Тетраедр складається з. Властивості тетраедра, види і формули. Обчислення обсягу тетраедра, якщо відомі координати його вершин

Тетраедр - найпростіша фігура з багатокутників. Він складається з чотирьох граней, кожна з яких представляє собою рівносторонній трикутник, при цьому кожна зі сторін з'єднується з іншого всього лише однією гранню. При вивченні властивостей цієї тривимірної геометричної фігури для наочності найкраще зробити модель тетраедра з паперу.

Як склеїти тетраедр з паперу?

Для побудови простого тетраедра з паперу нам знадобиться:

• власне папір (щільна, можна використовувати картон);
• транспортир;
• лінійка;
• ножиці;
• клей;
• тетраедр з паперу, схема.

Хід роботи

• якщо папір дуже щільна, то по місцях згинів слід провести твердим предметом, наприклад, ребром лінійки;
• для того, щоб отримати різнокольоровий тетраедр, можна розфарбувати межі або виконати розгортку на аркушах кольорового паперу.

Як з паперу зробити тетраедр без склеювання?

Пропонуємо вашій увазі майстер-клас, в якому розповідається, як зібрати 6 тетраедрів з паперу в єдиний модуль за допомогою техніки орігамі.

Нам знадобиться:

• 5 пар квадратних аркушів паперу різних кольорів;
• ножиці.

Хід роботи

1. Кожен аркуш паперу ділимо на три рівні частини, розрізаємо і отримуємо смуги, співвідношення сторін в яких 1 до 3. У результаті отримуємо 30 смуг, з яких і будемо складати модуль.
2. Кладемо смугу перед собою лицьовою стороною вниз, витягнувши по горизонталі. Згинаємо навпіл, розгортаємо і підгинаємо до середини краю.

3. На дальньому правому краю згинаємо кут так, щоб зробити стрілку, повівши її на 2-3 см від краю.

4. Аналогічним чином згинаємо лівий кут (фото як з паперу зробити тетраедр 3).

5. Перегинаємо правий верхній кут маленького трикутнички, який вийшов в результаті попередньої операції. Таким чином, бічні сторони складеного краю опиняться під однаковим кутом.

6. Розгортаємо отриману складку.
7. Розгортаємо лівий куточок і за тим самим які лініях згину загортаємо кут всередину як показано на фото.

8. В правому куті згинаємо верхній край вниз таким чином, щоб він перетнувся з складкою, зробленого під час операції №3.

9. Зовнішній край ще раз загортаємо направо, використовуючи складку, виконану в результаті операції №3.
10. Попередні операції повторюємо з іншого кінця смужки, але так, щоб маленькі складочки виявилися на паралельних кінцях смужки.

11. Отриману смужку складаємо навпіл по довжині і даємо їй німого розкритися мимовільно. Точний кут розкриття стане зрозумілий потім, при остаточному складанні моделі. Елемент готовий, тепер аналогічним чином робимо ще 29.
12. Ланка перевертаємо таким чином, щоб під час збирання була видна його зовнішня сторона. З'єднуємо дві ланки, вставивши язичок в кишеньку, утворений маленьким внутрішнім кутом.

13. Сполучені ланки повинні утворювати кут в 60 ⁰, під яким будуть приєднуватися і інші ланки (фото як з паперу зробити тетраедр 13).

14. Додаємо третю ланку до другого, а друге з'єднуємо з першим. Виходить кінець фігури, на вершині якої з'єднуються всі три її ланки.

15. Аналогічним чином додаємо ще три ланки. Перший тетраедр готовий.

16. Кути у готової фігури можуть бути не зовсім однаковими, тому для більш точної підгонки слід залишати відкритими окремі кути всіх наступних тетраедрів.

17. Між собою тетраедри слід з'єднувати так, щоб кут одного проходив крізь отвір в іншому.

18. Три з'єднаних між собою тетраедра.

19. Чотири з'єднаних між собою тетраедра.

20. Модуль з п'яти тетраедрів готовий.

Якщо ви впоралися з тетраедром, можна продовжити і змайструвати

На цьому уроці ми розглянемо тетраедр і його елементи (ребро тетраедра, поверхня, межі, вершини). І вирішимо кілька завдань на побудову перетинів в тетраедра, використовуючи загальний метод для побудови перетинів.

Тема: Паралельність прямих і площин

Урок: Тетраедр. Завдання на побудову перетинів в тетраедра

Як побудувати тетраедр? Візьмемо довільний трикутник АВС. довільну точку D, Що не лежить в площині цього трикутника. Отримаємо 4 трикутника. Поверхня, утворена цими 4 трикутниками, і називається тетраедром (Рис. 1.). Внутрішні точки, обмежені цією поверхнею, також входять до складу тетраедра.

Мал. 1. Тетраедр АВСD

елементи тетраедра
А,B, C, D - вершини тетраедра.
AB, AC, AD, BC, BD, CD - ребра тетраедра.
ABC, ABD, BDC, ADC - грані тетраедра.

зауваження: можна прийняти площину АВС за підставу тетраедра, І тоді точка Dє вершиною тетраедра. Кожне ребро тетраедра є перетином двох площин. Наприклад, ребро АВ - це перетин площин АВD і АВС. Кожна вершина тетраедра - це перетин трьох площин. вершина А лежить в площинах АВС, АВD, АDЗ. Крапка А - це перетин трьох указаних площин. Цей факт записується в такий спосіб: А= АВС ∩ АВD ∩ АСD.

тетраедр визначення

Отже, тетраедр - це поверхня, утворена чотирма трикутниками.

ребро тетраедра - лінія перечесенія двох площин тетраедра.

Складіть з 6 сірників 4 рівних трикутника. На площині вирішити задачу не виходить. А в просторі це зробити легко. Візьмемо тетраедр. 6 сірників - це його ребра, чотири грані тетраедра і будуть чотирма рівними трикутниками. Завдання вирішена.

Дан тетраедр АВСD. Крапка M належить ребру тетраедра АВ, крапка N належить ребру тетраедра ВD і крапка Р належить ребру DЗ (Рис. 2.). Побудуйте перетин тетраедра площиною MNP.

Мал. 2. Малюнок до задачі 2 - Побудувати переріз тетраедра площиною

Рішення:
Розглянемо грань тетраедра DВС. У цій межі точки N і P належать грані DВС, А значить, і тетраедр. Але за умовою точки N, P належать січною площині. значить, NP - це лінія перетину двох площин: площині грані DВС і січної площини. Припустимо, що прямі NP і ВС не паралельні. Вони лежать в одній площині DВС. Знайдемо точку перетину прямих NP і ВС. позначимо її Е(Рис. 3.).

Мал. 3. Малюнок до задачі 2. Знаходження точки Е

Крапка Е належить площині перетину MNP, Так як вона лежить на прямій NР, А пряма NР цілком лежить в площині перетину MNP.

також точка Е лежить в площині АВС, Тому що вона лежить на прямій ВС з площини АВС.

Отримуємо, що ЕМ - лінія перетину площин АВС і MNP,так як точки Е і М лежать одночасно в двох площинах - АВС і MNP.з'єднаємо точки М і Е, І продовжимо пряму ЕМ до перетину з прямою АС. Точку перетину прямих ЕМ і АС позначимо Q.

Отже, в цьому випадку NPQМ - шукане перетин.

Мал. 4. Малюнок до задачі 2.Решеніе завдання 2

Розглянемо тепер випадок, коли NP паралельна BC. якщо пряма NP паралельна який-небудь прямий, наприклад, прямий ВС з площини АВС, То пряма NP паралельна всій площині АВС.

Шукана площину перетину проходить через пряму NP, Паралельну площині АВС, І перетинає площину по прямій МQ. Значить, лінія перетину МQ паралельна прямій NP. отримуємо, NPQМ - шукане перетин.

Крапка М лежить на бічній грані АDВ тетраедра АВСD. Побудуйте перетин тетраедра площиною, що проходить через точку М паралельно підставі АВС.

Мал. 5. Малюнок до задачі 3 Побудувати переріз тетраедра площиною

Рішення:
січна площина φ паралельна площині АВС за умовою, значить, ця площина φ паралельна прямим АВ, АС, ВС.
У площині АВD через точку М проведемо пряму PQ паралельно АВ(Рис. 5). пряма PQ лежить в площині АВD. Аналогічно в площині АСD через точку Р проведемо пряму РR паралельно АС. отримали точку R. Дві пересічні прямі PQ і РR площині РQR відповідно паралельні двом пересічним прямим АВ і АС площині АВС, Значить, площини АВС і РQR паралельні. РQR - шукане перетин. Завдання вирішена.

Дан тетраедр АВСD. Крапка М - точка внутрішня, точка межі тетраедра АВD. N - внутрішня точка відрізка DЗ(Рис. 6.). Побудувати точку перетину прямої NM і площини АВС.

Мал. 6. Малюнок до задачі 4

Рішення:
Для вирішення побудуємо допоміжну площину DМN. нехай пряма DМ перетинає пряму АВ в точці До (Рис. 7.). тоді, СКD - це перетин площині DМN і тетраедра. У площині DМN лежить і пряма NM, І отримана пряма СК. Значить, якщо NM не паралельна СК, То вони перетнуться в деякій точці Р. Крапка Р і буде шукана точка перетину прямої NM і площини АВС.

Мал. 7. Малюнок до задачі 4. Рішення завдання 4

Дан тетраедр АВСD. М - внутрішня точка межі АВD. Р - внутрішня точка межі АВС. N - внутрішня точка ребра DЗ(Рис. 8.). Побудувати переріз тетраедра площиною, що проходить через точки М, N і Р.

Мал. 8. Малюнок до задачі 5 Побудувати переріз тетраедра площиною

Рішення:
Розглянемо перший випадок, коли пряма MN не паралельна площині АВС. У минулій задачі ми знайшли точку перетину прямої MN і площини АВС. це точка До, Вона отримана за допомогою допоміжної площини DМN, Тобто ми проводимо DМ і отримуємо точку F. проводимо СF і на перетині MN отримуємо точку До.

Мал. 9. Малюнок до задачі 5. Знаходження точки К

проведемо пряму КР. пряма КР лежить і в площині перетину, і в площині АВС. отримуємо точки Р 1 і Р 2. з'єднуємо Р 1 і М і на продовженні отримуємо точку М 1. з'єднуємо точку Р 2 і N. В результаті отримуємо шукане перетин Р 1 Р 2 NМ 1. Завдання в першому випадку вирішена.
Розглянемо другий випадок, коли пряма MN паралельна площині АВС. площина МNРпроходить через пряму МN паралельну площині АВС і перетинає площину АВС по деякій прямій Р 1 Р 2, Тоді пряма Р 1 Р 2паралельна даній прямій MN (Рис. 10.).

Мал. 10. Малюнок до задачі 5. Шукалося перетин

Тепер проведемо пряму Р 1 М і отримаємо точку М 1. Р 1 Р 2 NМ 1 - шукане перетин.

Отже, ми розглянули тетраедр, вирішили деякі типові завдання на тетраедр. На наступному уроці ми розглянемо паралелепіпед.

1. І. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-е видання, виправлене і доповнене - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с. : Ил. Геометрія. 10-11 клас: підручник для учнів загальноосвітніх установ (базовий і профільний рівні)

2. Шаригін І. Ф. - М .: Дрофа, 1999. - 208 с .: іл. Геометрія. 10-11 клас: Підручник для загальноосвітніх навчальних закладів

3. Е. В. Потоскуев, Л. І. Зваліч. - 6-е видання, стереотип. - М.: Дрофа, 008. - 233 с. : Ил. Геометрія. 10 клас: Підручник для загальноосвітніх установ з поглибленим і профільним вивченням математики

Додаткові веб-ресурси

2. Як побудувати перетин тетраедра. Математика ().

3. Фестиваль педагогічних ідей ().

Зроби будинку завдання по темі "Тетраедр", як знаходити ребро тетраедра, межі тетраедра, вершини і поверхню тетраедра

1. Геометрія. 10-11 клас: підручник для учнів загальноосвітніх установ (базовий і профільний рівні) І. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-е видання, виправлене і доповнене - М .: Мнемозина, 2008. - 288 с .: іл. Завдання 18, 19, 20 стр. 50

2. Точка Е середина ребра МА тетраедра МАВС. Побудуйте перетин тетраедра площиною, що проходить через точки В, С і Е.

3. У тетраедра МАВС точка М належить межі АМВ, точка Р - межі ВМС, точка К - ребру АС. Побудуйте перетин тетраедра площиною, що проходить через точки М, Р, К.

4. Які фігури можуть вийти в результаті перетину площиною тетраедра?

ТЕКСТОВА Розшифровка УРОКУ:

Добридень! Ми продовжуємо з вами вивчати тему: «Паралельність прямих і площин».

Я думаю, вже зрозуміло, що сьогодні мова піде про многогранніках- поверхнях геометричних тіл, складених з багатокутників.

А саме про тетраедра.

Проводити вивчення багатогранників будемо за планом:

1. визначення тетраедра

2. елементи тетраедра

3. розгортка тетраедра

4. зображення на площині

1. побудуємо трикутник АBC

2. точка D, що не лежить в площині цього трикутника

3. з'єднуємо точку D відрізками з вершинами трикутника ABC. Отримаємо трикутники DAB, DBC і DCA.

Визначення: Поверхня складена з чотирьох трикутників АBC, DAB, DBC і DCA називається тетраедром.

Позначення: DABC.

елементи тетраедра

Трикутники, з яких складається тетраедр, називаються гранями, їх сторони ребрами, а вершини - вершинами тетраедра.

Скільки граней, ребер і вершин має тетраедр?

Тетраедр має чотири грані, шість ребер і чотири вершини

Два ребра тетраедра, що не мають спільних вершин, називаються протилежними.

На малюнку протилежними є ребра AD і BC, BD і AC, CD і AB

Іноді виділяють одну з граней тетраедра і називають її підставою, а три інші - бічними гранями.

Розгортка тетраедра.

Для виготовлення тетраедра з паперу вам буде потрібно наступна розгортка,

її потрібно перенести на щільний папір, вирізати, зігнути по пунктирних лініях і склеїти.

На площині тетраедр зображується

У вигляді опуклого або неопуклого чотирикутника з діагоналями. При цьому штриховими лініями зображаються невидимі ребра.

На першому малюнку AC- невидиме ребро,

на другому - EK, LK і KF.

Вирішимо кілька типових задач на тетраедр:

Знайти площу розгортки правильного тетраедра з ребром 5 см.

Рішення. Накреслимо розгортку тетраедра

(На екрані з'являється розгортка тетраедра)

Даний тетраедр складається з чотирьох рівносторонніх трикутників, отже, площа розгортки правильного тетраедра дорівнює площі повної поверхні тетраедра або площі чотирьох правильних трикутників.

Площа правильного трикутника шукаємо за формулою:

Тоді отримуємо площа тетраедра дорівнює:

Підставами в формулу довжину ребра а \u003d 5 см,

виходить

Відповідь: Площа розгортки правильного тетраедра

Побудуйте перетин тетраедра площиною проходить через точки M, N і K.

а) Дійсно, з'єднаємо точки M і N (належать межі ADC), точки M і K (належать грані ADB), точки N і K (межі DBC). Перетином тетраедра є трикутник MKN.

б) З'єднаємо точки M і K (належать грані ADB), точки K і N (належать межі DCB), далі прямі MK і AB продовжити до перетину і поставити крапку P. Пряма PN і точка T лежать в одній площині АВС і тепер можна побудувати перетин прямої МК з кожною гранню. В результаті виходить чотирикутник MKNT, який є шуканим перетином.

Тетраедр, або трикутна піраміда, - найпростіший з багатогранників, подібно до того як трикутник - найпростіший з багатокутників на площині. Слово «тетраедр» утворено з двох грецьких слів: tetra - «чотири» і hedra - «підстава», «грань». Тетраедр задається чотирма своїми вершинами - точками, що не лежать в одній площині; грані тетраедра - чотири трикутники; ребер у тетраедра шість. На відміну від довільної -угольной піраміди (при) в якості підстави тетраедра може бути обрана будь-яка його грань.

Багато властивостей тетраедрів схожі з відповідними властивостями трикутників. Зокрема, 6 площин, проведених через середини ребер тетраедра перпендикулярно до них, перетинаються в одній точці. У цій же точці перетинаються і 4 прямі, проведені через центри описаних близько граней кіл перпендикулярно до площин граней, і є центром описаного навколо тетраедра сфери (рис. 1). Аналогічно 6 биссекторной напівплощин тетраедра, т. Е. Напівплощин, що поділяють двогранні кути при ребрах тетраедра навпіл, теж перетинаються в одній точці - в центрі вписаною в тетраедр сфери - сфери, що стосується всіх чотирьох граней тетраедра. Будь-трикутник має, до того ж до вписаною, ще 3 вневпісанних кіл (див. Трикутник), а ось тетраедр може мати будь-яке число - від 4 до 7 - вневпісанних сфер, тобто сфер, що стосуються площин всіх чотирьох граней тетраедра. Завжди існують 4 сфери, вписані в усічені тригранні кути, один з яких показаний на рис. 2, праворуч. Ще 3 сфери можуть бути вписані (не завжди!) В усічені двогранні кути при ребрах тетраедра - один з них показаний на рис. 2, зліва.

Для тетраедра існує ще одна можливість його взаємного розташування зі сферою - дотик з деякою сферою усіма своїми ребрами (рис. 3). Така сфера - іноді її називають «полувпісанной» - існує лише в тому випадку, коли суми довжин протилежних ребер тетраедра рівні: (рис. 3).

Для будь-якого тетраедра справедливий аналог теореми про перетин медіан трикутника в одній точці. Саме, 6 площин, проведених через ребра тетраедра і середини протилежних ребер, перетинаються в одній точці - в центр ваги тетраедра (рис. 4). Через центр ваги проходять також 3 «середні лінії» - відрізки, що з'єднують середини трьох пар протилежних ребер, причому вони діляться точкою навпіл. Нарешті, через проходять і 4 «медіани» тетраедра - відрізки, що з'єднують вершини з центроїдами протилежних граней, причому вони діляться в точці відносно 3: 1, рахуючи від вершин.

Найважливіша властивість трикутника - рівність (або) - розумного «тетраедричного» аналога не має: сума всіх 6 двогранні кутів тетраедра може приймати будь-яке значення між і. (Звичайно, сума всіх 12 плоских кутів тетраедра - по 3 при кожній вершині - не залежить від тетраедра і дорівнює.)

Трикутники прийнято класифікувати за ступенем їх симетричності: правильні або рівносторонній трикутники мають три осі симетрії, рівнобедрені - одну. Класифікація тетраедрів за ступенем симетричності багатшими. Самий симетричний тетраедр - правильний, обмежений чотирма правильними трикутниками. Він має 6 площин симетрії - вони проходять через кожне ребро перпендикулярно протилежного ребру - і 3 осі симетрії, що проходять через середини протилежних ребер (рис. 5). Менш симетричні правильні трикутні піраміди (3 площині симетрії, рис. 6) і равногранного тетраєдри (тобто тетраєдри з рівними гранями - 3 осі симетрії, рис. 7).

правильний тетраедр. Складено з чотирьох рівносторонніх трикутників. Кожна його вершина є вершиною трьох трикутників. Отже, сума плоских кутів при кожній вершині дорівнює 180 ?. Мал. 1.

Картинка 4 из презентації «Багатогранник 2» до уроків геометрії на тему «Правильний багатогранник»

Розміри: 445 х 487 пікселів, формат: jpg. Щоб безкоштовно завантажити картинку для уроку геометрії, клацніть по зображенню правою кнопкою мишки і натисніть «Зберегти зображення як ...». Для показу картинок на уроці Ви також можете безкоштовно скачати презентацію «Багатогранник 2.ppt» цілком з усіма картинками в zip-архіві. Розмір архіву - 197 КБ.

завантажити презентацію

правильний багатогранник

«Доказ теореми Піфагора» - Доказ Евкліда. Доведення теореми. Алгебраїчне доказ. Геометричне доказ. Значення теореми Піфагора. Розглянемо квадрат, показаний на малюнку. І нині теорема Піфагора Верна, як і в його далекий століття. Формулювання теореми. Теорема Піфагора - це одна з найважливіших теорем геометрії.

«Правильні багатогранники» - Правильний октаедр. Правильний додекаедр. Кристал сурьменістого сірчанокислого натрію має форму тетраедра. Назви багатогранників. Кристали кухонної солі (NaCl) мають форму куба. Правильний ікосаедр складений із двадцяти рівносторонніх трикутників. Правильний тетраедр складений з чотирьох рівносторонніх трикутників.

«Історія геометрії» - VI століття до нашої ери. В геометрії багато формул, фігур, теорем, задач, аксіом. Середньовіччя. Фалес запропонував спосіб визначення відстані до корабля на морі. Стародавній Єгипет. В цілому творіння Евкліда велично. Фалес обчислив висоту єгипетської піраміди Хеопса по довжині відкидаємо тіні. В геометрії Любачівського сума кутів трикутника менше 180 °, в ній немає подібних фігур.

«Кут між векторами» - Розглянемо напрямні прямих D1B і CB1. Знайти кут між прямими ВD і CD1. Косинус кута між векторами. Знайдемо координати векторів DD1 і MN. Скалярний добуток векторів. Як знаходять відстань між точками? Кут між векторами. Обчислення кутів між прямими і площинами. Спрямовує вектор прямої.

«Геометрія Лобачевського» - На малюнку букви розташовані паралельно (стоять прямо) чи ні? Неевклидова геометрія єдино правильна? Ріманова геометрія отримала свою назву на ім'я Б.Ріман, який заклав її основи в 1854. Наука ніколи не буде стояти на місці. На малюнку зображена спіраль або кілька кіл?

«Рівнобедрений трикутник» - Бічна сторона. BD - медіана. Висота. Підстава. Рівнобедрений трикутник. Висота рівнобедреного трикутника, проведена до основи, є медіаною і бісектрисою. АВ і ВС - бічні сторони. У трикутник кути при основі рівні. BD - висота. ВD - бісектриса. Трикутник, усі сторони якого рівні, називається рівностороннім.

Всього в темі 15 презентацій