Довести нерівність з двома змінними. Нерівності зі змінними, їх приватні та спільне вирішення. Що таке нерівності зі змінними
1. Нерівності з двома змінними. Способи вирішення системи двох нерівностей з двома змінними: аналітичний спосіб і графічний спосіб.
2. Системи двох нерівностей з двома змінними: запис результату рішення.
3. сукупності нерівностей з двома змінними.
НЕРІВНОСТІ ТА СИСТЕМИ НЕРІВНОСТЕЙ З ДВОМА ЗМІННИМИ. Предикат виду f₁ (х, у)\u003e< f 2 (х, у), хÎХ, уÎ У, где f₁(х, у) и f 2 (х, у) - вираження зі змінними х і у, певні на безлічі ХХУ називається нерівністю з двома змінними (з двома невідомими)х і у.Ясно, що будь-який нерівність виду з двома змінними можна записати у вигляді f (х, у)\u003e0, хÎХ, уÎ У. рішенням нерівностіз двома змінними називається пара значень змінних, що обертає нерівність в правильну числову нерівність.Відомо, що пара дійсних чисел (Х, у)однозначно визначає точку координатної площини. Це дає можливість зобразити рішення нерівності або системи нерівностей з двома змінними геометрично, у вигляді деякого безлічі точок координатної площини. Якщо рівняння.
f (х, у)\u003d 0 визначає деяку лінію на координатної площині, то безліч точок площині, які не лежать на цій лінії, складається з кінцевого числа областей С₁, З 2,..., З п(Рис. 17.8). У кожній з областей С, функція f (х, у)відмінна від нуля, тому що точки, в яких f (х, у)\u003d 0 належать кордонів цих областей.
Рішення.Перетворимо нерівність до виду х\u003e у 2 + 2у -3. Побудуємо на координатної площині параболу х= у 2 + 2у -3. Вона розіб'є площину на дві області G₁ і G 2 (Рис. 17.9). Так як абсциса будь-якої точки, що лежить правіше параболи х= у 2 + 2у- 3, більше, ніж абсциса точки, що має ту ж ординату, але лежить на параболі, і тому нерівність х\u003e у г + 2у -3нечитка, то геометричним зображенням рішень даного нерівності буде безліч точок площині, що лежать на параболі х= у 2+ 2у -3 і правіше неї (рис. 17.9).
| Мал. 17.9 |
Мал. 17.10
Приклад 17.15. Зобразіть на координатній площині безліч рішень системи нерівностей
у\u003e 0,
ху\u003e 5,
х + у<6.
Рішення.Геометричним зображенням рішення системи нерівностей х\u003e 0, у\u003e0 є безліч точок першого координатного кута. Геометричним зображенням рішень нерівності х + у< 6 або у< 6 - хє безліч точок, що лежать нижче прямої і на самій прямій, яка є графіком функції у \u003d6 - х.Геометричним зображенням рішень нерівності ху\u003e 5або, оскільки х\u003e 0 нерівності у\u003e 5 / гє безліч точок, що лежать вище гілки гіперболи, що служить графіком функції у \u003d 5 / г.У підсумку отримуємо безліч точок координатної площини, що лежать в першому координатному куті нижче прямої, яка є графіком функції у \u003d 6 - х, і вище гілки гіперболи, що служить графіком функції у \u003d 5х(Рис. 17.10).
Глава III. НАТУРАЛЬНІ ЧИСЛА І НУЛЬ
Відеоурок «Системи нерівностей з двома змінними» містить наочний навчальний матеріал по даній темі. У урок включено розгляд поняття про рішення системи нерівностей з двома змінними, прикладів вирішення подібних систем графічним способом. Завдання даного відеоуроку - формувати вміння учнів розв'язувати системи нерівностей з двома змінними графічним способом, полегшити розуміння процесу пошуку рішень таких систем і запам'ятовування методу рішення.
Кожен опис рішення супроводжується малюнками, які відображають вирішення завдання на координатної площині. На таких малюнках наочно показані особливості побудови графіків і розташування точок, відповідних рішенням. Всі важливі деталі і поняття виділені за допомогою кольору. Таким чином, видеоурок є зручним інструментом для вирішення завдань вчителя на уроці, звільняє вчителя від подачі стандартного блоку матеріалу для проведення індивідуальної роботи з учнями.
Відеоурок починається з подання теми та розгляду прикладу пошуку рішень системи, що складається з нерівностей x<=y 2 и у<х+3. Примером точки, координаты которой удовлетворяют условиям обеих неравенств, является (1;3). Отмечается, что, так как данная пара значений является решением обоих неравенств, то она является одним из множества решений. А все множество решений будет охватывать пересечение множеств, которые являются решениями каждого из неравенств. Данный вывод выделен в рамку для запоминания и указания на его важность. Далее указывается, что множество решений на координатной плоскости представляет собой множество точек, которые являются общими для множеств, представляющих решения каждого из неравенств.
Розуміння зроблених висновків про рішення системи нерівностей закріплюється розглядом прикладів. Першим розглядається рішення системи нерівностей х 2 + у 2<=9 и x+y>\u003d 2. Очевидно, що рішення першого нерівності на координатної площині включають окружність х 2 + у 2 \u003d 9 і область всередині неї. Ця область на малюнку заповнюється горизонтальної штрихуванням. Безліч рішень нерівності x + y\u003e \u003d 2 включає пряму x + y \u003d 2 і напівплощина, розташовану вище. Дана область також позначається на площині штрихами іншого напрямку. Тепер можна визначити перетин двох множин рішень на малюнку. Воно укладено в сегменті кола х 2 + у 2<=9, который покрыт штриховкой полуплоскости x+y>=2.
Далі розбирається рішення системи лінійних нерівностей y\u003e \u003d x-3 і y\u003e \u003d - 2x + 4. На малюнку поруч з умовою завдання будується координатна площину. На ній будується пряма, відповідна рішенням рівняння y \u003d x-3. Областю рішення нерівності y\u003e \u003d x-3 буде область, розташована над даною прямою. Вона заштріховивается. Безліч рішень другого нерівності розташовується над прямий y \u003d -2x + 4. Дана пряма також будується на тій же системі координат площині і область рішень штрих. Перетином двох множин є кут, побудований двома прямими, разом з його внутрішньою областю. Область рішень системи нерівностей заповнена подвійним штрихуванням.
При розгляді третього прикладу описаний випадок, коли графіками рівнянь, відповідних нерівностей системи, є паралельні прямі. Вирішити необхідно систему нерівностей y<=3x+1 и y>\u003d 3x-2. На координатної площині будується пряма, відповідна рівнянню y \u003d 3x + 1. Область значень, що відповідають рішенням нерівності y<=3x+1, лежит ниже данной прямой. Множество решений второго неравенства лежит выше прямой y=3x-2. При построении отмечается, что данные прямые параллельны. Область, являющаяся пересечением двух множеств решений, представляет собой полосу между данными прямыми.
Відеоурок «Системи нерівностей з двома змінними» може застосовуватися в якості наочного посібника на уроці в школі або замінити пояснення вчителя при самостійному вивченні матеріалу. Детальний зрозуміле пояснення рішення систем нерівностей на координатної площині може допомогти подати матеріал при дистанційному навчанні.
https://accounts.google.com
Підписи до слайдів:
Нерівності з двома змінними та їх системи Урок 1
Нерівності з двома змінними нерівності 3х - 4у 0; і є нерівностями з двома змінними х і у. Рішенням нерівності з двома змінними називається пара значень змінних, що обертає його в правильне числове нерівність. При х \u003d 5 і у \u003d 3 нерівність 3х - 4у 0 звертається в правильне числове нерівність 3 0. Пара чисел (5; 3) є рішенням даного нерівності. Пара чисел (3; 5) не є його рішенням.
Чи є пара чисел (-2; 3) рішенням нерівності: № 482 (б, в) Чи не є є
Рішенням нерівності називається впорядкована пара дійсних чисел, що обертає це нерівність в правильну числову нерівність. Графічно це відповідає завданням точки координатної площини. Вирішити нерівність - значить знайти безліч його рішень
Нерівності з двома змінними мають вигляд: Безліч рішення нерівності - сукупність всіх точок координатної площини, що задовольняють заданій нерівності.
Безлічі рішення нерівності F (x, y) ≥ 0 х у F (x, y) ≤0 х у
F (x, у)\u003e 0 F (x, у)
Правило пробної точки Побудувати F (x; y) \u003d 0 Взявши з будь - якої області пробну точку встановити, чи є її координати рішенням нерівності Зробити висновок про рішення нерівності х у 1 1 2 А (1; 2) F (x; y) \u003d 0
Лінійні нерівності з двома змінними Лінійним нерівністю з двома змінними називається нерівність виду ax + bx + c 0 або ax + bx + c
Знайдіть помилку! № 484 (б) -4 2 x 2 -6 y 6 -2 0 4 -2 - 4
Вирішити графічно нерівність: -1 -1 0 x 1 -2 y -2 2 + 2 1 Будуємо суцільними лініями графіки:
Визначимо знак нерівності в кожній з областей -1 -1 0 x 1 -2 y -2 2 2 середньому 1 3 4 - + 1 + 2 - 7 + 6 - 5 +
Рішення нерівності - безліч точок, з областей, що містять знак плюс і рішення рівняння -1 -1 0 x 1 -2 y -2 2 2 середньому 1 3 4 - + 1 + 2 - 7 + 6 - 5 +
Вирішуємо разом № 485 (б) № 486 (б, г) № 1. Задайте нерівністю і покажіть на координатної площині безліч точок, у яких: а) абсциса більше ординати; б) сума абсциси і ординати більше їх подвоєною різниці.
Вирішуємо разом № 2. Задайте нерівністю відкриту напівплощина, розташовану вище прямої АВ, що проходить через точки А (1; 4) і В (3; 5). Відповідь: у 0,5 х +3,5 № 3. При яких значеннях b безліч рішень нерівності 3х - b у + 7 0 являє собою відкриту напівплощина, розташовану вище прямої 3х - b у + 7 \u003d 0. Відповідь: b 0.
Домашнє завдання П. 21, № 483; № 484 (в, г); № 485 (а); № 486 (в).
Попередній перегляд:
Щоб користуватися попереднім переглядом презентацій створіть собі аккаунт (обліковий запис) Google і увійдіть в нього: https://accounts.google.com
Підписи до слайдів:
Нерівності з двома змінними та їх системи Урок 2
Системи нерівностей з двома змінними
Рішенням системи нерівностей з двома змінними називається пара значень змінних, яка кожне з нерівностей системи в правильну числову нерівність. № 1. Зобразити безліч рішень систем нерівностей. № 496 (усно)
а) x у 2 + 2 x у 2 2 б)
Вирішуємо разом № 1. При яких значеннях k система нерівностей задає на координатної площині трикутник? Відповідь: 0
Вирішуємо разом x у 2 2 2 2 № 2. На малюнку зображений трикутник з вершинами А (0; 5), В (4; 0), С (1; -2), D (-4; 2). Поставте це чотирикутник системою нерівностей. А В С D
Вирішуємо разом № 3. За яких k і b безліччю точок координатної площини, що задається системою нерівностей є: а) смуга; б) кут; в) порожня множина. Відповідь: а) k \u003d 2, b 3; б) k ≠ 2, b - будь-яке число; в) k \u003d 2; b
Вирішуємо разом № 4. Яка фігура задається рівнянням? (Усно) 1) 2) 3) № 5. Зобразіть на координатній площині безліч рішень точок, що задається нерівністю.
Вирішуємо разом № 497 (в, г), 498 (в)
Домашнє завдання п.22 №496, №497 (а, б), №498 (а, б), № 504.
Попередній перегляд:
Щоб користуватися попереднім переглядом презентацій створіть собі аккаунт (обліковий запис) Google і увійдіть в нього: https://accounts.google.com
Підписи до слайдів:
Нерівності з двома змінними та їх системи Урок 3
Знайдіть помилку! -4 2 x 2 -6 y 6 -2 0 4 -2 - 4
Знайдіть помилку! | | | | | | | | | | | | | | | | | | 1 x y 2
Визначте нерівність 0 - 6 посилання - 1 5 3 1 2 у х - 3 - 2 1 -3 4
0 - 6 посилання - 1 5 3 1 2 у х - 3 - 2 1 -3 4 Визначте нерівність
0 - 3 - 1 5 3 1 2 у х - 3 - 2 1 Визначте знак нерівності ≤
Вирішити графічно систему нерівностей -1 -1 0 x 1 -2 y -2 2 + 2 1
Нерівності і системи нерівностей вищих ступенів з двома змінними № 1. Зобразіть на координатній площині безліч точок, що задаються системою нерівностей
Нерівності і системи нерівностей вищих ступенів з двома змінними № 2. Зобразіть на координатній площині безліч точок, що задаються системою нерівностей
Нерівності і системи нерівностей вищих ступенів з двома змінними № 3. Зобразіть на координатній площині безліч точок, що задаються системою нерівностей Перетворимо перша нерівність системи:
Нерівності і системи нерівностей вищих ступенів з двома змінними Отримаємо рівносильну систему
Нерівності і системи нерівностей вищих ступенів з двома змінними № 4. Зобразіть на координатній площині безліч точок, що задаються системою нерівностей
Вирішуємо разом № 502 Збірник Галицького. № 9.66 б) y ≤ | 3x -2 | 0 - 6 посилання - 1 5 3 1 2 у х - 3 - 2 1 -3 4
. № 9.66 (в) Вирішуємо разом 0 - 6 посилання - 1 5 3 1 2 у х - 3 - 2 1 -3 4 | y | ≥ 3x - 2
Вирішуємо разом № 9.66 (г) 0 - 6 посилання - 1 5 3 1 2 у х - 3 - 2 1 -3 4 | y |
Вирішити нерівність: x y -1 -1 0 1 -2 -2 2 + 2 1
0 - 6 посилання - 1 5 3 1 2 у х - 3 - 2 1 -3 4 Запишіть систему нерівностей
11:11 3) Яку фігуру задає безліч рішень системи нерівностей? Знайдіть площу кожної фігури. 6) Скільки пар натуральних чисел є рішеннями системи нерівностей? Обчисліть суму всіх таких чисел. Рішення тренувальних вправ 2) Запишіть систему нерівностей з двома змінними, безліч рішень якої зображено на малюнку 0 2 х у 2 1) Зобразіть на координатній площині безліч рішень системи: 4) Задайте системою нерівностей кільце, зображене на малюнку. 5) Вирішіть систему нерівностей у х 0 5 10 5 10
Рішення тренувальних вправ 7) Обчисліть площу фігури, заданої безліччю рішень системи нерівностей і знайдіть найбільша відстань між точками цієї фігури 8) При якому значенні m система нерівностей має тільки одне рішення? 9) Вкажіть які-небудь значення k і b, при яких система нерівностей задає на координатної площині: а) смугу; б) кут.
Це цікаво Англійський математик Томас Гарриот (Harriot T., 1560-1621) ввів знайомий нам знак нерівності, аргументуючи його так: "Якщо символом рівності служать два паралельних відрізка, то символом нерівності повинні бути пересічні відрізки". У 1585 році молодий Гарриот був посланий королевою Англії в дослідну експедицію по Північній Америці. Там він побачив популярну серед індіанців татуювання у вигляді Ймовірно тому Гарриот запропонував знак нерівності в двох його видах: "\u003e" більше, ніж ... і "
Це цікаво Символи ≤ і ≥ несуворого порівняння запропонував Валліс в 1670 році. Спочатку риса була вище знака порівняння, а не під ним, як зараз. Загальне поширення ці символи отримали після підтримки французького математика П'єра Бугера (1734), у якого вони набули сучасного вигляду.
Якщо в шкільному курсі математики та алгебри окремо виділити тему «нерівності», то основну частину часу осягаються ази роботи з нерівностями , Які містять у своєму записі змінну. У даній статті ми розберемо, що таке нерівності зі змінними, скажімо, що називають їх рішенням, а також розберемося, як записуються рішення нерівностей. Для пояснення будемо наводити приклади і необхідні коментарі.
Навігація по сторінці.
Що таке нерівності зі змінними?
Наприклад, якщо нерівність не має рішень, то так і пишуть «немає рішень» або використовують знак порожнього безлічі ∅.
Коли спільним рішенням нерівності є одне число, то його і так і записують, наприклад, 0, -7,2 або 7/9, а іноді ще укладають в фігурні дужки.
Якщо рішення нерівності представляється декількома числами і їх кількість невелика, то їх просто перераховують через кому (або через крапку з комою), або записують через кому в фігурних дужках. Наприклад, якщо спільне рішення нерівності з однією змінною складають три числа -5, 1,5 і 47, то записують -5, 1,5, 47 або (-5, 1,5, 47).
А для запису рішень нерівностей, що мають безліч рішень використовують як прийняті позначення множин натуральних, цілих, раціональних, дійсних чисел виду N, Z, Q і R, позначення числових проміжків і множин окремих чисел, найпростіші нерівності, так і описом численних через характеристичне властивість , і все не названі способи. Але на практиці найбільш часто користуються найпростішими нерівностями і числовими проміжками. Наприклад, якщо рішенням нерівності є число 1, напівінтервал (3, 7] і промінь, ∪; під ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М.: Просвещение, 2008. - 271 с.: Ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
