Як знаходити період тригонометричної функції. Періодичність функцій у \u003d sin х, у \u003d cos х - Гіпермаркет знань
\u003e\u003e Періодичність функцій у \u003d sin х, у \u003d cos х
§ 11. Періодичність функцій у \u003d sin х, у \u003d cos х
У попередніх параграфах ми використовували сім властивостей функцій: Область визначення, парність або непарність, монотонність, обмеженість, найбільше і найменше значення, Безперервність, область значень функції. Використовували ми ці властивості або для того, щоб побудувати графік функції (так було, наприклад, в § 9), або для того, щоб прочитати побудований графік (так було, наприклад, в § 10). Тепер настав слушний момент для введення ще одного (восьмого) властивості функцій, яке прекрасно проглядається на побудованих вище графіках функцій у \u003d sin х (див. рис. 37), у \u003d соs х (див. рис. 41).
Визначення. Функцію називають періодичної, якщо існує таке відмінне від нуля число T, що для будь-якого х з множини виконується подвійне рівність:
Число Т, що задовольняє вказаним умові, називають періодом функції у \u003d f (х).
Звідси випливає, що, оскільки для будь-якого х справедливі рівності:
то функції у \u003d sin х, у \u003d соs х є періодичними і число 2 п служить періодом і тієї, і іншої функції.
Періодичність функції - це і є обіцяне восьме властивість функцій.
А тепер подивіться на графік функції у \u003d sin х (рис. 37). Щоб побудувати синусоїду, досить побудувати одну її хвилю (на відрізку а потім зрушити цю хвилю по осі х на В результаті за допомогою однієї хвилі ми побудуємо весь графік.
Подивимося з цієї ж точки зору на графік функції у \u003d соs х (рис. 41). Бачимо, що і тут для побудови графіка досить спочатку побудувати одну хвилю (наприклад, на відрізку
А потім зрушити її по осі х на
Узагальнюючи, робимо наступний виводиться.
Якщо функція у \u003d f (х) має період Т, то для побудови графіка функції потрібно спочатку побудувати гілку (хвилю, частина) графіка на будь-якому проміжку довжини Т (найчастіше беруть проміжок з кінцями в точках а потім зрушити цю гілку по осі х вправо і вліво на Т, 2Т, ЗТ і т.д.
У періодичної функції нескінченно багато періодів: якщо Т - період, то і 2Т - період, і ЗТ - період, і -Т - період; взагалі періодом є будь-яке число виду KТ, де к \u003d ± 1, ± 2, ± 3 ... Зазвичай намагаються, якщо це можливо, виділити найменший позитивний період, його називають основним періодом.
Отже, будь-яке число виду 2ПК, де к \u003d ± 1, ± 2, ± 3, є періодом функцій у \u003d sinп х, у \u003d соs х; 2п- основний період і тієї, і іншої функції.
Приклад. Знайти основний період функції:
а) Нехай Т - основний період функції у \u003d sin х. покладемо
Щоб число Т було періодом функції, має виконуватися тотожність Але, оскільки мова йде про відшукання основного періоду, отримуємо
б) Нехай Т - основний період функції у \u003d соs 0,5х. Покладемо f (х) \u003d соs 0,5х. Тоді f (х + Т) \u003d соs 0,5 (х + Т) \u003d соs (0,5х + 0,5т).
Щоб число Т було періодом функції, має виконуватися тотожність соs (0,5х + 0,5т) \u003d соs 0,5х.
Значить, 0,5т \u003d 2ПП. Але, оскільки мова йде про відшукання основного періоду, отримуємо 0.5т \u003d 2 л, Т \u003d 4л.
Узагальненням результатів, отриманих в прикладі, є наступне твердження: основний період функції 
А.Г. Мордкович Алгебра 10 клас
зміст уроку конспект уроку опорний каркас презентація уроку акселеративного методи інтерактивні технології Практика завдання і вправи самоперевірка практикуми, тренінги, кейси, квести домашні завдання дискусійні питання риторичні питання від учнів ілюстрації аудіо-, відео- та мультимедіа фотографії, картинки графіки, таблиці, схеми гумор, анекдоти, приколи, комікси притчі, приказки, кросворди, цитати додатки реферати статті фішки для допитливих шпаргалки підручники основні і додаткові словник термінів інші Удосконалення підручників та уроків виправлення помилок в підручнику оновлення фрагмента в підручнику елементи новаторства на уроці заміна застарілих знань новими Тільки для вчителів ідеальні уроки календарний план на рік методичні рекомендації програми обговорення інтегровані урокизадовольняють системі нерівностей:
б) Розглянемо безліч чисел на числовій осі, які відповідають системі нерівностей:
Знайдіть суму довжин відрізків, з яких складається це безліч.
§ 7. Найпростіші формули
У § 3 ми встановили для гострих кутів α таку формулу:
sin2 α + cos2 α \u003d 1. |
|||||||
Ця ж формула |
в разі, |
||||||
коли α - будь |
самому де- |
||||||
ле, нехай M - точка на трігонометрі- |
|||||||
чеський окружності, відповідна |
|||||||
числу α (рис. 7.1). тоді |
M має до- |
||||||
ординати x \u003d cos α, y |
|||||||
нако всяка точка (x; y), що лежить на |
|||||||
окружності одиничного радіуса з цін- |
|||||||
вранці на початку координат, удовлетво- |
|||||||
ряется рівняння x2 + y2 |
1, звідки |
||||||
cos2 α + sin2 α \u003d 1, що і було потрібно. |
|||||||
Отже, формула cos2 α + sin2 α \u003d 1 випливає з рівняння окружності. Може здатися, що тим самим для гострих кутів ми дали новий доказ цієї формули (в порівнянні з вказаними в § 3, де ми користувалися теоремою Піфагора). Відмінність, однак, чисто зовнішнє: при виведенні рівняння окружності x2 + y2 \u003d 1 використовується та ж теорема Піфагора.
Для гострих кутів м и отримували й інші формули, напри-
розумінню символу, права частина завжди невід'ємна, в той час як ліва частина цілком може бути і негативною. Щоб формула була вірна при всіх α, треба її звести в квадрат. Вийде рівність: cos2 α \u003d 1 / (1 + tg2 α). Доведемо, що ця формула вірна при всіх α: 1
1 / (1 + tg2 |
sin2 α |
cos2 α |
Cos2 α. |
||||
cos2 α |
sin2 α + cos2 α |
Завдання 7.1. Виведіть всі формули, наведені нижче, з визначень і формули sin2 α + cos2 α \u003d 1 (деякі з них ми вже довели):
sin2 α + cos2 α \u003d 1; |
tg2 α \u003d |
||||||||||||||||
tg2 α |
|||||||||||||||||
sin2 α \u003d |
tg α · ctg α \u003d 1; |
||||||||||||||||
cos2 α |
1 + tg2 α |
||||||||||||||||
ctg2 α |
|||||||||||||||||
Ctg2 |
cos2 α \u003d |
||||||||||||||||
1 + ctg2 α |
|||||||||||||||||
sin2 |
|||||||||||||||||
Ці формули дозволяють, знаючи значення однієї з тригонометричних функцій даного числа, майже знайти все осталь-
ні. Нехай, наприклад, ми знаємо, що sin x \u003d 1/2. Тоді cos2 x \u003d
1-sin2 x \u003d 3/4, так що cos x дорівнює або 3/2, або - 3/2. Щоб дізнатися, яким саме з цих двох чисел дорівнює cos x, потрібна додаткова інформація.
Завдання 7.2. Покажіть на прикладах, що обидва вищевказаних випадку можливі.
Завдання 7.3. а) Нехай tg x \u003d -1. Знайдіть sin x. Скільки відповідей у \u200b\u200bцій задачі?
б) Нехай на додаток до умов пункту а) нам відомо, що sin x< 0. Сколько теперь ответов у задачи?
1 Для яких tg α визначено, т. Е. Cos α 6 \u003d 0.
Завдання 7.4. Нехай sin x \u003d 3/5, x [π / 2; 3π / 2]. Знайдіть tg x.
Завдання 7.5. Нехай tg x \u003d 3, cos x\u003e sin x. Знайдіть cos x, sin x.
Завдання 7.6. Нехай tg x \u003d 3/5. Знайдіть sin x + 2 cos x. cos x - 3 sin x
Завдання 7.7. Доведіть тотожності:
tg α - sin α |
||||||||||||||
в) sin α + cos α ctg α + sin α tg α + cos α \u003d |
||||||||||||||
Завдання 7.8. Спростіть вирази:
а) (sin α + cos α) 2 + (sin α - cos α) 2; б) (tg α + ctg α) 2 + (tg α - ctg α) 2;
в) sin α (2 + ctg α) (2 ctg α + 1) - 5 cos α.
§ 8. Періоди тригонометричних функцій
Числах x, x + 2π, x-2π відповідає одна і та ж точка на тригонометричної окружності (якщо пройти по тригонометричної окружності зайве коло, то прийдеш туди, де був). Звідси випливають такі тотожності, про які вже йшлося в § 5:
sin (x + 2π) \u003d sin (x - 2π) \u003d sin x; cos (x + 2π) \u003d cos (x - 2π) \u003d cos x.
У зв'язку з цими тотожністю ми вже вживали термін «період». Дамо тепер точні визначення.
Визначення. Число T 6 \u003d 0 називають періодом функції f, якщо для всіх x вірні рівності f (x - T) \u003d f (x + T) \u003d f (x) (мається на увазі, що x + T і x - T входять в область визначення функції , якщо в неї входить x). Функцію називають періодичної, якщо вона має період (хоча б один).
Періодичні функції природно виникають при описі коливальних процесів. Про один з таких процесів мова вже йшла в § 5. Ось ще приклади:
1) Нехай φ \u003d φ (t) - кут відхилення що хитається маятника годин від вертикалі в момент t. Тоді φ - періодична функція від t.
2) Напруга ( «різниця потенціалів», як сказав би фізик) між двома гніздами розетки в мережі змінного струму, ес-
чи його розглядати як функцію від часу, є періодичною функціей1.
3) Нехай ми чуємо музичний звук. Тоді тиск повітря в даній точці - періодична функція від часу.
Якщо функція має період T, то періодами цієї функції будуть і числа -T, 2T, -2T. . . - одним словом, все числа nT, де n - ціле число, не рівне нулю. Справді, перевіримо, наприклад, що f (x + 2T) \u003d f (x):
f (x + 2T) \u003d f ((x + T) + T) \u003d f (x + T) \u003d f (x).
Визначення. Найменшим позитивним періодом функції f називається - відповідно до буквальним змістом слів - таке позитивне число T, що T - період f і жодне позитивне число, менше T, періодом f вже не є.
Періодична функція не зобов'язана мати найменший позитивний період (наприклад, функція, яка є постійною, має періодом взагалі будь-яке число і, отже, найменшого позитивного періоду у неї немає). Можна навести приклади і непостійних періодичних функцій, які не мають найменшого позитивного періоду. Проте в більшості цікавих випадків найменший позитивний період у періодичних функцій існує.
1 Коли говорять «напруга в мережі 220 вольт», мають на увазі його «середньоквадратичне значення», про який ми будемо говорити в § 21. Саме ж напруга весь час змінюється.
Мал. 8.1. Період тангенса і котангенс.
Зокрема, найменший позитивний період як синуса, так і косинуса дорівнює 2π. Доведемо це, наприклад, для функції y \u003d sin x. Нехай попри те, що ми стверджуємо, у синуса є такий період T, що 0< T < 2π. При x = π/2 имеем sin x = = 1. Будем теперь увеличивать x. В точке x + T значение синуса должно быть также равно 1. Но в следующий раз синус будет равен 1 только при x = (π/2) + 2π. Поэтому период синуса быть меньше 2π не может. Доказательство для косинуса аналогично.
Найменший позитивний період функції, яка описує коливання (як в наших прикладах 1-3), називається просто періодом цих коливань.
Оскільки число 2π є періодом синуса і косинуса, воно буде також періодом тангенса і котангенс. Однак для цих функцій 2π - такою ж період: найменшим позитивним періодом тангенса і котангенс буде π. Справді, точки, відповідні числам x і x + π на тригонометричної окружності, діаметрально протилежні: від точки x до точки x + 2π треба пройти відстань π, в точності дорівнює половині кола. Тепер, якщо скористатися визначенням тангенса і котангенс за допомогою осей тангенсов і котангенсів, рівності tg (x + π) \u003d tg x і ctg (x + π) \u003d ctg x стануть очевидними (рис. 8.1). Легко перевірити (ми запропонуємо це зробити в задачах), що π - дійсно найменший позитивний період тангенса і котангенс.
Одне зауваження з приводу термінології. Часто слова «період функції» вживають у значенні «найменший позитивний період». Так що якщо на іспиті у вас запитають: «Чи є 100π періодом функції синус?», Не поспішайте з відповіддю, а уточніть, мається на увазі найменший позитивний період або просто один з періодів.
Тригонометричні функції - типовий приклад періодичних функцій: будь-яку «не дуже погану» періодичну функцію можна в деякому сенсі висловити через тригонометричні.
Завдання 8.1. Знайдіть найменші позитивні періоди функцій:
в) y \u003d cos πx; |
||||
г) y \u003d cos x + cos (1,01x).
Завдання 8.2. Залежність напруги в мережі змінного струму від часу задається формулою U \u003d U0 sin ωt (тут t - час, U - напруга, U0 і ω - постійні величини). Частота змінного струму - 50 Герц (це означає, що напруга робить 50 коливань в секунду).
а) Знайдіть ω, вважаючи, що t вимірюється в секундах;
б) Знайдіть (найменший позитивний) період U як функції від t.
Завдання 8.3. а) Доведіть, що найменший позитивний період косинуса дорівнює 2π;
б) Доведіть, що найменший позитивний період тангенса дорівнює π.
Завдання 8.4. Нехай найменший позитивний період функції f дорівнює T. Доведіть, що всі інші її періоди мають вигляд nT для деяких цілих чисел n.
Завдання 8.5. Доведіть, що наступні функції не є періодичними.
тригонометричні функції періодичні , Тобто повторюються через певний період. Внаслідок цього досить вивчати функцію на цьому інтервалі і поширити виявлені властивості на всі інші періоди.
Інструкція
1. Якщо вам дано примітивне вираз, в якому присутня лише одна тригонометрическая функція (sin, cos, tg, ctg, sec, cosec), причому кут всередині функції не помножений на яке-небудь число, а вона сама не зведена в якусь ступінь - скористайтеся визначенням. Для виразів, що містять sin, cos, sec, cosec відважно ставте період 2П, а якщо в рівнянні є tg, ctg - то П. Скажімо, для функції у \u003d 2 sinх + 5 період буде дорівнює 2П.
2. Якщо кут х під знаком тригонометричної функції помножений на яке-небудь число, то, щоб виявити період даної функції, поділіть типовий період на це число. Скажімо, вам дана функція у \u003d sin 5х. Типовий період для синуса - 2П, поділивши його на 5, ви отримаєте 2П / 5 - це і є бажаний період цього виразу.
3. Щоб виявити період тригонометричної функції, яка була зведена в ступінь, оцініть парність ступеня. Для парного степеня зменшите типовий період в два рази. Скажімо, якщо вам дана функція у \u003d 3 cos ^ 2х, то типовий період 2П зменшиться в 2 рази, таким чином, період буде дорівнює П. Зверніть увагу, функції tg, ctg в всякий ступеня періодичні П.
4. Якщо вам дано рівняння, що містить твір або приватна 2-х тригонометричних функцій, спочатку виявіть період для всієї з них окремо. Після цього знайдіть мінімальне число, яке вміщується б в собі ціле число обох періодів. Скажімо, дана функція у \u003d tgx * cos5x. Для тангенса період П, для косинуса 5х - період 2П / 5. Мінімальна кількість, в яке можна вмістити обидва цих періоду, це 2П, таким чином, бажаний період - 2П.
5. Якщо вам важко робити запропонованим чином або сумніваєтеся в результаті, спробуйте робити за визначенням. Візьміть в якості періоду функції Т, він огромнее нуля. Підставте в рівняння замість х вираз (х + Т) і вирішите отримане рівність, як якщо б Т було параметром або числом. У підсумку ви виявите значення тригонометричної функції і зумієте підібрати найменший період. Скажімо, в результаті полегшення у вас вийшло тотожність sin (Т / 2) \u003d 0. Мінімальне значення Т, при якому воно виконується, так само 2П, це і буде результат завдання.
Періодичної функцією іменується функція, що повторює свої значення через якийсь ненульовий період. Періодом функції називається число, при додавання якого до доводу функції значення функції не змінюється.
Вам знадобиться
- Знання з елементарної математики і початків огляду.
Інструкція
1. Позначимо період функції f (x) через число К. Наше завдання виявити це значення К. Для цього представимо, що функція f (x), користуючись визначенням періодичної функції, прирівняємо f (x + K) \u003d f (x).
2. Вирішуємо отримане рівняння щодо невідомої K, так, як ніби x - константа. Залежно від значення К вийде кілька варіантів.
3. Якщо K\u003e 0 - то це і є період вашої функціі.Еслі K \u003d 0 - то функція f (x) не є періодіческой.Еслі рішення рівняння f (x + K) \u003d f (x) не існує ні при якому K не в рівному нулю, то така функція називається аперіодичної і у неї теж немає періоду.
Відео по темі
Зверніть увагу!
Всі тригонометричні функції є періодичними, а все поліноміальні зі ступенем огромнее 2 - апериодическими.
Корисна порада
Періодом функції, що складається з 2-х періодичний функцій, є Найменша загальне кратне періодів цих функцій.
Тригонометричні рівняння - це рівняння, які містять в собі тригонометричні функції невідомого аргументу (для прикладу: 5sinx-3cosx \u003d 7). Щоб навчитися вирішувати їх - необхідно знати деякі для цього способи.
Інструкція
1. Рішення таких рівняння складається з 2-х етапов.Первое - реформування рівняння для придбання його найпростішого виду. Найпростішими тригонометричними рівняннями називаються такі: Sinx \u003d a; Cosx \u003d a і т.д.
2. Друге - це рішення отриманого найпростішого тригонометричного рівняння. Існує основні способи розв'язання рівнянь такого виду: Рішення алгебраїчним способом. Даний спосіб класно знаменитий зі школи, з курсу алгебри. По іншому називають способом заміни змінної і підстановки. Застосовуючи формули приведення, перетворимо, робимо заміну, пізніше чого знаходимо коріння.
3. Розкладання рівняння на множники. Спочатку переносимо всі члени наліво і розкладаємо на множники.
4. Приведення рівняння до однорідного. Однорідними рівняннями називають рівняння, якщо всі члени однієї і тієї ж ступеня і синус, косинус одного і того ж угла.Даби його вирішити, слід: спочатку перенести всі його члени з правої частини в ліву частину; перенести всі загальні множники за дужки; прирівняти множники і дужки нулю; прирівняні дужки дають однорідне рівняння меншій мірі, що слід поділити на cos (або sin) в старшій ступеня; вирішити отримане рівняння алгебри щодо tan.
5. Подальший спосіб - перехід до половинному куті. Скажімо, вирішити рівняння: 3 sin x - 5 cos x \u003d 7.Переходім до половинному куті: 6 sin (x / 2) · cos (x / 2) - 5 cos? (X / 2) + 5 sin? (X / 2) \u003d 7 sin? (X / 2) + 7 cos? (X / 2), пізніше чого всі члени зводимо в одну частину (відмінно в праву) і вирішуємо рівняння.
6. Вступ допоміжного кута. Коли ми замінюємо ціле значення cos (а) або sin (а). Знак «а» - допоміжний кут.
7. Спосіб реформування твори в суму. Тут потрібно застосовувати відповідні формули. Скажімо дано: 2 sin x · sin 3x \u003d cos 4x.Решім її, перетворивши ліву частину в суму, тобто: cos 4x - cos 8x \u003d cos 4x, cos 8x \u003d 0, 8x \u003d p / 2 + pk, x \u003d p / 16 + pk / 8.
8. Кінцевий спосіб, званий багатофункціональної підстановкою. Ми перетворюємо вираз і робимо заміну, скажімо Cos (x / 2) \u003d u, пізніше чого вирішуємо рівняння з параметром u. При придбанні підсумку переводимо значення в зворотне.
Відео по темі
Якщо розглядати точки на колі, то точки x, x + 2π, x + 4π і т.д. збігаються один з одним. Таким чином, тригонометричні функції на прямий періодично повторюють своє значення. Якщо знаменитий період функції , Дозволено звести функцію на цьому періоді і повторити її на інших.
Інструкція
1. Період - це число T, таке що f (x) \u003d f (x + T). Щоб виявити період, вирішують відповідне рівняння, підставляючи в якості аргументу x і x + T. При цьому користуються тісніше знаменитими періодами для функцій. Для функцій синуса і косинуса період становить 2π, а для тангенса і котангенс - π.
2. Нехай дана функція f (x) \u003d sin ^ 2 (10x). Роздивіться вираз sin ^ 2 (10x) \u003d sin ^ 2 (10 (x + T)). Скористайтеся формулою для зниження ступеня: sin ^ 2 (x) \u003d (1 - cos 2x) / 2. Тоді отримаєте 1 - cos 20x \u003d 1 - cos 20 (x + T) або cos 20x \u003d cos (20x + 20T). Знаючи, що період косинуса дорівнює 2π, 20T \u003d 2π. Значить, T \u003d π / 10. Т - мінімальний правильний період, а функція буде повторюватися і через 2Т, і через 3Т, і в іншу сторону по осі: -T, -2T і т.д.
Корисна порада
Користуйтеся формулами для зниження ступеня функції. Якщо ви вже знамениті періоди якихось функцій, пробуйте звести наявну функцію до звісно.
Вишукування функції на парність і непарність допомагає будувати графік функції і осягати характер її поведінки. Для цього дослідження потрібно порівняти цю функцію, записану для аргументу "х" і для аргументу "х".
Інструкція
1. Запишіть функцію, вишукування над якою потрібно провести, у вигляді y \u003d y (x).
2. Замініть аргумент функції на "х". Підставте цей аргумент на функціональне вираз.
3. Спростіть вираз.
4. Таким чином, ви отримали одну і ту ж функцію, записану для доводів "х" і "х". Подивіться на дві ці запісі.Еслі y (-x) \u003d y (x), то це парна функція.Еслі y (-x) \u003d - y (x), то це непарна функція.Еслі ж про функцію неможливо сказати, що y (-x) \u003d y (x) або y (-x) \u003d - y (x), то за властивістю парності це функція загального вигляду. Тобто, вона не є ні парною, ні непарною.
5. Запишіть зроблені вами підсумки. Зараз ви можете їх застосовувати в побудові графіка функції або ж в майбутньому аналітичному дослідженні властивостей функції.
6. Говорити про парності і непарності функції дозволено також і в тому випадку, коли вже поставлено графік функції. Скажімо, графік послужив підсумком фізичного експерімента.Еслі графік функції симетричний відносно осі ординат, то y (x) - парна функція.Еслі графік функції симетричний щодо осі абсцис, то x (y) - парна функція. x (y) - функція, зворотна функції y (x) .Якщо графік функції симетричний відносно початку координат (0,0), то y (x) - непарна функція. Непарної буде також зворотна функція x (y).
7. Значимо пам'ятати, що уявлення про парності і непарності функції має прямий зв'язок з областю визначення функції. Якщо, скажімо, парна або непарна функція не існує при х \u003d 5, то вона не існує і при х \u003d -5, чого неможливо сказати про функцію загального вигляду. При встановленні парності і непарності звертайте увагу на область визначення функції.
8. Вишукування функції на парність і непарність корелює з перебуванням безлічі значень функції. Для знаходження безлічі значень парної функції досить розглядати половину функції, правіше або лівіше нуля. Якщо при x\u003e 0 парна функція y (x) приймає значення від А до В, то ті ж значення вона буде приймати і при x<0.Для нахождения множества значений, принимаемых нечетной функцией, тоже довольно разглядеть только одну часть функции. Если при x>0 непарна функція y (x) приймає діапазон значень від А до В, то при x<0 она будет принимать симметричный диапазон значений от (-В) до (-А).
«Тригонометричним» колись стали називати функції, які визначаються залежністю гострих кутів в прямокутному трикутнику від довжин його сторін. До таких функцій відносять в першу чергу синус і косинус, в другу - зворотні цих функцій секанс і косеканс, похідні від них тангенс і котангенс, а також зворотні функції арксинус, арккосинус і ін. Позитивні говорити не про «вирішенні» таких функцій, а про їх «обчисленні», тобто про знаходження чисельного значення.
Інструкція
1. Якщо аргумент тригонометричної функції невідомий, то обчислити її значення дозволено непрямим методом виходячи з визначень цих функцій. Для цього потрібно знати довжини сторін трикутника, тригонометричну функцію для одного з кутів якого потрібно обчислити. Скажімо, за визначенням синус гострого кута в прямокутному трикутнику - це відношення довжини протилежного цьому кутку катета до довжини гіпотенузи. З цього випливає, що для знаходження синуса кута досить знати довжини цих 2-х сторін. Подібне визначення свідчить, що синусом гострого кута є відношення довжини прилеглого до цього кута катета до довжини гіпотенузи. Тангенс гострого кута можна обчислити, поділивши довжину протилежного йому катета на довжину прилеглого, а котангенс вимагає поділу довжини прилеглого катета до довжини протилежного. Для обчислення секанса гострого кута потрібно виявити відношення довжини гіпотенузи до довжини прилеглого до необхідного кутку катета, а косеканс визначається відношенням довжини гіпотенузи до довжини протилежного катета.
2. Якщо ж аргумент тригонометричної функції вести, то знати довжини сторін трикутника не потрібно - можна скористатися таблицями значень або калькуляторами тригонометричних функцій. Такий калькулятор є серед стандартних програм операційної системи Windows. Для його запуску дозволено натиснути клавіші Win + R, ввести команду calc і натиснути кнопку «OK». В інтерфейсі програми слід розкрити розділ «Вид» і віддати перевагу пункт «Інженерний» або «Вчений». Пізніше цього можна вводити аргумент тригонометричної функції. Для обчислення функцій синус, косинус і тангенс досить пізніше введення значення клацнути по відповідній кнопці інтерфейсу (sin, cos, tg), а для знаходження зворотних їм арксинуса, арккосинуса і арктангенса слід завчасно поставити позначку в чекбоксі Inv.
3. Є й альтернативні методи. Один з них - перейти на сайт пошукової системи Nigma або Google і ввести в якості пошукового запиту потрібну функцію і її аргумент (скажімо, sin 0.47). Ці пошукові системи мають вбудовані калькулятори, слідчо пізніше відправки такого запиту ви отримаєте значення введеної вами тригонометричної функції.
Відео по темі
Рада 7: Як виявити значення тригонометричних функції
Тригонометричні функції спочатку з'явилися як інструменти абстрактних математичних обчислень залежностей величин гострих кутів в прямокутному трикутнику від довжин його сторін. Тепер вони дюже широко використовуються як в наукових, так і в технічних областях людської діяльності. Для утилітарних обчислень тригонометричних функцій від заданих доводів дозволено застосовувати різні інструменти - нижче описано кілька особливо доступних з них.
Інструкція
1. Скористайтеся, скажімо, яка встановлюється за умовчанням спільно з операційною системою програмою-калькулятором. Вона відкривається вибором пункту «Калькулятор» в папці «Службові» з підрозділу «Типові», розміщеного в розділ «Усі програми». Даний розділ дозволено виявити, відкривши клацанням по кнопці «Пуск» основне меню операційної системи. Якщо ви використовуєте версію Windows 7, то маєте можливість примітивно ввести слово «Калькулятор» в поле «Виявити програми і файли» основного меню, а після цього клацнути по відповідному посиланню в підсумках пошуку.
2. Введіть значення кута, для якого потрібно розрахувати тригонометричну функцію, а потім клацніть по відповідній цій функції кнопці - sin, cos або tan. Якщо вас хвилюють зворотні тригонометричні функції (арксинус, арккосинус або арктангенс), то спочатку клікніть кнопку з написом Inv - вона змінює присвоєні керівним кнопках калькулятора функції на протилежні.
3. У більше ранніх версіях ОС (скажімо, Windows XP) для доступу до тригонометричним функціям потрібно розкрити в меню калькулятора розділ «Вид» і віддати перевагу рядок «Інженерний». Крім того, замість кнопки Inv в інтерфейсі старих версій програми присутня чекбокс з таким самим написом.
4. Дозволено обійтися і без калькулятора, якщо у вас є доступ в інтернет. У мережі багато сервісів, які пропонують по-різному організовані обчислювачі тригонометричних функцій. Один їх особливо комфортних варіантів вбудований в пошукову систему Nigma. Перейшовши на її основну сторінку, примітивно введіть в поле пошукового запиту хвилююче вас значення - скажімо, «арктангенс 30 градусів». Пізніше натискання кнопки «Виявити!» пошуковик розрахує і покаже результат обчислення - +0,482347907101025.
Відео по темі
Тригонометрія - розділ математики для осягнення функцій, що виражають різні залежності сторін прямокутного трикутника від величин гострих кутів при гіпотенузі. Такі функції отримали назву тригонометричних, а для полегшення роботи з ними були виведені тригонометричні тотожності .
подання тотожності в математиці позначає рівність, яке виконується при будь-яких значеннях аргументів входять до нього функцій. тригонометричні тотожності - це рівності тригонометричних функцій, підтверджені і прийняті для спрощення роботи з тригонометричними формуламі.Трігонометріческая функція - це елементарна функція залежності одного з катетів прямокутного трикутника від величини гострого кута при гіпотенузі. Частіше кожного застосовуються шість основних тригонометричних функцій: sin (синус), cos (косинус), tg (тангенс), ctg (котангенс), sec (секанс) і cosec (косеканс). Ці функції називаються прямими, існують також зворотні функції, скажімо, синус - арксинус, косинус - арккосинус і т.д.Первоначально тригонометричні функції виявили відображення в геометрії, після цього поширилися в інші області науки: фізику, хімію, географію, оптику, теорію ймовірностей , а також акустику, теорію музики, фонетику, комп'ютерну графіку і багато інших. Сьогодні вже важко уявити собі математичні розрахунки без цих функцій, правда в далекому минулому вони використовувалися тільки в астрономії та архітектуре.Трігонометріческіе тотожності використовуються для спрощення роботи з довгими тригонометричними формулами і приведення їх до більш-менш прийнятний вигляд. Основних тригонометричних тотожностей шість, вони пов'язані з прямими тригонометричними функціями: tg? \u003d Sin? / Cos?; sin ^ 2? + Cos ^ 2? \u003d 1; 1 + tg ^ 2? \u003d 1 / cos ^ 2 ?; 1 + 1 / tg ^ 2? \u003d 1 / sin ^ 2 ?; sin (? / 2 -?) \u003d cos?; cos (? / 2 -?) \u003d sin? Ці тотожності легко підтвердити з властивостей співвідношення сторін і кутів в прямокутному трикутнику: sin? \u003d BC / AC \u003d b / c; cos? \u003d AB / AC \u003d a / c; tg? \u003d B / a.Первое тотожність tg? \u003d Sin? / Cos? випливає з співвідношення сторін в трикутнику і винятком боку c (гіпотенузи) при розподілі sin на cos. Таким же чином визначається тотожність ctg? \u003d Cos? / Sin?, Від того що ctg? \u003d 1 / tg? .По теоремі Піфагора a ^ 2 + b ^ 2 \u003d c ^ 2. Поділимо цю рівність на c ^ 2, отримаємо друге тотожність: a ^ 2 / c ^ 2 + b ^ 2 / c ^ 2 \u003d 1 \u003d\u003e sin ^ 2? + Cos ^ 2? \u003d 1.Третье і четверте тотожності отримує шляхом ділення, відповідно, на b ^ 2 і a ^ 2: a ^ 2 / b ^ 2 + 1 \u003d c ^ 2 / b ^ 2 \u003d\u003e tg ^ 2? + 1 \u003d 1 / cos ^ 2?; 1 + b ^ 2 / a ^ 2 \u003d c ^ 2 / a ^ 2 \u003d\u003e 1 + 1 / tg ^ 2? \u003d 1 / sin ^? або 1 + ctg ^ 2? \u003d 1 / sin ^ 2? .П'ять і шосте основні тотожності доводяться через визначення суми гострих кутів прямокутного трикутника, яка дорівнює 90 ° або? /2.Больше важкі тригонометричні тотожності : Формули додавання доводів, подвійного і потрійного кута, зниження ступеня, реформування суми або твори функцій, а також формули тригонометричної підстановки, а саме вираження основних тригонометричних функцій через tg половинного кута: sin? \u003d (2 * tg? / 2) / (1 + tg ^ 2? / 2); cos? \u003d (1 - tg ^ 2? / 2) / (1 \u003d tg ^ 2? / 2); tg? \u003d (2 * tg? / 2) / (1 - tg ^ 2? / 2).
Потреба виявити мінімальне значення математичної функції являє собою фактичний інтерес у вирішенні прикладних задач, скажімо, в економіці. величезне значення для підприємницької діяльності має мінімізація збитків.
Інструкція
1. Щоб виявити мінімальне значення функції , Необхідно визначити, при якому значенні аргументу x0 буде виконуватися нерівність y (x0)? y (x), де x? x0. Як водиться, це завдання вирішується на певному проміжку або у кожній області значень функції , Якщо такий не заданий. Одним з аспектів вирішення є знаходження нерухомих точок.
2. Стаціонарної точкою іменується значення доводу, при якому похідна функції звертається в нуль. Згідно з теоремою Ферма, якщо диференційована функція приймає екстремальне значення в деякій точці (в даному випадку - локальний мінімум), то ця точка є стаціонарною.
3. Мінімальна значення функція часто приймає саме в цій точці, втім її можна визначити не незмінне. Більше того, не незмінно дозволено з точністю сказати, чому дорівнює мінімум функції або він приймає безмежно мале значення . Тоді, як водиться, знаходять межа, до якого вона тяготиться при убуванні.
4. Для того щоб визначити мінімальну значення функції , Треба виконати послідовність дій, що складається з чотирьох етапів: знаходження області визначення функції , Придбання нерухомих точок, огляд значень функції в цих точках і на кінцях проміжку, виявлення мінімуму.
5. Виходить, нехай задана деяка функція y (x) на проміжку з межами в точках А і В. Виявіть область її визначення і дізнаєтеся, чи є проміжок її підмножиною.
6. Обчисліть похідну функції . Прирівняти отриманий вираз нулю і знайдіть коріння рівняння. Перевірте, чи потрапляють ці стаціонарні точки в проміжок. Якщо немає, то на подальшому етапі вони не враховуються.
7. Роздивіться проміжок на предмет типу кордонів: відкриті, закриті, складові або безмірні. Від цього залежить, як ви будете шукати мінімальне значення . Скажімо, відрізок [А, В] є закритим проміжком. Підставте їх в функцію і розрахуйте значення. Те ж саме виконайте з стаціонарної точкою. Виберіть найменший підсумок.
8. З відкритими і непомірними проміжками справа йде трохи важче. Тут доведеться шукати односторонні межі, які не незмінне дають однозначну підсумок. Скажімо, для проміжку з однієї закритої і однієї виколоти кордоном [А, В) слід виявити функцію при х \u003d А і односторонній межа lim y при х? По-0.
Аргументу x, то вона називається періодичної, якщо є число T, що для будь-якого x F (x + T) \u003d F (x). Це число T і називається періодом функції.
Періодів може бути і декілька. Наприклад, функція F \u003d const для будь-яких значень аргументу приймає одне і те ж значення, а тому будь-яке число може вважатися її періодом.
Зазвичай цікавить найменший не дорівнює нулю період функції. Його для стислості і називають просто періодом.
Класичний приклад періодичних функцій - тригонометричні: синус, косинус і тангенс. Їх період однаковий і рівний 2π, тобто sin (x) \u003d sin (x + 2π) \u003d sin (x + 4π) і так далі. Однак, зрозуміло, тригонометричні функції - не єдині періодичні.
Щодо простих, базових функцій єдиний спосіб встановити їх періодичність або неперіодичних - обчислення. Але для складних функцій вже є кілька простих правил.
Якщо F (x) - з періодом T, і для неї визначена похідна, то ця похідна f (x) \u003d F '(x) - теж періодична функція з періодом T. Адже значення похідної в точці x одно тангенсу кута дотичній графіка її первісної в цій точці до осі абсцис, а оскільки первісна періодично повторюється, то повинна повторюватися і похідна. Наприклад, похідна від функції sin (x) дорівнює cos (x), і вона періодична. Беручи похідну від cos (x), ви отримаєте -sin (x). Періодичність зберігається незмінно.
Однак зворотне не завжди вірно. Так, функція f (x) \u003d const періодична, а її Первісна F (x) \u003d const * x + C - немає.
Якщо F (x) - періодична функція з періодом T, то G (x) \u003d a * F (kx + b), де a, b, і k - константи і k не дорівнює нулю - теж періодична функція, і її період дорівнює T / k. Наприклад sin (2x) - періодична функція, і її період дорівнює π. Наочно це можна представити так: примножуючи x на яке-небудь число, ви як би стискаєте графік функції по горизонталі саме в стільки разів
Якщо F1 (x) і F2 (x) - періодичні функції, і їх періоди рівні T1 і T2 відповідно, то сума цих функцій теж може бути періодичною. Однак її період не буде простою сумою періодів T1 і T2. Якщо результат ділення T1 / T2 - раціональне число, то сума функцій періодична, і її період дорівнює найменшого спільного кратного (НОК) періодів T1 і T2. Наприклад, якщо період першої функції дорівнює 12, а період другої - 15, то період їх суми буде дорівнює НОК (12, 15) \u003d 60.
Наочно це можна представити так: функції йдуть з різною «шириною кроку», але якщо відношення їх ширин раціонально, то рано чи пізно (а точніше, саме через НОК кроків), вони знову зрівняються, і їх сума почне новий період.
Однак якщо співвідношення періодів ірраціонально, то сумарна функція не періодичної зовсім. Наприклад, нехай F1 (x) \u003d x mod 2 (залишок від ділення x на 2), а F2 (x) \u003d sin (x). T1 тут буде дорівнює 2, а T2 дорівнює 2π. Співвідношення періодів дорівнює π - ірраціонального числа. Отже, функція sin (x) + x mod 2 не є періодичною.
Мета: узагальнити і систематизувати знання учнів по темі "Періодичність функцій"; формувати навички застосування властивостей періодичної функції, знаходження найменшого позитивного періоду функції, побудови графіків періодичних функцій; сприяти підвищенню інтересу до вивчення математики; виховувати спостережливість, акуратність.
Обладнання: комп'ютер, мультимедійний проектор, картки із завданнями, слайди, годинник, таблиці орнаментів, елементи народного промислу
"Математика - це те, за допомогою чого люди керують природою і собою"
А.Н. Колмогоров
Хід уроку
I. Організаційний етап.
Перевірка готовності учнів до уроку. Повідомлення теми і завдань уроку.
II. Перевірка домашнього завдання.
Домашнє завдання перевіряємо за зразками, найбільш складні моменти обговорюємо.
III. Узагальнення і систематизація знань.
1. Усна фронтальна робота.
Питання теорії.
1) Сформуйте визначення періоду функції
2) Назвіть найменший позитивний період функцій y \u003d sin (x), y \u003d cos (x)
3). Назвіть найменший позитивний період функцій y \u003d tg (x), y \u003d ctg (x)
4) Доведіть за допомогою кола вірність співвідношень:
y \u003d sin (x) \u003d sin (x + 360º)
y \u003d cos (x) \u003d cos (x + 360º)
y \u003d tg (x) \u003d tg (x + 18 0º)
y \u003d ctg (x) \u003d ctg (x + 180º)
tg (x + π n) \u003d tgx, n € Z
ctg (x + π n) \u003d ctgx, n € Z
sin (x + 2π n) \u003d sinx, n € Z
cos (x + 2π n) \u003d cosx, n € Z
5) Як побудувати графік періодичної функції?
Усні вправи.
1) Довести наступні співвідношення
a) sin (740º) \u003d sin (20º)
b) cos (54º) \u003d cos (-1026º)
c) sin (-1000º) \u003d sin (80º)
2. Довести, що кут в 540º є одним з періодів функції y \u003d cos (2x)
3. Довести, що кут в 360º є одним з періодів функції y \u003d tg (x)
4. Дані вирази перетворити так, щоб вхідні в них кути по абсолютній величині не перевищували 90º.
a) tg375º
b) ctg530º
c) sin1268º
d) cos (-7363º)
5. Де ви зустрічалися зі словами ПЕРІОД, ПЕРІОДИЧНІСТЬ?
Відповіді учнів: Період в музиці - побудова, в якому викладено більш-менш завершена музична думка. Геологічний період - частина ери і розділяється на епохи з періодом від 35 до 90 млн. Років.
Період напіврозпаду радіоактивного речовини. Періодична дріб. Періодична преса - друковані видання, що з'являються в строго визначені терміни. Періодична система Менделєєва.
6. На малюнках зображені частини графіків періодичних функцій. Визначте період функції. Визначити період функції.
відповідь: Т \u003d 2; Т \u003d 2; Т \u003d 4; Т \u003d 8.
7. Де в житті ви зустрічалися з побудовою повторюваних елементів?
Відповідь учнів: Елементи орнаментів, народна творчість.
IV. Колективне рішення задач.
(Рішення задач на слайдах.)
Розглянемо один із способів дослідження функції на періодичність.
При цьому способі обходяться труднощі, пов'язані з доказом того, що той чи інший період є найменшим, а також відпадає необхідність стосуватися питань про арифметичні дії над періодичними функціями і про періодичність складної функції. Міркування спирається лише на визначення періодичної функції і на такий факт: якщо Т - період функції, то і nT (n? 0) - її період.
Завдання 1. Знайдіть найменший позитивний період функції f (x) \u003d 1 + 3 (x + q\u003e 5)
Рішення: Припустимо, що Т-період даної функції. Тоді f (x + T) \u003d f (x) для всіх x € D (f), тобто
1 + 3 (x + T + 0,25) \u003d 1 + 3 (x + 0,25)
(X + T + 0,25) \u003d (x + 0.25)
Покладемо x \u003d -0,25 отримаємо
(T) \u003d 0<=> T \u003d n, n € Z
Ми отримали, що всі періоди даної функції (якщо вони існують) знаходяться серед цілих чисел. Виберемо серед цих чисел найменше позитивне число. це 1 . Перевіримо, чи не буде воно і насправді періодом 1 .
f (x + 1) \u003d 3 (x + 1 + 0,25) +1
Так як (T + 1) \u003d (T) при будь-якому Т, то f (x + 1) \u003d 3 ((x + 0.25) +1) + 1 \u003d 3 (x + 0,25) + 1 \u003d f (x ), тобто 1 - період f. Так як 1 - найменше з усіх цілих позитивних чисел, то T \u003d 1.
Завдання 2. Показати, що функція f (x) \u003d cos 2 (x) періодична і знайти її основний період.
Завдання 3. Знайдіть основний період функції
f (x) \u003d sin (1,5x) + 5cos (0,75x)
Припустимо Т-період функції, тоді для будь-якого х справедливо співвідношення
sin1,5 (x + T) + 5cos0,75 (x + T) \u003d sin (1,5x) + 5cos (0,75x)
Якщо х \u003d 0, то
sin (1,5T) + 5cos (0,75T) \u003d sin0 + 5cos0
sin (1,5T) + 5cos (0,75T) \u003d 5
Якщо х \u003d -Т, то
sin0 + 5cos0 \u003d sin (-1,5Т) + 5cos0,75 (-Т)
5 \u003d - sin (1,5 т) + 5cos (0,75Т)
| sin (1,5 т) + 5cos (0,75Т) \u003d 5 - sin (1,5 т) + 5cos (0,75Т) \u003d 5 |
Склавши, отримаємо:
10cos (0,75Т) \u003d 10
2π n, n € Z
Виберемо з усіх "підозрілих" на період чисел найменше позитивне і перевіримо, чи є воно періодом для f. це число
f (x +) \u003d sin (1,5x + 4π) + 5cos (0,75x + 2π) \u003d sin (1,5x) + 5cos (0,75x) \u003d f (x)
Значить - основний період функції f.
Завдання 4. Перевіримо чи є періодичної функція f (x) \u003d sin (x)
Нехай Т - період функції f. Тоді для будь-якого х
sin | x + Т | \u003d sin | x |
Якщо х \u003d 0, то sin | Т | \u003d sin0, sin | Т | \u003d 0 Т \u003d π n, n € Z.
Припустимо. Що при деякому n число π n є періодом
розглянутої функції π n\u003e 0. Тоді sin | π n + x | \u003d sin | x |
Звідси випливає, що n повинно бути одночасно і парних і непарних числом, а це неможливо. Тому дана функція не є періодичною.
Завдання 5. Перевірити, чи є періодичної функція
f (x) \u003d 
Нехай Т - період f, тоді
, Звідси sinT \u003d 0, Т \u003d π n, n € Z. Припустимо, що при деякому n число π n дійсно є періодом даної функції. Тоді і число 2π n буде періодом
Так як чисельники рівні, то рівні і їх знаменники, тому
Значить, функція f НЕ періодична.
Робота в групах.
Завдання для групи 1.
Завдання для групи 2.
Перевірте чи є функція f періодичної і знайдіть її основний період (якщо існує).
f (x) \u003d cos (2x) + 2sin (2x)
Завдання для групи 3.
Після закінчення роботи групи презентують свої рішення.
VI. Підведення підсумків уроку.
Рефлексія.
Учитель видає учням картки з малюнками і пропонує зафарбувати частина першого малюнка відповідно до того, в якому обсязі, як їм здається, вони оволоділи способами дослідження функції на періодичність, а в частині другого малюнка - відповідно до свого внеском в роботу на уроці.
VII. Домашнє завдання
1). Перевірте, чи є функція f періодичної і знайдіть її основний період (якщо він існує)
b). f (x) \u003d x 2 -2x + 4
c). f (x) \u003d 2tg (3x + 5)
2). Функція y \u003d f (x) має період Т \u003d 2 і f (x) \u003d x 2 + 2x при х € [-2; 0]. Знайдіть значення виразу -2f (-3) -4f (3,5)
література /
- Мордкович А.Г. Алгебра і початки аналізу з поглибленим вивченням.
- Математика. Підготовка до ЄДІ. Під ред. Лисенко Ф.Ф., Кулабухова С.Ю.
- Шереметьєва Т.Г. , Тарасова Е.А. Алгебра і початки аналізу для 10-11 класів.
