Одного разу слідчому довелося одночасно допитувати трьох свідків. Силогізми Одного разу слідчому довелося одночасно допитувати трьох свідків: Клода, Жака і Діка. Їхні свідчення суперечили один одному, і кожен з. Якому варіанту було віддано ін

Одного разу слідчому довелося одночасно допитувати трьох свідків: Клода, Жака і Діка. Їхні свідчення суперечили один одному, і кожен з них звинувачував когось у брехні. Клод стверджував, що Жак бреше, Жак звинувачував у брехні Діка, а Дік умовляв слідчого не вірити ні Клоду, ні Жаку. Але слідчий швидко вивів їх на чисту воду, не поставивши їм жодного питання. Хто зі свідків говорив правду

Іллі Муромця, Добрині Микитовича і Альоші Поповичу за вірну службу дали 6 монет: 3 золотих і 3 срібних. Кожному дісталося по дві монети. Ілля Муромець не знає, які монети дісталися Добрині, а які Альоші, але знає, які монети дісталися йому самому. Придумайте питання, на який Ілля Муромець відповість "так", "ні" або "не знаю", і з відповіді на який Ви зможете зрозуміти, які монети йому дісталися

Правила силогізмів 1.В силогізм має бути тільки три висловлювання і тільки три терміни. ЖГ Всі екскурсанти розбіглися в різні боки, Петров екскурсант, значить, він розбігся в різні боки. 3. Якщо обидві посилки приватні висловлювання, то висновок зробити неможливо. 2. Якщо одна з посилок приватна висловлювання, то висновок повинен бути приватним. 4. Якщо одна з посилок негативна висловлювання, то і висновок є негативним висловлюванням. 5. Якщо обидві посилки негативні висловлювання, то висновок зробити неможливо 6. Середній термін повинен бути розподілений хоча би в одній з посилок. 7. Термін не може бути розподілений в ув'язненні, якщо він не розподілений в посилці.

Всі кішки мають чотири ноги. Всі собаки мають чотири ноги. Всі собаки кішки. Всі люди смертні. Всі собаки не є людьми. Собаки безсмертні (Не смертні). Україна займає величезну територію. Крим входить до складу України. Крим займає величезну територію

Можна виділити наступну послідовність кроків у вирішенні логічних завдань.

1. Виділити з умови задачі елементарні (прості) висловлювання і позначити їх буквами.

2. Записати умову задачі на мові алгебри логіки, з'єднати прості висловлювання в складні за допомогою логічних операцій.

3. Скласти єдине логічне вираз для вимог завдання.

4. Використовуючи закони алгебри логіки, спробувати спростити отриманий вираз і обчислити всі його значення або побудувати таблицю істинності для розглянутого вираження.

5. Вибрати рішення - набір значень простих висловлювань, при якому побудоване логічне вираз є істинним.

6. Перевірити, чи задовольняє отримане рішення умові завдання.

приклад:

Завдання 1: «Намагаючись згадати переможців минулорічного турніру, п'ять колишніх глядачів турніру заявили, що:

1. Антон був другим, а Борис - п'ятим.

2. Віктор був другим, а Денис - третім.

3. Григорій був першим, а Борис - третім.

4. Антон був третім, а Євген - шостим.

5. Віктор був третім, а Євген - четвертим.

Згодом з'ясувалося, що кожен глядач помилився в одному з двох своїх висловлювань. Яке було справжнє розподіл місць в турнірі ».

1) Позначимо через першу букву в імені учасника турніру, а - номер місця, яке він має, тобто маємо.

2) 1. ; 3. ; 5. .

3) Єдине логічне вираз для всіх вимог завдання:.

4) У формулі L проведемо рівносильні перетворення, отримаємо:.

5) З пункту 4 слід:,,,,.

6) Розподіл місць в турнірі: Антон був третім, Борис - п'ятим, Віктор - другим, Григорій - першим, а Євген - четвертим.

Завдання 2: «За звинуваченням у пограбуванні перед судом постали Іванов, Петров, Сидоров. Слідством встановлено:

1. якщо Іванов не винен чи Петров винен, то Сидоров винен;

2. якщо Іванов не винен, то Сидоров не винен.

Чи винен Іванов? »

1) Розглянемо висловлювання:

А: «Іванов винен», В: «Петров винен», З: «Сидоров винен».

2) Факти, встановлені слідством:,.

3) Єдине логічне вираз:. Воно істинно.

Складемо для нього таблицю істинності.

А	В	З	L

Вирішити задачу - значить вказати, при яких значеннях А отримане складне висловлювання L істинно. Якщо, а, то у слідства не достатньо фактів для того, щоб звинуватити Іванова в злочині. Аналіз таблиці показує і, тобто Іванов в пограбуванні винен.

Запитання і завдання.

1. Скласти РКС для формул:

2. Спростити РКС:

3. За даною перемикальної схемою побудувати відповідну їй логічну формулу.

4. Перевірити равносильность РКС:

5. Побудувати схему з трьох перемикачів і лампочки таким чином, щоб лампочка спалахувала тільки в тому випадку, коли рівно два перемикача знаходяться в положенні «включено».

6. По даній таблиці провідності побудувати схему з функціональних елементів з трьома входами і одним виходом, що реалізує формулу.

x	y	z	F

7. Проаналізуйте схему, наведену на малюнку, і випишіть формулу для функції F.

8. Завдання: «Одного разу слідчому довелося одночасно допитувати трьох свідків: Клода, Жака, Діка. Їхні свідчення суперечили один одному, і кожен з них звинувачував когось у брехні.

1) Клод стверджував, що Жак бреше.

2) Жак звинувачував у брехні Діка.

3) Дік умовляв слідчого не вірити ні Клоду, ні Жаку.

Але слідчий швидко вивів їх на чисту воду, не поставивши їм жодного питання. Хто зі свідків говорив правду?

9. Визначити, хто з чотирьох студентів здав іспит, якщо відомо, що:

1) Якщо перший здав, то і другий здав.

2) Якщо другий здав, то третій здав або перший не здав.

3) Якщо четвертий не здав, то перший здав, а третій не здав.

4) Якщо четвертий здав, то і перший здав.

10. На питання, хто з трьох студентів вивчав логіку, була отримана відповідь: якщо вивчав перший, то вивчав і третій, але не вірно, що якщо вивчав другий, то вивчав і третій. Хто вивчив логіку?

. 18 років.

Рішення

.

перший спосіб . За умовою завдання можна скласти рівняння. Нехай вік Діми - х років, тоді вік сестри х / 3, а брата - х / 2; (Х + х / 3 + х / 2): 3 \u003d 11. Після вирішення цього рівняння отримуємо, що х \u003d 18. Дімі виповнилося 18 років. Буде корисним привести дещо інше рішення, «в частинах».

другий спосіб . Якщо віки Діми, його брата і сестри зобразити відрізками, то «Димин відрізок» складається з двох «відрізків брата» або трьох «відрізків сестри». Тоді, якщо вік Діми поділити на 6 частин, то вік сестри - дві такі частини, а вік брата - три такі частини. Тоді сума їх віку - 11 таких частин. З іншого боку, якщо середній вік дорівнює 11 років, то сума вікових груп - 33 роки. Звідки випливає, що в одній частині - три роки. Значить, Дімі виповнилося 18 років.

критерії перевірки .

Повний вірне рішення - 7 балів.

Вірно складене рівняння, але при вирішенні допущені помилки - 3 бали .

Наведено правильну відповідь і була виконана величезна - 2 бали .

0 балів .

відповідь . Сем Грей.

Рішення .

З умови задачі ясно, що висловлювання кожного зі свідків вимовлені з приводу висловлювань інших двох свідків. Розглянемо заяву Боба Блека. Якщо те, що він говорить - правда, то Сем Грей і Джон Уайт брешуть. Але з того, що Джон Уайт бреше слід, що не всі свідчення Сема Грея - суцільна брехня. А це суперечить словами Боба Блека, якому ми вирішили повірити і який стверджує, що Сем Грей бреше. Отже, слова Боба Блека не можуть бути правдою. Значить, він збрехав, і ми повинні визнати слова Сема Грея правдою, а, отже, твердження Джона Уайта - брехнею. Відповідь: чи не брехав Сем Грей.

критерії перевірки .

Наведено повний вірний аналіз ситуації завдання і дан вірну відповідь - 7 балів .

Наведено повний вірний аналіз ситуації, але з яких-небудь причин дана невірна відповідь (наприклад, замість того, хто НЕ збрехав, у відповіді зазначено ті, хто збрехав) - 6 балів .

Наведено вірний аналіз ситуації, але з яких-небудь причин не дано правильну відповідь (наприклад, доведено, що Боб Блек брехав, але не зроблені подальші висновки) - 4 бали .

Наведено правильну відповідь і показано, що він задовольняє умові завдання (проведена перевірка), але не доведено, що відповідь єдиний - 3 бали .

1 бал .

0 балів .

відповідь . Одне число 175.

Рішення . перший спосіб . У складі цифр, якими записується число, немає цифри 0, інакше не може бути виконано умову задачі. Дане тризначне число отримано множенням на 5 твори своїх цифр, отже, воно ділиться на 5. Виходить, його запис закінчується цифрою 5. Отримуємо, що твір чисел, помножене на 5, має ділитися на 25. Зауважимо, що парних цифр у записі числа бути не може, інакше твір цифр було б дорівнює нулю. Таким чином, тризначне число має ділитися на 25 і не містити парних цифр. Таких чисел тільки п'ять: 175, 375, 575, 775 і 975. Добуток цифр шуканого числа повинно бути менше 200, інакше, помножене на 5, дасть чотиризначний число. Тому числа 775 і 975 свідомо не підходять. Серед решти трьох чисел тільки 175 задовольняє умові завдання. другий спосіб. Зауважимо (аналогічно першому способу рішення), що остання цифра шуканого числа - 5. Нехайa , b , 5 - послідовні цифри шуканого числа. За умовою завдання маємо: 100a + 10 b + 5 = a · b · 5 · 5. Поділивши обидві частини рівняння на 5, отримуємо: 20a + 2 b + 1 = 5 ab . Після вирахування з обох частин рівності 20а і винесення за дужки загального множника в правій частині, отримуємо: 2b + 1 = 5 a (b – 4 a) (1 ). Враховуючи що a і b можуть приймати натуральні значення від 1 до 9, отримуємо, що можливі значення а - тільки 1 або 2. Але а \u003d 2 не задовольняє рівності (1 ), В лівій частині якого непарне число, а в правій при підстановці а \u003d 2 виходить парне. Отже, єдина можливість а \u003d 1. Підставивши це значення в (1 ), Отримуємо: 2 b + 1 = 5 b - 20, звідки b \u003d 7. Відповідь: єдине шукане число - 175.

критерії перевірки .

Повний вірне рішення - 7 балів .

Отримано правильну відповідь і присутні міркування, істотно скорочують перебір варіантів, але повного вирішення немає - 4 бали .

Вірно складене рівняння і наведені перетворення і міркування, що дозволяють вирішити задачу, але рішення не доведено до кінця - 4 бали .

Перебір варіантів скорочений, але немає пояснень, чому, і вказано правильну відповідь - 3 бали .

Вірно складене рівняння, але завдання не вирішена - 2 бали .

У рішенні є міркування, що дозволяють виключити з розгляду будь-які числа або розглядати числа з певними властивостями (наприклад, що закінчуються цифрою 5), але далі істотного просування у вирішенні немає - 1 бал .

Наведено тільки правильну відповідь або відповідь з перевіркою - 1 бал .

відповідь . 75 ° .

Рішення . Розглянемо трикутник АОС, де О - центр кола. Цей трикутник рівнобедрений, так як ОС і ОА - радіуси. Значить, по властивості рівнобедреного трикутника, кути А і С рівні. Проведемо перпендикуляр СМ до сторони АТ і розглянемо прямокутний трикутник ОМС. За умовою завдання, катет СМ - половина гіпотенузи ОС. Значить, величина кута СОМ дорівнює 30 °. Тоді, по теоремі про суму кутів трикутника отримуємо, що кут САО (або САВ) дорівнює 75 °.

критерії перевірки .

Вірне обгрунтоване рішення задачі - 7 балів.

Наведено вірні міркування, що є вирішенням завдання, але з яких-небудь причин дана невірна відповідь (наприклад, зазначений кут СОА замість кута САО) - 6 балів.

Наведено в цілому вірні міркування, в яких допущені помилки, які не мають для суті рішення принципового характеру, і дано правильну відповідь - 5 балів.

Наведено вірне рішення задачі при відсутності обґрунтувань: вказані всі проміжні висновки без вказівки зв'язків між ними (посилань на теореми або визначення) - 4 бали.

Зроблені додаткові побудови і позначення на кресленні, з яких ясний хід рішення, дано правильну відповідь, але не наведено самі міркування - 3 бали.

Наведено правильну відповідь при невірних міркуваннях - 0 балів.

Наведено тільки вірну відповідь - 0 балів.

відповідь . Див. Малюнок.

Рішення . Перетворимо дане рівняння, виділивши під знаком кореня повний квадрат:. Вираз у правій частині має сенс лише при х \u003d 9. Підставляючи це значення в рівняння, отримуємо: 9 2 – y 4 \u003d 0. Розкладемо на множники ліву частину: (3 – y)(3 + y)(9 + y 2 ) \u003d 0. Звідки y \u003d 3 або y \u003d -3. Значить, координати тільки двох точок (9; 3) або (9; -3) задовольняють даному рівнянню. Графік рівняння зображений на малюнку.

Критерії перевірки.

Проведено вірні перетворення і міркування і вірно побудований графік - 7 балів.

Проведено вірні перетворення, але втрачено значення y \u003d -3; як графіка вказана одна точка -3 бали.

Вказані одна або дві відповідні точки, можливо, з перевіркою, але без інших пояснень або після невірних перетворень -1 бал.

Проведено вірні перетворення, але оголошено, що вираз під коренем (або в правій частині після зведення в квадрат) негативно і графіком є \u200b\u200bпорожня множина точок - 1 бал.

Проведено міркування, що призвели до вказівкою двох точок, але ці точки будь-яким чином з'єднані (наприклад, відрізком) - 1 бал.

Вказані без пояснень дві точки, які будь-яким чином з'єднані - 0 балів.

В інших випадках - 0 балів.

Відповіді завдань другого етапу олімпіади

відповідь . Можуть.

Рішення . Якщо а \u003d, b \u003d -, то а \u003d b + 1 і a 2 \u003d b 2

Також можна вирішити систему рівнянь:

Критерії перевірки.

Вірна відповідь із зазначенням чисел a і b – 7 балів .

Складена система рівнянь, але при її вирішенні допущена арифметична помилка - 3 бали .

Тільки відповідь - 1 бал .

відповідь . За 12 секунд .

Рішення . Між першим і четвертим поверхами 3 прольоту, а між п'ятим і першим - 4. Згідно з умовою, Петя 4 прольоту пробігає на 2 секунди довше, ніж мама їде на ліфті, а три прольоту - на 2 секунди швидше мами. Значить, за 4 секунди Петя пробігає один проліт. Тоді з четвертого поверху на перший (тобто на 3 прольоту) Петя збігає за 4 * 3 \u003d 12 секунд.

Критерії перевірки.

Вірна відповідь з повним рішенням - 7 балів .

Пояснено, що на один проліт потрібно 4 секунди, у відповіді зазначено 4 секунди - 5 балів .

Вірне обгрунтування в припущенні, що шлях з п'ятого поверху на перший в 1,25 раз більше шляху з четвертого поверху на перший і відповідь 16 секунд - 3 бали .

Тільки відповідь - 0 балів .

відповідь . Див. Малюнок.

Рішення . Оскільки х 2 =| х | 2 , то у =| х |, причому х ≠ 0.

Можна також, використовуючи визначення модуля, отримати, що (при х = 0 функція не визначена).

Критерії перевірки.

Вірний графік з поясненням - 7 балів .

Вірний графік без будь-яких пояснень - 5 балів .

Графік функції у \u003d | X | без виколоти точки -3 бали .

відповідь . Так .

Рішення . Розділимо даний квадрат зі стороною 5 прямими, паралельними його сторонам, на 25 квадратів зі стороною 1 (див. Рис.). Якби в кожному такому квадраті було не більше 4 зазначених точок, то все було б зазначено не більше 25 * 4 \u003d 100 точок, що суперечить умові. Отже, хоча б в одному з отриманих квадратів має бути 5 із зазначених точок.

Критерії перевірки.

Вірне рішення - 7 балів .

Тільки відповідь - 0 балів .

відповідь . Вісьмома способами.

Рішення . З пункту а) слід, що розфарбування всіх точок з цілими координатами однозначно визначається розфарбуванням точок, відповідних числах 0, 1, 2, 3, 4, 5 і 6. Точка 0 \u003d 14-2 * 7 повинна бути пофарбована так само як 14, тобто червоним. Аналогічно, точка 1 \u003d 71-107 повинна бути пофарбована синім, точка 3 \u003d 143-20 * 7 - синім, і 6 \u003d 20-2 * 7 - червоним. Тому залишається тільки порахувати, скількома різними способами можна розфарбувати точки, відповідні числам 2, 4 і 5. Так як кожну точку можна розфарбувати двома способами - червоним або синім - то всього способів 2 * 2 * 2 \u003d 8. Примітка. При підрахунку числа способів розфарбовування точок 2, 4 і 5, можна просто перерахувати всі способи, наприклад, у вигляді таблиці:

критерії перевірки .

Вірна відповідь з правильним обґрунтуванням - 7 балів .

Задача зведена до підрахунку числа способів розфарбувати 3 точки, але отримана відповідь 6 або 7 - 4 бали .

Задача зведена до підрахунку числа способів розфарбувати 3 точки, але підрахунок числа способів відсутній або отримана відповідь, відмінний від зазначених раніше - 3 бали .

Відповідь (в тому числі правильний) без обґрунтування - 0 балів .

відповідь . У 4 рази.

Рішення .

Проведемо відрізки МК і АС . Чотирикутник МВКЕ складається з

трикутників МВК і МКЕ , а чотирикутник АЕСD - з трикутників

1 спосіб . Трикутники МВК і АСD - прямокутні і катети першого в 2 рази менше катетів другого, тому вони подібні і площа трикутника АСD в 4 рази більше площі трикутника МВК. Оскільки М і К – середини АВ і ВС відповідно, то МК– , тому МК || АС і МК = 0,5АС . З паралельності прямих МК і АС слід подобу

трикутників МКЕ і АЕС, а тому коефіцієнт подібності дорівнює 0,5, то площа трикутника АЕС в 4 рази більше площі трикутника МКЕ. тепер: S АЕС D \u003d SAEC + SACD \u003d 4 SMKE + 4 SMBK \u003d 4 (SMKE + SMBK) \u003d 4 SMBKE.

2 спосіб . Нехай площа прямокутника АВСD дорівнює S. Тоді площа трикутника АСD дорівнює ( діагональ прямокутника ділить його на два рівних трикутника), а площа трикутника МВК дорівнює МВ × ВК \u003d Т.к. М і К – середини відрізків АВ і ВС, то АК і СМ – медіани трикутника АВС, тому Е – точка перетину медіан трикутника АВС, тобто відстань від Е до АС одноh, де h - висота трикутника АВС, проведена з вершини В. Тоді площа трикутника АЕС дорівнює. Тоді для площі чотирикутника АЕСD, рівній сумі площ трикутників АЕС і АСD, отримуємо: Далі, тому що МК– середня лінія трикутника АВС, то площа трикутника МКЕ дорівнює* H - * h) \u003d h) \u003d (AC * h) \u003d\u003d S . Тому для площі чотирикутника МВКЕ, рівній сумі площ трикутників МВК і МКЕ, отримуємо:. Таким чином, співвідношення площ чотирикутників АЕСD і МВКЕ одно.

Критерії перевірки.

Вірне рішення і правильну відповідь -7 балів .

Вірне рішення, але відповідь невірний через арифметичної помилки -5 балів .

5. Підведення підсумків І НАГОРОДЖЕННЯ ПЕРЕМОЖЦІВ

Підсумкові показники виконуваних конкурсних завдань журі визначає ввідповідно до розроблених критеріїв оцінок;

Для переможців олімпіади, яких визначали за найбільшою кількістю балів,встановлюються три призових місця;

Підсумки конкурсу оформляються звітом організатора олімпіади.

Переможці нагороджуються грамотами та цінними подарунками.

У разі незгоди з оцінкою, виставленою журі, учасник може податиписьмову апеляцію протягом години після оголошення результатів.

Забезпечується гласність конкурсу - за підсумками конкурсу оголошуються призери-переможці.

Можна виділити наступну послідовність кроків у вирішенні логічних завдань.

1. Виділити з умови задачі елементарні (прості) висловлювання і позначити їх буквами.

2. Записати умову задачі на мові алгебри логіки, з'єднати прості висловлювання в складні за допомогою логічних операцій.

3. Скласти єдине логічне вираз для вимог завдання.

4. Використовуючи закони алгебри логіки, спробувати спростити отриманий вираз і обчислити всі його значення або побудувати таблицю істинності для розглянутого вираження.

5. Вибрати рішення - набір значень простих висловлювань, при якому побудоване логічне вираз є істинним.

6. Перевірити, чи задовольняє отримане рішення умові завдання.

приклад:

Завдання 1: «Намагаючись згадати переможців минулорічного турніру, п'ять колишніх глядачів турніру заявили, що:

1. Антон був другим, а Борис - п'ятим.

2. Віктор був другим, а Денис - третім.

3. Григорій був першим, а Борис - третім.

4. Антон був третім, а Євген - шостим.

5. Віктор був третім, а Євген - четвертим.

Згодом з'ясувалося, що кожен глядач помилився в одному з двох своїх висловлювань. Яке було справжнє розподіл місць в турнірі ».

1) Позначимо через першу букву в імені учасника турніру, а - номер місця, яке він має, тобто маємо.

2) 1. ; 3. ; 5. .

3) Єдине логічне вираз для всіх вимог завдання:.

4) У формулі L проведемо рівносильні перетворення, отримаємо:.

5) З пункту 4 слід:,.

6) Розподіл місць в турнірі: Антон був третім, Борис - п'ятим, Віктор - другим, Григорій - першим, а Євген - четвертим.

Завдання 2: «За звинуваченням у пограбуванні перед судом постали Іванов, Петров, Сидоров. Слідством встановлено:

1. якщо Іванов не винен чи Петров винен, то Сидоров винен;

2. якщо Іванов не винен, то Сидоров не винен.

Чи винен Іванов? »

1) Розглянемо висловлювання:

А: «Іванов винен», В: «Петров винен», З: «Сидоров винен».

2) Факти, встановлені слідством:,.

3) Єдине логічне вираз:. Воно істинно.

Складемо для нього таблицю істинності.

А	В	З	L

Вирішити задачу - значить вказати, при яких значеннях А отримане складне висловлювання L істинно. Якщо, а, то у слідства не достатньо фактів для того, щоб звинуватити Іванова в злочині. Аналіз таблиці показує і, тобто Іванов в пограбуванні винен.

Запитання і завдання.

1. Скласти РКС для формул:

2. Спростити РКС:

3. За даною перемикальної схемою побудувати відповідну їй логічну формулу.

4. Перевірити равносильность РКС:

5. Побудувати схему з трьох перемикачів і лампочки таким чином, щоб лампочка спалахувала тільки в тому випадку, коли рівно два перемикача знаходяться в положенні «включено».

6. По даній таблиці провідності побудувати схему з функціональних елементів з трьома входами і одним виходом, що реалізує формулу.

x	y	z	F

7. Проаналізуйте схему, наведену на малюнку, і випишіть формулу для функції F.

8. Завдання: «Одного разу слідчому довелося одночасно допитувати трьох свідків: Клода, Жака, Діка. Їхні свідчення суперечили один одному, і кожен з них звинувачував когось у брехні.

1) Клод стверджував, що Жак бреше.

2) Жак звинувачував у брехні Діка.

3) Дік умовляв слідчого не вірити ні Клоду, ні Жаку.

Але слідчий швидко вивів їх на чисту воду, не поставивши їм жодного питання. Хто зі свідків говорив правду?

9. Визначити, хто з чотирьох студентів здав іспит, якщо відомо, що:

1) Якщо перший здав, то і другий здав.

2) Якщо другий здав, то третій здав або перший не здав.

3) Якщо четвертий не здав, то перший здав, а третій не здав.

4) Якщо четвертий здав, то і перший здав.

10. На питання, хто з трьох студентів вивчав логіку, була отримана відповідь: якщо вивчав перший, то вивчав і третій, але не вірно, що якщо вивчав другий, то вивчав і третій. Хто вивчив логіку?

1. а) ( коммутативность диз'юнкції );

б)

(коммутативность кон'юнкції );

2. а) ( асоціативність диз'юнкції );

б) ( асоціативність кон'юнкції );

3. а) ( дистрибутивность диз'юнкції відносно кон'юнкції );

б) ( дистрибутивность кон'юнкції щодо диз'юнкції );

4.

і

–закони де Моргана .

5.

;

;

;

6.

(або

) (закон виключеного третього );

(або

(закон суперечності );

7.

(або

);

(або

);

(або

);

(або

).

Наведені властивості зазвичай використовуються для перетворення і спрощення логічних формул. Тут наведені властивості тільки трьох логічних операцій (диз'юнкції, кон'юнкції і заперечення), але далі буде показано, що всі інші операції можуть бути виражені через них.

За допомогою логічних зв'язок можна складати логічні рівняння, і вирішувати логічні завдання подібно до того, як вирішуються арифметичні задачі за допомогою систем нормальних рівнянь.

Приклад.Одного разу слідчому довелося одночасно допитувати трьох свідків: Клода, Жака і Діка. Їхні свідчення суперечили один одному, і кожен з них звинувачував когось у брехні. Клод стверджував, що Жак бреше, Жак звинувачував у брехні Діка, а Дік умовляв слідчого не вірити ні Клоду, ні Жаку. Але слідчий швидко вивів їх на чисту воду, не поставивши їм жодного питання. Хто зі свідків говорив правду?

Рішення. Розглянемо висловлювання:

(Клод говорить правду);

(Жак говорить правду);

(Дік говорить правду).

Нам не відомо, які з них вірні, але відомо наступне:

1) або Клод сказав правду, і тоді Жак збрехав, або Клод збрехав, і тоді Жак сказав правду;

2) або Жак сказав правду, і тоді Дік збрехав, або Жак збрехав, і тоді Дік сказав правду;

3) або Дік сказав правду, і тоді Клод і Жак збрехали, або Дік збрехав, і тоді невірно, що обидва інших свідка збрехали (тобто хоча б один з цих свідків сказав правду).

Висловимо ці висловлювання у вигляді системи рівнянь:

Умова завдання буде виконано, якщо одночасно істинними ці три висловлювання, а значить істинна їх кон'юнкція. Перемножимо ці рівності (тобто візьмемо їх конь'юнкція)

але

в тому і тільки тому випадку, якщо

, а

. Отже, Жак говорить правду, а Клод і Дік брешуть.

Будь-яка -членів операція, що позначається, наприклад,

, Буде повністю визначена, якщо встановлено, при яких значеннях висловлювань

результат буде істинним або хибним. Один із способів завдання такої операції - заповнення таблиці значень:

У таблиці значень висловлювання, утвореного від найпростіших висловлювань

, є рядків. Стовпець значень має також позицій. Отже, є

різних варіантів його заповнення, і, відповідно, число всіх -членів операцій одно

. при

число одночленним операцій дорівнює 4, при

число двочленних - 16, при

кількість тричленних - 256 і т.д.

Розглянемо деякі спеціальні види формул.

формулу називають елементарної кон'юнкція , Якщо вона є кон'юнкція змінних і заперечень змінних. Наприклад, формули ,

,

,

- елементарні кон'юнкції.

Формулу, що представляє собою диз'юнкцію (можливо одночленной) елементарних кон'юнкція, називають диз'юнктивній нормальною формою (Д. Н. Ф.). Наприклад, формули ,

,

.

теорема 1(Щодо приведення до д. Н. Ф.). Для будь-якої формули , Що є д. Н. ф. .

Ця теорема і наступна за нею теорема 2 будуть доведені в наступному пункті. Застосовуючи ці теореми, можна стандартизувати вид логічних формул.

формулу називають елементарної диз'юнкція , Якщо вона є диз'юнкція змінних і заперечень змінних. Наприклад, формули

,

,

і т.д.

Формулу, що є кон'юнкція (можливо одночленной) елементарних диз'юнкцій, називають кон'юнктівной нормальною формою (К. Н. Ф.). Наприклад, формули

,

.

теорема 2(Щодо приведення до к. Н. Ф.). Для будь-якої формули можна знайти рівносильну їй формулу , Що є к. Н. ф.

Одного разу слідчому довелося одночасно допитувати трьох свідків: Клода, Жака і Діка. Їхні свідчення суперечили один одному, і кожен з них звинувачував когось у брехні. Клод стверджував, що Жак бреше, Жак звинувачував у брехні Діка, а Дік умовляв слідчого не вірити ні Клоду, ні Жаку. Але слідчий швидко вивів їх на чисту воду, не поставивши їм жодного питання. Хто зі свідків говорив правду

Іллі Муромця, Добрині Микитовича і Альоші Поповичу за вірну службу дали 6 монет: 3 золотих і 3 срібних. Кожному дісталося по дві монети. Ілля Муромець не знає, які монети дісталися Добрині, а які Альоші, але знає, які монети дісталися йому самому. Придумайте питання, на який Ілля Муромець відповість "так", "ні" або "не знаю", і з відповіді на який Ви зможете зрозуміти, які монети йому дісталися

Правила силогізмів 1.В силогізм має бути тільки три висловлювання і тільки три терміни. ЖГ Всі екскурсанти розбіглися в різні боки, Петров екскурсант, значить, він розбігся в різні боки. 3. Якщо обидві посилки приватні висловлювання, то висновок зробити неможливо. 2. Якщо одна з посилок приватна висловлювання, то висновок повинен бути приватним. 4. Якщо одна з посилок негативна висловлювання, то і висновок є негативним висловлюванням. 5. Якщо обидві посилки негативні висловлювання, то висновок зробити неможливо 6. Середній термін повинен бути розподілений хоча би в одній з посилок. 7. Термін не може бути розподілений в ув'язненні, якщо він не розподілений в посилці.

Всі кішки мають чотири ноги. Всі собаки мають чотири ноги. Всі собаки кішки. Всі люди смертні. Всі собаки не є людьми. Собаки безсмертні (Не смертні). Україна займає величезну територію. Крим входить до складу України. Крим займає величезну територію

завдання 35

Одна людина надійшов па роботу з окладом в 1000 доларів в рік. Під час обговорення умов при прийомі йому було обіцяно, що в разі хорошої роботи до окладу буде зроблена надбавка. Причому суму надбавки можна вибрати з двох варіантів на свій розсуд: в одному випадку пропонувалася надбавка в 50 доларів кожні півроку, починаючи з другої половини, в іншому - по 200 доларів кожен рік, починаючи з другого. Надавши свободу вибору, наймачі хотіли не тільки спробувати заощадити на зарплаті, а й перевірити, наскільки швидко метикує новий співробітник. Замислившись на хвилину, він з упевненістю назвав умови збільшення.

Якому варіанту було віддано перевагу?

завдання 36

Одного разу слідчому довелося одночасно допитувати трьох свідків: Клода, Жака і Діка. Їхні свідчення суперечили один одному, і кожен з них звинувачував когось у брехні. Клод стверджував, що Жак бреше. Жак звинувачував у брехні Діка, а Дік умовляв слідчого не вірити ні Клоду, ні Жаку. Але слідчий швидко вивів їх па чисту воду, не поставивши їм жодного питання.

Хто зі свідків говорив правду?

завдання 37

Жахливе нещастя, інспектор, сказав співробітник музею. - Ви не можете собі уявити, як я схвильований. Розповім все по порядку. Я залишився сьогодні в музеї з метою попрацювати і привести в порядок наші фінансові справи. Я як раз сидів за цим письмовим столом і переглядав рахунки, як раптом побачив з правого боку тінь. Вікно було відчинене.

І ви не чули ніякого шереху? - запитав інспектор.

Абсолютно ніякого. Радіо награвати музику, крім того, я був занадто захоплений своїм заняттям. Відірвавши очі від теп і, я побачив, що якийсь чоловік вискочив з вікна. Ятотчас ж увімкнув верхнє світло і виявив, що зникли два ящика з цінної колекцією монет, яку я взяв до себе в кабінет для роботи. Яв жахливому стані: адже ця колекція оцінена в 10 тисяч марок.

Ви вважаєте, що я дійсно; повірю вашим вигадкам?

Роздратовано зауважив інспектор. - Нікому ще не вдавалося ввести мене в оману, і ви не будете першим.

Яким чином інспектор здогадався, що його намагалися обдурити?

завдання 38

Труп зниклого безвісти особи було виявлено загорнутим в простирадло, на якій була номерна бирка пральні. Встановили сім'ю, яка використовувала такі бирки, однак, в процесі перевірки з'ясувалося, що члени цієї родини не були знайомі і не мали жодних контактів із загиблим і його близькими. Ніяких інших свідчень причетності їх до вбивства встановлено не було.

Чи не допущено при перевірці помилки в повноті і правильності отримання інформації?

завдання 39

В авіаційному підрозділі служать Потапов, Щедрін, Семенов. Коновалов і Самойлов. Їх спеціальності: пілот, штурман, бортмеханік, радист і синоптик.

Визначте, яку спеціальність має кожен з них, якщо відомі такі факти.

Щедрін і Коновалов не знайомі з керуванням літака;

Потапов і Коновалов готуються стати штурманом; квартири Щедріна і Самойлова знаходяться поруч з квартирою радиста;

Семеном, перебуваючи в будинку відпочинку, зустрів Щедріна і сестру синоптика: Потапов і Щедрін у вільний від роботи час грають в шахи з бортмеханіком і пілотом; Коновалов, Семенов і синоптик захоплюються боксом; радист боксом не захоплюється.

завдання 40

Тітка, яка чекала свого племінника - інспектора, кинулася йому назустріч, не приховуючи свого нетерпіння.

Якась жінка щойно; вирвала у мене сумочку з грошима і негайно ж зникла.

Швидше за все вона зникла в самій ощадній касі, де ти була, - зауважив інспектор. - Спробуємо її знайти.

І справді, тітка відразу побачила свою сумку, яка стояла на лавці між двома жінками. Вона була розкрита. Коли інспектор кинув уважний погляд на сумку, обидві жінки, помітивши це, встали і пройшли в інший кінець кімнати. Сумочка залишилася па лаві.

Але я не знаю, яка з них вкрала мою сумку. Яні встигла її розгледіти, - сказала тітка.

Ну, це дрібниці, - відповів племінник. - допит обох, але думаю, що сумку у тебе вкрала та, у якій ...

Яка?

завдання 41

Отримавши повідомлення про те, що сірий «Шевроле» з номером, що починається на шістку, збив жінку і зник, інспектор і його помічник виїхали до вілли пана, машина якого начебто: відповідала опису. Не минуло й півгодини, як вони були на місці.

Сірий «Шевроле» стояв перед будинком. Побачивши поліцейських, господар спустився до них прямо в піжамі.

Янікуда не виїжджав сьогодні, - заявив він, вислухавши інспектора. - Та й не міг би: вчора я втратив ключ від запалювання, а новий буде готовий тільки в п'ятницю.

Помічник, встигнувши тим часом оглянути автомобіль, прошепотів інспектору:

Мабуть, він говорить правду. На машині немає ніяких слідів зіткнення.

Інспектор, спершись па капот автомобіля, відповідав:

Це нічого не означає, удар був несильним, адже потерпіла жива. А ваше алібі, пан, здається мені надзвичайно підозрілим. Чому намагаєтеся приховати від мене, що тільки що приїхали сюди на цій самій машині?

Що дало інспектору привід запідозриш пана у брехні?

завдання 42

Президент фірми повідомляє слідчому про досконалої у нього вдома крадіжці.

Приїхавши на роботу, я згадав про те, що забув удома необхідні документи. Я дав ключ від домашнього сейфа своєму помічникові і послав його за папкою з документами. Ми з ним давно разом працюємо, я давно йому довіряю, і часто направляв його додому взяти що-небудь з сейфа. Цього разу, незабаром після від'їзду, він подзвонив мені по телефону і повідомив, що, увійшовши в кімнату, побачив, що дверцята стінного сейфа відкрита, а папери розкидані по всьому кабінету. Я приїхав додому і виявив, що, крім розкиданих документів, з сейфа зникли коштовності та гроші.

Свідчення помічника: «Коли я приїхав, мене впустив дворецький і я піднявся на другий поверх квартири. Увійшовши до кабінету, виявив розкидані по підлозі папери і відкриті дверцята сейфу. Я відразу ж зателефонував своєму шефу і повідомив про побачене. Після цього я вискочив па площадці і покликав дворецького. На мій крик з вітальні нижнього поверху з'явилася служниця й запитала, в чому справа. Я повідомив їй про побачене. За її викликом з двору прибіг дворецький. На моє запитання вони сказали, що ніхто в квартиру після відходу господаря не приходив і ніякого шуму в будинку вони не чули ».

Дворецький пояснив: «Після того, як вранці господар поїхав, я займайся звичайної своєю роботою на нижньому поверсі і нікого не бачив і нічого незвичайного не чув. Служниця при мені з кухні не виходила. Коли приїхав давно знайомий мені співробітник нашого господаря, він пішов до сходів на другий поверх, а вийшов у двір. Через кілька хвилин кухарка мене покликала і я зайшов до хати, де помічник сказав про крадіжку з кабінету господаря ».

Служниця сказала, що після сніданку була па кухні, нікуди не виходила і тільки, почувши крик помічника, вийшла у вітальню. Помічник сказав про крадіжку в будинку і попросив пізнати дворецького.

На питання слідчого помічник відповів, що нічого не чіпав в кабінеті, крім телефону, і не переставляв. Дворецький і служниця сказали, що взагалі в кабінет не ходили.

При огляді в кабінеті слідчий не знайшов па двері кабінету, дверцятах сейфа, предметах і телефоні на столі ніяких слідів пальців рук. Дослідивши замок дверцят сейфа, фахівець не виявив па його деталях слідів будь-якого предмета або стороннього ключа.

завдання 35

Одна людина надійшов па роботу з окладом в 1000 доларів в рік. Під час обговорення умов при прийомі йому було обіцяно, що в разі хорошої роботи до окладу буде зроблена надбавка. Причому суму надбавки можна вибрати з двох варіантів на свій розсуд: в одному випадку пропонувалася надбавка в 50 доларів кожні півроку, починаючи з другої половини, в іншому - по 200 доларів кожен рік, починаючи з другого. Надавши свободу вибору, наймачі хотіли не тільки спробувати заощадити на зарплаті, а й перевірити, наскільки швидко метикує новий співробітник. Замислившись на хвилину, він з упевненістю назвав умови збільшення.

Якому варіанту було віддано перевагу?

завдання 36

Одного разу слідчому довелося одночасно допитувати трьох свідків: Клода, Жака і Діка. Їхні свідчення суперечили один одному, і кожен з них звинувачував когось у брехні. Клод стверджував, що Жак бреше. Жак звинувачував у брехні Діка, а Дік умовляв слідчого не вірити ні Клоду, ні Жаку. Але слідчий швидко вивів їх па чисту воду, не поставивши їм жодного питання.

Хто зі свідків говорив правду?

завдання 37

Жахливе нещастя, інспектор, сказав співробітник музею. - Ви не можете собі уявити, як я схвильований. Розповім все по порядку. Я залишився сьогодні в музеї з метою попрацювати і привести в порядок наші фінансові справи. Я як раз сидів за цим письмовим столом і переглядав рахунки, як раптом побачив з правого боку тінь. Вікно було відчинене.

І ви не чули ніякого шереху? - запитав інспектор.

Абсолютно ніякого. Радіо награвати музику, крім того, я був занадто захоплений своїм заняттям. Відірвавши очі від теп і, я побачив, що якийсь чоловік вискочив з вікна. Ятотчас ж увімкнув верхнє світло і виявив, що зникли два ящика з цінної колекцією монет, яку я взяв до себе в кабінет для роботи. Яв жахливому стані: адже ця колекція оцінена в 10 тисяч марок.

Ви вважаєте, що я дійсно; повірю вашим вигадкам?

Роздратовано зауважив інспектор. - Нікому ще не вдавалося ввести мене в оману, і ви не будете першим.

Яким чином інспектор здогадався, що його намагалися обдурити?

завдання 38

Труп зниклого безвісти особи було виявлено загорнутим в простирадло, на якій була номерна бирка пральні. Встановили сім'ю, яка використовувала такі бирки, однак, в процесі перевірки з'ясувалося, що члени цієї родини не були знайомі і не мали жодних контактів із загиблим і його близькими. Ніяких інших свідчень причетності їх до вбивства встановлено не було.

Чи не допущено при перевірці помилки в повноті і правильності отримання інформації?

завдання 39

В авіаційному підрозділі служать Потапов, Щедрін, Семенов. Коновалов і Самойлов. Їх спеціальності: пілот, штурман, бортмеханік, радист і синоптик.

Визначте, яку спеціальність має кожен з них, якщо відомі такі факти.

Щедрін і Коновалов не знайомі з керуванням літака;

Потапов і Коновалов готуються стати штурманом; квартири Щедріна і Самойлова знаходяться поруч з квартирою радиста;

Семеном, перебуваючи в будинку відпочинку, зустрів Щедріна і сестру синоптика: Потапов і Щедрін у вільний від роботи час грають в шахи з бортмеханіком і пілотом; Коновалов, Семенов і синоптик захоплюються боксом; радист боксом не захоплюється.

завдання 40

Тітка, яка чекала свого племінника - інспектора, кинулася йому назустріч, не приховуючи свого нетерпіння.

Якась жінка щойно; вирвала у мене сумочку з грошима і негайно ж зникла.

Швидше за все вона зникла в самій ощадній касі, де ти була, - зауважив інспектор. - Спробуємо її знайти.

І справді, тітка відразу побачила свою сумку, яка стояла на лавці між двома жінками. Вона була розкрита. Коли інспектор кинув уважний погляд на сумку, обидві жінки, помітивши це, встали і пройшли в інший кінець кімнати. Сумочка залишилася па лаві.

Але я не знаю, яка з них вкрала мою сумку. Яні встигла її розгледіти, - сказала тітка.

Ну, це дрібниці, - відповів племінник. - допит обох, але думаю, що сумку у тебе вкрала та, у якій ...

Яка?

завдання 41

Отримавши повідомлення про те, що сірий «Шевроле» з номером, що починається на шістку, збив жінку і зник, інспектор і його помічник виїхали до вілли пана, машина якого начебто: відповідала опису. Не минуло й півгодини, як вони були на місці.

Сірий «Шевроле» стояв перед будинком. Побачивши поліцейських, господар спустився до них прямо в піжамі.

Янікуда не виїжджав сьогодні, - заявив він, вислухавши інспектора. - Та й не міг би: вчора я втратив ключ від запалювання, а новий буде готовий тільки в п'ятницю.

Помічник, встигнувши тим часом оглянути автомобіль, прошепотів інспектору:

Мабуть, він говорить правду. На машині немає ніяких слідів зіткнення.

Інспектор, спершись па капот автомобіля, відповідав:

Це нічого не означає, удар був несильним, адже потерпіла жива. А ваше алібі, пан, здається мені надзвичайно підозрілим. Чому намагаєтеся приховати від мене, що тільки що приїхали сюди на цій самій машині?

Що дало інспектору привід запідозриш пана у брехні?

завдання 42

Президент фірми повідомляє слідчому про досконалої у нього вдома крадіжці.

Приїхавши на роботу, я згадав про те, що забув удома необхідні документи. Я дав ключ від домашнього сейфа своєму помічникові і послав його за папкою з документами. Ми з ним давно разом працюємо, я давно йому довіряю, і часто направляв його додому взяти що-небудь з сейфа. Цього разу, незабаром після від'їзду, він подзвонив мені по телефону і повідомив, що, увійшовши в кімнату, побачив, що дверцята стінного сейфа відкрита, а папери розкидані по всьому кабінету. Я приїхав додому і виявив, що, крім розкиданих документів, з сейфа зникли коштовності та гроші.

Свідчення помічника: «Коли я приїхав, мене впустив дворецький і я піднявся на другий поверх квартири. Увійшовши до кабінету, виявив розкидані по підлозі папери і відкриті дверцята сейфу. Я відразу ж зателефонував своєму шефу і повідомив про побачене. Після цього я вискочив па площадці і покликав дворецького. На мій крик з вітальні нижнього поверху з'явилася служниця й запитала, в чому справа. Я повідомив їй про побачене. За її викликом з двору прибіг дворецький. На моє запитання вони сказали, що ніхто в квартиру після відходу господаря не приходив і ніякого шуму в будинку вони не чули ».

Дворецький пояснив: «Після того, як вранці господар поїхав, я займайся звичайної своєю роботою на нижньому поверсі і нікого не бачив і нічого незвичайного не чув. Служниця при мені з кухні не виходила. Коли приїхав давно знайомий мені співробітник нашого господаря, він пішов до сходів на другий поверх, а вийшов у двір. Через кілька хвилин кухарка мене покликала і я зайшов до хати, де помічник сказав про крадіжку з кабінету господаря ».

Служниця сказала, що після сніданку була па кухні, нікуди не виходила і тільки, почувши крик помічника, вийшла у вітальню. Помічник сказав про крадіжку в будинку і попросив пізнати дворецького.

На питання слідчого помічник відповів, що нічого не чіпав в кабінеті, крім телефону, і не переставляв. Дворецький і служниця сказали, що взагалі в кабінет не ходили.

При огляді в кабінеті слідчий не знайшов па двері кабінету, дверцятах сейфа, предметах і телефоні на столі ніяких слідів пальців рук. Дослідивши замок дверцят сейфа, фахівець не виявив па його деталях слідів будь-якого предмета або стороннього ключа.