y \u003d 6x-13 \\ end (cases) \\)

   Перше рівняння перетворилася в звичайне. Вирішуємо його.

   Спочатку розкриємо дужки.
   

   \\ (\\ Begin (cases) 13x + 54x-117 \u003d 17 \\\\ y \u003d 6x-13 \\ end (cases) \\)

   Перенесемо \\ (117 \\) вправо і наведемо подібні доданки.

   \\ (\\ Begin (cases) 67x \u003d 134 \\\\ y \u003d 6x-13 \\ end (cases) \\)

   Поділимо обидві частини першого рівняння на \\ (67 \\).

   \\ (\\ Begin (cases) x \u003d 2 \\\\ y \u003d 6x-13 \\ end (cases) \\)

   Ура, ми знайшли \\ (x \\)! Підставами його значення в друге рівняння і знайдемо \\ (y \\).

   \\ (\\ Begin (cases) x \u003d 2 \\\\ y \u003d 12-13 \\ end (cases) \\) \\ (\\ Leftrightarrow \\) \\ (\\ begin (cases) x \u003d 2 \\\\ y \u003d -1 \\ end (cases ) \\)

   Запишемо відповідь.

Більш надійні, ніж графічний метод, який розглянули в попередньому параграфі.

метод підстановки

Цей метод ми застосовували в 7-му класі для вирішення систем лінійних рівнянь. Той алгоритм, який був вироблений в 7-му класі, цілком придатний для вирішення систем будь-яких двох рівнянь (не обов'язково лінійних) з двома змінними х і у (зрозуміло, змінні можуть бути позначені і іншими літерами, що не має значення). Фактично цим алгоритмом ми скористалися в попередньому параграфі, коли задача про двозначному числі привела до математичної моделі, що представляє собою систему рівнянь. Цю систему рівнянь ми вирішили вище методом підстановки (див. Приклад 1 з § 4).

Алгоритм використання методу підстановки при вирішенні системи двох рівнянь з двома змінними х, у.

1. Висловити у через х з одного рівняння системи.
2. Підставити отриманий вираз замість у в інше рівняння системи.
3. Вирішити отримане рівняння щодо х.
4. Підставити по черзі кожен з знайдених на третьому кроці коренів рівняння замість х в вираз у через х, отримане на першому кроці.
5. Записати відповідь у вигляді пар значень (х; у), які були знайдені відповідно на третьому і четвертому кроці.

4) Підставами черзі кожне із знайдених значень у в формулу х \u003d 5 - Зу. Якщо то
5) Пари (2; 1) і рішення заданої системи рівнянь.

Відповідь: (2; 1);

Метод алгебраїчного додавання

Цей метод, як і метод підстановки, знаком вам з курсу алгебри 7-го класу, де він застосовувався для вирішення систем лінійних рівнянь. Суть методу нагадаємо на наступному прикладі.

Приклад 2. Вирішити систему рівнянь

Помножимо всі члени першого рівняння системи на 3, а друге рівняння залишимо без зміни:
Віднімемо друге рівняння системи з її першого рівняння:

В результаті алгебраїчного додавання двох рівнянь вихідної системи вийшло рівняння, більш просте, ніж перше і друге рівняння заданої системи. Цим простішим рівнянням ми маємо право замінити будь-яке рівняння заданої системи, наприклад друге. Тоді задана система рівнянь заміниться більш простою системою:

Цю систему можна вирішити методом підстановки. З другого рівняння знаходимо Підставивши цей вираз замість у в перше рівняння системи, отримаємо

Залишилося підставити знайдені значення х в формулу

Якщо х \u003d 2, то

Таким чином, ми знайшли два рішення системи:

Метод введення нових змінних

З методом введення нової змінної при вирішенні раціональних рівнянь з однією змінною ви познайомилися в курсі алгебри 8-го класу. Суть цього методу при вирішенні систем рівнянь та ж сама, але з технічної точки зору є деякі особливості, які ми і обговоримо в наступних прикладах.

Приклад 3. Вирішити систему рівнянь

Введемо нову змінну Тоді перше рівняння системи можна буде переписати в більш простому вигляді: Вирішимо це рівняння щодо змінної t:

Обидва ці значення задовольняють умові, а тому є корінням раціонального рівняння зі змінною t. Але виходить, або звідки знаходимо, що х \u003d 2у, або
Таким чином, за допомогою методу введення нової змінної нам вдалося як би «розшарувати» перше рівняння системи, досить складне по виду, на два простіших рівняння:

х \u003d 2 у; у - 2х.

Що ж далі? А далі кожне з двох отриманих простих рівнянь потрібно по черзі розглянути в системі з рівнянням х 2 - у 2 \u003d 3, про який ми поки не згадували. Іншими словами, завдання зводиться до вирішення двох систем рівнянь:

Треба знайти рішення першої системи, другий системи і всі отримані пари значень включити у відповідь. Вирішимо першу систему рівнянь:

Скористаємося методом підстановки, тим більше що тут для нього все готове: підставимо вираз 2у замість х в друге рівняння системи. отримаємо

Так як х \u003d 2у, то знаходимо відповідно х 1 \u003d 2, х 2 \u003d 2. Тим самим отримані два рішення заданої системи: (2; 1) і (-2; -1). Вирішимо другу систему рівнянь:

Знову скористаємося методом підстановки: підставимо вираз 2х замість у в друге рівняння системи. отримаємо

Це рівняння не має коренів, значить, і система рівнянь не має рішень. Таким чином, у відповідь треба включити тільки рішення першої системи.

Відповідь: (2; 1); (-2; -1).

Метод введення нових змінних при вирішенні систем двох рівнянь з двома змінними застосовується в двох варіантах. Перший варіант: вводиться одна нова змінна і використовується тільки в одному рівнянні системи. Саме так виглядали справи в прикладі 3.Второй варіант: вводяться дві нові змінні і використовуються одночасно в обох рівняннях системи. Так закінчиться справа в прикладі 4.

Приклад 4. Вирішити систему рівнянь

Введемо дві нові змінні:

Врахуємо, що тоді

Це дозволить переписати задану систему в значно більш простому вигляді, але щодо нових змінних а і b:

Так як а \u003d 1, то з рівняння а + 6 \u003d 2 знаходимо: 1 + 6 \u003d 2; 6 \u003d 1. Таким чином, щодо змінних а і b ми отримали одне рішення:

Повертаючись до змінним х і у, отримуємо систему рівнянь

Застосуємо для вирішення цієї системи метод алгебраїчного додавання:

Так як то з рівняння 2x + y \u003d 3 знаходимо:
Таким чином, щодо змінних х і у ми отримали одне рішення:

Завершимо цей параграф коротким, але досить серйозним теоретичним розмовою. Ви вже накопичили певний досвід у вирішенні різних рівнянь: лінійних, квадратних, раціональних, ірраціональних. Ви знаєте, що основна ідея рішення рівняння полягає в поступовому переході від одного рівняння до іншого, більш простому, але рівносильному заданому. У попередньому параграфі ми ввели поняття равносильности для рівнянь з двома змінними. Використовують це поняття і для систем рівнянь.

Визначення.

Дві системи рівнянь зі змінними х і у називають рівносильними, якщо вони мають одні й ті ж рішення або якщо обидві системи не мають рішень.

Усі три методи (підстановки, алгебраїчного додавання і введення нових змінних), які ми обговорили в цьому параграфі, абсолютно коректні з точки зору равносильности. Іншими словами, використовуючи ці методи, ми замінюємо одну систему рівнянь інший, більш простий, але равносильной первісну систему.

Графічний метод рішення систем рівнянь

Ми вже з вами навчилися вирішувати системи рівнянь такими поширеними і надійними способами, як метод підстановки, алгебраїчного додавання і введення нових змінних. А тепер давайте з вами згадаємо, метод, який ви вже вивчали на попередньому уроці. Тобто давайте повторимо, що ви знаєте про графічному методі рішення.

Метод рішення систем рівняння графічним способом є побудова графіка для кожного з конкретних рівнянь, які входять в дану систему і знаходяться в одній координатної площині, а також де потрібно знайти перетину точок цих графіків. Для вирішення даної системи рівнянь є координати цієї точки (x; y).

Слід згадати, що для графічної системи рівнянь властиво мати або одне єдине вірне рішення, або безліч рішень, або ж не мати рішень взагалі.

А тепер на кожному з цих рішень зупинимося докладніше. І так, система рівнянь може мати єдине рішення в разі, якщо прямі, які є графіками рівнянь системи, перетинаються. Якщо ж ці прямі паралельні, то така система рівнянь абсолютно не має рішень. У разі ж збігу прямих графіків рівнянь системи, то тоді така система дозволяє знайти безліч рішень.

Ну а тепер давайте з вами розглянемо алгоритм розв'язання системи двох рівнянь з 2-ма невідомими графічним методом:

По-перше, спочатку ми з вами будуємо графік 1-го рівняння;
Другим етапом буде побудова графіка, який відноситься до другого рівняння;
По-третє, нам необхідно знайти точки перетину графіків.
І в результаті ми отримуємо координати кожної точки перетину, які і будуть рішенням системи рівнянь.

Давайте цей метод розглянемо більш докладно на прикладі. Нам дана система рівнянь, яку необхідно вирішити:

рішення рівнянь

1. Спочатку ми з вами будемо будувати графік даного рівняння: x2 + y2 \u003d 9.

Але слід зауважити, що даними графіком рівнянь буде окружність, що має центр на початку координат, а її радіус буде дорівнює трьом.

2. Наступним нашим кроком буде побудова графіка такого рівняння, як: y \u003d x - 3.

У цьому випадку, ми повинні побудувати пряму і знайти точки (0; -3) і (3; 0).

3. Дивимося, що у нас вийшло. Ми бачимо, що пряма перетинає коло в двох її точках A і B.

Тепер ми з вами шукаємо координати цих точок. Ми бачимо, що координати (3; 0) відповідають точці А, а координати (0; -3) відповідно точці В.

І що ми отримуємо в результаті?

Утворені при перетині прямої з колом числа (3; 0) і (0; -3), якраз і є рішеннями обох рівнянь системи. А з цього випливає, що дані числа є і рішеннями цієї системи рівнянь.

Тобто, відповіддю цього рішення є числа: (3; 0) і (0; -3).

Ідея методу. Вибирається рівняння, в якому одна з змінних найбільш просто виражається через інші змінні. Отриманий вираз цієї змінної підставляється в решту рівняння системи.

1. b) Комбінування з іншими методами.

ідея методу. Якщо метод прямої підстановки не застосовують на початковому етапі рішення, то використовуються рівносильні перетворення систем (почленное додавання, віднімання, множення, ділення), а потім проводять безпосередньо пряму підстановку.

2) Метод незалежного рішення одного з рівнянь.

ідея методу. Якщо в системі міститься рівняння, в якому знаходяться взаємно зворотні вираження, то вводиться нова змінна і щодо її вирішується рівняння. Потім система розпадається на кілька простіших систем.

Вирішити систему рівнянь

Розглянемо перше рівняння системи:

Зробивши заміну, де t ≠ 0, отримуємо

Звідки t 1 \u003d 4, t 2 \u003d 1/4.

Повертаючись до старих змінним, розглянемо два випадки.

Корінням рівняння 4у 2 - 15у - 4 \u003d 0 є у 1 \u003d 4, у 2 \u003d - 1/4.

Корінням рівняння 4х 2 + 15х - 4 \u003d 0 є х 1 \u003d - 4, х 2 \u003d 1/4.

3) Зведення системи до об'єднання простіших систем.

1. a) Розкладання на множники способом винесення спільного множника.

Ідея методу. Якщо в одному з рівнянь є загальний множник, то це рівняння розкладають на множники і, з огляду на рівність вираження нулю, переходять до вирішення більш простих систем.

1. b) Розкладання на множники через рішення однорідного рівняння.

Ідея методу. Якщо одне з рівнянь є однорідне рівняння (, то вирішивши його щодо однієї з змінних, розкладаємо на множники, наприклад: a (x-x 1) (x-x 2) і, з огляду на рівність вираження нулю, переходимо до вирішення більш простих систем.

Вирішимо першу систему

1. c) Використання однорідності.

Ідея методу. Якщо в системі є вираз, що представляє собою твір змінних величин, то застосовуючи метод алгебраїчного додавання, отримують однорідне рівняння, а потім використовують метод розкладання на множники через рішення однорідного рівняння.

4) Метод алгебраїчного додавання.

Ідея методу. В одному з рівнянь позбавляємося від однієї з невідомих, для цього зрівнює модулі коефіцієнтів при одній з змінних, потім виробляємо або почленное складання рівнянь, або віднімання.

5) Метод множення рівнянь.

Ідея методу.Якщо немає таких пар (х; у), при яких обидві частини одного з рівнянь звертаються в нуль одночасно, то це рівняння можна замінити твором обох рівнянь системи.

Вирішимо друге рівняння системи.

Нехай \u003d t, тоді 4t 3 + t 2 -12t -12 \u003d 0. Застосовуючи наслідок з теореми про коріння многочлена, маємо t 1 \u003d 2.

Р (2) \u003d 4 ∙ 2 3 +2 2 - 12 ∙ 2 - 12 \u003d 32 + 4 - 24 - 12 \u003d 0. знизився ступінь многочлена, використовуючи метод невизначених коефіцієнтів.

4t 3 + t 2 -12t -12 \u003d (t - 2) (at 2 + bt + c).

4t 3 + t 2 -12t -12 \u003d at 3 + bt 2 + ct - 2at 2 -2bt - 2c.

4t 3 + t 2 - 12t -12 \u003d at 3 + (b - 2a) t 2 + (c -2b) t - 2c.

Отримуємо рівняння 4t 2 + 9t + 6 \u003d 0, яке не має коренів, так як D \u003d 9 2 - 4 ∙ 4 ∙ 6 \u003d -15<0.

Повертаючись до змінної у, маємо \u003d 2, звідки у \u003d 4.

Відповідь. (1; 4).

6) Метод розподілу рівнянь.

Ідея методу. Якщо немає таких пар (х; у), при яких обидві частини одного з рівнянь звертаються в нуль одночасно, то це рівняння можна замінити рівнянням, яке виходить при розподілі одного рівняння системи на інше.

7) Метод введення нових змінних.

Ідея методу. Деякі вирази від вихідних змінних приймаються за нові змінні, що призводить до більш простої, ніж первісна, системі від цих змінних. Після того як нові змінні будуть знайдені, потрібно знайти значення вихідних змінних.

Повертаючись до старих змінним, маємо:

Вирішуємо першу систему.

8) Застосування теореми Вієта.

Ідея методу. Якщо система складена так, одне з рівнянь представлено у вигляді суми, а друге - у вигляді твору деяких чисел, які є країнами деякого квадратного рівняння, то застосовуючи теорему Вієта складаємо квадратне рівняння і вирішуємо його.

Відповідь. (1; 4), (4; 1).

Для вирішення симетричних систем застосовується підстановка: х + у \u003d а; ху \u003d в. При вирішенні симетричних систем використовуються наступні перетворення:

х 2 + у 2 \u003d (х + у) 2 - 2ху \u003d а 2 - 2в; х 3 + у 3 \u003d (х + у) (х 2 - ху + у 2) \u003d а (а 2 -3В);

х 2 у + ху 2 \u003d ху (х + у) \u003d ав; (Х +1) ∙ (у +1) \u003d ху + х + у + 1 \u003d а + в +1;

Відповідь. (1; 1), (1; 2), (2; 1).

10) «Граничні задачі».

Ідея методу. Рішення системи виходять шляхом логічних міркувань, пов'язаних зі структурою області визначення або безлічі значень функцій, дослідження знака дискримінанту квадратного рівняння.

Особливість цієї системи в тому, що число змінних в ній більше числа рівнянь. Для нелінійних систем така особливість часто є ознакою «граничної задачі». Виходячи з виду рівнянь, спробуємо знайти безліч значень функції, яка зустрічається і в першому, і в другому рівнянні системи. Так як х 2 + 4 ≥ 4, то з першого рівняння слід, що

Відповідь (0; 4; 4), (0; -4; -4).

11) Графічний метод.

ідея методу. Будують графіки функцій в одній системі координат і знаходять координати точок їх перетину.

1) Переписавши перше рівняння систем у вигляді у \u003d х 2, приходимо до висновку: графіком рівняння є парабола.

2) Переписавши друге рівняння систем у вигляді у \u003d 2 / х 2, приходимо до висновку: графіком рівняння є гіпербола.

3) Парабола і гіпербола перетинаються в точці А. Точка перетину тільки одна, оскільки права гілка параболи служить графіком зростаючої функції, а права гілка гіперболи - спадання. Судячи з побудованої геометричній моделі точка А має координати (1; 2). Перевірка показує, що пара (1, 2) є рішенням обох рівнянь системи.