Нескінченна спадна геометрична прогресія формули. Геометрична прогресія. Формула n-ого члена геометричної прогресії

наприклад, Послідовність \\ (3 \\); \\ (6 \\); \\ (12 \\); \\ (24 \\); \\ (48 \\) ... є геометричною прогресією, тому що кожен наступний елемент відрізняється від попереднього в два рази (інакше кажучи, може бути отриманий з попереднього множенням його на два):

Як і будь-яку послідовність, геометричну прогресію позначають маленької латинською літерою. Числа, що утворюють прогресію, називають її членами (Або елементами). Їх позначають тією ж буквою, що і геометричну прогресію, але з числовим індексом, рівним номеру елемента по порядку.

наприклад, геометрична прогресія \\ (B_n \u003d \\ (3; 6; 12; 24; 48 ... \\) \\) складається з елементів \\ (b_1 \u003d 3 \\); \\ (B_2 \u003d 6 \\); \\ (B_3 \u003d 12 \\) і так далі. Іншими словами:

Якщо ви зрозуміли вищевикладену інформацію, то вже зможете вирішити більшість завдань на цю тему.

Приклад (ОГЕ):
Рішення:

відповідь : \(-686\).

Приклад (ОГЕ): Дано перші три члена прогресії \\ (324 \\); \\ (- 108 \\); \\ (36 \\) .... Знайдіть \\ (b_5 \\).
Рішення:

	Щоб продовжити послідовність, нам потрібно знати знаменник. Знайдемо його з двох сусідніх елементів: на що потрібно помножити \\ (324 \\), щоб вийшло \\ (- 108 \\)?
\\ (324 · q \u003d -108 \\)	Звідси без проблем обчислюємо знаменник.
\\ (Q \u003d - \\) \\ (\\ frac (108) (324) \\) \\ (\u003d - \\) \\ (\\ frac (1) (3) \\)	Тепер ми легко знаходимо потрібний нам елемент.
	Готовий відповідь.

відповідь : \(4\).

приклад: Прогресія задана умовою \\ (b_n \u003d 0,8 · 5 ^ n \\). Яке з чисел є членом цієї прогресії:

а) \\ (- 5 \\) б) \\ (100 \\) в) \\ (25 \\) г) \\ (0,8 \\)?

Рішення: З формулювання завдання очевидно, що одне з цих чисел точно є в нашій прогресії. Тому ми можемо просто обчислювати її члени по черзі, поки не знайдемо потрібне нам значення. Так як у нас прогресія задана формулою, то обчислюємо значення елементів, підставляючи різні \\ (n \\):
\\ (N \u003d 1 \\); \\ (B_1 \u003d 0,8 · 5 ^ 1 \u003d 0,8 · 5 \u003d 4 \\) - такого числа в списку немає. Продовжуємо.
\\ (N \u003d 2 \\); \\ (B_2 \u003d 0,8 · 5 ^ 2 \u003d 0,8 · 25 \u003d 20 \\) - і цього теж немає.
\\ (N \u003d 3 \\); \\ (B_3 \u003d 0,8 · 5 ^ 3 \u003d 0,8 · 125 \u003d 100 \\) - а ось і наш чемпіон!

відповідь: \(100\).

Приклад (ОГЕ): Дано кілька йдуть послідовно один за одним членів геометричної прогресії ... \\ (8 \\); \\ (X \\); \\ (50 \\); \\ (- 125 \\) .... Знайдіть значення елемента, позначеного літерою \\ (x \\).

Рішення:

відповідь: \(-20\).

Приклад (ОГЕ): Прогресія задана умовами \\ (b_1 \u003d 7 \\), \\ (b_ (n + 1) \u003d 2b_n \\). Знайдіть суму перших \\ (4 \\) членів цієї прогресії.

Рішення:

відповідь: \(105\).

Приклад (ОГЕ): Відомо, що в геометричній прогресії \\ (b_6 \u003d -11 \\), \\ (b_9 \u003d 704 \\). Знайдіть знаменник \\ (q \\).

Рішення:

	Зі схеми зліва видно, що щоб «потрапити» з \\ (b_6 \\) в \\ (b_9 \\) - ми робимо три «кроку», тобто три рази множимо \\ (b_6 \\) на знаменник прогресії. Іншими словами \\ (b_9 \u003d b_6 · q · q · q \u003d b_6 · q ^ 3 \\).
\\ (B_9 \u003d b_6 · q ^ 3 \\)	Підставами відомі нам значення.
\\ (704 \u003d (- 11) · q ^ 3 \\)	«Перевернемо» рівняння і розділимо його на \\ ((- 11) \\).
\\ (Q ^ 3 \u003d \\) \\ (\\ frac (704) (- 11) \\) \\ (\\: \\: \\: ⇔ \\: \\: \\: \\) \\ (q ^ 3 \u003d - \\) \\ (64 \\)	Яке число в кубі дасть \\ (- 64 \\)? Звичайно, \\ (- 4 \\)!
	Відповідь знайдений. Його можна перевірити, відновивши ланцюжок чисел від \\ (- 11 \\) до \\ (704 \\).
	Все зійшлося - відповідь вірний.

відповідь: \(-4\).

найважливіші формули

Як бачите, більшість завдань на геометричну прогресію можна вирішувати чистої логікою, просто розуміючи суть (це взагалі характерно для математики). Але іноді знання деяких формул і закономірностей прискорює і істотно полегшує вирішення. Ми вивчимо дві такі формули.

Формула \\ (n \\) - го члена: \\ (b_n \u003d b_1 · q ^ (n-1) \\), де \\ (b_1 \\) - перший член прогресії; \\ (N \\) - номер шуканого елемента; \\ (Q \\) - знаменник прогресії; \\ (B_n \\) - член прогресії з номером \\ (n \\).

За допомогою цієї формули можна, наприклад, вирішити задачу з самого першого прикладу буквально в одну дію.

Приклад (ОГЕ): Геометрична прогресія задана умовами \\ (b_1 \u003d -2 \\); \\ (Q \u003d 7 \\). Знайдіть \\ (b_4 \\).
Рішення:

відповідь: \(-686\).

Цей приклад був простим, тому формула нам полегшила обчислення не дуже сильно. Давайте розберемо завдання трохи складніше.

приклад: Геометрична прогресія задана умовами \\ (b_1 \u003d 20480 \\); \\ (Q \u003d \\ frac (1) (2) \\). Знайдіть \\ (b_ (12) \\).
Рішення:

відповідь: \(10\).

Звичайно, зводити \\ (\\ frac (1) (2) \\) в \\ (11 \\) - ую ступінь не дуже радісно, \u200b\u200bале все ж простіше ніж \\ (11 \\) раз ділити \\ (20480 \\) на два.

Сума \\ (n \\) перших членів: \\ (S_n \u003d \\) \\ (\\ frac (b_1 · (q ^ n-1)) (q-1) \\), де \\ (b_1 \\) - перший член прогресії; \\ (N \\) - кількість сумміруемих елементів; \\ (Q \\) - знаменник прогресії; \\ (S_n \\) - сума \\ (n \\) перших членів прогресії.

Приклад (ОГЕ): Дана геометрична прогресія \\ (b_n \\), знаменник якої дорівнює \\ (5 \\), а перший член \\ (b_1 \u003d \\ frac (2) (5) \\). Знайдіть суму перших шести членів цієї прогресії.
Рішення:

відповідь: \(1562,4\).

І знову ми могли вирішити задачу «в лоб» - знайти по черзі всі шість елементів, а потім скласти результати. Однак кількість обчислень, а значить і шанс випадкової помилки, різко зросли б.

Для геометричній прогресії є ще кілька формул, які ми не стали розглядати тут через їх низьку практичної користі. Ви можете знайти ці формули.

Зростаючі і спадні геометричні прогресії

У розглянутої на самому початку статті прогресії \\ (b_n \u003d \\ (3; 6; 12; 24; 48 ... \\) \\) знаменник \\ (q \\) більше одиниці і тому кожен наступний член більше попереднього. Такі прогресії називаються зростаючими.

Якщо ж \\ (q \\) менше одиниці, але при цьому позитивний (тобто, лежить в межах від нуля до одиниці), то кожен наступний елемент буде менше ніж попередній. Наприклад, в прогресії \\ (4 \\); \\ (2 \\); \\ (1 \\); \\ (0,5 \\); \\ (0,25 \\) ... знаменник \\ (q \\) дорівнює \\ (\\ frac (1) (2) \\).

Ці прогресії називаються убутними. Зверніть увагу, що жоден з елементів такої прогресу не буде негативний, вони просто стають все менше і менше з кожним кроком. Тобто, ми будемо поступово наближатися до нуля, але ніколи його не досягнемо і за нього не перейдемо. Математики в таких випадках кажуть «прагнути до нуля».

Відзначимо, що при негативному знаменнику елементи геометричної прогресії будуть обов'язково міняти знак. наприклад, У прогресії \\ (5 \\); \\ (- 15 \\); \\ (45 \\); \\ (- 135 \\); \\ (675 \\) ... знаменник \\ (q \\) дорівнює \\ (- 3 \\), і через це знаки елементів «блимають».

Отже, сядемо і почнемо писати якісь числа. наприклад:

Писати можна будь-які числа, і їх може бути скільки завгодно (в нашому випадку їх). Скільки б чисел ми не написали, ми завжди можемо сказати, яке з них перше, яке - друге і так далі до останнього, тобто, можемо їх пронумерувати. Це і є приклад числової послідовності:

числова послідовність - це безліч чисел, кожному з яких можна привласнити унікальний номер.

Наприклад, для нашої послідовності:

Присвоєний номер характерний тільки для одного числа послідовності. Іншими словами, в послідовності немає трьох других чисел. Друге число (як і -ве число) завжди одне.

Число з номером називаетмя -ним членом послідовності.

Всю послідовність ми зазвичай називаємо який-небудь буквою (наприклад,), і кожен член цієї послідовності - тієї ж буквою з індексом, рівним номеру цього члена:.

У нашому випадку:

Найпоширеніші види прогресії це арифметична і геометрична. У цій темі ми поговоримо про другий вид - геометричній прогресії.

Для чого потрібна геометрична прогресія і її історія виникнення.

Ще в давнину італійський математик монах Леонардо з Пізи (більш відомий під ім'ям Фібоначчі) займався вирішенням практичних потреб торгівлі. Перед ченцем стояло завдання визначити, за допомогою якого найменшої кількості гир можна зважити товар? У своїх працях Фібоначчі доводить, що оптимальною є така система гир: Це одна з перших ситуацій, в якій людям довелося зіткнутися з геометричною прогресією, про яку ти вже напевно чув і маєш хоча б загальне поняття. Як тільки повністю розберешся в темі, подумай, чому така система є оптимальною?

В даний час, в життєвій практиці, геометрична прогресія проявляється при вкладенні коштів в банк, коли сума відсотків нараховується на суму, що скупчилася на рахунку за попередній період. Іншими словами, якщо покласти гроші на строковий вклад в ощадний банк, то через рік вклад збільшиться на від вихідної суми, тобто нова сума буде дорівнює внеску, помноженому на. Ще через рік вже ця сума збільшиться на, тобто вийшла в той раз сума знову збільшиться на і так далі. Подібна ситуація описана в задачах на обчислення так званих складних відсотків - відсоток береться кожен раз від суми, яка є на рахунку з урахуванням попередніх відсотків. Про ці завдання ми поговоримо трохи пізніше.

Є ще багато простих випадків, де застосовується геометрична прогресія. Наприклад, поширення грипу: одна людина заразив чоловік, ті в свою чергу заразили ще по людини, і таким чином друга хвиля зараження - людина, а ті в свою чергу, заразили ще ... і так далі ...

До речі, фінансова піраміда, та ж МММ - це простий і сухий розрахунок за властивостями геометричній прогресії. Цікаво? Давай розбиратися.

Геометрична прогресія.

Припустимо, у нас є числова послідовність:

Ти відразу ж відповіси, що це легко і ім'я такій послідовності - з різницею її членів. А як на рахунок такого:

Якщо ти будеш віднімати з наступного числа попереднє, то ти побачиш, що кожен раз виходить нова різниця (і т.д.), але послідовність безумовно існує і її нескладно помітити - кожне наступні число в раз більше попереднього!

Такий вид числової послідовності називається геометричною прогресією і позначається.

Геометрична прогресія () - це числова послідовність, перший член якої відмінний від нуля, а кожен член, починаючи з другого, дорівнює попередньому, помноженому на одне й те саме число. Це число називають знаменником геометричної прогресії.

Обмеження, що перший член () НЕ дорівнює і не випадкові. Припустимо, що їх немає, і перший член все ж дорівнює, а q одно, хм .. нехай, тоді виходить:

Погодься, що це вже ніяка не прогресія.

Як ти розумієш, ті ж самі результати ми отримаємо, якщо буде будь-яким числом, відмінним від нуля, а. У цих випадках прогресії просто не буде, так як весь числовий ряд будуть або всі нулі, або одне число, а всі інші нулі.

Тепер поговоримо детальніше про знаменнику геометричній прогресії, тобто о.

Повторимо: - це число, у скільки разів змінюється кожен наступний член геометричній прогресії.

Як ти думаєш, яким може бути? Правильно, позитивним і негативним, але не нулем (ми говорили про це трохи вище).

Припустимо, що у нас позитивне. Нехай в нашому випадку, а. Чому дорівнює другий член і? Ти без праці відповіси, що:

Все вірно. Відповідно, якщо, то всі наступні члени прогресії мають однаковий знак - вони позитивні.

А що якщо негативне? Наприклад, а. Чому дорівнює другий член і?

Це вже зовсім інша історія

Спробуй порахувати член даної прогресії. Скільки у тебе вийшло? У мене. Таким чином, якщо, то знаки членів геометричної прогресії чергуються. Тобто, якщо ти побачиш прогресію, з чергуються знаками у її членів, значить її знаменник на негативний. Це знання може допомогти тобі перевіряти себе при вирішенні задач на цю тему.

Тепер трохи потренуємося: спробуй визначити, які числові послідовності є геометричною прогресією, а які арифметичної:

Розібрався? Порівняємо наші відповіді:

• Геометрична прогресія - 3, 6.
• Арифметична прогресія - 2, 4.
• Чи не є ні арифметичної, ні геометричній прогресіями - 1, 5, 7.

Повернемося до нашої останньої прогресії, а й спробуємо так само як і в арифметичній знайти її член. Як ти вже здогадуєшся, є два способи його знаходження.

Послідовно множимо кожен член на.

Отже, -ої член описаної геометричній прогресії дорівнює.

Як ти вже здогадуєшся, зараз ти сам виведеш формулу, яка допоможе знайти тобі будь-який член геометричної прогресії. Або ти її вже вивів для себе, розписуючи, як поетапно знаходити -ої член? Якщо так, то перевір правильність твоїх міркувань.

Проілюструємо це на прикладі знаходження -го члена даної прогресії:

Іншими словами:

Знайди самостійно значення члена заданої геометричної прогресії.

Вийшло? Порівняємо наші відповіді:

Зверни увагу, що у тебе вийшло точно таке ж число, як і в попередньому способі, коли ми послідовно множили на кожен попередній член геометричної прогресії.
Спробуємо «обмежити доступ» цю формулу - наведемо її в загальний вигляд і отримаємо:

Виведена формула вірна для всіх значень - як позитивних, так і негативних. Перевір це самостійно, розрахувавши і члени геометричної прогресії з наступними умовами:, а.

Порахував? Порівняємо отримані результати:

Погодься, що знаходити член прогресії можна було б так само як і член, однак, є ймовірність неправильно порахувати. А якщо ми знайшли вже -ий член геометричної прогресії, а, то що може бути простіше, ніж скористатися «обрізаної» частиною формули.

Нескінченно спадна геометрична прогресія.

Зовсім недавно ми говорили про те, що може бути як більше, так і менше нуля, однак, є особливі значення при яких геометрична прогресія називається нескінченно спадної.

Як ти думаєш, чому така назва?
Для початку запишемо якусь геометричну прогресію, що складається з членів.
Припустимо, а, тоді:

Ми бачимо, що кожен наступний член менше попереднього в рази, але коли буде яка-небудь число? Ти відразу ж відповіси - «ні». Ось тому і нескінченно спадна - убуває, убуває, а нулем ніколи не стає.

Щоб чітко зрозуміти, як це виглядає візуально, давай спробуємо намалювати графік нашої прогресії. Отже, для нашого випадку формула набуває такого вигляду:

На графіках нам звично будувати залежність від, тому:

Суть вирази не змінилася: в першому записі у нас була показана залежність значення члена геометричної прогресії від його порядкового номера, а в другій записи - ми просто взяли значення члена геометричної прогресії за, а порядковий номер позначили не як, а як. Все, що залишилося зробити - побудувати графік.
Подивимося, що у тебе вийшло. Ось який графік вийшов у мене:

Бачиш? Функція убуває, прагне до нуля, але ніколи його не перетне, тому вона нескінченно спадна. Відзначимо на графіку наші точки, а заодно і те, що позначає координата і:

Спробуй схематично зобразити графік геометричній прогресії при, якщо перший її член також дорівнює. Проаналізуй, в чому різниця з нашим попереднім графіком?

Впорався? Ось який графік вийшов у мене:

Тепер, коли ти повністю розібрався в основах теми геометричній прогресії: знаєш, що це таке, знаєш, як знайти її член, а також знаєш, що таке нескінченно спадна геометрична прогресія, перейдемо до її основному властивості.

Властивість геометричній прогресії.

Пам'ятаєш властивість членів арифметичної прогресії? Так, так, як знайти значення певного числа прогресії, коли є попереднє і наступне значення членів даної прогресії. Згадав? Ось це:

Тепер перед нами стоїть точно такий же питання для членів геометричної прогресії. Щоб вивести подібну формулу, давай почнемо малювати і міркувати. Ось побачиш, це дуже легко, і якщо ти забудеш, то зможеш вивести її самостійно.

Візьмемо ще одну просту геометричну прогресію, в якій нам відомі і. Як знайти? При арифметичній прогресії це легко і просто, а як тут? Насправді в геометричній теж немає нічого складного - необхідно просто розписати по формулі кожне дане нам значення.

Ти запитаєш, і що тепер нам з цим робити? Та дуже просто. Для початку покажемо дані формули на малюнку, і спробуємо зробити з ними різні маніпуляції, щоб прийти до значення.

Абстрагуємося від чисел, які у нас є дані, зосередимося тільки на їх вираженні через формулу. Нам необхідно знайти значення, виділене оранжевим кольором, знаючи що є сусідами з ним члени. Спробуємо зробити з ними різні дії, в результаті яких ми зможемо отримати.

Додавання.
Спробуємо скласти два вирази і, ми отримаємо:

З цього виразу, як ти бачиш, ми ніяк не зможемо висловити, отже, будемо пробувати інший варіант - віднімання.

Віднімання.

Як ти бачиш, з цього ми теж не можемо висловити, отже, спробуємо помножити дані вирази один на одного.

Множення.

А тепер подивись уважно, що ми маємо, перемножая дані нам члени геометричної прогресії в порівнянні з тим, що необхідно знайти:

Здогадався про що я говорю? Правильно, щоб знайти нам необхідно взяти квадратний корінь від перемноження друг на друга сусідніх з шуканим чисел геометричній прогресії:

Ну ось. Ти сам вивів властивість геометричної прогресії. Спробуй записати цю формулу в загалом вигляді. Вийшло?

Забув умова при? Подумай, чому воно важливе, наприклад, спробуй самостійно прорахувати, при. Що вийде в цьому випадку? Правильно, повна дурість так як формула виглядає так:

Відповідно, не забувай це обмеження.

Тепер порахуємо, чому ж так само

Правильну відповідь - ! Якщо ти при розрахунку не забув друга можливість значення, то ти великий молодець і відразу можеш переходити до тренування, а якщо забув - прочитай те, що розібрано далі і зверни увагу, чому у відповіді необхідно записувати обидва кореня.

Намалюємо обидві наші геометричні прогресії - одну із значенням, а іншу зі значенням і перевіримо, чи мають обидві з них право на існування:

Для того, щоб перевірити, чи існує така геометрична прогресія чи ні, необхідно подивитися, однакове чи між усіма її заданими членами? Розрахуй q для першого і другого випадку.

Бачиш, чому ми повинні писати два відповіді? Тому що знак у шуканого члена залежить від того, який - позитивний чи негативний! А так як ми не знаємо, який він, нам необхідно писати обидві відповіді і з плюсом, і з мінусом.

Тепер, коли ти засвоїв основні моменти і вивів формулу на властивість геометричної прогресії, знайди, знаючи і

Порівняй отримані відповіді з правильними:

Як ти думаєш, а якщо нам були б подані не сусідні з потрібним числом значення членів геометричної прогресії, а рівновіддалені від нього. Наприклад, нам необхідно знайти, а дані і. Чи можемо ми в цьому випадку використовувати виведену нами формулу? Спробуй точно так же підтвердити або спростувати цю можливість, розписуючи з чого складається кожне значення, як ти робив, виводячи спочатку формулу, при.
Що у тебе вийшло?

Тепер знову подивися уважно.
і відповідно:

З цього ми можемо зробити висновок, що формула працює не тільки при сусідніх з шуканим членах геометричній прогресії, а й з рівновіддаленими від шуканого членами.

Таким чином, наша первісна формула набуває вигляду:

Тобто, якщо в першому випадку ми говорили, що, то зараз ми говоримо, що може бути дорівнює кожному натуральному числу, яке менше. Головне, щоб був однаковий для обох заданих чисел.

Потренуйся на конкретних прикладах, тільки будь гранично уважний!

1. ,. Знайти.
2. ,. Знайти.
3. ,. Знайти.

Вирішив? Сподіваюся, ти був гранично уважний і помітив невелика каверза.

Порівнюємо результати.

У перших двох випадках ми спокійно застосовуємо вищеописану формулу і отримуємо такі значення:

У третьому випадку при уважному розгляді порядкових номерів даних нам чисел, ми розуміємо, що вони не рівновіддалені від шуканого нами числа: є попереднім числом, а видалена на позиції, таким чином застосувати формулу не надається можливим.

Як же її вирішувати? Насправді це не так складно, як здається! Давай з тобою розпишемо, з чого складається кожне дане нам і шукане числа.

Отже, у нас є і. Подивимося, що з ними можна зробити? Пропоную розділити на. отримуємо:

Підставляємо в формулу наші дані:

Наступним кроком ми можемо знайти - для цього нам необхідно взяти кубічний корінь з отриманого числа.

А тепер дивимося ще раз що у нас є. У нас є, а знайти нам необхідно, а він, у свою чергу дорівнює:

Всі необхідні дані для підрахунку ми знайшли. Підставляємо в формулу:

Наша відповідь: .

Спробуй вирішити ще одну таку ж задачу самостійно:
Дано:,
знайти:

Скільки у тебе вийшло? У мене - .

Як ти бачиш, по суті, тобі необхідно запам'ятати лише одну формулу -. Всі інші ти без будь-якого праці можеш вивести самостійно в будь-який момент. Для цього просто напиши на листочку найпростішу геометричну прогресію і розпиши, чому згідно вищеописаної формулою одно кожне її число.

Сума членів геометричної прогресії.

Тепер розглянемо формули, які дозволяють нам швидко порахувати суму членів геометричної прогресії в заданому проміжку:

Щоб вивести формулу суми членів кінцевої геометричній прогресії, помножимо всі частини вищого рівняння на. отримаємо:

Подивися уважно: що спільного в останніх двох формулах? Правильно, загальні члени, наприклад і так далі, крім першого і останнього члена. Давай спробуємо вирахувати з 2-го рівняння 1-е. Що у тебе вийшло?

Тепер вислови через формулу члена геометричної прогресії і підстав отриманий вираз в нашу останню формулу:

Згрупуйте вираз. У тебе повинно вийти:

Все, що залишилося зробити - висловити:

Відповідно, в цьому випадку.

А що якщо? Яка формула працює тоді? Уяви собі геометричну прогресію при. Що вона собою являє? Правильно ряд однакових чисел, відповідно формула буде виглядати наступним чином:

Як і по арифметичній, так і по геометричній прогресії існує безліч легенд. Одна з них - легенда про Сеті, творця шахів.

Багато хто знає, що шахова гра була придумана в Індії. Коли індуський цар познайомився з нею, він був захоплений її дотепністю і різноманітністю можливих в ній положень. Дізнавшись, що вона винайдена одним з його підданих, цар вирішив особисто нагородити його. Він викликав винахідника до себе і наказав просити у нього все, що він забажає, пообіцявши виконати навіть саме майстерне бажання.

Сета попросив час на роздуми, а коли на інший день Сета з'явився до царя, він здивував царя нечуваною скромністю свого прохання. Він попросив видати за першу клітину шахівниці пшеничне зерно, за другу пшеничних зерна, за третю, за четверту і т.д.

Цар розгнівався, і прогнав Сета, сказавши, що прохання слуги не варта царської щедрості, але пообіцяв, що слуга отримає свої зерна за всі клітини дошки.

А тепер питання: використовуючи формулу суми членів геометричної прогресії, порахуй, скільки зерен повинен отримати Сета?

Почнемо міркувати. Так як за умовою за першу клітину шахівниці Сета попросив пшеничне зерно, за другу, за третю, за четверту і т.д., то ми бачимо, що в задачі мова йде про геометричній прогресії. Чому дорівнює в цьому випадку?
Правильно.

Всього клітин шахової дошки. Відповідно,. Всі дані у нас є, залишилося тільки підставити в формулу і порахувати.

Щоб уявити хоча б приблизно «масштаби» даного числа, перетворимо, використовуючи властивості ступеня:

Звичайно, якщо ти хочеш, то можеш взяти калькулятор і порахувати, що за число в результаті у тебе вийде, а якщо немає, доведеться повірити мені на слово: підсумковим значенням вирази буде.
Тобто:

квінтильйонів квадрильйонів трильйона мільярда мільйонів тисяч.

Фух) Якщо бажаєте уявити собі огром цього числа, то прикиньте, якої величини комору потрібен був би для вміщення всієї кількості зерна.
При висоті комори м і ширині м довжина його повинна була б сягати на км, - тобто вдвічі далі, ніж від Землі до Сонця.

Якби цар був би сильний в математиці, то він міг би запропонувати самому вченому відраховувати зерна, адже щоб відрахувати мільйон зерен, йому б знадобилося не менше доби невпинної рахунки, а з огляду на, що необхідно відрахувати квінтильйонів, зерна довелося б відраховувати все життя.

А тепер вирішимо просту задачку на суму членів геометричної прогресії.
Учень 5 А класу Вася, захворів на грип, але продовжує ходити в школу. Кожен день Вася заражає двох осіб, які, в свою чергу, заражають ще двох осіб і так далі. Всього в класі людина. Через скільки днів на грип буде хворіти весь клас?

Отже, перший член геометричної прогресії це Вася, тобто людина. -ої член геометричної прогресії, це ті дві людини, яких він заразив в перший день свого приходу. Загальна сума членів прогресії дорівнює кількості учнів 5А. Відповідно, ми говоримо про прогресії, в якій:

Підставами наші дані в формулу суми членів геометричної прогресії:

Весь клас захворіє за днів. Чи не віриш формулами і числах? Спробуй зобразити «зараження» учнів самостійно. Вийшло? Дивись, як це виглядає у мене:

Порахуй самостійно, за скільки днів учні захворіли б грипом, якщо кожен заражав б по людини, а в класі навчалося людина.

Яке значення у тебе вийшло? У мене вийшло, що всі почали хворіти через дня.

Як ти бачиш, подібне завдання і малюнок до неї нагадує піраміду, в якій кожний наступний «приводить» нових людей. Однак, рано чи пізно настає такий момент, коли останні не можуть нікого залучити. У нашому випадку, якщо уявити, що клас ізольований, людина з замикають ланцюжок (). Таким чином, якби людина були залучені у фінансову піраміду, в якій гроші давалися в разі, якщо ти приведеш двох інших учасників, то людина (або в загальному випадку) не привели б нікого, відповідно, втратили б все, що вклали в цю фінансову аферу.

Все, що було сказано вище, відноситься до спадної або зростаючій геометричній прогресії, але, як ти пам'ятаєш, у нас є особливий вид - нескінченно спадна геометрична прогресія. Як же вважати суму її членів? І чому у даного виду прогресії є певні особливості? Давай розбиратися разом.

Отже, для початку подивимося ще раз на ось цей малюнок нескінченно спадної геометричної прогресії з нашого прикладу:

А тепер подивимося на формулу суми геометричної прогресії, виведену трохи раніше:
або

До чого у нас прагне? Правильно, на графіку видно, що воно прагне до нуля. Тобто при, буде майже так само, відповідно, при обчисленні виразу ми отримаємо майже. У зв'язку з цим, ми вважаємо, що при підрахунку суми нескінченно спадної геометричної прогресії, даної дужкою можна знехтувати, так як вона буде дорівнює.

- формула сума членів нескінченно спадної геометричної прогресії.

ВАЖЛИВО! Формулу суми членів нескінченно спадної геометричної прогресії ми використовуємо тільки в тому випадку, якщо в умови в явному вигляді зазначено, що потрібно знайти суму нескінченного числа членів.

Якщо вказано конкретне число n, то користуємося формулою суми n членів, навіть якщо або.

А тепер потренуємося.

1. Знайди суму перших членів геометричної прогресії з і.
2. Знайди суму членів нескінченно спадної геометричної прогресії з і.

Сподіваюся, ти був гранично уважний. Порівняємо наші відповіді:

Тепер ти знаєш про геометричній прогресії все, і настала пора переходити від теорії до практики. Найпоширеніші завдання на геометричну прогресію, що зустрічаються на іспиті - це завдання на обчислення складних відсотків. Саме про них і піде мова.

Завдання на обчислення складних відсотків.

Ти напевно чув про так званої формулою складних відсотків. Чи розумієш ти, що вона означає? Якщо немає, давай розбиратися, так як усвідомивши сам процес, ти відразу зрозумієш, до чого тут геометрична прогресія.

Всі ми ходимо в банк і знаємо, що існують різні умови по вкладах: це і термін, і додаткове обслуговування, і відсоток з двома різними способами його нарахування - простим і складним.

З простими відсотками все більш-менш зрозуміло: відсотки нараховуються один раз в кінці терміну вкладу. Тобто, якщо ми говоримо про те, що ми кладемо 100 рублів на рік під, то будуть зараховані тільки в кінці року. Відповідно, до закінчення вкладу ми отримаємо рублів.

складні відсотки - це такий варіант, при якому відбувається капіталізація відсотків, Тобто їх зарахування до суми вкладу і подальший розрахунок доходу не від первісної, а від накопиченої суми вкладу. Капіталізація відбувається не постійно, а з певною періодичністю. Як правило, такі періоди рівні і найчастіше банки використовують місяць, квартал або рік.

Припустимо, що ми кладемо все ті ж рублів за річних, але з щомісячною капіталізацією вкладу. Що у нас виходить?

Все тобі тут зрозуміло? Якщо немає, давай розбиратися поетапно.

Ми принесли в банк рублів. До кінця місяця у нас на рахунку повинна з'явитися сума, що складається з наших рублів плюс відсотків по ним, тобто:

Згоден?

Ми можемо винести за дужки і тоді ми отримаємо:

Погодься, ця формула вже більше схожа на написану нами на початку. Залишилося розібратися з відсотками

В умові задачі нам сказано про річних. Як ти знаєш, ми не множимо на - ми переводимо відсотки в десяткові дроби, тобто:

Вірно? Зараз ти запитаєш, а звідки взялося число? Дуже просто!
Повторюся: в умові завдання сказано про РІЧНІ відсотки, нарахування яких відбувається ЩОМІСЯЦЯ. Як ти знаєш, в році місяців, відповідно, банк буде нараховувати нам в місяць частина від річних відсотків:

Усвідомив? А тепер спробуй написати, як буде виглядати ця частина формули, якщо я скажу, що відсотки нараховуються щодня.
Впорався? Давай порівняємо результати:

Молодець! Повернемося до нашого завдання: напиши, скільки буде нараховано на наш рахунок на другий місяць, з урахуванням, що відсотки нараховуються на накопичену суму вкладу.
Ось що вийшло у мене:

Або, іншими словами:

Я думаю, що ти вже помітив закономірність і побачив у всьому цьому геометричну прогрессію. Напиши, чому буде дорівнює її член, або, іншими словами, яку суму грошових коштів ми отримаємо в кінці місяця.
Зробив? Перевіряємо!

Як ти бачиш, якщо ти кладеш гроші в банк на рік під простий відсоток, то ти отримаєш рублів, а якщо під складний - рублів. Вигода невелика, але так відбувається тільки протягом -го року, а ось на більш тривалий період капіталізація набагато вигідніше:

Розглянемо ще один тип завдань на складні відсотки. Після того, в чому ти розібрався, це буде для тебе елементарно. Отже, завдання:

Компанія «Зірка» почала інвестувати в галузь в 2000 році, маючи капітал доларів. Щороку, починаючи з 2001 року, вона отримує прибуток, яка становить від капіталу попереднього року. Скільки прибутку отримає компанія «Зірка» по закінченню 2003 року, якщо прибуток з обороту не вилучалася?

Капітал компанії «Зірка» в 2000 році.
- капітал компанії «Зірка» в 2001 році.
- капітал компанії «Зірка» в 2002 році.
- капітал компанії «Зірка» в 2003 році.

Або ми можемо написати коротко:

Для нашого випадку:

2000 рік, 2001 рік, 2002 рік та 2003 год.

відповідно:
рублів
Зауваж, в даній задачі у нас немає поділу ні на, ні на, так як відсоток дан ЩОРІЧНИЙ і нараховується він ЩОРОКУ. Тобто, читаючи завдання на складні відсотки, зверни увагу, який відсоток дан, і в який період він нараховується, і тільки потім приступай до обчислень.
Тепер ти знаєш про геометричній прогресії все.

Тренування.

1. Знайдіть член геометричної прогресії, якщо відомо, що, а
2. Знайдіть суму перших членів геометричної прогресії, якщо відомо, що, а
3. Компанія «МДМ Капітал» почала інвестувати в галузь в 2003 році, маючи капітал доларів. Щороку, починаючи з 2004 року, вона отримує прибуток, яка становить від капіталу попереднього року. Компанія «МСК Грошові потоки» стала інвестувати в галузь в 2005 році в розмірі 10000 доларів, починаючи отримувати прибуток з 2006 року в розмірі. На скільки доларів капітал однієї компанії більше інший по закінченню 2007 року, якщо прибуток з обороту не вилучалася?

відповіді:

1. Так як в умові завдання не сказано, що прогресія нескінченна і потрібно знайти суму конкретного числа її членів, то розрахунок йде по формулі:
2. 
   Компанія «МДМ Капітал»:

   2003, 2004, 2005, 2006, 2007 року.
   - збільшується на 100%, тобто в 2 рази.
   відповідно:
   рублів
   Компанія «МСК Грошові потоки»:

   2005, 2006, 2007 року.
   - збільшується на, тобто в рази.
   відповідно:
   рублів
   рублів

Підведемо підсумки.

1) Геометрична прогресія () - це числова послідовність, перший член якої відмінний від нуля, а кожен член, починаючи з другого, дорівнює попередньому, помноженому на одне й те саме число. Це число називають знаменником геометричної прогресії.

2) Рівняння членів геометричної прогресії -.

3) може приймати будь-які значення, крім і.

• якщо, то всі наступні члени прогресії мають однаковий знак - вони позитивні;
• якщо, то всі наступні члени прогресії чергують знаки;
• при - прогресія називається нескінченно спадної.

4), при - властивість геометричної прогресії (що є сусідами члени)

або
, При (рівновіддалені члени)

При знаходженні не варто забувати про те, що відповіді повинно бути два.

наприклад,

5) Сума членів геометричної прогресії обчислюється за формулою:
або

або

ВАЖЛИВО! Формулу суми членів нескінченно спадної геометричної прогресії ми використовуємо тільки в тому випадку, якщо в умови в явному вигляді зазначено, що потрібно знайти суму нескінченного числа членів.

6) Завдання на складні відсотки також обчислюються за формулою -го члена геометричної прогресії, за умови, що грошові кошти з обороту не вилучалися:

ГЕОМЕТРИЧНА ПРОГРЕСІЯ. КОРОТКО ПРО ГОЛОВНЕ

Геометрична прогресія () - це числова послідовність, перший член якої відмінний від нуля, а кожен член, починаючи з другого, дорівнює попередньому, помноженому на одне й те саме число. Це число називають знаменником геометричної прогресії.

Знаменник геометричної прогресії може приймати будь-які значення, крім і.

• Якщо, то всі наступні члени прогресії мають однаковий знак - вони позитивні;
• якщо, то всі наступні члени прогресії чергують знаки;
• при - прогресія називається нескінченно спадної.

Рівняння членів геометричної прогресії - .

Сума членів геометричної прогресії обчислюється за формулою:
або

Якщо прогресія є нескінченно спадної, то:

Стати учнем YouClever,

Підготуватися до ОГЕ або ЄДІ з математики,

А також отримати доступ до підручника YouClever без обмежень ...

Математика - це те, за допомогою чоголюди керують природою і собою.

Радянський математик, академік А.Н. Колмогоров

Геометрична прогресія.

Поряд із завданнями на арифметичні прогресії також поширеними на вступних випробуваннях з математики є завдання, пов'язані з поняттям геометричної прогресії. Для успішного вирішення таких завдань необхідно знати властивості геометричної прогресії і мати гарні навички їх використання.

Ця стаття присвячена викладенню основних властивостей геометричної прогресії. Тут також наводяться приклади розв'язання типових задач, запозичених із завдань вступних випробувань з математики.

Попередньо відзначимо основні властивості геометричної прогресії і нагадаємо найбільш важливі формули і затвердження, пов'язані з цим поняттям.

Визначення. Числова послідовність називається геометричною прогресією, якщо кожне її число, починаючи з другого, дорівнює попередньому, помноженому на одне й те саме число. Число називається знаменником геометричної прогресії.

Для геометричній прогресіїсправедливі формули

, (1)

де. Формула (1) називається формулою загального члена геометричній прогресії, а формула (2) являє собою основну властивість геометричної прогресії: кожен член прогресії збігається із середнім геометричним своїх сусідніх членів і.

Відзначимо, що саме через це властивості розглянута прогресія називається «геометричній».

Наведені вище формули (1) і (2) узагальнюються наступним чином:

, (3)

Для обчислення суми перших членів геометричної прогресії застосовується формула

Якщо позначити, то

де. Так як, то формула (6) є узагальненням формули (5).

У тому випадку, коли і, геометрична прогресія є нескінченно спадної. Для обчислення сумивсіх членів нескінченно спадної геометричної прогресії використовується формула

. (7)

наприклад, за допомогою формули (7) можна показати, що

де. Дані рівності отримані з формули (7) за умови, що, (перша рівність) і, (друга рівність).

Теорема. Якщо то

Доведення. Якщо то ,

Теорема доведена.

Перейдемо до розгляду прикладів вирішення завдань на тему «Геометрична прогресія».

Приклад 1. Дано:, і. Знайти.

Рішення. Якщо застосувати формулу (5), то

Відповідь:.

Приклад 2.Нехай і. Знайти.

Рішення. Так як і, то скористаємося формулами (5), (6) і отримаємо систему рівнянь

Якщо друге рівняння системи (9) розділити на перше, То чи. Звідси випливає і . Розглянемо два випадки.

1. Якщо, то з першого рівняння системи (9) маємо.

2. Якщо, то.

Приклад 3.Нехай, і. Знайти.

Рішення. З формули (2) випливає, що або. Так як, то чи.

За умовою . Однак, тому. Оскільки і, то тут маємо систему рівнянь

Якщо друге рівняння системи розділити на перше, то чи.

Так як, то рівняння має єдиний підходящий корінь. В такому випадку з першого рівняння системи випливає.

Беручи до уваги формулу (7), отримуємо.

Відповідь:.

Приклад 4.Дано: і. Знайти.

Рішення. Так як, то.

Оскільки, то чи

Відповідно до формули (2) маємо. У зв'язку з цим з рівності (10) отримуємо або.

Однак за умовою, тому.

Приклад 5. Відомо що . Знайти.

Рішення. Згідно з теоремою маємо дві рівності

Так як, то чи. Оскільки, то.

Відповідь:.

Приклад 6. Дано: і. Знайти.

Рішення. Беручи до уваги формулу (5), отримуємо

Так як, то. Оскільки, і, то.

Приклад 7. Нехай і. Знайти.

Рішення. Відповідно до формули (1) можна записати

Отже, маємо або. Відомо, що і, тому і.

Відповідь:.

Приклад 8. Знайти знаменник нескінченної спадної геометричної прогресії, якщо

і.

Рішення. З формули (7) слід і . Звідси і з умови задачі отримуємо систему рівнянь

Якщо перше рівняння системи звести в квадрат, а потім отримане рівняння розділити на друге рівняння, То отримаємо

Або.

Відповідь:.

Приклад 9. Знайти всі значення, при яких послідовність,, є геометричною прогресією.

Рішення. Нехай, і. Відповідно до формули (2), яка задає основне властивість геометричної прогресії, можна записати або.

Звідси отримуємо квадратне рівняння, корінням якого є і.

Виконаємо перевірку: якщо, То, і; якщо, то, і.

У першому випадку маємо і, а в другому - і.

Відповідь:,.

Приклад 10.Розв'язати рівняння

, (11)

де і .

Рішення. ліва частина рівняння (11) являє собою суму нескінченної спадної геометричної прогресії, в якій і, за умови: і.

З формули (7) слід, що . У зв'язку з цим рівняння (11) приймає вигляд або . відповідним коренем квадратного рівняння є

Відповідь:.

Приклад 11.П оследовательность позитивних чисел утворює арифметичну прогресію, а - геометричну прогресію, причому тут . Знайти.

Рішення.Так як арифметична послідовність, то (Основна властивість арифметичної прогресії). оскільки, То чи. Звідси випливає , що геометрична прогресія має вигляд. Відповідно до формули (2), Далі запишемо, що.

Так як і, то . У такому випадку вираз набуває вигляду або. За умовою , тому з рівняння отримуємо єдине рішення даної задачі, Тобто .

Відповідь:.

Приклад 12.обчислити суму

. (12)

Рішення. Помножимо на 5 обидві частини рівності (12) і отримаємо

Якщо з отриманого виразу відняти (12), то

або.

Для обчислення підставимо в формулу (7) значення, і отримаємо. Так як, то.

Відповідь:.

Наведені тут приклади розв'язання задач будуть корисні абітурієнтам при підготовці до вступних випробувань. Для більш глибокого вивчення методів вирішення завдань, пов'язаних з геометричною прогресією, можна використовувати навчальні посібники зі списку рекомендованої літератури.

1. Збірник завдань з математики для вступників у втузи / Под ред. М.І. Сканаві. - М .: Мир і Освіта, 2013. - 608 с.

2. Супрун В.П. Математика для старшокласників: додаткові розділи шкільної програми. - М .: Ленанд / URSS, 2014. - 216 с.

3. Мединський М.М. Повний курс елементарної математики в задачах і вправах. Книга 2: Числові послідовності та прогресії. - М .: Едітус, 2015. - 208 с.

Залишилися питання?

Щоб отримати допомогу репетитора - зареєструйтеся.

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

ЧИСЛОВІ ПОСЛІДОВНОСТІ VI

§ l48. Сума нескінченно спадної геометричної прогресії

До сих пір, кажучи про суми, ми завжди припускали, що число доданків в цих сумах звичайно (наприклад, 2, 15, 1000 і т. Д.). Але при вирішенні деяких завдань (особливо вищої математики) доводиться стикатися і з сумами нескінченного числа доданків

S \u003d a 1 + a 2 + ... + a n + ... . (1)

Що ж являють собою такі суми? За визначенням сумою нескінченного числа доданків a 1 , a 2 , ..., a n , ... називається межа суми S n перших п чисел, коли п -> ∞ :

S \u003d S n = (a 1 + a 2 + ... + a n ). (2)

Межа (2), звичайно, може існувати, а може і не існувати. Відповідно до цього говорять, що сума (1) існує чи не існує.

Як же з'ясувати, чи існує сума (1) в кожному конкретному випадку? Загальне рішення цього питання виходить далеко за межі нашої програми. Однак існує один важливий окремий випадок, який нам належить зараз розглянути. Йтиметься про підсумовуванні членів нескінченно спадної геометричної прогресії.

нехай a 1 , a 1 q , a 1 q 2, ...- нескінченно спадна геометрична прогресія. Це означає, що | q |< 1. Сумма первых п членів цієї прогресії дорівнює

З основних теорем про межі змінних величин (див. § 136) отримуємо:

Але 1 \u003d 1, a q n \u003d 0. Тому

Отже, сума нескінченно спадної геометричної прогресії дорівнює першому члену цієї прогресті, поділеній на одиницю мінус знаменник цієї прогресії.

1) Сума геометричній прогресії 1, 1/3, 1/9, 1/27, ... дорівнює

а сума геометричної прогресії 12; -6; 3; - 3/2, ... дорівнює

2) Просту періодичну дріб 0,454545 ... звернути в звичайну.

Для вирішення цього завдання представимо цю дріб у вигляді нескінченної суми:

Права частина цієї рівності є сумою нескінченно спадної геометричної прогресії, перший член якої дорівнює 45/100, а знаменник 1/100. Тому

Описаним способом може бути отримано і загальне правило звернення простих періодичних дробів в звичайні (див. гл. II, § 38):

Для звернення простий періодичної дробу в звичайну потрібно поступити таким чином: в чисельнику поставити період десяткового дробу, А в знаменнику - число, що складається з дев'яток, взятих стільки раз, скільки знаків у періоді десяткового дробу.

3) Змішану періодичну дріб 0,58333 .... звернути в звичайну.

Уявімо дану дріб у вигляді нескінченної суми:

У правій частині цієї рівності всі складові, починаючи з 3/1000, утворюють нескінченно спадаючу геометричну прогресію, перший член якої дорівнює 3/1000, а знаменник 1/10. Тому

Описаним способом може бути отримано і загальне правило звернення змішаних періодичних дробів в звичайні (див. Гл. II, § 38). Ми свідомо не наводимо його тут. Запам'ятовувати це громіздке правило немає необхідності. Набагато корисніше знати, що будь-яку змішану періодичну дріб можна представити у вигляді суми нескінченно спадної геометричної прогресії і деякого числа. А формулу

для суми нескінченно спадної геометричної прогресії потрібно, звичайно, пам'ятати.

Як вправа пропонуємо вам, крім наведених нижче завдань № 995-1000, ще раз звернутися до задачі № 301 § 38.

вправи

995. Що називається сумою нескінченно спадної геометричної прогресії?

996. Знайти суми нескінченно відбувають геометричних прогресій:

997. При яких значеннях х прогресія

є нескінченно спадної? Знайти суму такої прогресії.

998. В рівносторонній трикутник зі стороною а вписаний за допомогою з'єднання середин його сторін новий трикутник; в цей трикутник тим же способом вписаний новий трикутник і так далі до нескінченності.

а) суму периметрів усіх цих трикутників;

б) суму їх площ.

999. В квадрат зі стороною а вписаний шляхом з'єднання середин його сторін новий квадрат; в цей квадрат таким же чином вписаний квадрат і так далі до нескінченності. Знайти суму периметрів усіх цих квадратів і суму їх площ.

1000. Скласти нескінченно спадаючу геометричну прогресію, таку, щоб сума її дорівнювала 25/4, а сума квадратів її членів дорівнювала 625/24.

Геометрична прогресія - це новий вид числової послідовності, з яким нам належить познайомитися. Для успішного знайомства не завадить хоча б знати і розуміти,. Тоді і з геометричною прогресією проблем не буде.)

Що таке геометрична прогресія? Поняття геометричній прогресії.

Починаємо екскурсію, як зазвичай, з елементарщину. Пишу незакінчену послідовність чисел:

1, 10, 100, 1000, 10000, …

Чи зможете вловити закономірність і сказати, які числа підуть далі? Ясен перець, далі підуть числа 100000, 1000000 і так далі. Навіть без особливого розумового напруження все ясно, правда ж?)

Гаразд. Ще приклад. Пишу ось таку послідовність:

1, 2, 4, 8, 16, …

Чи зможете сказати, які числа підуть далі, слідом за числом 16 і назвати восьмий член послідовності? Якщо ви зрозуміли, що це буде число 128, то дуже добре. Значить, півсправи в розумінні сенсу і ключових моментів геометричній прогресії вже зроблено. Можна рости далі.)

А тепер знову переходимо від відчуттів до суворої математики.

Ключові моменти геометричній прогресії.

Ключовий момент №1

Геометрична прогресія - це послідовність чисел. Як і прогресія. Нічого хитрого. Тільки влаштована ця послідовність по іншому.Звідси, природно, й іншу назву носить, так ...

Ключовий момент №2

З другим ключовим моментом хитрішого буде. Давайте повернемося трохи назад і згадаємо ключове властивість арифметичної прогресії. Ось воно: кожен член відрізняється від попереднього на одну і ту ж величину.

А чи можна схоже ключове властивість сформулювати для геометричної прогресії? Подумайте трохи ... Придивіться до наведених прикладів. Здогадалися? Так! У геометричній прогресії (будь-який!) Кожен її член відрізняється від попереднього в один і той же число раз.Завжди!

У першому прикладі це число - десятка. Який член послідовності не візьми, він більше попереднього в десять разів.

У другому прикладі це - двійка: кожен член більше попереднього в два рази.

Саме цим ключовим моментом геометрична прогресія і відрізняється від арифметичної. В арифметичній прогресії кожен наступний член виходить додатком однієї і тієї ж величини до попереднього члену. А тут - множенням попереднього члена на одну і ту ж величину. Ось і вся різниця.)

Ключовий момент №3

Цей ключовий момент повністю ідентичний такому для арифметичної прогресії. А саме: кожен член геометричної прогресії стоїть на своєму місці.Все точь-в-точь як і в арифметичній прогресії і коментарі, я думаю, зайві. Є перший член, є сто перший і т.д. Переставимо місцями хоча б два члена - закономірність (а разом з нею і геометрична прогресія) зникнуть. Чи залишиться просто послідовність чисел без будь-якої логіки.

От і все. Ось і весь сенс геометричній прогресії.

Терміни і позначення.

А ось тепер, розібравшись зі здоровим глуздом і ключовими моментами геометричній прогресії, можна і до теорії переходити. А інакше яка ж теорія без розуміння сенсу, правда?

Як позначати геометричну прогресію?

Як записується геометрична прогресія в загальному вигляді? Ніяких проблем! Кожен член прогресії також записується у вигляді букви. Тільки для арифметичної прогресії, зазвичай, використовується буква "А", Для геометричної - буква "B". номер члена, Як зазвичай, вказується індексом справа внизу. Самі члени прогресії просто перераховуємо через кому або крапку з комою.

Ось так:

b 1,b 2 , b 3 , b 4 , b 5 , b 6 , …

Коротко таку прогресію записують ось так: (b n) .

Або ось так, для кінцевих прогресій:

b 1, b 2, b 3, b 4, b 5, b 6.

b 1, b 2, ..., b 29, b 30.

Або, в короткій записи:

(b n), n=30 .

Ось, власне, і все позначення. Все те ж саме, тільки буква інша, так.) А тепер переходимо безпосередньо до визначення.

Визначення геометричної прогресії.

Геометрична прогресія - це числова послідовність, перший член якої відмінний від нуля, а кожний наступний член дорівнює попередньому члену, помноженому на одне й те саме нульове число.

Ось і все визначення. Більшість слів і фраз вам зрозумілі і добре знайомі. Якщо, звичайно, розумієте сенс геометричній прогресії "на пальцях" і взагалі. Але є і кілька нових фраз, на які я хотів би звернути особливу увагу.

По-перше, слова: "Перший член якої відмінний від нуля".

Це обмеження на перший член введено не випадково. Як ви думаєте, що станеться, якщо перший член b 1 виявиться рівним нулю? Чому буде дорівнює другий член, якщо кожен член більше попереднього в один і той же число раз? Припустимо, в три рази? Подивимося ... Множимо перший член (тобто 0) на 3 і отримуємо ... нуль! А третій член? Теж нуль! І четвертий член - теж нуль! І так далі…

Отримуємо просто мішок бубликів послідовність нулів:

0, 0, 0, 0, …

Звичайно, така послідовність має право на життя, але ніякого практичного інтересу вона не представляє. Все і так зрозуміло. Будь її член - нуль. Сума будь-якої кількості членів - теж нуль ... Що з нею цікавого можна робити? Нічого ...

Наступні ключові слова: "Помноженому на одне й те саме нульове число".

Це саме число теж носить свою спеціальну назву - знаменник геометричної прогресії. Починаємо знайомство.)

Знаменник геометричній прогресії.

Все простіше простого.

Знаменник геометричній прогресії - це нульове число (або величина), що показує,у скільки разів кожен член прогресії більше попереднього.

Знову ж, за аналогією з арифметичною прогресією, ключовим словом, на яке слід звернути увагу в цьому визначенні, є слово "Більше". Воно означає, що кожен член геометричної прогресії виходить множеннямна цей самий знаменник попереднього члена.

Пояснюю.

Для розрахунку, скажімо, другого члена, треба взяти перший член і помножити його на знаменник. Для розрахунку десятого члена, треба взяти дев'ятий член і помножити його на знаменник.

Сам знаменник геометричній прогресії може при цьому бути яким завгодно. Абсолютно будь-яким! Цілим, дробовим, позитивним, негативним, ірраціональним - всяким. Крім нуля. Про це і говорить нам слово "нульове" у визначенні. Навіщо це слово тут потрібно - про це далі.

Знаменник геометричної прогресії позначається, найчастіше, буквою q.

Як знайти це саме q ? Не питання! Треба взяти будь-який член прогресії і поділити на попередній член. Розподіл - це дріб. Звідси і назва - "знаменник прогресії". Знаменник, він зазвичай в дроби сидить, так ...) Хоча, за логікою, величину q слід було б називати приватним геометричній прогресії, за аналогією з різницею для арифметичній прогресії. Але домовилися називати знаменником. І ми теж не будемо винаходити велосипед.)

Визначимо, наприклад, величину q для такої геометричної прогресії:

2, 6, 18, 54, …

Все елементарно. беремо будь-який число послідовності. Яке хочемо, таке і беремо. Крім самого першого. Наприклад, 18. І ділимо на попереднє число . Тобто, на 6.

отримуємо:

q = 18/6 = 3

От і все. Це вірний відповідь. Для даної геометричній прогресії знаменник дорівнює трьом.

Знайдемо тепер знаменник q для іншої геометричної прогресії. Наприклад, ось такий:

1, -2, 4, -8, 16, …

Все теж саме. Які б знаки не були у самих членів, все одно беремо будь-який число послідовності (наприклад, 16) і ділимо на попереднє число (Тобто -8).

отримаємо:

d = 16/(-8) = -2

І всі справи.) Цього разу знаменник прогресії виявився негативним. Мінус два. Буває.)

Візьмемо тепер ось таку прогресію:

1, 1/3, 1/9, 1/27, …

І знову, незалежно від виду чисел, що стоять в послідовності (хоч цілі, хоч дробові, хоч негативні, хоч ірраціональні), беремо будь-яке число (наприклад, 1/9) і ділимо на попереднє число (1/3). За правилами дій з дробами, природно.

отримаємо:

І все.) Тут знаменник виявився дробовим: q = 1/3.

А ось така "прогресія" як вам?

3, 3, 3, 3, 3, …

Очевидно, тут q = 1 . Формально це теж геометрична прогресія, тільки з однаковими членами.) Але такі прогресії для вивчення і практичного застосування не цікаві. Так само, як і прогресії із суцільними нулями. Тому ми їх розглядати і не будемо.

Як ви бачите, знаменник прогресії може бути яким завгодно - цілим, дробовим, позитивним, негативним - всяким! Не може бути тільки нулем. Чи не здогадалися, чому?

Ну, давайте на якомусь конкретному прикладі подивимося, що буде, якщо взяти в якості знаменника q нулик.) Нехай у нас, припустимо, буде b 1 = 2 , а q = 0 . Чому тоді буде дорівнює другий член?

вважаємо:

b 2 = b 1 · q \u003d 2 · 0 \u003d 0

А третій член?

b 3 = b 2 · q \u003d 0 · 0 \u003d 0

Види і поведінку геометричних прогресій.

З все було більш-менш ясно: якщо різниця прогресії d позитивна, то прогресія зростає. Якщо ж різниця негативна, то прогресія убуває. Всього два варіанти. Третього не дано.)

А ось з поведінкою геометричній прогресії все буде вже набагато цікавіше і різноманітніше!)

Як тільки себе тут члени ні ведуть: і зростають, і зменшуються, і необмежено наближаються до нуля, і навіть змінюють знаки, поперемінно кидаючись то в "плюс", то в "мінус"! І в усьому цьому різноманітті треба вміти добре розбиратися, так ...

Розбираємося?) Починаємо з самого простого випадку.

Знаменник позитивний ( q >0)

При позитивному знаменнику, по-перше, члени геометричної прогресії можуть йти в плюс нескінченність (Тобто необмежено зростати) і можуть йти в мінус нескінченність(Тобто необмежено зменшуватися). До такої поведінки прогресій ми вже звикли.

наприклад:

(b n): 1, 2, 4, 8, 16, …

Тут все просто. Кожен член прогресії виходить більше попереднього. Причому кожен член виходить множенням попереднього члена на позитивне число +2 (тобто q = 2 ). Поведінка такої прогресії очевидно: всі члени прогресії необмежено ростуть, йдучи в космос. В плюс нескінченність ...

А тепер ось така прогресія:

(b n): -1, -2, -4, -8, -16, …

Тут теж кожен член прогресії виходить множенням попереднього члена на позитивне число +2. А ось поведінка такої прогресії вже прямо протилежне: кожен член прогресії виходить менше попереднього, І все її члени необмежено зменшуються, йдучи в мінус нескінченність.

А тепер давайте подумаємо: що спільного у цих двох прогресій? Правильно, знаменник! І там і там q = +2 . Додатне число.Двійка. А от поведінка цих двох прогресій - принципово різний! Чи не здогадалися, чому? Так! Вся справа в першому члені!Саме він, як то кажуть, і замовляє музику.) Дивіться самі.

У першому випадку перший член прогресії позитивний (+1) і, отже, всі наступні члени, одержувані множенням на позитивнийзнаменник q = +2 , Також будуть позитивними.

А от у другому випадку перший член негативний (-1). Тому і всі наступні члени прогресії, одержувані множенням на позитивне q = +2 , Також будуть виходити негативними. Бо "мінус" на "плюс" завжди дає "мінус", так.)

Як ви бачите, на відміну від арифметичної прогресії, геометрична прогресія може вести себе зовсім по-різному не тільки в залежності від знаменникаq, Але ще і в залежності від першого члена, Так.)

Запам'ятовуємо: поведінка геометричній прогресії однозначно визначається її першим членом b 1 і знаменникомq .

А тепер починаємо розбір менш звичних, але зате набагато більш цікавих випадків!

Візьмемо, наприклад, ось таку послідовність:

(b n): 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, …

Ця послідовність - теж геометрична прогресія! Кожен член цієї прогресії теж виходить множенням попереднього члена, на одне і те ж число. Тільки число це - дробове: q = +1/2 . або +0,5 . Причому (важливо!) Число, менше одиниці:q = 1/2<1.

Чим цікава ця геометрична прогресія? Куди прагнуть її члени? Давайте подивимося:

1/2 = 0,5;

1/4 = 0,25;

1/8 = 0,125;

1/16 = 0,0625;

…….

Що цікавого тут можна помітити? По-перше, відразу кидається в очі спадання членів прогресії: кожен її член менше попереднього рівно у 2 рази. Або, відповідно до визначення геометричній прогресії, кожен член більшепопереднього в 1/2 рази, Тому що знаменник прогресії q = 1/2 . А від множення на позитивне число, менше одиниці, результат зазвичай зменшується, так ...

що ще можна помітити в поведінці цієї прогресії? Зменшуються чи її члени необмежено, Йдучи в мінус нескінченність? Ні! Вони зменшуються по-особливому. Спочатку досить швидко зменшуються, а потім все повільніше і повільніше. Причому весь час залишаючись позитивними. Нехай і дуже-дуже маленькими. А до чого ж вони самі при цьому прагнуть? Чи не здогадалися? Так! До нулю вони прагнуть!) Причому, зверніть увагу, самого нуля члени нашої прогресії ніколи не досягають!Лише нескінченно близько до нього наближаються. Це дуже важливо.)

Схожа ситуація буде і в такий прогресії:

(b n): -1, -1/2, -1/4, -1/8, -1/16, …

тут b 1 = -1 , а q = 1/2 . Все те ж саме, тільки до нуля тепер члени будуть наближатися вже з іншого боку, знизу. Весь час залишаючись негативними.)

Така геометрична прогресія, члени якої необмежено наближаються до нуля (Неважливо, з позитивною або з негативного боку), в математиці носить особливу назву - нескінченно спадна геометрична прогресія. Прогресія ця настільки цікава і незвичайна, що про неї навіть буде окремий урок .)

Отже, ми розглянули всі можливі позитивні знаменники - і великі одинички і менші одиниці. Саму одиничку в якості знаменника ми не розглядаємо з причин, викладених вище (згадайте приклад з послідовністю трійок ...)

Підсумуємо:

позитивний і більше одиниці (q\u003e 1), то члени прогресії:

a) Необмежено зростають (якщоb 1 >0);

б) необмежено зменшується (якщоb 1 <0).

Якщо знаменник геометричної прогресії позитивний і менше одиниці (0< q<1), то члены прогрессии:

а) нескінченно близько наближаються до нуля зверху (якщоb 1 >0);

б) нескінченно близько наближаються до нуля знизу (якщоb 1 <0).

Залишилося тепер розглянути випадок негативного знаменника.

Знаменник негативний ( q <0)

За прикладом далеко ходити не будемо. Чого, власне, лахміття бабусю ?!) Нехай, наприклад, перший член прогресії буде b 1 = 1 , А знаменник візьмемо q \u003d -2.

Отримаємо ось таку послідовність:

(b n): 1, -2, 4, -8, 16, …

І так далі.) Кожен член прогресії виходить множенням попереднього члена на від'ємне число -2. При цьому всі члени, які стоять на непарних місцях (перший, третій, п'ятий і т.д.) будуть позитивними, А на парних місцях (другий, четвертий і т.д.) - негативними. Знаки строго чергуються. Плюс-мінус-плюс-мінус ... Така геометрична прогресія так і називається - зростаючої Знакозмінні.

Куди ж прагнуть її члени? А нікуди.) Так, за абсолютною величиною (тобто по модулю) члени нашої прогресії необмежено зростають (звідси і назва "зростаюча"). Але при цьому кожен член прогресії по черзі кидає то в жар, то в холод. То в "плюс", то в "мінус". Коливається наша прогресія ... Причому розмах коливань з кожним кроком стрімко зростає, так.) Стало бути, прагнення членів прогресії кудись конкретно тут немає.Ні до плюс нескінченності, ні до мінус нескінченності, ні до нуля - нікуди.

Розглянемо тепер якийсь дрібний знаменник між нулем і мінус одиницею.

Наприклад, нехай буде b 1 = 1 , а q \u003d -1/2.

Тоді отримаємо прогресію:

(b n): 1, -1/2, 1/4, -1/8, 1/16, …

І знову маємо чергування знаків! Але, на відміну від попереднього прикладу, тут вже простежується чітка тенденція наближення членів до нуля.) Тільки в цей раз наші члени наближаються до нуля не строго зверху чи знизу, а знову вагаючись. По черзі приймаючи то позитивні, то негативні значення. Але при цьому їх модулі стають все ближче і ближче до заповітного нулики.)

Така геометрична прогресія називається нескінченно спадної Знакозмінні.

Чим цікаві ці два приклади? А тим, що в обох випадках має місце чергування знаків! Така фішка характерна тільки для прогресій з негативним знаменником, так.) Стало бути, якщо в якомусь завданні ви побачите геометричну прогресію зі Знакозмінні членами, то вже твердо будете знати, що її знаменник на 100% негативний і не помилитеся в знаку.)

До речі, в разі негативного знаменника знак першого члена абсолютно не впливає на поведінку самої прогресії. З яким би знаком перший член прогресії не був, в будь-якому випадку буде спостерігатися знакочередованіе членів. Все питання лише в тому, на яких місцях (Парні або непарні) стоятимуть члени з конкретними знаками.

запам'ятовуємо:

Якщо знаменник геометричної прогресії негативний , То знаки членів прогресії завжди чергуються.

При цьому самі члени:

а) необмежено зростаютьпо модулю, якщоq<-1;

б) нескінченно наближаються до нуля, якщо -1< q<0 (прогрессия бесконечно убывающая).

От і все. Всі типові випадки розібрані.)

В процесі розбору самих різних прикладів геометричних прогресій, я періодично вживав слова: "Прагне до нуля", "Прагне до плюс нескінченності", "Прагне до мінус нескінченності"... Нічого страшного.) Ці мовні звороти (і конкретні приклади) - всього лише початкову знайомство з поведінкою найрізноманітніших числових послідовностей. На прикладі геометричній прогресії.

Навіщо нам взагалі потрібно знати поведінку прогресії? Яка різниця, куди вона там прагне? До нулю чи, до плюс нескінченності, до мінус нескінченності ... Нам-то що від цього?

Справа все в тому, що вже в ВУЗі, в курсі вищої математики, вам знадобиться вміння працювати з різними числовими послідовностями (з будь-якими, а не тільки прогресіями!) І вміння представляти, як саме себе веде та чи інша послідовність - зростає вона необмежено, убуває чи, чи прагне до конкретного числа (причому не обов'язково до нуля) або навіть взагалі ні до чого не прагне ... Цій темі в курсі матаналізу присвячений цілий розділ - теорія меж. А трохи конкретніше - поняття межі числової послідовності.Дуже цікава тема! Має сенс вступити до інституту і розібратися.)

Деякі приклади з цього розділу (послідовності, з межею) і зокрема, нескінченно спадна геометрична прогресія починають освоюватися ще в школі. Звикаємо.)

Більш того, вміння добре дослідити поведінку послідовностей надалі здорово зіграє на руку і дуже стане в нагоді в дослідженні функцій. Найрізноманітніших. А ось вміння грамотно працювати з функціями (обчислювати похідні, досліджувати їх по повній програмі, будувати їх графіки) вже різко підвищує ваш математичний рівень! Сумніваєтеся? Не треба. Ще згадайте мої слова.)

Подивимося на геометричну прогресію в житті?

У навколишньому нас життя з геометричною прогресією ми стикаємося дуже і дуже часто. Навіть самі того не підозрюючи.)

Наприклад, різні мікроорганізми, які оточують нас всюди у величезних кількостях і яких ми навіть не бачимо без мікроскопа, розмножуються саме в геометричній прогресії.

Скажімо, одна бактерія розмножується діленням навпіл, даючи потомство в 2 бактерії. У свою чергу, кожна з них, розмножуючись, теж ділиться навпіл, даючи загальне потомство в 4 бактерії. Наступне покоління дасть уже 8 бактерій, потім 16 бактерій, 32, 64 і так далі. З кожним наступним поколінням число бактерій подвоюється. Типовий приклад геометричній прогресії.)

Також в геометричній прогресії розмножуються і деякі комахи - попелиця, мухи. І кролики іноді, до речі, теж.)

Інший приклад геометричній прогресії, вже ближче до повсякденного життя, - це так звані складні відсотки. Таке цікаве явище часто зустрічається в банківських вкладах і називається капіталізацією відсотків. Що це таке?

Самі ви поки що ще, звичайно, юні. В школе учитесь, в банки не звертаєтеся. А ось батьки ваші - люди вже дорослі і самостійні. На роботу ходять, гроші на хліб насущний заробляють, а частина грошей кладуть в банк, роблячи заощадження.)

Скажімо, ваш тато хоче накопичити певну грошову суму на сімейний відпочинок в Туреччині і поклав в банк 50000 рублів під 10% річних терміном на три роки з щорічної капіталізацією відсотків. Причому протягом усього цього терміну робити зі внеском нічого не можна. Не можна ні поповнювати вклад, ні знімати гроші з рахунку. Який прибуток він отримає через ці три роки?

Ну, по-перше, треба розібратися, що ж таке 10% річних. Це означає що через рік до первісної суми вкладу банком будуть нараховані 10%. Від чого? Звичайно ж, від первісної суми вкладу.

Вважаємо розмір рахунку через рік. Якщо початкова сума вкладу становила 50000 рублів (тобто 100%), то через рік на рахунку буде скільки відсотків? Правильно, 110%! Від 50000 рублів.

Ось і вважаємо 110% від 50000 рублів:

50000 · 1,1 \u003d 55000 рублів.

Сподіваюся, ви розумієте, що знайти 110% від величини означає помножити цю величину на число 1,1? Якщо не розумієте, чому це саме так, згадуйте п'ятий і шостий класи. А саме - зв'язок відсотків з дробом і частинами.)

Таким чином, надбавка за перший рік складе 5000 рублів.

А скільки грошей буде на рахунку через два роки? 60000 рублів? На жаль (а вірніше, на щастя), все не так просто. Весь фокус капіталізації відсотків полягає в тому, що при кожному новому нарахуванні відсотків, ці самі відсотки будуть вважатися вже від нової суми!Від тієї, яка вже лежить на рахунку в даний момент.А нараховані за попередній термін відсотки додаються до початкової суми вкладу і, таким чином, самі беруть участь в нарахуванні нових відсотків! Тобто, вони стають повноправною частиною загального рахунку. або загального капіталу.Звідси і назва - капіталізація відсотків.

Це в економіці. А в математиці такі відсотки називаються складними відсотками.або відсотками від відсотків.) Їх фішка полягає в тому, що при послідовному обчисленні відсотки кожен раз вважаються від нової величини.А чи не від первісної ...

Стало бути, для підрахунку суми через два роки, Нам треба порахувати 110% від тієї суми, яка буде на рахунку через рік. Тобто, вже від 55000 рублів.

Вважаємо 110% від 55000 рублів:

55000 · 1,1 \u003d 60500 рублів.

Значить, процентна надбавка за другий рік складе вже 5500 рублів, а за два роки - 10500 рублів.

Тепер уже можна здогадатися, що через три роки сума на рахунку становитиме 110% від 60500 рублів. Тобто знову 110% від попередньої (торішньої)суми.

Ось і вважаємо:

60500 · 1,1 \u003d 66550 рублів.

А тепер вибудовуємо наші грошові суми за роками в послідовність:

50000;

55000 \u003d 50000 · 1,1;

60500 \u003d 55000 · 1,1 \u003d (50000 · 1,1) · 1,1;

66550 \u003d 60500 · 1,1 \u003d ((50000 · 1,1) · 1,1) · 1,1

Ну і як? Чим не геометрична прогресія? перший член b 1 = 50000 , А знаменник q = 1,1 . Кожен член більше попереднього строго в 1,1 рази. Все в суворій відповідності з визначенням.)

І скільки ж додаткових процентних бонусів "накапає" вашому татові, поки його 50000 рублів три роки лежали на банківському рахунку?

вважаємо:

66550 - 50000 \u003d 16550 рублів

Не густо, звичайно. Але це якщо початкова сума вкладу - маленька. А якщо побільше? Скажімо, не 50, а 200 тисяч рублів? Тоді надбавка за три роки складе вже 66200 рублів (якщо порахувати). Що вже дуже непогано.) А якщо вклад ще більше? Ото ж бо й воно ...

Висновок: чим вище початковий внесок, тим вигідніше стає капіталізація відсотків. Саме тому вклади з капіталізацією відсотків надаються банками на тривалі терміни. Скажімо, на п'ять років.

Також в геометричній прогресії люблять поширюватися всякі нехороші хвороби типу грипу, кору і навіть більш страшних захворювань (тієї ж атипової пневмонії на початку 2000-х або чуми в Середньовіччі). Звідси й такі масштаби епідемій, так ...) А все через те, що геометрична прогресія з цілим позитивним знаменником (q>1) - штука, зростаюча дуже швидко! Згадайте розмноження бактерій: з однієї бактерії виходять дві, з двох - чотири, з чотирьох - вісім і так далі ... З поширенням всякої зарази все те ж саме.)

Найпростіші задачі по геометричній прогресії.

Почнемо, як завжди, з нескладною завдання. Чисто на розуміння сенсу.

1. Відомо, що другий член геометричної прогресії дорівнює 6, а знаменник дорівнює -0,5. Знайдіть перший, третій і четвертий її члени.

Отже, нам дана нескінченна геометрична прогресія, а відомий другий член цієї прогресії:

b 2 \u003d 6

Крім того, нам ще відомий знаменник прогресії:

q \u003d -0,5

А знайти потрібно перший, третійі четвертийчлени цієї прогресії.

Ось і діємо. Записуємо послідовність за умовою завдання. Прямо в загальному вигляді, де другий член - шістка:

b 1, 6,b 3 , b 4 , …

А тепер приступаємо до пошуків. Починаємо, як завжди, з самого простого. Можна порахувати, наприклад, третій член b 3? Можна, можливо! Ми ж з вами вже знаємо (прямо за змістом геометричній прогресії), що третій член (B 3) більше другого (b 2 ) в "Q" раз!

Так і пишемо:

b 3 \u003db 2 · q

Підставляємо в цей вислів шістку замість b 2і -0,5 замість q і вважаємо. І мінус теж не ігноруємо, зрозуміло ...

b 3 \u003d 6 · (-0,5) \u003d -3

Ось так. Третій член виявився з мінусом. Не дивно: наш знаменник q - негативний. А плюс помножити на мінус, буде, Певна річ, мінус.)

Вважаємо тепер наступний, четвертий член прогресії:

b 4 \u003db 3 · q

b 4 \u003d 3 · (-0,5) \u003d 1,5

Четвертий член - знову з плюсом. П'ятий член буде знову з мінусом, шостий - з плюсом і так далі. Знаки - чергуються!

Так, третій і четвертий члени знайшли. Вийшла ось така послідовність:

b 1; 6; -3; 1,5; ...

Залишилося тепер знайти перший член b 1 за відомим другого. Для цього крокуємо вже в іншу сторону, вліво. Це означає, що в даному випадку другий член прогресії нам треба не помножити на знаменник, а поділити.

Ділимо і отримуємо:

Ось і все.) Відповідь до завданню буде такою:

-12; 6; -3; 1,5; …

Як ви бачите, принцип вирішення той же самий, що і в. знаємо будь-який член і знаменник геометричній прогресії - можемо знайти і будь-який інший її член. Який хочемо, такий і відшукаємо.) З тією лише різницею, що додавання / віднімання замінюється на множення / ділення.

Запам'ятовуємо: якщо нам відомий хоча б один член і знаменник геометричної прогресії, то ми завжди можемо знайти будь-який інший член цієї прогресії.

Наступна задача, за традицією, з реального варіанту ОГЕ:

2.

...; 150; х; 6; 1,2; ...

Ну і як? Цього разу ні першого члена немає, ні знаменника q, Задана просто послідовність чисел ... Щось знайоме вже, правда? Так! Схожа завдання вже розбиралася в по арифметичній прогресії!

Ось і не лякаємося. Все теж саме. Включаємо голову і згадуємо елементарний сенс геометричній прогресії. Дивимося уважно на нашу послідовність і міркуємо, які параметри геометричної прогресії з трьох головних (перший член, знаменник, номер члена) в ній заховані.

Номери членів? Номерів членів нету, так ... Але зате є чотири послідовних числа. Що означає це слово, пояснювати на даному етапі сенсу не бачу.) Чи є в цій послідовності два сусідніх відомих числа?Є! Це 6 і 1,2. Значить, ми можемо знайти знаменник прогресії.Ось і беремо число 1,2 і ділимо на попереднє число. На шістку.

отримуємо:

отримаємо:

x \u003d 150 · 0,2 \u003d 30

відповідь: x = 30 .

Як ви бачите, все досить просто. Основна складність полягає лише в обчисленнях. Особливо тяжко буває в разі негативних і дрібних знаменників. Так що ті, у кого проблеми, повторіть арифметику! Як працювати з дробом, як працювати з негативними числами і так далі ... Інакше тут будете гальмувати нещадно.

А тепер трохи видозмінимо завдання. Зараз цікаво стане! Приберемо в ній останнє число 1,2. Ось таке завдання тепер вирішимо:

3. Виписано кілька послідовних членів геометричної прогресії:

...; 150; х; 6; ...

Знайдіть член прогресії, позначений буквою х.

Все те ж саме, тільки двох сусідніх відомих членів прогресії у нас тепер не стало. В цьому і полягає основна проблема. Тому, що величину q через два сусідніх члена ми так просто визначити вже не зможемо. Є у нас шанс впоратися з завданням? Звісно!

Розпишемо невідомий член " x"Прямо за змістом геометричній прогресії! У загальному вигляді.

Так Так! Прямо з невідомим знаменником!

З одного боку, для ікси ми можемо записати ось таке співвідношення:

x \u003d 150 ·q

З іншого боку, цей же самий ікс ми маємо повне право розписати і через наступного член, через шістку! Поділивши шістку на знаменник.

Ось так:

x = 6/ q

Очевидно, тепер можна прирівняти обидва цих співвідношення. Раз вже ми висловлюємо одну й ту саму величину (ікс), але двома різними способами.

Отримаємо рівняння:

Помноживши все на q, Спрощуючи, скорочуючи, отримаємо рівняння:

q 2 \u003d 1/25

Вирішуємо і отримуємо:

q \u003d ± 1/5 \u003d ± 0,2

От чорт! Знаменник-то подвійний вийшов! +0,2 і -0,2. І який з них вибрати? Глухий кут?

Спокій! Так, завдання дійсно має два рішення!Нічого страшного в цьому немає. Буває.) Ви ж не дивуєтеся, коли, наприклад, отримуєте два кореня, вирішуючи звичайне? Ось і тут та сама історія.)

для q \u003d +0,2 ми отримаємо:

X \u003d 150 · 0,2 \u003d 30

А для q = -0,2 буде:

X \u003d 150 · (-0,2) \u003d -30

Отримуємо подвійний відповідь: x = 30; x = -30.

Що означає цей цікавий факт? А то, що існує дві прогресії, Що задовольняють умові завдання!

Ось такі:

…; 150; 30; 6; …

…; 150; -30; 6; …

Обидві - підходять.) Як ви думаєте, через що у нас відбулося роздвоєння відповідей? Якраз через ліквідацію конкретного члена прогресії (1,2), що йде після шістки. А знаючи тільки попередній (n-1) -й і подальший (n + 1) -й члени геометричної прогресії, ми вже нічого не можемо однозначно сказати про n-й член, що стоїть між ними. Можливі два варіанти - з плюсом і з мінусом.

Але не біда. Як правило, в завданнях на геометричну прогресію є додаткова інформація, що дає однозначну відповідь. Скажімо, слова: "Знакозмінні прогресія"або "Прогресія з позитивним знаменником" і так далі ... Саме ці слова і повинні служити зачіпкою, який знак, плюс або мінус, слід вибрати при оформленні остаточної відповіді. Якщо ж такої інформації немає, то тоді - так, завдання буде мати два рішення.)

А тепер вирішуємо самостійно.

4. Визначте, чи буде число 20 членом геометричній прогресії:

4 ; 6; 9; …

5. Задана Знакозмінні геометрична прогресія:

…; 5; x ; 45; …

Знайдіть член прогресії, позначений буквою x .

6. Знайдіть четвертий позитивний член геометричної прогресії:

625; -250; 100; …

7. Другий член геометричної прогресії дорівнює -360, а п'ятий її член дорівнює 23,04. Знайдіть перший член цієї прогресії.

Відповіді (в безладді): -15; 900; немає; 2,56.

Вітаю, якщо все вийшло!

Щось не стикується? Десь відповідь подвійний вийшов? Читаємо уважно умову завдання!

Остання задача не виходить? Там нічого складного.) Працюємо прямо за змістом геометричній прогресії. Ну і картинку можна намалювати. Це допомагає.)

Як ви бачите, все елементарно. Якщо прогресія - коротенька. А якщо довга? Або номер потрібного члена дуже великий? Хотілося б, за аналогією з арифметичною прогресією, як-то отримати зручну формулу, що дозволяє легко знаходити будь-який член будь-якої геометричної прогресії по його номеру. Чи не помножити багато-багато раз на q. І така формула є!) Подробиці - в наступному уроці.