Як шукати екстремуми. Екстремум функції. Знаходження точок екстремуму

Знайдіть найбільше значення функції y \u003d (7x ^ 2-56x + 56) e ^ x на відрізку [-3; 2].

Рішення

Знайдемо похідну вихідної функції за формулою похідної твори y "\u003d (7x ^ 2-56x + 56) "e ^ x \\, + (7x ^ 2-56x + 56) \\ left (e ^ x \\ right) "\u003d (14x-56) e ^ x + (7x ^ 2-56x + 56) e ^ x \u003d (7x ^ 2-42x) e ^ x \u003d 7x (x-6) e ^ x. Обчислимо нулі похідної: y "\u003d 0;

7x (x-6) e ^ x \u003d 0,

x_1 \u003d 0, x_2 \u003d 6.

Розставимо знаки похідної і визначимо проміжки монотонності вихідної функції на заданому відрізку.

З малюнка видно, що на відрізку [-3; 0] початкова функція зростає, а на відрізку - убуває. Таким чином, найбільше значення на відрізку [-3; 2] досягається при x \u003d 0 і дорівнює y (0) \u003d 7 \\ cdot 0 ^ 2-56 \\ cdot 0 + 56 \u003d 56.

відповідь

Умова

Знайдіть найбільше значення функції y \u003d 12x-12tg x-18 на відрізку \\ Left.

Рішення

y "\u003d (12x) "- 12 (tg x)" - (18) "\u003d 12- \\ frac (12) (\\ cos ^ 2x) \u003d \\ Frac (12 \\ cos ^ 2x-12) (\\ cos ^ 2x) \\ leqslant0. Значить, початкова функція є незростаюча на розглянутому проміжку і приймає найбільше значення на лівому кінці відрізка, тобто при x \u003d 0. Найбільше значення одно y (0) \u003d 12 \\ cdot 0-12 tg (0) -18 \u003d -18.

відповідь

Джерело: «Математика. Підготовка до ЄДІ-2017. Профільний рівень ». Під ред. Ф. Ф. Лисенко, С. Ю. Кулабухова.

Умова

Знайдіть точку мінімуму функції y \u003d (x + 8) ^ 2 e ^ (x + 52).

Рішення

Будемо знаходити точку мінімуму функції за допомогою похідної. Знайдемо похідну заданої функції, користуючись формулами похідною твори, похідною x ^ \\ alpha і e ^ x:

y "(x) \u003d \\ Left ((x + 8) ^ 2 \\ right) "e ^ (x + 52) + (x + 8) ^ 2 \\ left (e ^ (x + 52) \\ right)" \u003d 2 (x + 8) e ^ (x + 52) + (x + 8) ^ 2 e ^ (x + 52) \u003d (X + 8) e ^ (x + 52) (2 + x + 8) \u003d (X + 8) (x + 10) e ^ (x + 52).

Розставимо знаки похідної і визначимо проміжки монотонності вихідної функції. e ^ (x + 52)\u003e 0 при будь-якому x. y "\u003d 0 при x \u003d -8, x \u003d -10.

З малюнка видно, що функція y \u003d (x + 8) ^ 2 e ^ (x + 52) має єдину точку мінімуму x \u003d -8.

відповідь

Джерело: «Математика. Підготовка до ЄДІ-2017. Профільний рівень ». Під ред. Ф. Ф. Лисенко, С. Ю. Кулабухова.

Умова

Знайдіть точку максимуму функції y \u003d 8x- \\ frac23x ^ \\ tfrac32-106.

Рішення

ОДЗ: x \\ geqslant 0. Знайдемо похідну вихідної функції:

y "\u003d 8- \\ frac23 \\ cdot \\ frac32x ^ \\ tfrac12 \u003d 8- \\ sqrt x.

Обчислимо нулі похідної:

8- \\ sqrt x \u003d 0;

\\ Sqrt x \u003d 8;

x \u003d 64.

Розставимо знаки похідної і визначимо проміжки монотонності вихідної функції.

З малюнка видно, що точка x \u003d 64 є єдиною точкою максимуму заданої функції.

відповідь

Джерело: «Математика. Підготовка до ЄДІ-2017. Профільний рівень ». Під ред. Ф. Ф. Лисенко, С. Ю. Кулабухова.

Умова

Знайдіть найменше значення функції y \u003d 5x ^ 2-12x + 2 \\ ln x + 37 на відрізку \\ Left [\\ frac35; \\ Frac75 \\ right].

Рішення

ОДЗ: x\u003e 0.

Знайдемо похідну вихідної функції:

y "(x) \u003d 10x-12 + \\ frac (2) (x) \u003d \\ Frac (10x ^ 2-12x + 2) (x).

Визначимо нулі похідної: y "(x) \u003d 0;

\\ Frac (10x ^ 2-12x + 2) (x) \u003d 0,

5x ^ 2-6x + 1 \u003d 0,

x_ (1,2) \u003d \\ Frac (3 \\ pm \\ sqrt (3 ^ 2-5 \\ cdot1)) (5) \u003d \\ Frac (3 \\ pm2) (5),

x_1 \u003d \\ frac15 \\ notin \\ left [\\ frac35; \\ Frac75 \\ right],

x_2 \u003d 1 \\ in \\ left [\\ frac35; \\ Frac75 \\ right].

Розставимо знаки похідної і визначимо проміжки монотонності вихідної функції на даному проміжку.

З малюнка видно, що на відрізку \\ Left [\\ frac35; 1 \\ right]вихідна функція спадає, а на відрізку \\ leftзростає. Таким чином, найменше значення на відрізку \\ Left [\\ frac35; \\ Frac75 \\ right]досягається при x \u003d 1 і дорівнює y (1) \u003d 5 \\ cdot 1 ^ 2-12 \\ cdot 1 + 2 \\ ln 1 + 37 \u003d 30.

відповідь

Джерело: «Математика. Підготовка до ЄДІ-2017. Профільний рівень ». Під ред. Ф. Ф. Лисенко, С. Ю. Кулабухова.

Умова

Знайдіть найбільше значення функції y \u003d (x + 4) ^ 2 (x + 1) +19 на відрізку [-5; -3].

Рішення

Знайдемо похідну вихідної функції, використовуючи формулу похідної твори.

Функція і дослідження її особливостей займає одне з ключових глав в сучасній математиці. Головна складова будь-якої функції - це графіки, що зображують не тільки її властивості, але також і параметри похідною даної функції. Давайте розберемося в цій непростій темі. Отже, як краще шукати точки максимуму і мінімуму функції?

Функція: визначення

Будь-яка змінна, яка якимось чином залежить від значень іншої величини, може називатися функцією. Наприклад, функція f (x 2) є квадратичною і визначає значення для всієї множини х. Припустимо, що х \u003d 9, тоді значення нашої функції дорівнюватиме 9 2 \u003d 81.

Функції бувають самих різних видів: Логічні, векторні, логарифмічні, тригонометричні, числові та інші. Їх вивченням займалися такі видатні уми, як Лакруа, Лагранж, Лейбніц і Бернуллі. Їхні праці служать оплотом в сучасні способи вивчення функцій. Перед тим як знайти точки мінімуму, дуже важливо зрозуміти сам сенс функції і її похідної.

Похідна та її роль

Всі функції знаходяться в залежності від їх змінних величин, а це значить, що вони можуть в будь-який момент змінити своє значення. На графіку це буде зображуватися як крива, яка то опускається, то піднімається по осі ординат (це все безліч чисел "y" по вертикалі графіка). Так ось визначення точки максимуму і мінімуму функції як раз пов'язано з цими "коливаннями". Пояснимо, в чому ця взаємозв'язок.

Похідна будь-якої функції зображується на графіку з метою вивчити її основні характеристики і обчислити, як швидко змінюється функція (тобто змінює своє значення в залежності від змінної "x"). У той момент, коли функція збільшується, графік її похідної буде також зростати, але в будь-яку секунду функція може почати зменшуватися, і тоді графік похідної буде спадати. Ті точки, в яких похідна переходить зі знака мінуса на плюс, називаються точками мінімуму. Для того щоб знати, як знайти точки мінімуму, слід краще розібратися з

Як обчислювати похідну?

Визначення та функції має на увазі під собою кілька понять з Взагалі, саме визначення похідною можна виразити таким чином: це та величина, яка показує швидкість зміни функції.

Математичний спосіб її визначення для багатьох учнів здається складним, однак насправді все набагато простіше. Необхідно лише дотримуватися стандартного плану знаходження похідної будь-якої функції. Нижче описано, як можна знайти точку мінімуму функції, не застосовуючи правила диференціювання і не вивчаючи таблицю похідних.

1. Обчислити похідну функції можна за допомогою графіка. Для цього необхідно зобразити саму функцію, потім взяти на ній одну точку (точка А на рис.) Вертикально вниз провести лінію до осі абсцис (точка х 0), а в точці А провести дотичну до графіка функції. Вісь абсцис і дотична утворюють певний кут а. Для обчислення значення того, наскільки швидко зростає функція, необхідно обчислити тангенс цього кута а.
2. Виходить, що тангенс кута між дотичною і напрямком осі х є похідною функції на маленькій ділянці з точкою А. Даний метод вважається геометричним способом визначення похідної.

Способи дослідження функції

У шкільній програмі математики можливе знаходження точки мінімуму функції двома способами. Перший метод за допомогою графіка ми вже розібрали, а як же визначити чисельне значення похідної? Для цього буде потрібно вивчити кілька формул, які описують властивості похідної та допомагають перетворити змінні величини типу "х" в кількості. Наступний метод є універсальним, тому його можна застосовувати практично до всіх видів функцій (як до геометричних, так і логарифмическим).

1. Необхідно прирівняти функцію до функції похідною, а потім спростити вираз, використовуючи правила диференціювання.
2. У деяких випадках, коли дана функція, в якій змінна "х" стоїть в дільнику, необхідно визначити область допустимих значень, виключивши з неї точку "0" (з простої причини того, що в математиці ні в якому разі не можна ділити на нуль).
3. Після цього слід перетворити початковий вигляд функції в просте рівняння, прирівнявши все вираз до нуля. Наприклад, якщо функція виглядала так: f (x) \u003d 2x 3 + 38x, то за правилами диференціювання її похідна дорівнює f "(x) \u003d 3x 2 +1. Тоді перетворимо цей вислів в рівняння наступного виду: 3x 2 + 1 \u003d 0.
4. Після рішення рівняння і знаходження точок "х", слід зобразити їх на осі абсцис і визначити, чи є похідна в цих ділянках між зазначеними точками позитивною або негативною. Після позначення стане ясно, в якій точці функція починає спадати, тобто змінює знак з мінуса на протилежний. Саме таким способом можна знайти як точки мінімуму, так і максимуму.

Правила диференціювання

Найголовніша складова у вивченні функції і її похідної - це знання правил диференціювання. Тільки з їх допомогою можна перетворювати громіздкі вирази і великі складні функції. Давайте ознайомимося з ними, їх досить багато, але всі вони досить прості завдяки закономірним властивостями як статечних, так і логарифмічних функцій.

1. Похідна будь константи дорівнює нулю (f (х) \u003d 0). Тобто похідна f (х) \u003d x 5 + х - 160 прийме такий вигляд: f "(х) \u003d 5x 4 +1.
2. Похідна суми двох доданків: (f + w) "\u003d f" w + fw ".
3. Похідна логарифмічної функції: (log a d) "\u003d d / ln a * d. Ця формула може бути застосована до всіх видів логарифмів.
4. Похідна ступеня: (x n) "\u003d n * x n-1. Наприклад, (9x 2)" \u003d 9 * 2x \u003d 18x.
5. Похідна синусоїдальної функції: (sin a) "\u003d cos a. Якщо sin кута а дорівнює 0,5, то її похідна дорівнює √3 / 2.

точки екстремуму

Ми вже розібрали, як знайти точки мінімуму, проте існує поняття і точок максимуму функції. Якщо мінімум позначає ті точки, в яких функція переходить зі знака мінуса на плюс, то точками максимуму є ті точки на осі абсцис, на яких похідна функції змінюється з плюса на протилежний - мінус.

Знаходити можна по вищеописаному способу, тільки слід врахувати, що вони позначають ті ділянки, на яких функція починає спадати, тобто похідна буде менше нуля.

У математиці прийнято узагальнювати обидва поняття, замінюючи їх словосполученням "точки екстремумів". Коли в завданні просять визначити ці точки, це означає, що необхідно обчислити похідну даної функції і знайти точки мінімуму і максимуму.

Це досить-таки цікавий розділ математики, з яким стикаються абсолютно всі учні випускних класів та студенти. Проте далеко не кожному подобається матан. Деякі не можуть зрозуміти навіть елементарних речей на зразок, здавалося б, стандартного дослідження функції. Дана стаття покликана виправити подібну помилку. Хочете детальніше дізнатися про аналіз функції? Бажаєте дізнатися, що таке точки екстремуму і як їх знайти? Тоді дана стаття для вас.

Дослідження графіка функції

Для початку варто зрозуміти, навіщо взагалі необхідно аналізувати графік. Існують прості функції, накреслити які не складе труднощів. Яскравим прикладом подібної функції може служити парабола. Накреслити її графік не складе труднощів. Все що необхідно, так це за допомогою простого перетворення знайти числа, при яких функція приймає значення 0. І в принципі це все що знати для того, щоб накреслити графік параболи.

Але що робити, якщо функція, графік якої нам потрібно накреслити, набагато складніше? Оскільки властивості складних функцій досить-таки неочевидні, необхідно проводити цілий аналіз. Тільки після цього можна зобразити функцію графічно. Як же це зробити? Відповідь на це питання ви зможете знайти в даній статті.

План аналізу функції

Перше, що необхідно зробити, так це провести поверхневе дослідження функції, в ході якого ми знайдемо область визначення. Отже, почнемо по порядку. Область визначення - це сукупність тих значень, якими функція задається. Простіше кажучи, це ті числа, які можна використовувати в функції замість х. Для того щоб визначити область визначення, необхідно просто поглянути на запис. Наприклад, очевидно, що у функції у (х) \u003d х 3 + х 2 - х + 43 область визначення - безліч дійсних чисел. Ну а з функцією зразок (х 2 - 2х) / х все трохи інакше. Оскільки число в знаменнику не повинно дорівнювати 0, то областю визначення даної функції будуть всі дійсні числа, крім нуля.

Далі необхідно знайти так звані нулі функції. Це ті значення аргументу, при яких вся функція приймає значення нуль. Для цього необхідно прирівняти функцію до нуля, докладно її розглянути і зробити деякі перетворення. Візьмемо вже знайому нам функцію у (х) \u003d (х 2 - 2х) / х. Зі шкільного курсу ми знаємо, що дріб дорівнює 0 тоді, коли чисельник дорівнює нулю. Тому знаменник ми відкидаємо і починаємо працювати з чисельником, прирівнюючи його до нуля. Отримуємо х 2 - 2х \u003d 0 і виносимо х за скобочки. Звідси х (х - 2) \u003d 0. В результаті отримуємо, що наша функція дорівнює нулю тоді, коли х дорівнює 0 або ж 2.

Під час дослідження графіка функції багато стикаються з проблемою у вигляді точок екстремуму. І це дивно. Адже екстремуми - це досить-таки проста тема. Не вірите? Переконайтеся самі, прочитавши цю частину статті, в якій ми поговоримо про точках мінімуму і максимуму.

Для початку варто розібратися в тому, що собою являє екстремум. Екстремум - це граничне значення, яке досягає функція на графіку. Звідси виходить, що існує два крайніх значення - максимум і мінімум. Для наочності можна подивитися на картинку, що розташована вище. На дослідженій області точка -1 є максимумом функції у (х) \u003d х 5 - 5х, а точка 1, відповідно, мінімумом.

Також не варто плутати між собою поняття. Точки екстремуму функції - це ті аргументи, при яких задана функція набуває крайні значення. У свою чергу, екстремумів називають значення мінімумів і максимумів функції. Наприклад, знову розглянемо малюнок вище. -1 і 1 - це точки екстремуму функції, а 4 і -4 - це самі екстремуми.

Знаходження точок екстремуму

Але як все-таки знайти точки екстремуму функції? Все досить-таки просто. Перше, що необхідно зробити - знайти похідну рівняння. Припустимо, ми отримали завдання: "Знайдіть точки екстремуму функції y (x), x - аргумент. Для наочності візьмемо функцію у (х) \u003d х 3 + 2х 2 + х + 54. Проведемо диференціювання і отримаємо наступне рівняння: 3х 2 + 4х + 1. В результаті ми отримали стандартне квадратне рівняння. Все, що необхідно зробити далі - прирівняти його до нуля і знайти коріння. Оскільки дискримінант більше нуля (D \u003d 16 - 12 \u003d 4), дане рівняння визначається двома країнами. Знаходимо їх і отримуємо два значення: 1/3 і -1. Це і будуть точки екстремуму функції. Однак як все-таки визначити, хто є хто? яка точка є максимумом, а яка мінімумом? Для цього потрібно взяти сусідню точку і дізнатися її значення. наприклад , візьмемо число -2, яке знаходиться зліва по координатної прямої від -1. Підставляємо це значення в наше рівняння у (-2) \u003d 12 - 8 + 1 \u003d 5. в результаті ми отримали позитивне число. це означає, що на проміжку від 1/3 до -1 функція зростає. Це, в свою чергу, означає, що на проміжках від міну з нескінченності до 1/3 і від -1 до плюс нескінченності функція спадає. Таким чином, можна зробити висновок, що число 1/3 - точка мінімуму функції на дослідженому проміжку, а -1 - точка максимуму.

Також варто відзначити, що на ЄДІ вимагають не просто знайти точки екстремуму, Але і провести з ними якусь операцію (додати, помножити і т.д.). Саме з цієї причини варто звернути особливу увагу на умови завдання. Адже через неуважність можна втратити бали.

З даної статті читач дізнається про те, що таке екстремум функціонального значення, а також про особливості його використання в практичній діяльності. Вивчення такого концепту вкрай важливо для розуміння основ вищої математики. Ця тема є основоположною для більш глибокого вивчення курсу.

Вконтакте

Що таке екстремум?

У шкільному курсі дається безліч визначень поняття «екстремум». Дана стаття покликана дати найглибше і чітке уявлення про термін для необізнаних в питанні осіб. Отже, під терміном розуміють, наскільки функціональний проміжок набуває мінімального або максимальне значення на тому чи іншому множині.

Екстремум - це і мінімальне значення функції, і максимальне одночасно. Розрізняють точку мінімуму і точку максимуму, тобто крайні значення аргументу на графіку. Основні науки, в яких використовують даний концепт:

• статистика;
• машинне управління;
• економетрика.

Точки екстремуму грають важливу роль у визначенні послідовності заданої функції. Система координат на графіку в кращому вигляді показує зміну екстремального положення в залежності від зміни функціональності.

Екстремуми похідної функції

Має також місце таке явище, як «похідна». Вона необхідна для визначення точки екстремуму. Важливо не плутати точки мінімуму або максимуму з найбільшим і найменшим значенням. Це різні поняття, хоча можуть здатися схожими.

Значення функції є основним фактором для визначення того, як знайти точку максимуму. Похідна не утворюється від значень, а виключно від крайнього її положення в тому чи іншому його порядку.

Сама ж по собі похідна визначається на основі даних точок екстремуму, а не найбільшого або найменшого значення. У російських школах недостатньо чітко проводять межу між цими двома концептами, що впливає на розуміння даної теми взагалі.

Давайте тепер розглянемо таке поняття як «гострий екстремум». На сьогоднішній день виділяють гострий мінімум значення і гострий максимум значення. Визначення дано відповідно до російської класифікацією критичних точок функції. Концепт точки екстремуму лежить в основі знаходження критичних точок на графіку.

Для визначення такого поняття вдаються до використання теореми Ферма. Вона є найважливішою в ході вивчення крайніх точок і дає чітке уявлення про їхнє існування в тому чи іншому їх вигляді. Для забезпечення екстремальності важливо створити певні умови для зменшення або зростання на графіку.

Для точного відповісти на питання «як знайти точку максимуму», необхідно слідувати таким положенням:

1. Знаходження точної області визначення на графіку.
2. Пошук похідної функції і точки екстремуму.
3. Вирішувати стандартні нерівності на область знаходження аргументу.
4. Вміти доводити, в яких функціях точка на графіку визначена і неперервна.

Увага!Пошук критичної точки функції можливий тільки в разі існування похідною не менше другого порядку, що забезпечується високою часткою наявності точки екстремуму.

Необхідна умова екстремуму функції

Для того щоб існував екстремум, важливо, щоб були як точки мінімуму, так і точки максимуму. У разі якщо це правило дотримане лише частково, то умова існування екстремуму порушується.

Кожна функція в будь-якому положенні повинна бути Продиференціювали з метою виявлення її нових значень. Важливо розуміти, що випадок звернення точки в нуль не є основним принципом знаходження дифференцируемой точки.

Гострий екстремум, також як і мінімум функції - це вкрай важливий аспект рішення математичної задачі з використанням екстремальних значень. Для того щоб краще розуміти цю складову, важливо звернутися до табличних значень за завданням функціонала.

екстремум функціоналу

Для того щоб відшукати вищезазначене значення, необхідно дотримуватися наступних правил:

• визначити необхідна умова екстремального відносини;
• враховувати достатня умова крайніх точок на графіку;
• здійснювати розрахунок гострого екстремуму.

Використовуються також такі поняття, як слабкий мінімум і сильний мінімум. Це необхідно враховувати при визначенні екстремуму і точного його розрахунку. При цьому гострий функціонал - це пошук і створення всіх необхідних умов для роботи з графіком функції.

Розглянемо графік неперервної функції y \u003d f (x), Зображеної на малюнку.

Значення функції в точці x 1 буде більше значень функції у всіх сусідніх точках як зліва, так і праворуч від x 1. У цьому випадку говорять, що функція має в точці x 1 максимум. У точці x 3 функція, очевидно, також має максимум. Якщо розглянути точку x 2, то в ній значення функції менше всіх сусідніх значень. У цьому випадку говорять, що функція має в точці x 2 мінімум. Аналогічно для точки x 4 .

функція y \u003d f (x) в точці x 0 має максимум, Якщо значення функції в цій точці більше, ніж її значення в усіх точках деякого інтервалу, що містить точку x 0, тобто якщо існує така околиця точки x 0, що для всіх x≠x 0 , що належать цій околиці, має місце нерівність f (x)<f (x 0 ) .

функція y \u003d f (x)має мінімум в точці x 0 , якщо існує така околиця точки x 0 , що для всіх x≠x 0, що належать цій околиці, має місце нерівність f (x)>f (x 0.

Точки, в яких функція досягає максимуму і мінімуму, називаються точками екстремуму, а значення функції в цих точках екстремумами функції.

Звернемо увагу на те, що функція, певна на відрізку, може досягати максимуму і мінімуму тільки в точках, укладених усередині розглянутого відрізка.

Відмітив, що якщо функція має в точці максимум, то це не означає, що в цій точці функція має найбільше значення у всій області визначення. На малюнку, розглянутому вище, функція в точці x 1 має максимум, хоча є точки, в яких значення функції більше, ніж в точці x 1 . Зокрема, f(x 1) < f(x 4) тобто мінімум функції більше максимуму. З визначення максимуму слід тільки, що це саме велике значення функції в точках, досить блізкіхк точці максимуму.

Теорема 1. (Необхідна умова існування екстремуму.) Якщо диференційована функція y \u003d f (x)має в точці x \u003d x 0 екстремум, то її похідна в цій точці звертається в нуль.

Доведення. Нехай для визначеності в точці x 0 функція має максимум. Тоді при досить малих збільшеннях Δ x маємо f (x 0 + Δ x) 0 ) , Тобто Але тоді

Переходячи в цих нерівностях до границі при Δ x→ 0 і враховуючи, що похідна f "(x 0) існує, а отже межа, що стоїть ліворуч, не залежить від того як Δ x → 0, отримуємо: при Δ x → 0 – 0 f "(x 0) ≥ 0 а при Δ x → 0 + 0 f "(x 0) ≤ 0. Так як f "(x 0) визначає число, то ці два нерівності сумісні тільки в тому випадку, коли f "(x 0) = 0.

Доведена теорема стверджує, що точки максимуму і мінімуму можуть перебувати тільки серед тих значень аргументу, при яких похідна звертається в нуль.

Ми розглянули випадок, коли функція у всіх точках деякого відрізка має похідну. Як же йде справа в тих випадках, коли похідна не існує? Розглянемо приклади.

приклади.

1. y=|x|.

   Функція не має похідної в точці x\u003d 0 (в цій точці графік функції не має певної дотичній), але в цій точці функція має мінімум, так як y(0) \u003d 0, а при всіх x≠ 0y > 0.



Функція не має похідної при x\u003d 0, так як звертається в нескінченність при x\u003d 0. Але в цій точці функція має максимум.



Функція не має похідної при x\u003d 0, так як при x→ 0. У цій точці функція не має ні максимуму, ні мінімуму. дійсно, f (x)\u003d 0 і при x<0f (x)<0, а при x>0f (x)>0.



Таким чином, з наведених прикладів і сформульованої теореми видно, що функція може мати екстремум лише в двох випадках: 1) в точках, де похідна існує і дорівнює нулю; 2) в точці, де похідна не існує.

Однак, якщо в деякій точці x 0 ми знаємо, що f "(x 0 ) \u003d 0, то звідси не можна робити висновок, що в точці x 0 функція має екстремум.

наприклад. .



але точка x\u003d 0 не є точкою екстремуму, оскільки зліва від цієї точки значення функції розташовані нижче осі Ox, А праворуч вище.

Значення аргументу з області визначення функції, при яких похідна функції звертається в нуль або не існує, називаються критичними точками.




З усього вищесказаного випливає, що точки екстремуму функції знаходяться серед критичних точок, і, проте, не всяка критична точка є точкою екстремуму. Тому, щоб знайти екстремум функції, потрібно знайти всі критичні точки функції, а потім кожну з цих точок досліджувати окремо на максимум і мінімум. Для цього служить наступна теорема.

Теорема 2. (Достатня умова існування екстремуму.) Нехай функція неперервна на деякому інтервалі, що містить критичну точку x 0, і диференційована у всіх точках цього інтервалу (крім, можливо, самої точки x 0). Якщо при переході зліва направо через цю точку похідна змінює знак з плюса на мінус, то в точці x = x 0 функція має максимум. Якщо ж при переході через x 0 зліва направо похідна змінює знак з мінуса на плюс, то функція має в цій точці мінімум.

Таким чином, якщо

Доведення. Припустимо спочатку, що при переході через x 0 похідна змінює знак з плюса на мінус, тобто при всіх x, Близьких до точки x 0 f "(x)\u003e0 для x< x 0 , f "(x)< 0 для x\u003e x 0. Застосуємо теорему Лагранжа до різниці f (x) - f (x 0 ) \u003d F "(c) (x- x 0), де c лежить між x і x 0 .

1. нехай x< x 0. тоді c< x 0 і f "(c)\u003e0. Тому f "(c) (x- x 0)< 0і, отже,

   f (x) - f (x 0 )< 0, тобто. f (x)< f(x 0 ).

2. нехай x\u003e x 0. тоді c\u003e x 0 і f "(c)< 0. значить f "(c) (x- x 0)< 0. Тому f (x) - f (x 0 ) <0,т.е.f (x)< f (x 0 ) .

Таким чином, для всіх значень x досить близьких до x 0 f (x)< f (x 0 ) . А це означає, що в точці x 0 функція має максимум.

Аналогічно доводиться друга частина теореми про мінімум.



Проілюструємо зміст цієї теореми на малюнку. нехай f "(x 1 ) \u003d 0 і для будь-яких x,досить близьких до x 1, виконуються нерівності

f "(x)< 0 при x< x 1 , f "(x)\u003e0 при x\u003e x 1 .

Тоді зліва від точки x 1 функція зростає, а праворуч убуває, отже, при x = x 1 функція переходить від зростання до спадаючій, тобто має максимум.

Аналогічно можна розглядати точки x 2 і x 3 .


Схематично все вищесказане можна зобразити на зображенні:

Правило дослідження функції y \u003d f (x) на екстремум

1. Знайти область визначення функції f (x).
2. Знайти першу похідну функції f "(x).
3. Визначити критичні точки, для цього:
   1. знайти дійсні корені рівняння f "(x)=0;
   2. знайти всі значення x при яких похідна f "(x) не існує.
4. Визначити знак похідної ліворуч і праворуч від критичної точки. Так як знак похідної залишається постійним між двома критичними точками, то досить визначити знак похідної в якій-небудь одній точці зліва і в одній точці праворуч від критичної точки.
5. Обчислити значення функції в точках екстремуму.

приклади. Дослідити функції на мінімум і максимум.




Найбільше і найменше значення функції на відрізку

найбільшим значенням функції на відрізку називається найбільше з усіх її значень на цьому відрізку, а найменшим - найменше з усіх її значень.

Розглянемо функцію y \u003d f (x) безперервну на відрізку [ a, b]. Як відомо, така функція досягає свого найбільшого і найменшого значень, або на кордоні відрізка, або всередині нього. Якщо найбільше або найменше значення функції досягається у внутрішній точці відрізка, то це значення є максимумом або мінімумом функції, тобто досягається в критичних точках.

Таким чином, отримуємо наступне правило знаходження найбільшого і найменшого значень функції на відрізку [ a, b] :

1. Знайти всі критичні точки функції в інтервалі ( a, b) І обчислити значення функції в цих точках.
2. Обчислити значення функції на кінцях відрізка при x \u003d a, x \u003d b.
3. З усіх отриманих значень вибрати найбільше і найменше.

Сподобалася стаття? Поділися з друзями:

Facebook

Twitter

Мій світ

Вконтакте

Google+

25.08.2020

прибудинкові споруди

Найцікавіше:

Правила видалення волосся в паховій зоні у чоловіків варто голити пах чоловікам?

Новорічне лего Побудуй свій новий рік лего

Літак братів Райт. Хто ж був перший? Брати Райт: Уилбер і Орвілл Перший політ братів райт відстань