Висновок похідною e в ступені x. Дивна особливість похідною e в ступені х. Похідна оберненої функції

При виведенні найпершої формули таблиці будемо виходити з визначення проізводнойфункціі в точці. Візьмемо, де x - будь-яке дійсне число, тобто, x - будь-яке число з області визначення функції. Запишемо границя відношення приросту функції до приросту аргументу при:

Слід зауважити, що під знаком межі виходить вираз, який не являетсянеопределенностью нуль ділити на нуль, так як в чисельнику знаходиться не нескінченно мала величина, а саме нуль. Іншими словами, приріст постійної функції завжди дорівнює нулю.

Таким чином, похідна постійної функціїдорівнює нулю на всій області визначення.

Похідна статечної функції.

Формула похідної статечної функції має вид , Де показник ступеня p - будь-яке дійсне число.

Доведемо спочатку формулу для натурального показника ступеня, тобто, для p \u003d 1, 2, 3, ...

Будемо користуватися визначенням похідної. Запишемо границя відношення приросту статечної функції до приросту аргументу:

Для спрощення виразу в чисельнику звернемося до формули бінома Ньютона:

отже,

Цим доведена формула похідної степеневої функції для натурального показника.

Похідна показовою функції.

Висновок формули похідної наведемо на основі визначення:

Прийшли до невизначеності. Для її розкриття введемо нову змінну, причому при. Тоді. В останньому переході ми використовували формулу переходу до нового основи логарифма.

Виконаємо підстановку в вихідний межа:

Якщо згадати другий чудовий межа, то прийдемо до формули похідної показовою функції:

Похідна логарифмічної функції.

Доведемо формулу похідної логарифмічної функції для всіх x з області визначення і всіх допустимих значеннях підстави a логарифма. За визначенням похідної маємо:

Як Ви помітили, при доказі перетворення проводилися з використанням властивостей логарифма. рівність справедливо в силу другого чудового краю.

Похідні тригонометричних функцій.

Для виведення формул похідних тригонометричних функцій нам доведеться згадати деякі формули тригонометрії, а також перший чудовий межа.

За визначенням похідної для функції синуса маємо .

Скористаємося формулою різниці синусів:

Залишилося звернутися до першого чудовому межі:

Таким чином, похідна функції sin x є cos x.

Абсолютно аналогічно доводиться формула похідною косинуса.

Отже, похідна функції cos x є -sin x.

Висновок формул таблиці похідних для тангенса і котангенс проведемо з використанням доведених правил диференціювання (похідна дробу).

Похідні гіперболічних функцій.

Правила диференціювання і формула похідної показовою функції з таблиці похідних дозволяють вивести формули похідних гіперболічного синуса, косинуса, тангенса і котангенс.

Похідна оберненої функції.

Щоб при викладі не було плутанини, давайте позначати в нижньому індексі аргумент функції, за яким виконується диференціювання, тобто, - це похідна функції f (x) по x.

тепер сформулюємо правило знаходження похідної зворотної функції.

нехай функції y \u003d f (x) і x \u003d g (y) взаємно зворотні, певні на інтервалах і відповідно. Якщо в точці існує кінцева відмінна від нуля похідна функції f (x), То в точці існує кінцева похідна оберненої функції g (y), причому . В іншому записі .

Можна це правило переформулювати для будь-якого x з проміжку, тоді отримаємо .

Давайте перевіримо справедливість цих формул.

Знайдемо зворотну функцію для натурального логарифма (тут y - функція, а x- аргумент). Дозволивши це рівняння щодо x, Отримаємо (тут x - функція, а y - її аргумент). Тобто, і взаємно зворотні функції.

З таблиці похідних бачимо, що і .

Переконаємося, що формули знаходження похідних зворотної функції призводять нас до цих же результатів:

Основні поняття

Перш ніж розібрати питання про похідну від експоненти в ступеня $ x $, нагадаємо визначення

1. функції;
2. границі послідовності;
3. похідною;
4. експоненти.

Це необхідно для ясного розуміння похідною від експоненти в ступеня $ x $.

визначення 1

Функцією називають залежність між двома змінними величинами.

Візьмемо $ y \u003d f (x) $, де $ x $ і $ y $ є змінними величинами. Тут $ x $ називається аргументом, а $ y $ - функцією. Аргумент може приймати довільні значення. У свою чергу, змінна $ y $ змінюється за певним законом в залежності від аргументу. Тобто аргумент $ x $ - це незалежна змінна, а функція $ y $ - це залежна змінна. Будь-якому значенню $ x $ відповідає єдине значення $ y $.

Якщо кожному натуральному числу $ n \u003d 1, 2, 3, ... $ поставити у відповідність в силу деякого закону число $ x_n $, то кажуть, що визначена послідовність чисел $ x_1, x_2, ..., x_n $. Інакше така послідовність записується як $ \\ (x_n \\) $. Всі числа $ x_n $ називають членами або елементами послідовності.

визначення 2

Межею послідовності називають кінцеву або нескінченно віддалену точку числовій прямій. Межа записують так: $ \\ lim x_n \u003d \\ lim \\ limits_ (n \\ to \\ infty) x_n \u003d a $. Цей запис означає, що змінна $ x_n $ прагне до $ a $ $ x_n \\ to a $.

Похідної функції $ f $ в точці $ x_0 $ називається наступний межа:

$ \\ Lim \\ limits_ (x \\ to x_0) \\ frac (f (x) - f (x_o)) (x-x_o) $. Він позначається $ f "(x_0) $.

Число $ e $ одно наступного межі:

$ E \u003d \\ lim \\ limits_ (x \\ to \\ infty) (1+ \\ frac (1) (n)) \\ approx2,718281828459045 ... $

В даному межі $ n $ це натуральне або дійсне число.

Володіючи поняттями про межі, похідної та експоненті, можемо приступити до доведення формули $ (e ^ x) "\u003d e ^ x $.

Висновок похідною від експоненти в ступеня $ x $

Маємо $ e ^ x $, де $ x: - \\ infty

$ Y "\u003d \\ lim \\ limits _ (\\ Delta x \\ to 0) \\ frac (e ^ (x + \\ Delta x) -e ^ x) (\\ Delta x) $.

По властивості експоненти $ e ^ (a + bx) \u003d e ^ a * e ^ b $ можемо перетворити чисельник межі:

$ E ^ (x + \\ Delta x) -e ^ x \u003d e ^ x * e ^ (\\ Delta x) -e ^ x \u003d e ^ x (e ^ (\\ Delta x) -1) $.

Тобто $ y "\u003d \\ lim \\ limits _ (\\ Delta x \\ to 0) \\ frac (e ^ (x + \\ Delta x) -e ^ x) (\\ Delta x) \u003d \\ lim \\ limits _ (\\ Delta x \\ to 0) \\ frac (e ^ x (e ^ (\\ Delta x) -1)) (\\ Delta x) $.

Позначимо $ t \u003d e ^ (\\ Delta x) -1 $. Отримаємо $ e ^ (\\ Delta x) \u003d t + 1 $, а по властивості логарифма виходить, що $ \\ Delta x \u003d ln (t + 1) $.

Так як експонента неперервна, маємо $ \\ lim \\ limits _ (\\ Delta x \\ to 0) e ^ (\\ Delta x) \u003d e ^ 0 \u003d 1. $ Тому якщо $ \\ Delta x \\ to 0 $, то і $ t \\ В результаті покажемо перетворення:

$ Y "\u003d \\ lim \\ limits _ (\\ Delta x \\ to 0) \\ frac (e ^ (\\ Delta x) -1) (\\ Delta x) \u003d e ^ x \\ lim \\ limits_ (t \\ to 0) \\ frac (t) (ln (t + 1)) $.

Позначимо $ n \u003d \\ frac (1) (t) $, тоді $ t \u003d \\ frac (1) (n) $. Виходить, що якщо $ t \\ to 0 $, то $ n \\ to \\ infty $.

Перетворимо наш межа:

$ Y "\u003d e ^ x \\ lim \\ limits_ (t \\ to 0) \\ frac (t) (ln (t + 1)) \u003d e ^ x \\ lim \\ limits_ (n \\ to \\ infty) \\ frac (1) (n \\ cdot ln (\\ frac (1) (n) +1) ^ n) $.

По властивості логарифма $ b \\ cdot ln c \u003d ln c ^ b $ маємо

$ N \\ cdot ln (\\ frac (1) (n) +1) \u003d ln (\\ frac (1) (n) +1) ^ n \u003d ln (1 + \\ frac (1) (n)) ^ n $ .

Межа перетвориться наступним чином:

$ Y "\u003d e ^ x \\ lim \\ limits_ (n \\ to \\ infty) \\ frac (1) (n \\ cdot ln (\\ frac (1) (n) +1)) \u003d e ^ x \\ lim \\ limits_ ( n \\ to \\ infty) \\ frac (1) (ln (\\ frac (1) (n) +1) ^ n) \u003d e ^ x \\ frac (1) (\\ lim \\ limits_ (n \\ to \\ infty) ln (\\ frac (1) (n) +1) ^ n) $.

Відповідно до властивості безперервності логарифма і властивості меж для неперервної функції: $ \\ lim \\ limits_ (x \\ to x_0) ln (f (x)) \u003d ln (\\ lim \\ limits_f (x)) $, де $ f (x) $ має позитивний межа $ \\ lim \\ limits_ (x \\ to x_0) f (x) $. Отже, в зв'язку з тим, що логарифм безперервний і існує позитивний межа $ \\ lim \\ limits_ (n \\ to \\ infty) (\\ frac (1) (n) +1) ^ n $, то можемо вивести:

$ \\ Lim \\ limits_ (n \\ to \\ infty) ln (1 + \\ frac (1) (n)) ^ n \u003d ln \\ lim \\ limits_ (n \\ to \\ infty) ln (1 + \\ frac (1) ( n)) ^ n \u003d ln e \u003d 1 $.

Скористаємося значенням другого чудового краю $ \\ lim \\ limits_ (n \\ to \\ infty) (1+ \\ frac (1) (n)) ^ n \u003d e $. отримуємо:

$ Y "\u003d e ^ x \\ frac (1) (\\ lim \\ limits_ (n \\ to \\ infty) ln (\\ frac (1) (n) +1) ^ n) \u003d e ^ x \\ cdot \\ frac (1 ) (ln e) \u003d e ^ x \\ cdot \\ frac (1) (1) \u003d e ^ x $.

Таким чином, ми вивели формулу похідної експоненти і можемо стверджувати, що похідна від експоненти в ступеня $ x $ еквівалентна експоненті в ступеня $ x $:

Існують також інші способи виведення цієї формули з використанням інших формул і правил.

приклад 1

Розглянемо приклад знаходження похідної функції.

Умова: Знайти похідну функції $ y \u003d 2 ^ x + 3 ^ x + 10 ^ x + e ^ x $.

Рішення: До складовою $ 2 ^ x, 3 ^ x $ і $ 10 ^ x $ застосовуємо формулу $ (a ^ x) "\u003d a ^ x \\ cdot ln a $. Згідно виведеної формулою $ (e ^ x)" \u003d e ^ x $ четверте доданок $ e ^ x $ не змінюється.

відповідь: $ Y "\u003d 2 ^ x \\ cdot ln 2 + 3 ^ x \\ cdot ln 3 + 10 ^ x \\ cdot ln 10 + e ^ x $.

Таким чином, ми вивели формулу $ (e ^ x) "\u003d e ^ x $, при цьому давши визначення основним поняттям, розібрали приклад знаходження похідної функції з експонентою в якості одного з доданків.

Наведемо зведену таблицю для зручності та наочності при вивченні теми.

Константа y \u003d C Степенева функція y \u003d x p (X p) "\u003d p · x p - 1	показова функція y \u003d a x (A x) "\u003d a x · ln a Зокрема, при a \u003d eмаємо y \u003d e x (E x) "\u003d e x
логарифмічна функція (Log a x) "\u003d 1 x · ln a Зокрема, при a \u003d eмаємо y \u003d ln x (Ln x) "\u003d 1 x	тригонометричні функції (Sin x) "\u003d cos x (cos x)" \u003d - sin x (t g x) "\u003d 1 cos 2 x (c t g x)" \u003d - 1 sin 2 x
Зворотні тригонометричні функції (A r c sin x) "\u003d 1 + 1 - x 2 (a r c cos x)" \u003d - 1 + 1 - x 2 (a r c t g x) "\u003d 1 + 1 + x 2 (a r c c t g x)" \u003d - 1 + 1 + x 2	гіперболічні функції (S h x) "\u003d c h x (c h x)" \u003d s h x (t h x) "\u003d 1 c h 2 x (c t h x)" \u003d - 1 s h 2 x

Розберемо, яким чином були отримані формули зазначеної таблиці або, інакше кажучи, доведемо висновок формул похідних для кожного виду функцій.

похідна постійної

доказ 1

Для того, щоб вивести цю формулу, візьмемо за основу визначення похідної функції в точці. Використовуємо x 0 \u003d x, де x приймає значення будь-якого дійсного числа, або, інакше кажучи, x є будь-яким числом з області визначення функції f (x) \u003d C. Складемо запис межі відношення приросту функції до приросту аргументу при Δ x → 0:

lim Δ x → 0 Δ f (x) Δ x \u003d lim Δ x → 0 C - C Δ x \u003d lim Δ x → 0 0 Δ x \u003d 0

Зверніть увагу, що під знак межі потрапляє вираз 0 Δ x. Воно не є невизначеність «нуль ділити на нуль», оскільки в чисельнику записана нескінченно мала величина, а саме нуль. Інакше кажучи, збільшення постійної функції завжди є нуль.

Отже, похідна постійної функції f (x) \u003d C дорівнює нулю на всій області визначення.

приклад 1

Дано постійні функції:

f 1 (x) \u003d 3, f 2 (x) \u003d a, a ∈ R, f 3 (x) \u003d 4. 13 7 22, f 4 (x) \u003d 0, f 5 (x) \u003d - 8 7

Рішення

Наведемо задані умови. У першій функції ми бачимо похідну натурального числа 3. У наступному прикладі необхідно брати похідну від а, де а - будь-яке дійсне число. Третій приклад задає нам похідну ірраціонального числа 4. 13 7 22, четвертий - похідну нуля (нуль - ціле число). Нарешті, в п'ятому випадку маємо похідну раціональної дробу - 8 7.

відповідь: похідні заданих функцій є нуль при будь-якому дійсному x (На всій області визначення)

f 1 "(x) \u003d (3)" \u003d 0, f 2 "(x) \u003d (a)" \u003d 0, a ∈ R, f 3 "(x) \u003d 4. 13 7 22" \u003d 0, f 4 "(x) \u003d 0" \u003d 0, f 5 "(x) \u003d - 8 7" \u003d 0

Похідна статечної функції

Переходимо до статечної функції і формулою її похідної, що має вигляд: (x p) "\u003d p · x p - 1, де показник ступеня p є будь-яким дійсним числом.

доказ 2

Наведемо доказ формули, коли показник ступеня - натуральне число: p \u003d 1, 2, 3, ...

Знову спираємося на визначення похідної. Складемо запис межі відношення приросту статечної функції до приросту аргументу:

(X p) "\u003d lim Δ x → 0 \u003d Δ (x p) Δ x \u003d lim Δ x → 0 (x + Δ x) p - x p Δ x

Щоб спростити вираз в чисельнику, використовуємо формулу бінома Ньютона:

(X + Δ x) p - x p \u003d C p 0 + x p + C p 1 · x p - 1 · Δ x + C p 2 · x p - 2 · (Δ x) 2 +. . . + + C pp - 1 · x · (Δ x) p - 1 + C pp · (Δ x) p - xp \u003d \u003d C p 1 · xp - 1 · Δ x + C p 2 · xp - 2 · (Δ x) 2 +. . . + C p p - 1 · x · (Δ x) p - 1 + C p p · (Δ x) p

Таким чином:

(Xp) "\u003d lim Δ x → 0 Δ (xp) Δ x \u003d lim Δ x → 0 (x + Δ x) p - xp Δ x \u003d \u003d lim Δ x → 0 (C p 1 · xp - 1 · Δ x + C p 2 · xp - 2 · (Δ x) 2 +... + C pp - 1 · x · (Δ x) p - 1 + C pp · (Δ x) p) Δ x \u003d \u003d lim Δ x → 0 (C p 1 · xp - 1 + C p 2 · xp - 2 · Δ x +... + C pp - 1 · x · (Δ x) p - 2 + C pp · (Δ x) p - 1) \u003d \u003d C p 1 · xp - 1 + 0 + 0 +... + 0 \u003d p!1! · (p - 1)! · xp - 1 \u003d p · xp - 1

Так, ми довели формулу похідної степеневої функції, коли показник ступеня - натуральне число.

доказ 3

Щоб привести доказ для випадку, коли p -будь-яка дійсна число, відмінне від нуля, використовуємо логарифмічну похідну (тут слід розуміти відміну від похідної логарифмічної функції). Щоб мати більш повне розуміння бажано вивчити похідну логарифмічною функції і додатково розібратися з похідною неявно заданої функції і похідною складної функції.

Розглянемо два випадки: коли x позитивні і коли x негативні.

Отже, x\u003e 0. Тоді: x p\u003e 0. Логарифмуючи рівність y \u003d x p по підставі e і застосуємо властивість логарифма:

y \u003d x p ln y \u003d ln x p ln y \u003d p · ln x

На даному етапі отримали неявно задану функцію. Визначимо її похідну:

(Ln y) "\u003d (p · ln x) 1 y · y" \u003d p · 1 x ⇒ y "\u003d p · y x \u003d p · x p x \u003d p · x p - 1

Тепер розглядаємо випадок, коли x -від'ємне число.

якщо показник p є парне число, то статечна функція визначається і при x< 0 , причем является четной: y (x) = - y ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1

Тоді x p< 0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную.

якщо p є непарне число, тоді статечна функція визначена і при x< 0 , причем является нечетной: y (x) = - y (- x) = - (- x) p . Тогда x p < 0 , а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции:

y "(x) \u003d (- (- x) p)" \u003d - ((- x) p) "\u003d - p · (- x) p - 1 · (- x)" \u003d \u003d p · (- x) p - 1 \u003d p · xp - 1

Останній перехід можливий в силу того, що якщо p - непарне число, то p - 1 або парне число, або нуль (при p \u003d 1), тому, при негативних x вірно рівність (- x) p - 1 \u003d x p - 1.

Отже, ми довели формулу похідної степеневої функції при будь-якому дійсному p.

приклад 2

Дано функції:

f 1 (x) \u003d 1 x 2 3, f 2 (x) \u003d x 2 - 1 4, f 3 (x) \u003d 1 x log 7 12

Визначте їх похідні.

Рішення

Частина заданих функцій перетворимо в табличний вигляд y \u003d x p, спираючись на властивості ступеня, а потім використовуємо формулу:

f 1 (x) \u003d 1 x 2 +3 \u003d x - 2 3 ⇒ f 1 "(x) \u003d - 2 3 · x - 2 3 - 1 \u003d - 2 3 · x - 5 3 f 2" (x) \u003d x 2 - 1 4 \u003d 2 - 1 4 · x 2 - 1 4 - 1 \u003d 2 - 1 4 · x 2 - 5 4 f 3 (x) \u003d 1 x log 7 12 \u003d x - log 7 12 ⇒ f 3 "( x) \u003d - log 7 12 · x - log 7 12 - 1 \u003d - log 7 12 · x - log 7 12 - log 7 7 \u003d - log 7 12 · x - log 7 84

Похідна показовою функції

доказ 4

Виведемо формулу похідної, взявши за основу визначення:

(Ax) "\u003d lim Δ x → 0 ax + Δ x - ax Δ x \u003d lim Δ x → 0 ax (a Δ x - 1) Δ x \u003d ax · lim Δ x → 0 a Δ x - 1 Δ x \u003d 0 0

Ми отримали невизначеність. Щоб розкрити її, запишемо нову змінну z \u003d a Δ x - 1 (z → 0 при Δ x → 0). В такому випадку a Δ x \u003d z + 1 ⇒ Δ x \u003d log a (z + 1) \u003d ln (z + 1) ln a. Для останнього переходу використана формула переходу до нового основи логарифма.

Здійснимо підстановку в вихідний межа:

(Ax) "\u003d ax · lim Δ x → 0 a Δ x - 1 Δ x \u003d ax · ln a · lim Δ x → 0 1 1 z · ln (z + 1) \u003d \u003d ax · ln a · lim Δ x → 0 1 ln (z + 1) 1 z \u003d ax · ln a · 1 ln lim Δ x → 0 (z + 1) 1 z

Згадаймо другий чудовий межа і тоді отримаємо формулу похідної показовою функції:

(A x) "\u003d a x · ln a · 1 ln lim z → 0 (z + 1) 1 z \u003d a x · ln a · 1 ln e \u003d a x · ln a

приклад 3

Дано показові функції:

f 1 (x) \u003d 2 3 x, f 2 (x) \u003d 5 3 x, f 3 (x) \u003d 1 (e) x

Необхідно знайти їх похідні.

Рішення

Використовуємо формулу похідної показовою функції і властивості логарифма:

f 1 "(x) \u003d 2 3 x" \u003d 2 3 x · ln 2 3 \u003d 2 3 x · (ln 2 - ln 3) f 2 "(x) \u003d 5 3 x" \u003d 5 3 x · ln 5 1 3 \u003d 1 3 · 5 3 x · ln 5 f 3 "(x) \u003d 1 (e) x" \u003d 1 ex "\u003d 1 ex · ln 1 e \u003d 1 ex · ln e - 1 \u003d - 1 ex

Похідна логарифмічної функції

доказ 5

Наведемо доказ формули похідної логарифмічної функції для будь-яких x в області визначення і будь-яких допустимих значеннях підстави а логарифма. Спираючись на визначення похідної, отримаємо:

(Log ax) "\u003d lim Δ x → 0 log a (x + Δ x) - log ax Δ x \u003d lim Δ x → 0 log ax + Δ xx Δ x \u003d \u003d lim Δ x → 0 1 Δ x · log a 1 + Δ xx \u003d lim Δ x → 0 log a 1 + Δ xx 1 Δ x \u003d \u003d lim Δ x → 0 log a 1 + Δ xx 1 Δ x · xx \u003d lim Δ x → 0 1 x · log a 1 + Δ xxx Δ x \u003d \u003d 1 x · log a lim Δ x → 0 1 + Δ xxx Δ x \u003d 1 x · log ae \u003d 1 x · ln e ln a \u003d 1 x · ln a

Із зазначеної ланцюжка рівностей видно, що перетворення будувалися на основі властивості логарифма. Рівність lim Δ x → 0 1 + Δ x x x Δ x \u003d e є вірним відповідно до другого чудовим межею.

приклад 4

Задані логарифмічні функції:

f 1 (x) \u003d log ln 3 x, f 2 (x) \u003d ln x

Необхідно обчислити їх похідні.

Рішення

Застосуємо виведену формулу:

f 1 "(x) \u003d (log ln 3 x)" \u003d 1 x · ln (ln 3); f 2 "(x) \u003d (ln x)" \u003d 1 x · ln e \u003d 1 x

Отже, похідна натурального логарифма є одиниця, поділена на x.

Похідні тригонометричних функцій

доказ 6

Використовуємо деякі тригонометричні формули і перший чудовий межа, щоб вивести формулу похідної тригонометричної функції.

Згідно з визначенням похідної функції синуса, отримаємо:

(Sin x) "\u003d lim Δ x → 0 sin (x + Δ x) - sin x Δ x

Формула різниці синусів дозволить нам зробити наступні дії:

(Sin x) "\u003d lim Δ x → 0 sin (x + Δ x) - sin x Δ x \u003d \u003d lim Δ x → 0 2 · sin x + Δ x - x 2 · cos x + Δ x + x 2 Δ x \u003d \u003d lim Δ x → 0 sin Δ x 2 · cos x + Δ x 2 Δ x 2 \u003d \u003d cos x + 0 2 · lim Δ x → 0 sin Δ x 2 Δ x 2

Нарешті, використовуємо перший чудовий межа:

sin "x \u003d cos x + 0 2 · lim Δ x → 0 sin Δ x 2 Δ x 2 \u003d cos x

Отже, похідної функції sin x буде cos x.

Абсолютно також доведемо формулу похідної косинуса:

cos "x \u003d lim Δ x → 0 cos (x + Δ x) - cos x Δ x \u003d \u003d lim Δ x → 0 - 2 · sin x + Δ x - x 2 · sin x + Δ x + x 2 Δ x \u003d \u003d - lim Δ x → 0 sin Δ x 2 · sin x + Δ x 2 Δ x 2 \u003d \u003d - sin x + 0 2 · lim Δ x → 0 sin Δ x 2 Δ x 2 \u003d - sin x

Тобто похідної функції cos x буде - sin x.

Формули похідних тангенса і котангенс виведемо на основі правил диференціювання:

tg "x \u003d sin x cos x" \u003d sin "x · cos x - sin x · cos" x cos 2 x \u003d \u003d cos x · cos x - sin x · (- sin x) cos 2 x \u003d sin 2 x + cos 2 x cos 2 x \u003d 1 cos 2 xctg "x \u003d cos x sin x" \u003d cos "x · sin x - cos x · sin" x sin 2 x \u003d \u003d - sin x · sin x - cos x · cos x sin 2 x \u003d - sin 2 x + cos 2 x sin 2 x \u003d - 1 sin 2 x

Похідні обернених тригонометричних функцій

Розділ про похідну зворотних функцій дає вичерпну інформацію про доведення формул похідних арксинуса, арккосинуса, арктангенса і арккотангенса, тому дублювати матеріал тут не будемо.

Похідні гіперболічних функцій

доказ 7

Висновок формул похідних гіперболічного синуса, косинуса, тангенса і котангенс здійснимо за допомогою правила диференціювання і формули похідної показовою функції:

sh "x \u003d ex - ex 2" \u003d 1 2 ex "- ex" \u003d \u003d 1 2 ex - - ex \u003d ex + ex 2 \u003d chxch "x \u003d ex + ex 2" \u003d 1 2 ex "+ ex" \u003d \u003d 1 2 ex + - ex \u003d ex - ex 2 \u003d shxth "x \u003d shxchx" \u003d sh "x · chx - shx · ch" xch 2 x \u003d ch 2 xsh 2 xch 2 x \u003d 1 ch 2 xcth "x \u003d chxshx" \u003d ch "x · shx - chx · sh" xsh 2 x \u003d sh 2 xch 2 xsh 2 x \u003d - 1 sh 2 x

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl + Enter

Доказ і висновок формул похідною експоненти (e в ступені x) і показовою функції (a у ступені x). Приклади обчислення похідних від e ^ 2x, e ^ 3x і e ^ nx. Формули похідних вищих порядків.

зміст

Див. також: Показова функція - властивості, формули, графік
Експонента, e в ступені x - властивості, формули, графік

Основні формули

Похідна експоненти дорівнює самій експоненті (похідна e в ступені x дорівнює e в ступені x):
(1) (E x) '\u003d e x.

Похідна показовою функції з повним правом ступеня a дорівнює самій функції, помноженої на натуральний логарифм від a:
(2) .

Експонента - це показова функція, у якій підстава ступеня дорівнює числу e, яке є наступним межею:
.
Тут може бути як натуральним, так і дійсним числом. Далі ми виводимо формулу (1) похідною експоненти.

Висновок формули похідної експоненти

Розглянемо експоненту, e в ступені x:
y \u003d e x.
Ця функція визначена для всіх. Знайдемо її похідну по змінній x. За визначенням, похідна є наступним межею:
(3) .

Перетворимо цей вираз, щоб звести його до відомим математичним властивостям і правилам. Для цього нам знадобляться наступні факти:
А) Властивість експоненти:
(4) ;
Б) Властивість логарифма:
(5) ;
В) Безперервність логарифма і властивість меж для неперервної функції:
(6) .
Тут - деяка функція, у якій існує межа і ця межа позитивний.
Г) Значення другого чудового краю:
(7) .

Застосовуємо ці факти до нашого межі (3). Використовуємо властивість (4):
;
.

Зробимо підстановку. тоді; .
В силу безперервності експоненти,
.
Тому при,. В результаті отримуємо:
.

Зробимо підстановку. Тоді. При,. І ми маємо:
.

Застосуємо властивість логарифма (5):
. тоді
.

Застосуємо властивість (6). Оскільки існує позитивний межа і логарифм безперервний, то:
.
Тут ми також скористалися другим чудовим межею (7). тоді
.

Тим самим ми отримали формулу (1) похідною експоненти.

Висновок формули похідної показовою функції

Тепер виведемо формулу (2) похідною показовою функції з повним правом ступеня a. Ми вважаємо, що і. Тоді показова функція
(8)
Визначено для всіх.

Перетворимо формулу (8). Для цього скористаємося властивостями показовою функції і логарифма.
;
.
Отже, ми перетворили формулу (8) до наступного вигляду:
.

Похідні вищих порядків від e в ступені x

Тепер знайдемо похідні вищих порядків. Спочатку розглянемо експоненту:
(14) .
(1) .

Ми бачимо, що похідна від функції (14) дорівнює самій функції (14). Диференціюючи (1), отримуємо похідні другого і третього порядку:
;
.

Звідси видно, що похідна n-го порядку також дорівнює вихідної функції:
.

Похідні вищих порядків показовою функції

Тепер розглянемо показову функцію з основою ступеня a:
.
Ми знайшли її похідну першого порядку:
(15) .

Диференціюючи (15), отримуємо похідні другого і третього порядку:
;
.

Ми бачимо, що кожне диференціювання приводить до множення вихідної функції на. Тому похідна n-го порядку має наступний вигляд:
.

Див. також:

Багато числа здобули свою величину і забобонне значення ще в давнину. У наші дні до них додаються нові міфи. Існує багато легенд про кількість пі, мало чим поступаються йому в популярності знамениті числа Фібоначчі. Але, мабуть, найдивовижнішим є число е, без якого не може обійтися сучасна математика, Фізика і навіть економіка.

Арифметичне значення числа е дорівнює приблизно 2,718. Чому не точно, а приблизно? Тому що це число ірраціональне і трансцендентне, його не можна виразити дробом з натуральними цілими числами або многочленом з раціональними коефіцієнтами. Для більшості розрахунків зазначеної точності значення в 2,718 достатньо, хоча сучасний рівень обчислювальної техніки дозволяє визначити його значення з точністю понад трильйон знаків після коми.

Головною особливістю числа е є те, що похідна його показовою функції f (x) \u003d e x дорівнює значенню самої функції е х. Такого незвичайного властивості немає більше ні в якій іншій математичної залежності. Розповімо про це трохи докладніше.

Що таке межа

Спочатку розберемося з поняттям межі. Розглянемо якусь математичний вираз, наприклад, i \u003d 1 / n. Можна побачити, що при збільшенні «n «, Значення« i «буде зменшуватися, а при прагненні« n »до нескінченності (яка позначається ∞),« i »буде прагнути до граничного значення (званого частіше просто межею), рівному нулю. Вираз межі (позначається як lim) для розглянутого випадку можна записати у вигляді lim n → ∞ (1 / n) \u003d 0.

Існують різні межі для різних виразів. Одним з таких меж, що увійшли в радянські і російські підручники як другий чудовий межа, є вираз lim n → ∞ (1 + 1 / n) n. Уже в Середньовіччі було встановлено, що межею цього виразу є число е.

До першого ж чудовому межі відносять вираз lim n → ∞ (Sin n / n) \u003d 1.

Як знайти похідну e x - в цьому відео.

Що таке похідна функції

Для розкриття поняття похідної слід нагадати що таке функція в математиці. Щоб не захаращувати текст складними визначеннями, зупинимося на інтуїтивному математичному понятті функції, що полягає в тому, що в ній одна або кілька величин повністю визначають значення іншої величини, якщо вони взаємопов'язані. Наприклад, у формулі S \u003d π ∙ r 2 площі кола, значення радіуса r повністю і однозначно визначає площу кола S.

Залежно від виду, функції можуть бути алгебраїчними, тригонометричними, логарифмічними та ін. В них можуть бути пов'язані між собою два, три і більше аргументів. Наприклад, пройдену відстань S, яке об'єкт подолав з рівноприскореному швидкістю, описується функцією S \u003d 0,5 ∙ a ∙ t 2 + V ∙ t, де «t» - час руху, аргумент «а» прискорення (може бути як позитивною, так і негативною величиною) і «V» початкова швидкість руху. Таким чином, величина пройденої відстані залежить від значень трьох аргументів, два з яких ( «а» і «V») постійні.

Покажемо на цьому прикладі елементарне поняття похідної функції. Воно характеризує швидкість зміни функції в даній точці. У нашому прикладі це буде швидкість руху об'єкта в конкретний момент часу. При постійних «а» і «V» вона залежить тільки від часу «t», тобто кажучи науковою мовою потрібно взяти похідну функції S за часом «t».

Цей процес називається диференціюванням, виконується шляхом обчислення границі відносини приросту функції до приросту її аргументу на мізерну величину. Рішення подібних завдань для окремих функцій часто є непростою справою і тут не розглядаються. Також варто відзначити, що деякі функції в певних точках взагалі не мають таких меж.

У нашому ж прикладі похідна S за часом «t» набуде вигляду S "\u003d ds / dt \u003d а ∙ t + V, з якого видно, що швидкість S" змінюється за лінійним законом в залежності від «t».

похідна експоненти

Експонентою називається показова функція, в якості підстави якої знаходиться число е. Вона зазвичай відображається у вигляді F (x) \u003d e x, де показник ступеня x є змінною величиною. Ця функція має повну дифференцируемого у всьому діапазоні дійсних чисел. З ростом x вона постійно зростає і завжди більше нуля. Обернена до неї функція - логарифм.

Відомий математик Тейлор зумів розкласти цю функцію в ряд, названий його ім'ям e x \u003d 1 + x / 1! + X 2/2! + X 3/3! + ... в діапазоні x від - ∞ до + ∞.

Закон, який базується на цій функції, Називається експоненціальним. Він описує:

• зростання складних банківських відсотків;
• збільшення популяції тварин і населення планети;
• час окоченения трупа і багато іншого.

Повторимо ще раз чудова властивість цієї залежності - значення її похідної в будь-якій точці завжди дорівнює значенню функції в цій точці, тобто (e x) "\u003d e x.

Наведемо похідні для найбільш загальних випадків експоненти:

• (E ax) "\u003d a ∙ e ax;
• (E f (x)) "\u003d f" (x) ∙ e f (x).

Використовуючи дані залежності, нескладно знайти похідні для інших приватних видів цієї функції.

Деякі цікаві факти про число е

З цим числом пов'язані прізвища таких вчених, як Непер, Отред, Гюйгенс, Бернуллі, Лейбніц, Ньютон, Ейлер, і інші. Останній власне і ввів позначення е для цього числа, а також знайшов перші 18 знаків, використовуючи для розрахунку відкритий ним ряд е \u003d 1 + 1/1! + 2/2! + 3/3! ...

Число e зустрічається в найнесподіваніших місцях. Наприклад, воно входить в рівняння ланцюгової лінії, яке описує провис каната під дією власної ваги, коли його кінці закріплені на опорах.

Відео

Тема видеоурока - похідна показовою функції.