Як спрощувати алгебраїчні вирази. Складні вирази з дробом. Порядок дій Перетворення виразів дії з дробами

З курсу алгебри шкільної програми переходимо до конкретики. У цій статті ми детально вивчимо особливий вид раціональних виразів - раціональні дроби, А також розберемо, які характерні тотожні перетворення раціональних дробів мають місце.

Відразу відзначимо, що раціональні дроби в тому сенсі, в якому ми їх визначимо нижче, в деяких підручниках алгебри називають алгебраїчними дробами. Тобто, в цій статті ми під раціональними і алгебраїчними дробами будемо розуміти одне і те ж.

Зазвичай почнемо з визначення і прикладів. Далі поговоримо про приведення раціонального дробу до нового знаменника і про зміну знаків у членів дробу. Після цього розберемо, як виконується скорочення дробів. Нарешті, зупинимося на представленні раціонального дробу у вигляді суми декількох дробів. Всю інформацію будемо постачати прикладами з докладними описами рішень.

Навігація по сторінці.

Визначення і приклади раціональних дробів

Раціональні дроби вивчаються на уроках алгебри у 8 класі. Ми будемо використовувати визначення раціонального дробу, яке дається в підручнику алгебри для 8 класів Ю. Н. Макаричева і ін.

В даному визначенні не уточнюється, чи повинні многочлени в чисельнику і знаменнику раціонального дробу бути многочленами стандартного виду чи ні. Тому, будемо вважати, що в записах раціональних дробів можуть міститися як многочлени стандартного виду, так і не стандартного.

Наведемо кілька прикладів раціональних дробів. Так, x / 8 і - раціональні дроби. А дроби і не підходять під озвучене визначення раціонального дробу, так як в першій з них в чисельнику стоїть не многочлен, а в другій і в чисельнику і в знаменнику знаходяться вирази, які не є многочленами.

Перетворення чисельника і знаменника раціонального дробу

Чисельник і знаменник будь дробу є самодостатні математичні вирази, в разі раціональних дробів - це многочлени, в окремому випадку - одночлени і числа. Тому, з чисельником і знаменником раціонального дробу, як і з будь-яким виразом, можна проводити тотожні перетворення. Іншими словами, вираз в чисельнику раціональної дробу можна замінювати тотожне рівним йому виразом, як і знаменник.

У чисельнику і знаменнику раціонального дробу можна виконувати тотожні перетворення. Наприклад, в чисельнику можна провести угруповання і зведення подібних доданків, а в знаменнику - твір кількох чисел замінити його значенням. А так як чисельник і знаменник раціонального дробу є многочлени, то з ними можна виконувати і характерні для многочленів перетворення, наприклад, приведення до стандартного вигляду або подання до вигляді твору.

Для наочності розглянемо рішення кількох прикладів.

Приклад.

Перетворіть раціональну дріб так, щоб в чисельнику виявився многочлен стандартного вигляду, а в знаменнику - твір многочленів.

Рішення.

Приведення раціональних дробів до нового знаменника в основному застосовується при додаванні і вирахуванні раціональних дробів.

Зміна знаків перед дробом, а також в її чисельнику і знаменнику

Основна властивість дробу можна використовувати для зміни знаків у членів дробу. Дійсно, множення чисельника і знаменника раціонального дробу на -1 рівносильно зміні їх знаків, а в результаті вийде дріб, тотожно рівна даної. До такого перетворення доводиться досить часто звертатися при роботі з раціональними дробами.

Таким чином, якщо одночасно змінити знаки у чисельника і знаменника дробу, то вийде дріб, що дорівнює вихідній. Цьому твердженню відповідає рівність.

Наведемо приклад. Раціональну дріб можна замінити тотожне рівний їй дробом з зміненими знаками чисельника і знаменника виду.

З дробом можна провести ще одне тотожне перетворення, при якому змінюється знак або в чисельнику, або в знаменнику. Озвучимо відповідне правило. Якщо замінити знак дробу разом зі знаком чисельника або знаменника, то вийде дріб, тотожно рівна вихідної. Записаному твердженням відповідають рівності і.

Довести ці рівності не складає труднощів. В основі докази лежать властивості множення чисел. Доведемо перше з них:. За допомогою аналогічних перетворень доводиться і рівність.

Наприклад, дріб можна замінити виразом або.

На закінчення цього пункту наведемо ще два корисних рівності і. Тобто, якщо змінити знак тільки у чисельника або тільки у знаменника, то дріб змінить свій знак. наприклад, і .

Розглянуті перетворення, що дозволяють змінювати знак у членів дробу, часто застосовуються при перетворенні дрібно раціональних виразів.

Скорочення раціональних дробів

В основі наступного перетворення раціональних дробів, що має назву скорочення раціональних дробів, лежить все теж основна властивість дробу. Цьому перетворенню відповідає рівність, де a, b і c - деякі многочлени, причому b і c - ненульові.

З наведеного рівності стає зрозуміло, що скорочення раціонального дробу на увазі позбавлення від загального множника в її чисельнику і знаменнику.

Приклад.

Скоротіть раціональну дріб.

Рішення.

Відразу видно загальний множник 2, виконаємо скорочення на нього (при записі загальні множники, на які скорочують, зручно закреслювати). маємо . Так як x 2 \u003d x · x і y 7 \u003d y 3 · y 4 (при необхідності дивіться), то зрозуміло, що x є загальним множником чисельника і знаменника отриманої дробу, як і y 3. Проведемо скорочення на ці множники: . На цьому скорочення завершено.

Вище ми виконували скорочення раціонального дробу послідовно. А можна було виконати скорочення в один крок, відразу скоротивши дріб на 2 · x · y 3. У цьому випадку рішення виглядало б так: .

відповідь:

.

При скороченні раціональних дробів основна проблема полягає в тому, що загальний множник чисельника і знаменника далеко не завжди видно. Більш того, він не завжди існує. Для того, щоб знайти спільну множник або переконатися в його відсутності потрібно чисельник і знаменник раціонального дробу розкласти на множники. Якщо загального множника немає, то вихідна раціональний дріб не потребує скорочення, в іншому випадку - проводиться скорочення.

У процесі скорочення раціональних дробів можуть виникати різні нюанси. Основні тонкощі на прикладах і в деталях розібрані в статті скорочення алгебраїчних дробів.

Завершуючи розмову про скорочення раціональних дробів, відзначимо, що це перетворення є тотожним, а основна складність в його проведенні полягає в розкладанні на множники многочленів в чисельнику і знаменнику.

Подання раціонального дробу у вигляді суми дробів

Досить специфічним, але в деяких випадках дуже корисним, виявляється перетворення раціональної дробу, що полягає в її поданні у вигляді суми декількох дробів, або сумі цілого виразу і дробу.

Раціональну дріб, у чисельнику якого знаходиться многочлен, що представляє собою суму декількох одночленним, завжди можна записати як суму дробів з однаковими знаменниками, в чисельнику яких знаходяться відповідні одночлени. наприклад, . Таке уявлення пояснюється правилом додавання і віднімання алгебраїчних дробів з однаковими знаменниками.

Взагалі, будь-яку раціональну дріб можна представити у вигляді суми дробів безліччю різних способів. Наприклад, дріб a / b можна представити як суму двох дробів - довільної дробу c / d і дробу, що дорівнює різниці дробів a / b і c / d. Це твердження справедливо, так як має місце рівність . Наприклад, раціональну дріб можна представити у вигляді суми дробів різними способами: Уявімо вихідну дріб у вигляді суми цілого виразу і дробу. Виконавши розподіл чисельника на знаменник стовпчиком, ми отримаємо рівність . Значення вираження n 3 +4 при будь-якому цілому n є цілим числом. А значення дробу є цілим числом тоді і тільки тоді, коли її знаменник дорівнює 1, -1, 3 або -3. Цим значенням відповідають значення n \u003d 3, n \u003d 1, n \u003d 5 і n \u003d -1 відповідно.

відповідь:

−1 , 1 , 3 , 5 .

Список літератури.

• алгебра: навч. для 8 кл. загальноосвіт. установ / [Ю. Н. Макаричєв, Н. Г. Миндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; під ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М.: Просвещение, 2008. - 271 с. : Ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Мордкович А. Г. Алгебра. 7 клас. У 2 ч. Ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ / А. Г. Мордкович. - 13-е изд., Испр. - М .: Мнемозина, 2009. - 160 с .: іл. ISBN 978-5-346-01198-9.
• Мордкович А. Г. Алгебра. 8 клас. У 2 ч. Ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ / А. Г. Мордкович. - 11-е изд., Стер. - М .: Мнемозина, 2009. - 215 с .: іл. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Гусєв В. А., Мордкович А. Г. Математика (посібник для вступників до технікумів): Учеб. посібник.- М .; Вища. шк., 1984.-351 с., іл.

дробу

Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали в Особливому розділі 555.
Для тих, хто сильно "не дуже ..."
І для тих, хто "дуже навіть ...")

Дробу в старших класах не сильно докучають. До пори до часу. Ще не зіткнетеся зі ступенями з раціональними показниками та логарифмами. А ось там .... Тиснеш, тиснеш калькулятор, а він все повне табло якихось циферок показує. Доводиться головою думати, як в третьому класі.

Давайте вже розберемося з дробом, нарешті! Ну скільки можна в них плутатися !? Тим більше, це все просто і логічно. Отже, які бувають дробу?

Види дробів. Перетворення.

Дробу бувають трьох видів.

1. звичайні дроби , Наприклад:

Іноді замість горизонтальної рисочки ставлять похилу риску: 1/2, 3/4, 19/5, ну, і так далі. Тут ми часто будемо таким написанням користуватися. Верхнє число називається числителем, Нижнє - знаменником. Якщо ви постійно плутаєте ці назви (буває ...), скажіть собі з виразом фразу: " Зззззапомні! Зззззнаменатель - вни зззззу! "Дивишся, все і ззззапомнітся.)

Риска, що горизонтальна, що похила, означає поділ верхнього числа (чисельника) на нижню (знаменник). І все! Замість рисочки цілком можна поставити знак ділення - дві точки.

Коли поділ можливо без остачі, це треба робити. Так, замість дробу "32/8" набагато приємніше написати число "4". Тобто 32 просто поділити на 8.

32/8 = 32: 8 = 4

Я вже й не кажу про дріб "4/1". Яка теж просто "4". А якщо вже не ділиться без остачі, так і залишаємо, у вигляді дробу. Іноді доводиться зворотну операцію проробляти. Робити з цілого числа дріб. Але про це далі.

2. десяткові дроби , Наприклад:

Саме в такому вигляді потрібно буде записувати відповіді на завдання "В".

3. змішані числа , Наприклад:

Змішані числа практично не використовуються в старших класах. Для того, щоб з ними працювати, їх всяко треба переводити в звичайні дроби. Але це точно треба вміти робити! А то трапиться таке число в завданню і ЗАВІСНА ... На порожньому місці. Але ми-то згадаємо цю процедуру! Трохи нижче.

найбільш універсальні звичайні дроби. З них і почнемо. До речі, якщо в дробу стоять всякі логарифми, синуси і інші літери, це нічого не змінює. В тому сенсі що все дії з дробовими виразами нічим не відрізняються від дій зі звичайними дробами!

Основна властивість дробу.

Отже, поїхали! Для початку я вас здивую. Все різноманіття перетворень дробів забезпечується одним-єдиним властивістю! Воно так і називається, основну властивість дробу. запам'ятовуйте: якщо чисельник і знаменник дробу помножити (поділити) на одне і те ж число, дріб не зміниться. тобто:

Зрозуміло, що писати можна далі, до посиніння. Синуси і логарифми нехай вас не бентежать, з ними далі розберемося. Головне зрозуміти, що всі ці різноманітні висловлювання є одна і та ж дріб . 2/3.

А воно нам треба, всі ці перетворення? Ще й як! Зараз самі побачите. Для початку вживемо основну властивість дробу для скорочення дробів. Здавалося б, річ елементарна. Ділимо чисельник і знаменник на одне і те ж число і всі справи! Помилитися неможливо! Але ... людина - істота творча. Помилитися всюди може! Особливо, якщо доводиться скорочувати НЕ дріб типу 5/10, а дробове вираження зі всякими літерами.

Як правильно і швидко скорочувати дроби, не роблячи зайвої роботи, можна прочитати в особливому розділі 555.

Нормальний учень не заморочується розподілом чисельника і знаменника на одне і те ж число (або вираз)! Він просто закреслює все однакове зверху і знизу! Тут-то і криється типова помилка, Ляп, якщо хочете.

Наприклад, треба спростити вираз:

Тут і думати нема чого, зачеркиваем букву "а" зверху і двійку знизу! отримуємо:

Все правильно. Але реально ви поділили весь чисельник і весь знаменник на "а". Якщо ви звикли просто закреслювати, то, похапцем, можете закреслити "а" в вираженні

і отримати знову

Що буде категорично невірно. Тому що тут весь чисельник на "а" вже не ділиться! Цю дріб скоротити не можна. До речі, таке скорочення - це, гм ... серйозний виклик викладачеві. Такого не прощають! Запам'ятали? При скороченні ділити треба весь чисельник і весь знаменник!

Скорочення дробів сильно полегшує життя. Вийде десь у вас дріб, наприклад 375/1000. І як тепер з нею далі працювати? Без калькулятора? Множити, скажімо, складати, в квадрат зводити !? А якщо не полінуватися, так акуратненько скоротити на п'ять, та ще на п'ять, та ще ... поки скорочується, коротше. Отримаємо 3/8! Куди приємніше, правда?

Основна властивість дробу дозволяє переводити звичайні дроби в десяткові і навпаки без калькулятора! Це важливо на ЄДІ, вірно?

Як переводити дроби з одного виду в інший.

З десятковими дробами все просто. Як чується, так і пишеться! Скажімо, 0,25. Це нуль цілих, двадцять п'ять сотих. Так і пишемо: 25/100. Скорочуємо (ділимо чисельник і знаменник на 25), отримуємо звичайну дріб: 1/4. Усе. Буває, і не скорочується нічого. Типу 0,3. Це три десятих, тобто 3/10.

А якщо цілих - НЕ нуль? Нічого страшного. Записуємо всю дріб без всяких ком в чисельник, а в знаменник - то, що чується. Наприклад: 3,17. Це три цілих, сімнадцять сотих. Пишемо в чисельник 317, а в знаменник 100. Отримуємо 317/100. Нічого не скорочується, значить все. Це відповідь. Елементарно, Ватсон! З усього сказаного корисний висновок: будь-яку десяткову дріб можна перетворити в звичайну .

А ось зворотне перетворення, звичайної в десяткову, деякі без калькулятора не можуть зробити. А треба! Як ви відповідь записувати будете на ЄДІ !? Уважно читаємо і освоюємо цей процес.

Десяткова дріб ніж характерна? У неї в знаменнику завжди коштує 10, або 100, або 1000, або 10000 і так далі. Якщо ваша звичайна дріб має такий знаменник, проблем немає. Наприклад, 4/10 \u003d 0,4. Або 7/100 \u003d 0,07. Або 12/10 \u003d 1,2. А якщо у відповіді на завдання розділу "В" вийшло 1/2? Що у відповідь писати будемо? Там десяткові потрібні ...

згадуємо основну властивість дробу ! Математика прихильно дозволяє множити чисельник і знаменник на одне і те ж число. На будь-який, між іншим! Крім нуля, зрозуміло. Ось і застосуємо це властивість собі на користь! На що можна помножити знаменник, тобто 2 щоб він став 10, або 100, або 1000 (трохи менше краще, звичайно ...)? На 5, очевидно. Сміливо множимо знаменник (це нам треба) на 5. Але, тоді і чисельник треба помножити теж на 5. Це вже математика вимагає! Отримаємо 1/2 \u003d 1х5 / 2х5 \u003d 5/10 \u003d 0,5. От і все.

Однак, знаменники всякі попадаються. Попадеться, наприклад дріб 3/16. Спробуй, зміркуй тут, на що 16 помножити, щоб 100 вийшло, або 1000 ... Не виходить? Тоді можна просто розділити 3 на 16. За відсутністю калькулятора ділити доведеться куточком, на папірці, як в молодших класах вчили. Отримаємо 0,1875.

А бувають і зовсім кепські знаменники. Наприклад, дріб 1/3 ну ніяк не перетвориш в хорошу десяткову. І на калькуляторі, і на папірці, ми отримаємо 0,3333333 ... Це означає, що 1/3 в точну десяткову дріб нЕ перекладається. Так само, як і 1/7, 5/6 і так далі. Багато їх, неперекладних. Звідси ще один корисний висновок. Не кожна звичайна дріб перекладається в десяткову !

До речі, це корисна інформація для самоперевірки. У розділі "В" у відповідь треба десяткову дріб записувати. А у вас вийшло, наприклад, 4/3. Ця дріб не переводиться в десяткову. Це означає, що десь ви помилилися дорогою! Поверніться, перевірте рішення.

Отже, зі звичайними і десятковими дробами розібралися. Залишилося розібратися зі змішаними числами. Для роботи з ними їх всяко потрібно перевести в звичайні дроби. Як це зробити? Можна зловити шестикласника і запитати у нього. Але не завжди шестикласник опиниться під руками ... Доведеться самим. Це не складно. Треба знаменник дробової частини помножити на цілу частину і додати чисельник дробової частини. Це буде чисельник звичайного дробу. А знаменник? Знаменник залишиться тим же самим. Звучить складно, але на ділі все елементарно. Дивимося приклад.

Нехай в завданню ви з жахом побачили число:

Спокійно, без паніки міркуємо. Ціла частина - це 1. Одиниця. Дрібна частина - 3/7. Стало бути, знаменник дробової частини - 7. Цей знаменник і буде знаменником звичайного дробу. Вважаємо чисельник. 7 множимо на 1 (ціла частина) і додаємо 3 (чисельник дробової частини). Отримаємо 10. Це буде чисельник звичайного дробу. От і все. Ще простіше це виглядає в математичної записи:

Ясненько? Тоді закріпіть успіх! Переведіть в звичайні дроби. У вас повинно вийти 10/7, 7/2, 23/10 і 21/4.

Зворотна операція - переклад неправильного дробу в змішане число - в старших класах рідко потрібно. Ну якщо вже ... І якщо Ви - не в старших класах - можете заглянути в особливий Розділ 555. Там же, до речі, і про неправильні дроби дізнаєтеся.

Ну ось, практично і все. Ви згадали види дробів і зрозуміли, як переводити їх з одного виду в інший. Залишається питання: навіщо це робити? Де і коли застосовувати ці глибокі пізнання?

Відповідаю. Будь приклад сам підказує необхідні дії. Якщо в прикладі змішалися в купу звичайні дроби, десяткові, та ще й змішані числа, переводимо все в звичайні дроби. Це завжди можна зробити. Ну а якщо написано, що-небудь типу 0,8 + 0,3, то так і вважаємо, без жодного перекладу. Навіщо нам зайва робота? Ми вибираємо той шлях вирішення, який зручний нам !

Якщо в завданні суцільно десяткові дроби, але гм ... злі якісь, перейдіть до звичайних, спробуйте! Дивишся, все і налагодиться. Наприклад, доведеться в квадрат зводити число 0,125. Не так-то просто, якщо від калькулятор не відвикли! Мало того, що числа перемножувати стовпчиком треба, так ще думай, куди кому вставити! У розумі точно не вийде! А якщо перейти до звичайного дробу?

0,125 \u003d 125/1000. Скорочуємо на 5 (це для початку). Отримуємо 25/200. Ще раз на 5. Отримуємо 5/40. О, ще скорочується! Знову на 5! Отримуємо 1/8. Легко зводимо в квадрат (в розумі!) І отримуємо 1/64. Усе!

Підіб'ємо підсумки цього уроку.

1. Дроби бувають трьох видів. Звичайні, десяткові і змішані числа.

2. Десяткові дроби і змішані числа завжди можна перевести в звичайні дроби. зворотній переклад не завжди можливий.

3. Вибір виду дробів для роботи із завданням залежить від цього самого завдання. При наявності різних видів дробів в одному завданні, найнадійніше - перейти до звичайних дробів.

Тепер можна потренуватися. Для початку переведіть ці десяткові дроби в звичайні:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

Повинні вийти ось такі відповіді (в безладді!):

На цьому і завершимо. У цьому уроці ми освіжили в пам'яті ключові моменти по дробям. Буває, правда, що освіжати особливо нічого ...) Якщо вже хто зовсім міцно забув, або ще не освоїв ... Тим можна пройти в особливий Розділ 555. Там все основи подробненько розписані. багато раптом все розуміти починають. І вирішують дроби з льоту).

Якщо Вам подобається цей сайт ...

До речі, у мене є ще парочка цікавих сайтів для Вас.)

Можна потренуватися у вирішенні прикладів і дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося - з інтересом!)

можна познайомитися з функціями і похідними.

Спрощення виразів алгебри є одним з ключових моментів вивчення алгебри і надзвичайно корисним навиком для всіх математиків. Спрощення дозволяє привести складне або довге вираження до простого висловом, з яким легко працювати. Базові навички спрощення добре даються навіть тим, хто не в захваті від математики. Дотримуючись кілька простих правил, можна спростити багато з найбільш поширених типів алгебраїчних виразів без будь-яких спеціальних математичних знань.

кроки

важливі визначення

1. подібні члени . Це члени зі змінною одного порядку, члени з однаковими змінними або вільні члени (члени, що не містять змінну). Іншими словами, подібні члени включають одну змінну в одній і тій же мірі, включають кілька однакових змінних або не включають змінну зовсім. Порядок членів у виразі не має значення.

   • Наприклад, 3x 2 і 4x 2 - це подібні члени, так як вони містять змінну «х» другого порядку (в другому ступені). Однак х і x 2 не є подібними членами, так як містять змінну «х» різних порядків (першого і другого). Точно так же -3yx і 5хz не є подібними членами, так як містять різні змінні.

2. Розкладання на множники . Це знаходження таких чисел, твір яких призводить до вихідного числа. Будь-яке вихідне число може мати кілька множників. Наприклад, число 12 може бути розкладено на наступний ряд множників: 1 × 12, 2 × 6 і 3 × 4, тому можна сказати, що числа 1, 2, 3, 4, 6 і 12 є множниками числа 12. Множники збігаються з дільниками , тобто числами, на які ділиться вихідне число.

   • Наприклад, якщо ви хочете розкласти на множники число 20, запишіть це так: 4 × 5.
   • Зверніть увагу, що при розкладанні на множники змінна враховується. Наприклад, 20x \u003d 4 (5x).
   • Прості числа не можуть бути розкладені на множники, тому що вони діляться тільки на себе і на 1.

3. Запам'ятайте і дотримуйтесь порядок виконання операцій з метою недопущення помилок.

   • дужки
   • ступінь
   • множення
   • розподіл
   • додавання
   • віднімання

   Приведення подібних членів

   1. Запишіть вираз. Найпростіші алгебраїчні вирази (які не містять дробів, коренів і так далі) можна вирішити (спростити) всього за кілька кроків.

      • Наприклад, спростите вираз 1 + 2x - 3 + 4x.

   2. Визначте подібні члени (члени зі змінною одного порядку, члени з однаковими змінними або вільні члени).

      • Знайдіть подібні члени в цьому виразі. Члени 2x і 4x містять змінну одного порядку (першого). Крім того, 1 і -3 - це вільні члени (не містять змінну). Таким чином, в цьому виразі члени 2х і 4x є подібними, і члени 1 і -3 теж є подібними.

   3. Наведіть подібні члени. Це означає скласти або відняти їх і спростити вираз.

      • 2x + 4x \u003d 6х
      • 1 - 3 = -2

   4. Перепишіть вираз з урахуванням наведених членів. Ви отримаєте простий вислів з меншою кількістю членів. Нове вираз дорівнює початковому.

      • У нашому прикладі: 1 + 2x - 3 + 4x \u003d 6х - 2, Тобто вихідне вираз спрощено і з ним легше працювати.

   5. Дотримуйтесь порядок виконання операцій при приведенні подібних членів. У нашому прикладі було легко привести подібні члени. Однак в разі складних виразів, в яких члени укладені в дужки і присутні дробу і коріння, привести подібні члени не так просто. У цих випадках дотримуйтесь порядок виконання операцій.

      • Наприклад, розглянемо вираз 5 (3x - 1) + х ((2x) / (2)) + 8 - 3x. Тут було б помилкою відразу визначити 3x і 2x як подібні члени і привести їх, тому що спочатку необхідно розкрити дужки. Тому виконайте операції згідно їх порядку.
        • 5 (3x-1) + x ((2x) / (2)) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x (x) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x 2 + 8 - 3x. тепер, Коли в виразі присутні тільки операції додавання і віднімання, ви можете привести подібні члени.
        • x 2 + (15x - 3x) + (8 - 5)
        • x 2 + 12x + 3

   Винесення множника за дужки

   1. Знайдіть найбільший спільний дільник (НОД) всіх коефіцієнтів вираження. НСД - це найбільше число, на яке діляться всі коефіцієнти виразу.

      • Наприклад, розглянемо рівняння 9x 2 + 27x - 3. У цьому випадку НОД \u003d 3, так як будь-який коефіцієнт даного виразу ділиться на 3.

   2. Розділіть кожен член виразу на НОД. Отримані члени будуть містити менші коефіцієнти, ніж у вихідному виразі.

      • У нашому прикладі розділіть кожен член виразу на 3.
        • 9x 2/3 \u003d 3x 2
        • 27x / 3 \u003d 9x
        • -3/3 = -1
        • вийшло вираз 3x 2 + 9x - 1. Воно не дорівнює вихідному висловом.

   3. Запишіть вихідне вираз як дорівнює добутку НСД на отриманий вираз. Тобто укладіть отриманий вираз в дужки, а за дужки винесіть НСД.

      • У нашому прикладі: 9x 2 + 27x - 3 \u003d 3 (3x 2 + 9x - 1)

   4. Спрощення дробових виражень за допомогою винесення множника за дужки. Навіщо просто виносити множник за дужки, як це було зроблено раніше? Потім, щоб навчитися спрощувати складні вирази, наприклад дробові вирази. В цьому випадку винесення множника за дужки може допомогти позбутися від дробу (від знаменника).

      • Наприклад, розглянемо дробове вираження (9x 2 + 27x - 3) / 3. Скористайтеся винесенням множника за дужки, щоб спростити цей вираз.
        • Винесіть множник 3 за дужки (як ви робили це раніше): (3 (3x 2 + 9x - 1)) / 3
        • Зверніть увагу, що тепер і в чисельнику, і в знаменнику присутній число 3. Його можна скоротити, і ви отримаєте вираз: (3x 2 + 9x - 1) / 1
        • Так як будь-яка дріб, у якої в знаменнику знаходиться число 1, дорівнює просто чисельнику, то вихідне дробове вираження спрощується до: 3x 2 + 9x - 1.

   Додаткові методи спрощення

   1. Спрощення дробових виражень. Як зазначалося вище, якщо і в чисельнику, і в знаменнику присутні однакові члени (або навіть однакові вирази), то їх можна скоротити. Для цього потрібно винести за дужки загальний множник у чисельника або у знаменника, або як у чисельника, так і у знаменника. Або можна розділити кожен член чисельника на знаменник і таким чином спростити вираз.

      • Наприклад, розглянемо дробове вираження (5x 2 + 10x + 20) / 10. Тут просто розділіть кожен член чисельника на знаменник (10). Але врахуйте, що член 5x 2 не ділиться на 10 без остачі (так як 5 менше 10).
        • Тому запишіть спрощене вираз так: ((5x 2) / 10) + x + 2 \u003d (1/2) x 2 + x + 2.

   2. Спрощення підкореневих виразів. Висловлювання, які стоять під знаком кореня, називаються подкоренного висловлювання. Вони можуть бути спрощені через їх розкладання на відповідні множники і подальший винос одного множника з-під кореня.

      • Розглянемо простий приклад: √ (90). Число 90 можна розкласти на такі множники: 9 і 10, а з 9 витягти квадратний корінь (3) і винести 3 з-під кореня.
        • √(90)
        • √ (9 × 10)
        • √ (9) × √ (10)
        • 3 × √ (10)
        • 3√(10)

   3. Спрощення виразів зі ступенями. У деяких висловах присутні операції множення або ділення членів зі ступенем. У разі множення членів з однією підставою їх ступеня складаються; в разі поділу членів з однією підставою їх ступеня віднімаються.

      • Наприклад, розглянемо вираз 6x 3 × 8x 4 + (x 17 / x 15). У разі множення складіть ступеня, а в разі поділу - відніміть їх.
        • 6x 3 × 8x 4 + (x 17 / x 15)
        • (6 × 8) x 3 + 4 + (x 17 - 15)
        • 48x 7 + x 2
      • Далі наведено пояснення правила множення і ділення членів зі ступенем.
        • Множення членів зі ступенями рівносильно множенню членів на самих себе. Наприклад, так як x 3 \u003d x × x × x і x 5 \u003d x × x × x × x × x, то x 3 × x 5 \u003d (x × x × x) × (x × x × x × x × x), або x 8.
        • Аналогічно, розподіл членів зі ступенями рівносильно поділу членів на самих себе. x 5 / x 3 \u003d (x × x × x × x × x) / (x × x × x). Так як подібні члени, що знаходяться і в чисельнику, і в знаменнику, можуть бути скорочені, то в чисельнику залишається твір двох «х», або x 2.

Вчення без примусу

(Путівник в захоплюючий світ математики)

Математику вже потім вчити треба, що вона розум до ладу приводить. (М.В. Ломоносов)

Так як же вчити математику?

Це питання цікавить багатьох.

Насамперед потрібно ліквідувати прогалини з минулого. Якщо ви пропустили (не зрозуміли, принципово не вивчали, і т.д.) будь-яку тему, рано чи пізно ви обов'язково наступите на ці граблі. З класичним результатом ... Вже так влаштована математика.

Незалежно від того, вивчаєте ви нову тему, Або повторюєте стару - освойте математичні визначення і терміни! Зверніть увагу, я не кажу - «вивчіть», а говорю «освойте». Це різні речі. Ви повинні розуміти, наприклад, що таке знаменник, дискриминант, або арксинус на простому, навіть примітивному рівні. Що це таке, навіщо це потрібно і як з цим звертатися. Жити стане легше.

Якщо я вас запитаю, як користуватися пристроєм переходу через щільні обмежені середовища, вам буде незатишно відповідати, вірно? А якщо ви розумієте, що це саме пристрій - звичайні двері? Правда, якось веселіше.

І, звичайно, потрібно вирішувати. Якщо не вмієте вирішувати - нічого страшного. Потрібно намагатися вирішувати, пробувати. Все колись не вміли. Але хто намагався і намагався, нехай і неправильно, з помилками - той зараз вміє вирішувати. А хто не пробував, не вчився - той так і не навчився.

Ось вам три складові відповіді на питання: "Як вчити математику?" Ліквідувати прогалини, освоїти терміни на зрозумілому рівні і осмислено вирішувати завдання.

Якщо вам математика представляється нетрями якихось правил, формул, виразів, в яких неможливо орієнтуватися, то я вас потішу. Є там стежки і дороговказні зірки! Обживеться, попрівикнет, ще й милуватися цими нетрями почнете ...

Математика шкільного курсу не вирішує складні приклади, тому що не вміє. Вона добре може вирішити що-небудь виду 5х \u003d 10, квадратне рівняння через дискримінант, ну і таке ж просте з тригонометрії, логарифмів і т.д. І вся міць математики спрямована на спрощення складних виразів. Саме для цього потрібні правила і формули різних перетворень. Вони дозволяють записувати вихідне вираз в іншому, зручному нам вигляді, не змінюючи його суті.

«Математика - це мистецтво називати різні речі одним і тим же ім'ям». (А. Пуанкаре)

Наприклад, 8 \u003d 6 + 2 \u003d 2 \u003d \u003d log 6561 \u003d 32: 4. Це все одне і те ж число 8! Тільки записано в самих різних видах. Який вид вибрати - вирішувати нам! Погодившись із завданням і здоровим глуздом.

Головною дороговказною зіркою в математиці є вміння перетворювати вирази. Практично будь-яке рішення починається з перетворення вихідного вираження. За допомогою правил і формул, яких зовсім не таке божевільна кількість, як вам здається.

Ми часто говоримо «Все формули працюють зліва - направо і справа - наліво». Скажімо, (a + b) майже кожен розпише як a + 2ab + b. Але не кожен (на жаль) зрозуміє, що x + 2x + 1 можна записати, як (x + 1). А ось це треба вміти! Формули потрібно знати в обличчя! Вміти розпізнавати їх в зашифрованих хитрими викладачами виразах, виявляти частини формул, доводити, при необхідності, до повних.

Перетворення виразів - річ, спочатку, клопітна. Вимагає праці. На стартовому етапі потрібно перевіряти, де можна, правильність перетворення зворотним перетворенням. Розклали на множники - перемножте назад і приведіть подібні. Вийшло вихідне вираз - ура! Знайшли коріння рівняння - підставте в вихідне вираз. Подивіться, що вийшло. І так далі.

Отже, я запрошую вас в дивовижний світ математики. А почнемо наш шлях зі знайомства з дробом, так це, мабуть, найвразливіше місце більшості школярів.

В добру путь!

Заняття 1.

Види дробів. Перетворення.

Хто знає дробу, той сильний, той в математиці відважний!

Дробу бувають трьох видів.

1. звичайні дроби , Наприклад:,,,.

Іноді замість горизонтальної риси ставлять похилу риску: 1/2, 3/7, 19/5. Риса, і горизонтальна (вінкуліум), і похила (солидус) означає одну і ту ж операцію: поділ верхнього числа (чисельника) на нижню (знаменник). І все! Замість риси цілком можна поставити знак ділення - дві точки. 1/2 \u003d 1: 2.

Коли поділ можливо без остачі, це треба робити. Так, замість дробу 32/8 набагато приємніше написати число 4. Тобто 32 просто поділити на 8. 32/8 \u003d 32: 8 \u003d 4. Я вже не кажу про дріб 4/1, яка теж дорівнює 4. А якщо вже не ділиться без остачі, так і залишаємо, у вигляді дробу. Іноді доводиться зворотну операцію проробляти. Робити з цілого числа дріб. Але про це далі.

2. десяткові дроби , Наприклад: 0,5; 3,28; 0,543; 23,32.

3. змішані числа , Наприклад:,,,.

Змішані числа практично не використовуються в старших класах. Для того, щоб з ними працювати, їх треба переводити в звичайні дроби. Але це точно треба вміти робити! А то трапиться таке число в завданню і ЗАВІСНА ... На порожньому місці. Але ми-то згадаємо цю процедуру!

Найбільш універсальні звичайні дроби. З них і почнемо. До речі, якщо в дробу стоять всякі логарифми, синуси і інші літери, це нічого не змінює. В тому сенсі, що всі дії з дробовими виразами нічим не відрізняються від дій зі звичайними дробами!

Отже, вперед! Все різноманіття перетворень дробів забезпечується одним-єдиним властивістю! Воно так і називається, основну властивість дробу. Запам'ятовуйте: якщо чисельник і знаменник дробу помножити (поділити) на одне і те ж число, дріб не зміниться. тобто:

А воно нам треба, всі ці перетворення? - запитаєте ви. Ще й як! Зараз самі побачите. Для початку вживемо основну властивість дробу для скорочення дробів. Здавалося б, річ елементарна. Ділимо чисельник і знаменник на одне і те ж число і всі справи! Помилитися неможливо! Але ... людина - істота творча. Помилитися всюди може! Особливо, якщо доводиться скорочувати НЕ дріб виду 5/10, а дробове раціональне вираз.

Зазвичай учень не замислюється над розподілом чисельника і знаменника на одне і те ж число (або вираз)! Він просто закреслює все однакове зверху і знизу! Тут-то і криється типова помилка, ляп, якщо хочете.

Наприклад, треба спростити вираз:.

Що ми робимо? Зачеркиваем множник а зверху і ступінь знизу! Отримуємо:.

Все правильно. Але реально ви поділили весь чисельник і весь знаменник на множник а. Якщо ви звикли просто закреслювати, то, похапцем, можете закреслити букву а в виразі і отримати знову. Що буде категорично невірно: непрощенна помилка. Тому що тут весь чисельник на а вже не ділиться! Цю дріб скоротити не можна.

При скороченні ділити треба весь чисельник і весь знаменник!

Скорочення дробів сильно полегшує життя. Вийде десь у вас дріб, наприклад, 375/1000. І як тепер з нею далі працювати? Без калькулятора? Множити, скажімо, складати, в квадрат зводити !? А якщо не полінуватися, так акуратненько скоротити на п'ять, та ще на п'ять, та ще ... поки скорочується. Отримаємо 3/8! Куди приємніше, правда?

Основна властивість дробу дозволяє переводити звичайні дроби в десяткові і, навпаки, без калькулятора! Це важливо на ЦТ, правда?

З десятковими дробами все просто. Як чується, так і пишеться! Скажімо, 0,25. Це нуль цілих, двадцять п'ять сотих. Так і пишемо: 25/100. Скорочуємо (ділимо чисельник і знаменник на 25), отримуємо звичайну дріб: 1/4. Усе. Буває, і не скорочується нічого. Наприклад, 0,3. Це три десятих, тобто 3/10.

А якщо цілих - НЕ нуль? Нічого страшного. Записуємо всю дріб без всяких ком в чисельник, а в знаменник - то, що чується. Наприклад: 3,17. Це три цілих, сімнадцять сотих. Пишемо в чисельник 317, а в знаменник 100. Отримуємо 317/100. Нічого не скорочується, значить все. Це відповідь. З усього сказаного корисний висновок: будь-яку десяткову дріб можна перетворити в звичайну.

А ось зворотне перетворення, звичайної в десяткову, деякі без калькулятора не можуть зробити. А треба! Як ви відповідь записувати будете !? Уважно читаємо і освоюємо цей процес.

Десяткова дріб ніж характерна? У неї в знаменнику завжди коштує 10, або 100, або 1000, або 10000 і так далі. Якщо ваша звичайна дріб має такий знаменник, проблем немає. Наприклад, 4/10 \u003d 0,4. Або 7/100 \u003d 0,07. Або 12/10 \u003d 1,2. А якщо в результаті рішення вийшло 1/2? А відповідь потрібно записати десяткової ...

згадуємо основну властивість дробу! Математика прихильно дозволяє множити чисельник і знаменник на одне і те ж число. На будь-який, між іншим! Крім нуля, зрозуміло. Ось і застосуємо це властивість собі на користь! На що можна помножити знаменник, тобто 2 щоб він став 10, або 100, або 1000 (трохи менше краще, звичайно ...)? На 5, очевидно. Сміливо множимо знаменник на 5. Але, тоді і чисельник треба помножити теж на 5. Отримаємо 1/2 \u003d 0,5. От і все.

Однак, знаменники можуть бути різними. Наприклад, дріб 3/16. Тоді можна просто розділити 3 на 16. За відсутністю калькулятора ділити доведеться куточком, як у молодших класах вчили. Отримаємо 0,1875.

А бувають і зовсім кепські знаменники. Наприклад, дріб 1/3 ну ніяк не перетвориш в хорошу десяткову. І на калькуляторі, і при розподілі куточком ми отримаємо 0,3333333 ... Звідси ще один корисний висновок. Не кожна звичайна дріб перекладається в десяткову!

Отже, зі звичайними і десятковими дробами розібралися. Залишилося розібратися зі змішаними числами. Для роботи з ними їх потрібно перевести в звичайні дроби. Як це зробити? Можна зловити п'ятикласника і запитати у нього. Але не завжди п'ятикласник виявиться поруч ... Доведеться самим. Це не складно. Треба знаменник дробової частини помножити на цілу частину і додати чисельник дробової частини. Це буде чисельник звичайного дробу. А знаменник? Знаменник залишиться тим же самим. Звучить складно, але на ділі все елементарно. Дивимося приклад.

Нехай в задачі ви з жахом побачили число:

Спокійно, без паніки розмірковуємо. Ціла частина - це 1. Одиниця. Дрібна частина - 3/7. Стало бути, знаменник дробової частини - 7. Цей знаменник і буде знаменником звичайного дробу. Вважаємо: чисельник. 7 множимо на 1 (ціла частина) і додаємо 3 (чисельник дробової частини). Отримаємо 10. Це буде чисельник звичайного дробу. От і все. Ще простіше це виглядає в математичної записи:

Легко? Тоді закріпіть успіх! Переведіть ці змішані числа,, в звичайні дроби. У вас повинно вийти 10/3, 23/10 і 21/4.

Ну ось, практично і все. Ви згадали види дробів і зрозуміли, як переводити їх з одного виду в інший. Залишається питання: навіщо це робити? Де і коли застосовувати ці глибокі пізнання?

Будь приклад сам підказує необхідні дії. Якщо в прикладі змішалися в купу звичайні дроби, десяткові, та ще й змішані числа, переводимо все в звичайні дроби. Це завжди можна зробити. Ну а якщо написано, наприклад, 0,8 + 0,3, то так і вважаємо, без жодного перекладу. Навіщо нам зайва робота? Ми вибираємо той шлях вирішення, який зручний нам!

Якщо в завданні суцільно десяткові дроби, але гм ... страшні якісь, перейдіть до звичайних, спробуйте! Може, все і налагодиться. Наприклад, доведеться в квадрат зводити число 0,125. Не так-то просто, якщо від калькулятор не відвикли! Мало того, що числа перемножувати стовпчиком треба, так ще думай, куди кому вставити! У розумі точно не вийде! А якщо перейти до звичайного дробу? 0,125 \u003d 125/1000. Скорочуємо на 5 (це для початку). Отримуємо 25/200. Ще раз на 5. Отримуємо 5/40. Ще скорочується! Знову на 5! Отримуємо 1/8. Легко зводимо в квадрат (в розумі!) І отримуємо 1/64. Усе!

Підіб'ємо підсумки нашого заняття.

1. Дроби бувають трьох видів: звичайні, десяткові і змішані числа.

2. Десяткові дроби і змішані числа завжди можна перевести в звичайні дроби. Зворотній переклад не завжди можливий.

3. Вибір виду дробів для роботи із завданням залежить від цього самого завдання. При наявності різних видів дробів в одному завданні, найнадійніше - перейти до звичайних дробів.

практичні поради:

1. Найголовніше при роботі з дробовими виразами - акуратність і уважність! Це не загальні слова, які не благі побажання! Це сувора необхідність! Краще написати дві зайві рядки в чернетці, ніж помилитися при розрахунку в розумі.

2. У прикладах з різними видами дробів - переходимо до звичайних дробів.

3. Всі дробу скорочуємо до упору.

4. Багатоповерхові дробові вирази зводимо до звичайних, використовуючи розподіл через дві точки (стежимо за порядком розподілу!).

5. Одиницю на дріб ділимо в розумі, просто перевертаючи дріб.

А тепер спробуйте застосувати теорію на практиці.

Отже, вирішуємо в режимі іспиту! Вирішуємо приклад, перевіряємо, вирішуємо наступний. Вирішили все - перевірили знову з першого по останній приклад. І тільки потім дивимося відповіді.

Вирішили? Шукаємо відповіді, які збігаються з вашими. Відповіді записані в безладді, подалі від спокуси, так би мовити ...

0; 17/22; 3; 1; 3/4; 14; -5/4; 17/12; 1/3; 5; 2/5; 25.

А тепер робимо висновки. Якщо все вийшло - рада за вас! Елементарні обчислення з дробом - не ваша проблема! Можна зайнятися більш серйозними речами. Якщо немає ... Терпіння і труд все перетруть.