Лінійні рівняння з однією змінною 7. Рівняння з однією змінною. Формулювання мети і завдань уроку

У цій статті розглянемо принцип вирішення таких рівнянь як лінійні рівняння. Запишемо визначення цих рівнянь, поставимо загальний вигляд. Розберемо всі умови знаходження розв'язків лінійних рівнянь, використовуючи, в тому числі, практичні приклади.

Звернемо увагу, що матеріал нижче містить інформацію по лінійним рівнянням з однієї змінної. Лінійні рівняння з двома змінними розглядаються в окремій статті.

Що таке лінійне рівняння

визначення 1

лінійне рівняння - це рівняння, запис якого така:
a · x \u003d b, де x - змінна, a і b - деякі числа.

Таке формулювання використана в підручнику алгебри (7 клас) Ю.Н.Макаричева.

приклад 1

Прикладами лінійних рівнянь будуть:

3 · x \u003d 11(Рівняння з однією змінною x при а \u003d 5 і b \u003d 10);

- 3, 1 · y \u003d 0 (лінійне рівняння зі змінною y, де а \u003d - 3, 1 і b \u003d 0);

x \u003d - 4і - x \u003d 5, 37(Лінійні рівняння, де число aзаписано в явному вигляді і дорівнює 1 і - 1 відповідно. Для першого рівняння b \u003d - 4;для другого - b \u003d 5, 37) і т.п.

У різних навчальних матеріалах можуть зустрічатися різні визначення. Наприклад, Виленкин Н.Я. до лінійним відносить також ті рівняння, які можливо перетворити на вигляд a · x \u003d bза допомогою перенесення доданків з однієї частини в іншу зі зміною знака та приведення подібних доданків. Якщо слідувати такому трактуванні, рівняння 5 · x \u003d 2 · x + 6 -також лінійне.

А ось підручник алгебри (7 клас) Мордкович А.Г. задає такий опис:

визначення 2

Лінійне рівняння з однією змінною x - це рівняння виду a · x + b \u003d 0, де a і b - деякі числа, звані коефіцієнтами лінійного рівняння.

приклад 2

Прикладом лінійних рівнянь подібного виду можуть бути:

3 · x - 7 \u003d 0 (a \u003d 3, b \u003d - 7) ;

1, 8 · y + 7, 9 \u003d 0 (a \u003d 1, 8, b \u003d 7, 9).

Але також там наведені приклади лінійних рівнянь, які ми вже використовували вище: виду a · x \u003d b, Наприклад, 6 · x \u003d 35.

Ми відразу домовимося, що в даній статті під лінійним рівнянням з однієї змінної ми будемо розуміти рівняння записи a · x + b \u003d 0, де x - змінна; a, b - коефіцієнти. Подібна форма лінійного рівняння нам бачиться найбільш виправданою, оскільки лінійні рівняння - це рівняння алгебри першого ступеня. А інші рівняння, зазначені вище, і рівняння, наведені рівносильними перетвореннями в вид a · x + b \u003d 0, Визначимо, як рівняння, що зводяться до лінійних рівнянь.

При такому підході рівняння 5 · x + 8 \u003d 0 - лінійне, а 5 · x \u003d - 8 - рівняння, яке зводиться до лінійного.

Принцип рішення лінійних рівнянь

Розглянемо, як визначити, чи буде заданий лінійне рівняння мати коріння і, якщо так, то скільки і як їх визначити.

визначення 3

Факт наявності коренів лінійного рівняння визначаться значеннями коефіцієнтів a і b. Запишемо ці умови:

• при a ≠ 0лінійне рівняння має єдиний корінь x \u003d - b a;
• при a \u003d 0 і b ≠ 0лінійне рівняння не має коренів;
• при a \u003d 0 і b \u003d 0 лінійне рівняння має нескінченно багато коренів. По суті в даному випадку будь-яке число може стати коренем лінійного рівняння.

Дамо пояснення. Нам відомо, що в процесі рішення рівняння можливо здійснювати перетворення заданого рівняння в рівносильну їй, а значить має те ж коріння, що вихідне рівняння, або також не має коренів. Ми можемо виробляти такі рівносильні перетворення:

• перенести доданок з однієї частини в іншу, змінивши знак на протилежний;
• помножити або розділити обидві частини рівняння на одне і те ж число, не рівне нулю.

Таким чином, перетворимо лінійне рівняння a · x + b \u003d 0, Перенісши доданок b з лівої частини в праву частину зі зміною знака. отримаємо: a · x \u003d - b.

Отже, виробляємо розподіл обох частин рівняння на не рівне нулю число а,отримавши в результаті рівність виду x \u003d - b a. Тобто, коли a ≠ 0,вихідне рівняння a · x + b \u003d 0рівносильно рівності x \u003d - b a, в якому очевидний корінь - b a.

Методом від противного можливо продемонструвати, що знайдений корінь - єдиний. Задамо позначення знайденого кореня - b a як x 1.Висловимо припущення, що є ще один корінь лінійного рівняння з позначенням x 2.І звичайно: x 2 ≠ x 1,а це, в свою чергу, спираючись на визначення рівних чисел через різницю, рівносильно умові x 1 - x 2 ≠ 0. З урахуванням вищесказаного ми можемо скласти наступні рівності, підставивши коріння:
a · x 1 + b \u003d 0 і a · x 2 + b \u003d 0.
Властивість числових рівностей дає можливість зробити почленное віднімання частин рівностей:

a · x 1 + b - (a · x 2 + b) \u003d 0 - 0, Звідси: a · (x 1 - x 2) + (b - b) \u003d 0 і далі a · (x 1 - x 2) \u003d 0. рівність a · (x 1 - x 2) \u003d 0 є невірним, оскільки раніше умовою було задано, що a ≠ 0 і x 1 - x 2 ≠ 0. Отримане протиріччя і є доказом того, що при a ≠ 0лінійне рівняння a · x + b \u003d 0має лише один корінь.

Обґрунтуємо ще два пункти умов, що містять a \u003d 0.

коли a \u003d 0 лінійне рівняння a · x + b \u003d 0 запишеться як 0 · x + b \u003d 0. Властивість множення числа на нуль дає нам право стверджувати, що будь-яке число не було взято в якості x, Підставивши його в рівність 0 · x + b \u003d 0, Отримаємо b \u003d 0. Рівність справедливо при b \u003d 0; в інших випадках, коли b ≠ 0, рівність стає невірним.

Таким чином, коли a \u003d 0 і b \u003d 0 , будь-яке число може стати коренем лінійного рівняння a · x + b \u003d 0, Оскільки при виконанні цих умов, підставляючи замість x будь-яке число, отримуємо вірну числову рівність 0 = 0 . Коли ж a \u003d 0 і b ≠ 0 лінійне рівняння a · x + b \u003d 0 зовсім не буде мати коренів, оскільки при виконанні зазначених умов, підставляючи замість x будь-яке число, отримуємо невірне числове рівність b \u003d 0.

Всі наведені міркування дають нам можливість записати алгоритм, що дає можливість знайти рішення будь-якого лінійного рівняння:

• по виду записи визначаємо значення коефіцієнтів a і bі аналізуємо їх;
• при a \u003d 0 і b \u003d 0 рівняння буде мати нескінченно багато коренів, тобто будь-яке число стане коренем заданого рівняння;
• при a \u003d 0і b ≠ 0
• при a, Відмінному від нуля, починаємо пошук єдиного кореня вихідного лінійного рівняння:

1. перенесемо коефіцієнт b в праву частину зі зміною знака на протилежний, приводячи лінійне рівняння до виду a · x \u003d - b;
2. обидві частини отриманого рівності ділимо на число a, Що дасть нам шуканий корінь заданого рівняння: x \u003d - b a.

Власне, описана послідовність дій і є відповідь на питання, як знаходити рішення лінійного рівняння.

Наостанок уточнимо, що рівняння виду a · x \u003d b вирішуються за схожим алгоритмом з єдиною відмінністю, що число b в такому записі вже перенесено в потрібну частину рівняння, і при a ≠ 0 можна відразу виконувати розподіл частин рівняння на число a.

Таким чином, щоб знайти рішення рівняння a · x \u003d b, використовуємо такий алгоритм:

• при a \u003d 0 і b \u003d 0 рівняння буде мати нескінченно багато коренів, тобто будь-яке число може стати його коренем;
• при a \u003d 0 і b ≠ 0 задане рівняння не матиме коренів;
• при a, Що не дорівнює нулю, обидві частини рівняння діляться на число a, Що дає можливість знайти єдиний корінь, який дорівнює b a.

Приклади розв'язання лінійних рівнянь

приклад 3

Необхідно вирішити лінійне рівняння 0 · x - 0 \u003d 0.

Рішення

За записом заданого рівняння ми бачимо, що a \u003d 0 і b \u003d - 0 (або b \u003d 0,що те ж саме). Таким чином, задане рівняння може мати нескінченно багато коренів або будь-яке число.

відповідь: x - будь-яке число.

приклад 4

Необхідно визначити, чи має коріння рівняння 0 · x + 2, 7 \u003d 0.

Рішення

За записи визначаємо, що а \u003d 0, b \u003d 2, 7. Таким чином, задане рівняння не буде мати коренів.

відповідь: вихідне лінійне рівняння не має коренів.

приклад 5

Задано лінійне рівняння 0, 3 · x - 0, 027 \u003d 0.Необхідно вирішити його.

Рішення

За записом рівняння визначаємо, що а \u003d 0, 3; b \u003d - 0, 027, що дозволяє нам стверджувати наявність єдиного кореня у заданого рівняння.

Дотримуючись алгоритму, переносимо b в праву частину рівняння, змінивши знак, отримуємо: 0, 3 · x \u003d 0, 027. Далі розділимо обидві частини отриманого рівності на а \u003d 0, 3, тоді: x \u003d 0, 027 0, 3.

Здійснимо ділення десяткових дробів:

0, 027 0, 3 \u003d 27 300 \u003d 3 · 9 3 · 100 \u003d 9 100 \u003d 0, 09

Отриманий результат є корінь заданого рівняння.

Коротко рішення запишемо так:

0, 3 · x - 0, 027 \u003d 0, 0, 3 · x \u003d 0, 027, x \u003d 0, 027 0, 3, x \u003d 0, 09.

відповідь: x \u003d 0, 09.

Для наочності наведемо рішення рівняння записи a · x \u003d b.

приклад N

Задані рівняння: 1) 0 · x \u003d 0; 2) 0 · x \u003d - 9; 3) - 3 8 · x \u003d - 3 3 4 . Необхідно вирішити їх.

Рішення

Всі задані рівняння відповідають записи a · x \u003d b. Розглянемо по черзі.

У рівнянні 0 · x \u003d 0, a \u003d 0 і b \u003d 0, Що означає: будь-яке число може бути коренем цього рівняння.

У другому рівнянні 0 · x \u003d - 9: a \u003d 0 і b \u003d - 9,таким чином, це рівняння не буде мати коренів.

По виду останнього рівняння - 3 8 · x \u003d - 3 3 4 запишемо коефіцієнти: a \u003d - 3 8, b \u003d - 3 3 4, тобто рівняння має єдиний корінь. Знайдемо його. Поділимо обидві частини рівняння на a, отримаємо в результаті: x \u003d - 3 3 4 - 3 8. Спростимо дріб, застосувавши правило ділення негативних чисел з подальшим переведенням змішаного числа в звичайну дріб і розподілом звичайних дробів:

3 3 4 - 3 8 \u003d 3 3 4 3 8 \u003d 15 4 3 8 \u003d 15 4 · 8 3 \u003d 15 · 8 4 · 3 \u003d 10

Коротко рішення запишемо так:

3 8 · x \u003d - 3 3 4, x \u003d - 3 3 4 - 3 8, x \u003d 10.

відповідь: 1) x - будь-яке число, 2) рівняння не має коренів, 3) x \u003d 10.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl + Enter

мета уроку. Формування навички рішення рівняння з одним невідомим, зведенням його до лінійного рівняння з допомогою властивостей равносильности.

Тип урокуКомбінований.

завдання уроку:

1) освітня:

познайомити учнів з видом лінійного рівняння і способом його вирішення, домогтися засвоєння правила вирішення лінійних, його розуміння і вміння користуватися ним при вирішенні;

2) розвиваюча:

продовжити формування математичних знань і прийомів розумової діяльності (вміння аналізувати ситуацію і орієнтуватися в діях, навчитися виконувати нову дію, довести його до автоматизації). Формувати елементи математичної логіки.

3) виховна:

формування навички покрокової роботи під керівництвом учителя (пояснення нового матеріалу, первинне закріплення), сприйняття інформації на слух (картки), формування самооцінки (рефлексія).

Завантажити:

Попередній перегляд:

План уроку з алгебри в 7В класі.

Лінійне рівняння з однією змінною.

(04.10.2012г.)

мета уроку . Формування навички рішення рівняння з одним невідомим, зведенням його до лінійного рівняння з допомогою властивостей равносильности.

Тип уроку Комбінований.

Завдання уроку:

1) освітня:

Ознайомити учнів з видом лінійного рівняння і способом його вирішення, домогтися засвоєння правила вирішення лінійних, його розуміння і вміння користуватися ним при вирішенні;

2) розвиваюча:

Продовжити формування математичних знань і прийомів розумової діяльності (вміння аналізувати ситуацію і орієнтуватися в діях, навчитися виконувати нову дію, довести його до автоматизації). Формувати елементи математичної логіки.

3) виховна:

Формування навички покрокової роботи під керівництвом учителя (пояснення нового матеріалу, первинне закріплення), сприйняття інформації на слух (картки), формування самооцінки (рефлексія).

Хід уроку

I. Перевірка домашньої роботи фронтально.

II. Усна робота (на картках)

Мета усній роботи: Діагностика формування навичок вирішення лінійних рівнянь з однією змінною.

1. Замість (*) поставити знак «+» або «-», а замість точок - числа:

а) (* 5) + (* 7) \u003d 2;

б) (* 8) - (* 8) \u003d (* 4) -12;

в) (* 9) + (* 4) \u003d - 5;

г) (-15) - (* ...) \u003d 0;

д) (* 8) + (* ...) \u003d - 12;

е (* 10) - (* ...) \u003d 12.

2. Скласти рівняння, рівносильні рівняння:

а) х-7 \u003d 5;

б) 2х-4 \u003d 0;

в) х-11 \u003d х-7;

г) 2 (х-12) \u003d 2х-24.

III. Узагальнення вміння розв'язувати рівняння зведенням їх до лінійного рівняння.

Колективна робота з класом.

Форма колективної роботи: фронтальна

вирішимо рівняння

12 - (4х-18) \u003d (36 + 5х) + (28 - 6х). (1)

Для цього слід виконати такі перетворення:

1. Розкриємо дужки. Якщо перед дужками стоїть знак «плюс», то дужки можна опустити, зберігши знак кожного доданка, укладеного в дужках. Якщо перед дужками стоїть знак «мінус», то дужки можна опустити, змінивши знак кожного доданка, укладеного в дужках:

12 - 4х + 18 \u003d 36 + 5х + 28 - 6х. (2)

Рівняння (2) і (1) рівносильні.

2. Перенесемо з протилежними знаками невідомі члени так, щоб вони були тільки в одній частині рівняння (або в лівій, або в правій). Одночасно перенесемо відомі члени з протилежними знаками так, щоб вони були тільки в іншій частині рівняння.

Наприклад, перенесемо з протилежними знаками невідомі члени в ліву, а відомі - в праву частину рівняння, тоді отримаємо рівняння

4х-5х + 6х \u003d 36 + 28-18, (3)

рівносильне рівнянню (2), а отже, і рівняння (1).

3. Наведемо подібні доданки:

3х \u003d 46. (4)

Рівняння (4) рівносильне рівнянню (3), а отже, і рівняння (1).

4. Розділимо обидві частини рівняння (4) на коефіцієнт при невідомому. Отримане рівняння х \u003d 46 / -3 або -15 1/3 буде рівносильне рівнянню (4), а отже, і рівнянням (3), (2), (1).

Тому коренем рівняння (1) буде число -15 1/3.

За цією схемою (алгоритмом) вирішуємо рівняння на сьогоднішньому уроці:

1. Розкрити дужки.

2. Зібрати члени, що містять невідомі, в одній частині рівняння, а інші члени в інший.

3. Привести подібні доданки.

4. Розділити обидві частини рівняння на коефіцієнт при невідомому.

Примітка: слід зазначити, що наведена схема не є обов'язковою, так як часто зустрічаються рівняння, для вирішення яких деякі із зазначених етапів виявляються непотрібними. При вирішенні ж інших рівнянь буває простіше відступити від цієї схеми, як, наприклад, в рівнянні:

7 (х-2) \u003d 42.

IV. Тренувальні вправи.

№№ 132 (а, г), 133 (а, г), 136 (в), 138 (г) - із записом на дошці.

№132. Знайдіть корінь рівняння:

а) (13х-15) - (9 + 6х) \u003d - 3х

Розкриємо дужки:

13х-15-9-6х \u003d 3х.

Перенесемо з протилежними знаками невідомі члени в ліву, а відомі - в праву частину рівняння, тоді отримаємо рівняння:

13х-6х + 3х \u003d 15 + 9.

Наведемо подібні доданки.

10х \u003d 24.

Розділимо обидві частини рівняння на коефіцієнт при невідомому.

х \u003d 2,4

Відповідь: 2,4

г) (0,5х + 1.2) - (3.6-4,5х) \u003d (4.8-0,3х) + (10,5х + 0,6);

0,5х + 1,2-3,6 + 4,5х \u003d 4.8-0,3х + 10,5х + 0,6;

0,5х + 4,5х + 0,3х-10,5х \u003d 4,8 + 0,6-1,2 + 3,6;

5,2х \u003d 7,8;

х \u003d -1,5

Відповідь: -1,5

№133 Знайдіть корінь рівняння:

а) 5 (3х + 1,2) + х \u003d 6,8,

15х + 6 + х \u003d 6,8,

15х + х \u003d 6,8 - 6,

16х \u003d 0,8,

Х \u003d 0,8: 16,

Х \u003d 0,05,

Відповідь: 0,05

г) 5,6 - 7у \u003d - 4 (2у - 0,9) + 2, 4,

5,6 - 7у \u003d - 8У + 3, 6 + 2,4,

8У - 7у \u003d 3,6 + 2.4 - 5,6,

У \u003d 0,4,

Відповідь: 0,4

№ 136. Розв'яжіть рівняння:

в) 0,8 х - (0,7х + 0,36) \u003d 7,1,

0,8 х - 0,7х - 0,36 \u003d 7,1,

0,1 х \u003d 0,36 + 7,1,

0,1 х \u003d 7,46,

Х \u003d 7,46: 0,1,

Х \u003d 74,6

Відповідь: 74,6.

№ 138. Знайдіть корінь рівняння:

г) -3 (у + 2.5) \u003d 6,9 - 4,2у,

3у - 7,5 \u003d 6,9 - 4,2у,

4,2у - 3у \u003d 6,9 + 7,5,

1,2у \u003d 14,4,

У \u003d 14,4: 1,2,

У \u003d 12,

Відповідь: 12

V. Самостійна робота з урахуванням індивідуальних здібностей учнів.

I. Варіант.

1. Щоб вирішити рівняння 5х \u003d -40, треба -40 розділити на 5. Чому дорівнює корінь цього рівняння?

2. Підкресліть коефіцієнт при х і вирішите рівняння:

А) 7х \u003d 49;

6) - Зх \u003d 111;

в) 12х \u003d 1.

3. Вирішуючи рівняння 12х \u003d -744, Коля знайшов,що х \u003d -62. Підставивши замість х число - 62, перевірте, чи правильно знайдений корінь рівняння.

4. Вирішіть рівняння.

а) 6х \u003d 24;

б) 13х \u003d -39;

в) 8х \u003d 4;

г) 6х \u003d 7,5; д) 7х \u003d 63;

е) - 4х \u003d 12;

ж) 9х \u003d - 3;

з) 9х \u003d 0,36.

5. При якому значенні х:

а) значення виразу 8х одно -64;

б) значення виразу 7х дорівнює 1;

в) значення виразу х дорівнює 11?

6. Перенесіть складові, які містять х в лівучастина рівняння, а інші в праву, змінивши при цьомуїх знаки на протилежні:

а) 2х - 3 \u003d 5х + 8; в) 2х - 5 \u003d 6х - 8;

б) 4х - 12 \u003d -Зх + 3; г) -4х - 2 \u003d -13х + 21.

7. Доведіть рішення рівняння до кінця:

а) 2х - 4 \u003d -8х + 12; б) Зх - 2 \u003d 7х - 14;

в) 2х + 8х \u003d 12 + 4 г) Зх - 7х \u003d -14 + 2

8. Розв'яжіть рівняння:

а) Зх + 8 \u003d х - 12;

б) х + 4 \u003d 3 - 2х;

в) 5у \u003d \u200b\u200b2у + 16;

г) 2х + 9 - 8 \u003d х - 1.

9. Розв'яжіть рівняння:

а) 1,2х \u003d -4,8; г) Зх - 4 \u003d 11; ж) 2х - 1 \u003d Зх + 6;

б) -6х \u003d 7,2; д) 5 - 2х \u003d 0; з) х - 8 \u003d 4х - 9;

В ) Х \u003d -0,6; е) -12 - х \u003d 3; і) 5 - 6х \u003d 0,3 - 5х.

10. При якому значенні а

а) значення виразу 3 + 2а одно 43,

б) значення виразу 12 - а дорівнює 100;

в) значення виразів 13а + 17 і 5а + 9 рівні;

г) значення виразів 5а + 14 і 2а + 7 єпротиво положную числами?

II. варіант

1. Для кожного рівняння виду ах \u003d в запишіть, чому дорівнює а і чому дорівнює в:

а) 2,3х \u003d 6,9;

б) -х \u003d -1;

в) - х \u003d 6;

г) 1,2х \u003d 0.

2. а) Завершіть запис: щоб вирішити рівняння ах \u003d в, в якому а\u003d 0, треба ...

б) Розв'яжіть рівняння 12х \u003d -60 і виконайте перевірку.

3. Вирішіть рівняння:

1) а) 2х \u003d 12; б) -5х \u003d 15; в) - х \u003d 32; г) -11х \u003d 0;

2) а) 3х \u003d 5; б) - 6х \u003d -15; в) 29х \u003d - 27; г) 16х \u003d - 1;

3) а) 5х \u003d 1/3 |; б) 4х \u003d - 2/7; в) 1 / 3х \u003d 6; г) -2 / 7х \u003d 14.

4) а) 0,01х \u003d 6,5; б) - 1.4х \u003d 0,42; в) 0, Зх \u003d 10; г) -0,6x \u003d - 0,5.

4. При якому значенні х:

а) значення виразу 5х одно - 1;

б) значення виразу -0,1х дорівнює 0,5;

в) значення виразу 16х дорівнює 0?

5. На дошці було записано рішення рівняння виду ах \u003d в, але праву частину рівняння стерли. Відновіть її:

а) 5х \u003d ... б) Зх \u003d ... в) 4х \u003d ...

х \u003d -12; х \u003d 1/6; х \u003d 0,8.

6. Знайдіть таке значення а, при якому рівняння ах \u003d 114 має корінь 6.

7. Розв'яжіть рівняння:

А) Зх-4 \u003d 20

Б) 54 - 5х ~ -6;

в) 1,2 - 0.Зх \u003d 0;

г) 16-7х \u003d 0;

д) 5/6-х \u003d 1/6

8. Розв'яжіть рівняння:

а) 5х-11 \u003d 2х + 8; г) 0,8 х-4 \u003d 0,5-7;

б) 6-7х \u003d 11- 6х; д) 2,6х + 8 \u003d 2-х;

в) 3 - х \u003d х + 13; е) 12 + 1 / 3x \u003d 15 - 1 / 6x

9. При якому значенні а:

а) значення виразу 5-За дорівнює 17;

б) значення виразів 3-2а і 5а + 10 рівні;

в) значення виразу 5 - 9а на 4 більше значення виразу а + 1;

г) значення виразу 7 + 8а на 5 менше значення вираження 2а + 1?

10. Розв'яжіть рівняння:

а) 15 (х + 2) \u003d 40; в) 5 (2х + 1) \u003d 3 (2х);

б) - 2 (1-х) \u003d х; г) -6 (2-х) -5 (1 + х).

11. Розв'яжіть рівняння:

а) 43 + 4х + (11-5х) \u003d 7; г) 6 (х + 11) -7х \u003d 73 + х;

б) 12-4х - (2 + х) \u003d 5х; д) 8 (3-х) - 12 + 6х \u003d 25-х;

в) 5х + 12-3 (х + 16) \u003d - 20; е) 6-х-3 (2-5х) - 12 + 8х.

Для самоконтролю: після розкриття дужок виходить рівняння:

а) 43 + 4х + 11-5х \u003d 7; г) 6х + 66-7х \u003d 73 + х;

б) 12-4х-2-х \u003d 5х; д) 24-8х-12 + 6х - 25-х;

в) 5х + 12-Зх-48 \u003d -20; е) 6-х-6 + 15х \u003d 12 + 8х.

III. варіант

1. Розв'яжіть рівняння:

а) 6х \u003d 36; в) -х \u003d 18; д) 49х \u003d 0; ж) 21х \u003d - 3;

б) 5х \u003d 5/7; г) 11х \u003d -1/3; в) 1 / 3х \u003d 0; д) -3 / 7х \u003d - 1;

2. Розв'яжіть рівняння і виконайте перевірку:

а) 0,08х - 1; в) - 0,1 х \u003d 1; д) 0,6х \u003d - 5; ж) - 0,3х \u003d - 1,1;

б) 0.Зх \u003d 1/3; г) - 1 / 7х \u003d 0; е) 0,2х \u003d 1/7 з) - 3,6х - - 6.

3. Складіть якесь рівняння виду ах \u003d в, яке

а) має коренем число 3;

б) має коренем число 0;

в) не має коренів;

г) має нескінченно багато коренів.

4. При яких значеннях х

А) значення виразу 1 / 3х дорівнює 3;

б) значення виразу - 0,8 х дорівнює 0;

в) значення виразу 0,01х дорівнює 30;

г) значення виразу -15х одно - 0,1.

5. Вирішивши рівняння виду ах \u003d в, учень стер коефіцієнт а. Відновіть його, якщо це можливо:

а) ... х \u003d 1/8 б) ... х \u003d -4 в) ... х \u003d 0

Х \u003d 4 х \u003d - 1 х \u003d 0

6 . За яких цілих значеннях а коренем рівняння ах \u003d 8 є ціле число?

8. Дано вирази За + 2 і а-5. За яких значення а

а) значення цих виразів рівні;

б) значення першого виразу на 12 більше значення другого;

в) значення першого виразу на 7 менше значення другого;

г) значення першого виразу в 5 разів більше значення вто-

рого?

9. Розв'яжіть рівняння:

а) - (2х + 1) \u003d 41; г) 5 (х-1) - 3 (2х + 2) \u003d - 1;

б) 5 (12-х) \u003d 27; д) 12 (1-х) - 4 \u003d 2 (4х + 6);

в) 1,2 (2х-1) \u003d 3,6; е) 0,5 (2х-1) - х \u003d 6,5.

10. Для рівняння ах-11 \u003d Зх + 1 знайдіть

а) значення а, при яких коренем цього рівняння число 6;

б) значення а, при яких це рівняння не має коренів;

в) натуральні значення а, при яких коренем рівняння є натуральне число.

11. Розв'яжіть рівняння:

а) 5 (х - 18) - 7х \u003d 21 + х; г) 6 (х - 1) +12 (3 - 2х) \u003d 45 - 17х;

б) Зх + 6 (1 - х) \u003d - 2 (2 + х); д) 15 (3 - х) - 5 (х + 11) \u003d 1 - 19х;

в) 1,7 - 8 (х - 1) \u003d 3,7 + 2х; е) - (5 - х) - 8 (6 + х) \u003d 11,8 + х.

VI. Підсумок уроку. Алгоритм відомості рівняння до лінійного рівняння.

VII. Домашнє завдання: П. 3, №№ 128, 129, 131.

Перевірка показала, що учні виконали ці завдання, т. Е засвоїли цю тему.

самоаналіз уроку

1. У класі навчаються 25 учнів. П'ятеро людей можуть вчитися на 4-5, 8 осіб на четвірки, решта без направляючої допомоги вчитися не можуть. При плануванні уроку це було враховано і визначило вибір методів і прийомів викладу нового матеріалу і способів закріплення отриманих знань.

2. Це другий урок по темі «Рівняння з однією змінною». В цьому навчальному році даний матеріал вивчався, на початку уроку була проведена актуалізація знань у вигляді нагадування учителем потрібних відомостей. Даний урок важливий для подальшого вивчення теми «Лінійна функція» в курсі алгебри. Специфіка - багато понять, моделей, знань, які краще систематизувати і оформити у вигляді конспекту. Тип уроку - комбінований урок.

3. На уроці вирішувалися наступні завдання:

1. Дидактична мета уроку: Сприяти усвідомленню та осмисленню нової навчальної інформації про геометричній і аналітичної моделях лінійного рівняння з однією змінною.
2. Освітня мета: Сформувати поняття лінійного рівняння і методів його вирішення і домогтися розуміння суті його назви, позначення і алгебраїчної запису.
3. розвиваюча мета: Сприяти розвитку вміння моделювати ситуацію та систематизувати знання у вигляді таблиці.
4. Виховна мета: Формування почуття власної гідності, поваги до інтелектуальної праці.

Комплексність їх вирішення продумана. Головними були навчальні завдання, при їх вирішенні попутно вирішувалися і розвиваючі, і виховують завдання. Розвиваюча завдання вирішувалася через прийоми доступного вивчення матеріалу, а яка виховує вже на етапі вибору класу для відкритого уроку.

4. Дана структура уроку продиктована неможливістю учнями довго й зосереджено сприймати одноманітно викладається. Тому більш щільні і динамічний урок в першій половині. Опитування проводилося з метою актуалізації наявних знань і закріплення нових. Зв'язки між етапами логічні. Домашнє завдання містить три номери, виконати учні можуть то кількість, яке побажають: на 3-один номер, на 4-два, на 5-три.

5. Головний акцент робився на поняттях: лінійне рівняння, корінь рівняння. Обрані головні поняття теми, відпрацьовується навички позначати, називати, записувати алгебраїчну модель числового проміжку.

6. Методи навчання обрані частково-пошукові, наочні, діяльні.

7. Необхідності застосування методів диференційованого навчання не було. Досить надання індивідуальної допомоги.

8. Контроль засвоєння знаньздійснювався наглядом за самостійністю і активністю учнів, так як вивчався новий матеріал.

9. Використовувалися засоби навчання: Підручник Ю.Н.Макаричев та ін-2009 рік, картки для усного та індивідуальної роботи, активно використовувалася дошка.

10. Завдання реалізовані повністю.

лінійне рівняння з однією змінною

Контрольна робота № 1

мета:

Показати навички засвоєння теми «Лінійне рівняння з однією змінною» Вміти складати вираз зі змінними за умовою задачі. Виконувати перетворення виразів: приводити подібні доданки, розкривати дужки. Знаходити значення виразу зі змінними при заданих значеннях змінних.

Завдання № 1

• Розв'яжіть рівняння:

• 1 варіант

• а) 6х- 15 \u003d 4х + 11;
• б) 9 - 7 (х + 3) \u003d 5 - 4х.

• 2 варіант

• а) 9х - 8 \u003d 4х + 12;
• б) 6 - 8 (х + 2) \u003d 3 - 2х.

Завдання № 2

• 1 варіант

У першому ящику було в 5 разів більше яблук, ніж у другому. Коли з першого ящика взяли 7кг яблук, а в другій додали 5 кг, то в ящиках яблук стало порівну. Скільки кг. Яблук було в кожному ящику спочатку?

• 2 варіант

У першому кошику лежало в 4 рази більше грибів, ніж у другій. Коли в перший кошик поклали ще 4 гриба, а в другу -31 гриб, то в кошиках грибів стало порівну. Скільки грибів було в кожній кошику спочатку?

Завдання № 3

• Розв'яжіть рівняння:

• 1 варіант

а) (8У - 16) · (2,1 + 0,3у) \u003d 0;

б) 7х - (4х + 3) \u003d 3х + 2.

• 2 варіант

а) (12У + 30) · (1,4 - 0,7у) \u003d 0;

б) 9х - (5х - 4) \u003d 4х + 4.

Завдання № 4

• 1 варіант

У перший магазин завезли 100 кг цукерок, а в другій-240кг. Перший магазин продавав щодня по 12 кг цукерок, а другий-по 46кг. Через скільки днів у другому магазині залишиться в 4 рази менше цукерок, ніж в першому?

• 2 варіант

На першому складі було 300т вугілля, а на другому-178 т. З першого складу щодня вивозили 15 т вугілля, а з другого-18т. Через скільки днів на першому складі залишиться в 3 рази більше тонн вугілля, ніж на другому?

Завдання № 5

• 1 варіант

При якому значенні а рівняння (а + 3) х \u003d 12

а) має корінь, що дорівнює 6;

б) не має коренів?

• 2 варіант

При якому значенні а рівняння (а -2) х \u003d 35

а) має корінь, що дорівнює 5;

клас: 7

Урок № 1.

Тип уроку: закріплення пройденого матеріалу.

Мета уроку:

освітні:

• формування навички рішення рівняння з одним невідомим зведенням його до лінійного рівняння з допомогою властивостей равносильности.

Розвиваючі:

• формування ясності і точності думки, логічного мислення, елементів алгоритмічної культури;
• розвиток математичної мови;
• розвиток уваги, пам'яті;
• формування навичок саме і взаимопроверки.

виховні:

• формування вольові якості;
• формування комунікабельність;
• вироблення об'єктивної оцінки своїх досягнень;
• формування відповідальності.

устаткування: інтерактивна дошка, дошка для фломастерів, картки із завданнями для самостійної роботи, картки для корекції знань для слабоуспевающих учнів, підручник, робочий зошит, зошит для домашніх робіт, зошит для самостійних робіт.

Хід уроку

2. Перевірка домашнього завдання - 4 хв.

Учні перевіряють домашню роботу, рішення якої виведено зі зворотного боку дошки одним з учнів.

3. Усна робота-6 хв.

(1) Поки йде усний рахунок, слабоуспевающие учні отримують картку для корекції знань і виконують 1), 2), 4) і 6) завдання за зразком. (Див. Додаток 1.)

Картка для корекції знань.

(2) Для інших учнів завдання проектуються на інтерактивну дошку: (Див. презентацію: слайд 2)

1. Замість зірочки постав знак "+" або "-", а замість точок - числа:
   а) (* 5) + (* 7) \u003d 2;
   б) (* 8) - (* 8) \u003d (* 4) -12;
   в) (* 9) + (* 4) \u003d -5;
   г) (-15) - (* ...) \u003d 0;
   д) (* 8) + (* ...) \u003d -12;
   е) (* 10) - (* ...) \u003d 12.
2. Склади рівняння, рівносильні рівняння:
   а) х - 7 \u003d 5;
   б) 2х - 4 \u003d 0;
   в) х -11 \u003d х - 7;
   г) 2 (х -12) \u003d 2х - 24.

3. Логічна задача:Віка, Наташа і Олена в магазині купили капусту, яблука та моркву. Все купили різні продукти. Віка купила овоч, Наташа - яблука або моркву, Лена купив не овоч. Хто що купив? (Один з учнів, який виконав завдання виходить до дошки і заповнює таблицю.) (Слайд 3)

	Віка	Наташа	Лена
До
Я
М

Заповнити таблицю

	Віка	Наташа	Лена
До	+	–	–
Я	–	–	+
М	–	+	–

4. Узагальнення вміння розв'язувати рівняння зведенням їх до лінійного рівняння -9 хв.

Колективна робота з класом. (Слайд 4)

вирішимо рівняння

12 - (4х - 18) \u003d (36 + 5х) + (28 - 6х). (1)

для цього слід виконати такі перетворення:

1. Розкриємо дужки. Якщо перед дужками стоїть знак "плюс", то дужки можна опустити, зберігши знак кожного доданка, укладеного в дужки. Якщо перед дужками стоїть знак "мінус", то дужки можна опустити, змінивши знак кожного доданка, укладеного в дужки:

12 - 4х + 18 \u003d 36 + 5х + 28 - 6х. (2)

Рівняння (2) і (1) рівносильні:

2. Перенесемо з протилежними знаками невідомі члени так, щоб вони були тільки в одній частині рівняння (або в лівій, або в правій). Одночасно перенесемо відомі члени з протилежними знаками так, щоб вони були тільки в іншій частині рівняння.

Наприклад, перенесемо з протилежними знаками невідомі члени в ліву, а відомі - в праву частину рівняння, тоді отримаємо рівняння

- 4х - 5х + 6х \u003d 36 + 28 - 18 - 12, (3)

рівносильне рівнянню (2) , А отже, і рівняння (1) .

3. Наведемо подібні доданки:

-3х \u003d 34. (4)

рівняння (4) рівносильне рівнянню (3) , А отже, і рівняння (1) .

4. Розділимо обидві частини рівняння (4) на коефіцієнт при невідомому.

отримане рівняння х \u003d буде рівносильне рівнянню (4), а отже, і рівнянням (3), (2), (1)

Тому коренем рівняння (1) буде число

За цією схемою (алгоритмом) вирішуємо рівняння на сьогоднішньому уроці:

1. Розкрити дужки.
2. Зібрати члени, що містять невідомі, в одній частині рівняння, а інші члени в інший.
3. Привести подібні члени.
4. Розділити обидві частини рівняння на коефіцієнт при невідомому.

Примітка: слід зазначити, що наведена схема не є обов'язковою, так як часто зустрічаються рівняння, для вирішення яких деякі із зазначених етапів виявляються непотрібними. При вирішенні ж інших рівнянь буває простіше відступити від цієї схеми, як, наприклад, в рівнянні:

7 (х - 2) \u003d 42.

5. Тренувальні вправи - 8 хв.

№ № 132 (а, г), 135 (а, г), 138 (б, г) - з коментарем і записом на дошці.

6. Самостійна робота - 14 хв. (Виконується в зошитах для самостійних робіт з подальшою взаємоперевіркою перевіркою; відповіді будуть відображені на інтерактивній дошці)

Перед самостійною роботою учням буде запропоновано завдання на кмітливість - 2 хв.

Не відриваючи олівець від паперу і не проходячи двічі по одному і тому ж ділянці лінії, накресліть роздруковане лист. (Слайд 5)

(Учні використовують пластикові листи і фломастери.)

1. Вирішити рівняння (на картках) (Див. Додаток 2)

Додаткове завдання №135 (б, в).

7. Підведення підсумків уроку - 1 хв.

Алгоритм відомості рівняння до лінійного рівняння.

8. Повідомлення домашнього завдання - 2 хв.

п.6, № № 136 (а-г), 240 (а), 243 (а, б), 224 (Роз'яснити зміст домашнього завдання).

Урок № 2.

Мета уроку:

освітні:

• повторення правил, систематизація, поглиблення і розширення ЗУНов учнів за рішенням лінійних рівнянь;
• формування вміння застосовувати отримані знання при вирішенні рівнянь різними способами.

Розвиваючі:

• розвиток інтелектуальних умінь: аналізу алгоритму рішення рівняння, логічного мислення при побудові алгоритму рішення рівняння, варіативності вибору способу розв'язання, систематизації рівнянь щодо способів вирішення;
• розвиток математичної мови;
• розвиток зорової пам'яті.

виховні:

• виховання пізнавальної активності;
• формування навичок самоконтролю, взаємоконтролю і самооцінки;
• виховання почуття відповідальності, взаємодопомоги;
• прищеплення акуратності, математичної грамотності;
• виховання почуття товариства, ввічливості, дисциплінованості, відповідальності;
• Здоров'язбереження.

а) освітня: повторення правил, систематизація, поглиблення і розширення ЗУНов учнів за рішенням лінійних рівнянь;

б) розвиваюча: розвиток гнучкості мислення, пам'яті, уваги і кмітливості;

в) виховна: прищеплення інтересу до предмета і до історії рідного краю.

устаткування: інтерактивна дошка, сигнальні картки (зелена і червона), листи з тестової роботою, підручник, робочий зошит, зошит для домашніх робіт, зошит для самостійних робіт.

Форма роботи: індивідуальна, колективна.

Хід уроку

1. Організаційний момент - 1хв.

Привітати учнів, перевірити їх готовність до уроку, оголосити тему уроку і мета уроку.

2. Усна робота - 10 хв.

(Завдання для усного рахунку виводяться на інтерактивну дошку.) (Слайд 6)

1) Вирішіть завдання:

а) Мама старше дочки на 22 роки. Скільки років мамі, якщо їм разом 46 років
б) У родині троє братів і кожен наступний молодше попереднього в два рази. Разом всім братам 21 рік. Скільки років кожному?

2) Вирішіть рівняння:(Пояснити)

4) Пояснити завдання з домашньої роботи, що викликали утруднення.

3. Виконання вправ - 10 хв. (Слайд 8)

(1) Якому нерівності задовольняє корінь рівняння:

а) x\u003e 1;
б) x< 0;
в) x\u003e 0;
г) x< –1.

(2) При якому значенні вираженні у значення виразу 2у - 4 в 5 разів менше значення виразу 5у - 10?

(3) При якому значенні k рівняння kx - 9 \u003d 0 має корінь рівний - 2?

Подивися і запам'ятай (7 секунд). (Слайд 9)

Через 30 секунд учні відтворюють малюнок на пластикових аркушах.

4. Фізкультхвилинка - 1,5 хв.

Вправа для очей і для рук

(Учні дивляться і повторюють вправи, які проектуються на інтерактивну дошку.)

5. Самостійна тестова робота - 15 хв.

(Учні виконують тестову роботу в зошитах для самостійних робіт, дублюючи відповіді в робочих зошитах. Здавши тести, учні звіряють відповіді з відповідями, відображеними на дошці)

Учні, що впоралися з роботою раніше всіх, допомагають слабоуспевающім учням.

6. Підведення підсумків уроку - 2 хв.

- Яке рівняння з однією змінною називається лінійним?

- Що називається коренем рівняння?

- Що значить "вирішити рівняння"?

- Скільки коренів може мати рівняння?

7. Повідомлення домашнього завдання. - 1 хв.

п.6, № № 294 (а, б), 244, 241 (а, в), 240 (г) - Рівень А, В

п.6, № № 244, 241 (б, в), 243 (в), 239, 237- Рівень С

(Роз'яснити зміст домашнього завдання.)

8. Рефлексія - 0,5 хв.

- Ви задоволені своєю роботою на уроці?

- Який вид діяльності вам сподобався найбільше на уроці.

література:

1. Алгебра 7. / Ю.Н. Макаричєв, Н.Г. Мандюк, К.І. Пєшков, С.В. Суворова. Під редакцією С.А. Теляковского. / М .: Просвещение, 1989 - 2006.
2. Збірник тестових завдань для тематичного та підсумкового контролю. Алгебра 7 клас / Гусєва І.Л., Пушкін С.А., Рибакова Н.В.. Загальна ред .: Татур А.О. - М .: "Інтелект-Центр" 2009 - 160 с.
3. Поурочні планування з алгебри. / Т.Н.Еріна. Посібник для вчителів / М: Изд. "Іспит", 2008. - 302, с.
4. Картки для корекції знань з математики для 7 класу. / Левітас Г.Г. / М .: Ілекса, 2000. - 56 с.

• Рівність зі змінною називають рівнянням.
• Вирішити рівняння - означає знайти безліч його коренів. Рівняння може мати один, два, кілька, безліч коренів або не мати їх зовсім.
• Кожне значення змінної, при якому дане рівняння перетворюється в правильну рівність, називається коренем рівняння.
• Рівняння, які мають одні і ті ж коріння, називаються рівносильними рівняннями.
• Будь-яке доданок рівняння можна перенести з однієї частини рівності в іншу, змінивши при цьому знак доданка на протилежний.
• Якщо обидві частини рівняння помножити або розділити на одне й те саме відмінне від нуля число, то вийде рівняння, рівносильне даному рівнянню.

Приклади. Розв'язати рівняння.

1. 1,5х + 4 \u003d 0,3х-2.

1,5х-0,3х \u003d -2-4. Зібрали складові, що містять змінну, в лівій частині рівності, а вільні члени - в правій частині рівності. При цьому застосовували властивість:

1,2х \u003d -6. Привели подібні доданки за правилом:

х \u003d -6 : 1,2. Обидві частини рівності розділили на коефіцієнт при змінної, так як

х \u003d -5. Ділили за правилом ділення десяткового дробу на десяткову дріб:

щоб розділити число на десятковий дріб, потрібно перенести коми в подільному і дільнику на стільки цифр вправо, скільки їх стоїть після коми в дільнику, а потім виконати поділ на натуральне число:

6 : 1,2 = 60 : 12 = 5.

відповідь: 5.

2. 3∙ (2х-9) \u003d 4 ∙ (Х-4).

6х-27 \u003d 4х-16. Розкрили дужки, використовуючи розподільний закон множення щодо вирахування: (A-b) ∙ c \u003d a ∙ c-b ∙ c.

6х-4х \u003d -16 + 27. Зібрали складові, що містять змінну, в лівій частині рівності, а вільні члени - в правій частині рівності. При цьому застосовували властивість: будь-який доданок рівняння можна перенести з однієї частини рівності в іншу, змінивши при цьому знак доданка на протилежний.

2х \u003d 11. Привели подібні доданки за правилом: щоб привести подібні доданки, треба скласти їх коефіцієнти і отриманий результат помножити на їх загальну буквенную частина (тобто до отриманого результату приписати їх загальну буквенную частина).

х \u003d 11 : 2. Обидві частини рівності розділили на коефіцієнт при змінної, так як якщо обидві частини рівняння помножити або розділити на одне й те саме відмінне від нуля число, то вийде рівняння, рівносильне даному рівнянню.

відповідь: 5,5.

3. 7х- (3 +2 х) \u003d х-9.

7х-3-2х \u003d х-9. Розкрили дужки за правилом розкриття дужок, перед якими стоїть знак «-»: якщо перед дужками стоїть знак «-», то прибираємо дужки, знак «-» і записуємо складові, які стояли в дужках, з протилежними знаками.

7х-2х-х \u003d -9 + 3. Зібрали складові, що містять змінну, в лівій частині рівності, а вільні члени - в правій частині рівності. При цьому застосовували властивість: будь-який доданок рівняння можна перенести з однієї частини рівності в іншу, змінивши при цьому знак доданка на протилежний.

4х \u003d -6. Привели подібні доданки за правилом: щоб привести подібні доданки, треба скласти їх коефіцієнти і отриманий результат помножити на їх загальну буквенную частина (тобто до отриманого результату приписати їх загальну буквенную частина).

х \u003d -6 : 4. Обидві частини рівності розділили на коефіцієнт при змінної, так як якщо обидві частини рівняння помножити або розділити на одне й те саме відмінне від нуля число, то вийде рівняння, рівносильне даному рівнянню.

відповідь: -1,5.

3 ∙ (Х-5) \u003d 7 ∙ 12 — 4 ∙ (2х-11). Помножили обидві частини рівності на 12 - найменший спільний знаменник для знаменників даних дробів.

3х-15 \u003d 84-8х + 44. Розкрили дужки, використовуючи розподільний закон множення щодо вирахування: щоб різниця двох чисел помножити на третє число, можна окремо зменшуване і окремо від'ємник помножити на третє число, а потім з першого результату відняти другий результат, тобто (A-b) ∙ c \u003d a ∙ c-b ∙ c.

3х + 8х \u003d 84 + 44 + 15. Зібрали складові, що містять змінну, в лівій частині рівності, а вільні члени - в правій частині рівності. При цьому застосовували властивість: будь-який доданок рівняння можна перенести з однієї частини рівності в іншу, змінивши при цьому знак доданка на протилежний.