Розв'язувати системи. Системи рівнянь - початкові відомості. Спосіб додавання або віднімання
Вирішити систему рівнянь - це значить, знайти спільні рішення для всіх рівнянь системи або переконатися, що рішення немає.
Щоб вирішити систему рівнянь, потрібно виключити одне невідоме, тобто з двох рівнянь з двома невідомими скласти одне рівняння з одним невідомим. Виключити одне з невідомих можна трьома способами: підстановкою, порівнянням, складанням або вирахуванням.
спосіб підстановки
Щоб вирішити систему рівнянь способом підстановки, потрібно в одному з рівнянь висловити одне невідоме через інше і результат підставити в інше рівняння, яке після цього буде містити тільки одне невідоме. Потім знаходимо значення цього невідомого і підставляємо його в перше рівняння, після цього знаходимо значення другого невідомого.
Розглянемо рішення системи рівнянь:
Вирішуємо отримане рівняння, щоб знайти, чому дорівнює y. Як вирішувати рівняння з одним невідомим, ви можете подивитися у відповідній темі.
| 3(2 + 4y) - 2y = 16 |
| 6 + 12y - 2y = 16 |
| 6 + 10y = 16 |
| 10y = 16 - 6 |
| 10y = 10 |
| y = 10: 10 |
| y = 1 |
Ми визначили що y \u003d 1. Тепер, для знаходження чисельного значення x, Підставимо значення y в перетворене перше рівняння, де ми раніше знайшли, яким висловом дорівнює x:
x = 2 + 4y \u003d 2 + 4 · 1 \u003d 2 + 4 \u003d 6
відповідь: x = 6, y = 1.
спосіб порівняння
Спосіб порівняння - це окремий випадок підстановки. Щоб вирішити систему рівнянь способом порівняння, потрібно в обох рівняннях знайти, яким висловом дорівнюватиме один і той же невідоме і прирівняти отримані вирази один до одного. Вийшло в результаті рівняння дозволяє дізнатися значення одного невідомого. За допомогою цього значення потім обчислюється значення другого невідомого.
Наприклад, для рішення системи:
Складаємо з отриманих виразів рівняння:
Тепер підставляємо значення x в перше або друге рівняння системи і знаходимо значення y:
відповідь: x = 6, y = 1.
Спосіб додавання або віднімання
Щоб вирішити систему рівнянь способом додавання, потрібно скласти з двох рівнянь одне, склавши ліві і праві частини, при цьому одне з невідомих повинно бути виключено з отриманого рівняння. Невідоме можна виключити, зрівнявши при ньому коефіцієнти в обох рівняннях.
Розглянемо систему:
Тепер складемо по частинах обидва рівняння, щоб отримати рівняння з одним невідомим:
Тепер віднімемо по частинах друге рівняння з першого, щоб отримати рівняння з одним невідомим:
відповідь: x = 6, y = 1.
Для вирішення системи рівнянь, розглянутої вище, був використаний метод складання, який заснований на наступному властивості:
Будь-яке рівняння системи можна замінити на рівняння, що отримується шляхом додавання (або віднімання) рівнянь, що входять в систему. При цьому виходить система рівнянь, що має ті ж рішення, що і вихідна.
Матеріал цієї статті призначений для першого знайомства з системами рівнянь. Тут ми введемо визначення системи рівнянь і її рішень, а також розглянемо найбільш часто зустрічаються види систем рівнянь. Зазвичай будемо приводити пояснюють приклади.
Навігація по сторінці.
Що таке система рівнянь?
До визначення системи рівнянь будемо підбиратися поступово. Спочатку лише скажемо, що його зручно дати, вказавши два моменти: по-перше, вид запису, і, по-друге, вкладений в цю запис сенс. Зупинимося на них по черзі, а потім узагальнимо міркування в визначення систем рівнянь.
Нехай перед нами кілька якихось. Для прикладу візьмемо два рівняння 2 · x + y \u003d -3 і x \u003d 5. Запишемо їх одне під іншим і об'єднаємо зліва фігурною дужкою:
Записи подібного виду, що представляють собою кілька розташованих в стовпчик рівнянь і об'єднаних зліва фігурною дужкою, є записами систем рівнянь.
Що ж означають такі записи? Вони задають безліч всіх таких рішень рівнянь системи, які є рішенням кожного рівняння.
Не завадить описати це іншими словами. Припустимо, якісь рішення першого рівняння є рішеннями і всіх інших рівнянь системи. Так ось запис системи якраз їх і позначає.
Тепер ми готові гідно сприйняти визначення системи рівнянь.
Визначення.
системами рівнянь називають записи, які становлять розташовані один під одним рівняння, об'єднані зліва фігурною дужкою, які позначають безліч всіх рішень рівнянь, які одночасно є рішеннями кожного рівняння системи.
Аналогічне визначення наведене в підручнику, проте там воно дано не для загального випадку, а для двох раціональних рівнянь з двома змінними.
Основні види
Зрозуміло, що різноманітних рівнянь нескінченно багато. Природно, і складених з їх використанням систем рівнянь також нескінченно багато. Тому, для зручності вивчення і роботи з системами рівнянь є сенс їх розділити на групи за схожими характеристиками, а далі перейти до розгляду систем рівнянь окремих видів.
Перший підрозділ напрошується по числу рівнянь, що входять в систему. Якщо рівнянь два, то можна сказати, що перед нами система двох рівнянь, якщо три - то система трьох рівнянь, і т.д. Зрозуміло, що не має сенсу говорити про систему одного рівняння, так як в цьому випадку по суті ми маємо справу з самим рівнянням, а не з системою.
Наступний розподіл базується на кількості змінних, що беруть участь у записі рівнянь системи. Якщо змінна одна, то ми маємо справу з системою рівнянь з однією змінною (ще говорять з однієї невідомої), якщо дві - то з системою рівнянь з двома змінними (з двома невідомими), і т.д. наприклад, 
- це система рівнянь з двома змінними x і y.
При цьому мається на увазі число всіх різних змінних, що беруть участь у записі. Вони не обов'язково повинні все відразу входити в запис кожного рівняння, досить їх наявності хоча б в одному рівнянні. Наприклад, 
- це система рівнянь з трьома змінними x, y і z. У першому рівняння змінна x присутній явно, а y і z - неявно (можна вважати, що ці змінні мають нуль), а в другому рівнянні є x і z, а змінна y явно не представлена. Іншими словами, перше рівняння можна розглядати як 
, А друге - як x + 0 · y-3 · z \u003d 0.
Третій момент, в якому розрізняються системи рівнянь, це вид самих рівнянь.
У школі вивчення систем рівнянь починається з систем двох лінійних рівнянь з двома змінними . Тобто, такі системи становлять два лінійних рівняння. Ось пара прикладів: 
і 
. На них і пізнаються ази роботи з системами рівнянь.
При вирішенні більш складних завдань можна зіткнутися і з системами трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими.
Далі в 9 класі в системи двох рівнянь з двома змінними додаються нелінійні рівняння, здебільшого цілі рівняння другого ступеня, рідше - більш високих ступенів. Ці системи називають системами нелінійних рівнянь, при необхідності уточнюють число рівнянь і невідомих. Покажемо приклади таких систем нелінійних рівнянь: 
і.
А далі в системах зустрічаються і, наприклад,. Їх зазвичай називають просто системами рівнянь, не уточнюючи, які саме рівнянь. Тут варто зауважити, що найбільш часто про систему рівнянь кажуть просто «система рівнянь», а уточнення додають лише при необхідності.
У старших класах у міру вивчення матеріалу в системи проникають ірраціональні, тригонометричні, логарифмічні і показникові рівняння: 
, 
, 
.
Якщо заглянути ще далі в програму перших курсів ВНЗ, то основний упор зроблений на дослідження і рішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР), тобто, рівнянь, в лівих частинах яких многочлени першого ступеня, а в правих - деякі числа. Але там, на відміну від школи, вже беруться не два лінійних рівняння з двома змінними, а довільне число рівнянь з довільним числом змінних, часто не збігається з числом рівнянь.
Що називається рішенням системи рівнянь?
До систем рівнянь безпосередньо відноситься термін «рішення системи рівнянь». У школі дається визначення рішення системи рівнянь з двома змінними :
Визначення.
Рішенням системи рівнянь з двома змінними називається пара значень цих змінних, звертає кожне рівняння системи в вірне, іншими словами, що є рішенням кожного рівняння системи.
Наприклад, пара значень змінних x \u003d 5, y \u003d 2 (її можна записати як (5, 2)) є рішенням системи рівнянь за визначенням, так як рівняння системи при підстановці в них x \u003d 5, y \u003d 2 звертаються в вірні числові рівності 5 + 2 \u003d 7 і 5-2 \u003d 3 відповідно. А ось пара значень x \u003d 3, y \u003d 0 не є вирішенням цієї системи, так як при підстановці цих значень в рівняння, перше з них звернеться в невірне рівність 3 + 0 \u003d 7.
Аналогічні визначення можна сформулювати і для систем з однією змінною, а також для систем з трьома, чотирма і т.д. змінними.
Визначення.
Рішенням системи рівнянь з однією змінною буде значення змінної, що є коренем усіх рівнянь системи, тобто, що звертає всі рівняння в вірні числові рівності.
Наведемо приклад. Розглянемо систему рівнянь з однією змінною t виду 
. Число -2 є її рішенням, так як і (-2) 2 \u003d 4, і 5 · (-2 + 2) \u003d 0 - вірні числові рівності. А t \u003d 1 - не є рішенням системи, так як підстановка цього значення дасть два невірних рівності 1 2 \u003d 4 і 5 · (1 + 2) \u003d 0.
Визначення.
Рішенням системи з трьома, чотирма і т.д. змінними називається трійка, четвірка і т.д. значень змінних відповідно, звертає в вірні рівності все рівняння системи.
Так за визначенням трійка значень змінних x \u003d 1, y \u003d 2, z \u003d 0 - рішення системи 
, Так як 2 · 1 \u003d 2, 5 · 2 \u003d 10 і 1 + 2 + 0 \u003d 3 - вірні числові рівності. А (1, 0, 5) не є вирішенням цієї системи, так як при підстановці цих значень змінних в рівняння системи друге з них звертається в невірне рівність 5 · 0 \u003d 10, так і третє теж 1 + 0 + 5 \u003d 3.
Зауважимо, що системи рівнянь можуть не мати рішень, можуть мати кінцеве число рішень, наприклад, одне, два, ..., а можуть мати нескінченно багато рішень. У цьому Ви переконаєтесь у міру поглиблення в тему.
З огляду на визначення системи рівнянь і їх рішень можна зробити висновок, що рішення системи рівнянь являє собою перетин множин рішень всіх її рівнянь.
На закінчення наведемо кілька пов'язаних визначень:
Визначення.
несумісною, Якщо вона не має рішень, в іншому випадку система називається спільної.
Визначення.
Система рівнянь називається невизначеною, Якщо вона має нескінченно багато рішень, і певної, Якщо має кінцеве число рішень, або не має їх взагалі.
Ці терміни вводяться, наприклад, в підручнику, проте в школі застосовуються досить рідко, частіше їх можна почути в вищих навчальних закладах.
Список літератури.
- алгебра: навч. для 7 кл. загальноосвіт. установ / [Ю. Н. Макаричєв, Н. Г. Миндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; під ред. С. А. Теляковского. - 17-е изд. - М.: Просвещение, 2008. - 240 с. : Ил. - ISBN 978-5-09-019315-3.
- алгебра: 9 клас: навч. для загальноосвіт. установ / [Ю. Н. Макаричєв, Н. Г. Миндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; під ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М.: Просвещение, 2009. - 271 с. : Ил. - ISBN 978-5-09-021134-5.
- Мордкович А. Г. Алгебра. 7 клас. У 2 ч. Ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ / А. Г. Мордкович. - 17-е изд., Доп. - М .: Мнемозина, 2013. - 175 с .: іл. ISBN 978-5-346-02432-3.
- Мордкович А. Г. Алгебра. 9 клас. У 2 ч. Ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 13-е изд., Стер. - М .: Мнемозина, 2011. - 222 с .: іл. ISBN 978-5-346-01752-3.
- Мордкович А. Г. Алгебра і початки математичного аналізу. 11 клас. У 2 ч. Ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ (профільний рівень) / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 2-е изд., Стер. - М .: Мнемозина, 2008. - 287 с .: іл. ISBN 978-5-346-01027-2.
- алгебра і початки аналізу: Учеб. для 10-11 кл. загальноосвіт. установ / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудніцин і ін .; Під ред. А. Н. Колмогорова.- 14-е вид.- М .: Просвещение, 2004. 384 с .: іл.- ISBN 5-09-013651-3.
- А. Г. Курош. Курс вищої алгебри.
- Ільїн В. А., Позняк Е. Г. Аналітична геометрія: Учеб .: Для вузів. - 5-е изд. - М .: Наука. Фізматліт, 1999. - 224 с. - (Курс вищої математики і мат. Фізики). - ISBN 5-02-015234 - X (вип. 3)
Лінійні рівняння з двома змінними
У школяра є 200 рублів, щоб пообідати в школі. Тістечко коштує 25 рублів, а чашка кави 10 рублів. Скільки тістечок і чашок кави можна накупити на 200 рублів?
Позначимо кількість тістечок через x , А кількість чашок кави через y . Тоді вартість тістечок буде позначатися через вираз 25 x , А вартість чашок кави через 10 y .
25x -вартість xтістечок
10y -вартість yчашок кави
Підсумкова сума повинна дорівнювати 200 рублів. Тоді вийде рівняння з двома змінними x і y
25x+ 10y= 200
Скільки коренів має дане рівняння?
Все залежить від апетиту школяра. Якщо він купить 6 тістечок і 5 чашок кави, то корінням рівняння будуть числа 6 і 5.
Кажуть, що пара значень 6 і 5 є корінням рівняння 25 x+ 10y\u003d 200. Записується як (6; 5), при цьому перше число є значенням змінної x , А друге - значенням змінної y .
6 і 5 не єдині коріння, які звертають рівняння 25 x+ 10y\u003d 200 в тотожність. При бажанні на ті ж 200 рублів школяр може купити 4 тістечка і 10 чашок кави:
В цьому випадку корінням рівняння 25 x+ 10y\u003d 200 є пара значень (4; 10).
Більш того, школяр може взагалі не купувати каву, а купити тістечка на все 200 рублів. Тоді корінням рівняння 25 x+ 10y\u003d 200 будуть значення 8 і 0
Або навпаки, не купувати тістечка, а купити кави на всі 200 рублів. Тоді корінням рівняння 25 x+ 10y\u003d 200 будуть значення 0 і 20
Спробуємо перерахувати всі можливі коріння рівняння 25 x+ 10y\u003d 200. Домовимося, що значення x і y належать множині цілих чисел. І нехай ці значення будуть більшими або рівними нулю:
x∈ Z, y∈ Z;
x ≥0, Y ≥0
Так буде зручно і самому школяреві. Тістечка зручніше купувати цілими, ніж наприклад кілька цілих тістечок і половину тістечка. Кава також зручніше брати цілими чашками, ніж наприклад кілька цілих чашок і половину чашки.
Зауважимо, що при непарному x неможливо досягти рівності ні при якому y . тоді значеннями x будуть наступні числа 0, 2, 4, 6, 8. А знаючи x можна без зусиль визначити y
Таким чином, ми отримали наступні пари значень (0; 20), (2; 15), (4; 10), (6; 5), (8; 0). Ці пари є рішеннями або корінням рівняння 25 x+ 10y\u003d 200 .Вони звертають дане рівняння в тотожність.
рівняння виду ax + by \u003d c називають лінійним рівнянням з двома змінними. Рішенням або корінням цього рівняння називають пару значень ( x; y ), Яка звертає його в тотожність.
Відзначимо також, що якщо лінійне рівняння з двома змінними записано у вигляді ax + b y \u003d c, то кажуть, що воно записано в канонічному (Нормальному) вигляді.
Деякі лінійні рівняння з двома змінними можуть бути приведені до канонічного вигляду.
Наприклад, рівняння 2(16x+ 3y -4) = 2(12 + 8x − y) можна привести до виду ax + by \u003d c . Розкриємо дужки в обох частинах цього рівняння, отримаємо 32x + 6y − 8 = 24 + 16x − 2y . Складові, що містять невідомі згрупуємо в лівій частині рівняння, а складові вільні від невідомих - в правій. тоді отримаємо 32x -16x+ 6y+ 2y = 24 + 8 . Наведемо подібні доданки в обох частинах, отримаємо рівняння 16 x+ 8y\u003d 32. Це рівняння приведено до виду ax + by \u003d c і є канонічним.
Розглянуте раніше рівняння 25 x+ 10y\u003d 200 також є лінійним рівнянням з двома змінними в канонічному вигляді. У цьому рівнянні параметри a , b і c дорівнюють значенням 25, 10 і 200 відповідно.
Насправді рівняння ax + by \u003d c має незліченну кількість рішень. вирішуючи рівняння 25x+ 10y= 200, ми шукали його коріння толькона множині цілих чисел. В результаті отримали кілька пар значень, які звертали дане рівняння в тотожність. Але на безлічі раціональних чисел рівняння 25 x+ 10y\u003d 200 буде мати безліч рішень.
Для отримання нових пар значень, потрібно взяти довільне значення для x , Потім висловити y . Наприклад, візьмемо для змінної x значення 7. Тоді отримаємо рівняння з однією змінною 25 × 7 + 10y= 200 в якому можна висловити y
нехай x \u003d 15. тоді рівняння 25x+ 10y\u003d 200 набуде вигляду 25 × 15 + 10y= 200. Звідси знаходимо, що y = −17,5
нехай x \u003d -3. тоді рівняння 25x+ 10y\u003d 200 набуде вигляду 25 × (-3) + 10y= 200. Звідси знаходимо, що y = −27,5
Система двох лінійних рівнянь з двома змінними
для рівняння ax + by \u003d c можна скільки завгодно раз брати довільні значення для x і знаходити значення для y . Окремо взяте таке рівняння матиме безліч рішень.
Але буває і так, що змінні x і y пов'язані не одним, а двома рівняннями. У цьому випадку вони утворюють так звану систему лінійних рівнянь з двома змінними. Така система рівнянь може мати одну пару значень (або по-іншому: «одне рішення»).
Може трапитися і так, що система зовсім не має рішень. Сила-силенна рішень система лінійних рівнянь може мати в рідкісних і у виняткових випадках.
Два лінійних рівняння утворюють систему тоді, коли значення x і y входять в кожне з цих рівнянь.
Повернемося до найпершого рівняння 25 x+ 10y\u003d 200. Однією з пар значень для цього рівняння була пара (6; 5). Це випадок, коли на 200 рублів можна можна було купити 6 тістечок і 5 чашок кави.
Складемо задачу так, щоб пара (6; 5) стала єдиним рішенням для рівняння 25 x+ 10y\u003d 200. Для цього складемо ще одне рівняння, яке пов'язувало б ті ж x тістечок і y чашок кави.
Поставимо текст завдання наступним чином:
«Школяр купив на 200 рублів кілька тістечок і кілька чашок кави. Тістечко коштує 25 рублів, а чашка кави 10 рублів. Скільки тістечок і чашок кави купив школяр, якщо відомо що кількість тістечок на одну одиницю більше кількості чашок кави? »
Перше рівняння у нас вже є. Це рівняння 25 x+ 10y\u003d 200. Тепер складемо рівняння до умови «Кількість тістечок на одну одиницю більше кількості чашок кави» .
Кількість тістечок це x , А кількість чашок кави це y . Можна записати цю фразу за допомогою рівняння x - y \u003d 1. Це рівняння буде означати, що різниця між тістечками і кавою становить 1.
x \u003d y + 1. Це рівняння означає, що кількість тістечок на одиницю більше, ніж кількість чашок кави. Тому для отримання рівності, до кількості чашок кави додана одиниця. Це легко можна зрозуміти, якщо скористатися моделлю ваг, які ми розглядали при вивченні найпростіших завдань:
Отримали два рівняння: 25 x+ 10y\u003d 200 і x \u003d y + 1. Оскільки значення x і y , А саме 6 і 5 входять в кожне з цих рівнянь, то разом вони утворюють систему. Запишемо цю систему. Якщо рівняння утворюють систему, то вони обрамляются знаком системи. Знак системи це фігурна дужка:
Давайте вирішимо цю систему. Це дозволить побачити, як ми прийдемо до значень 6 і 5. Існує багато методів вирішення таких систем. Розглянемо найбільш популярні з них.
метод підстановки
Назва цього методу говорить сама за себе. Суть його полягає в тому, щоб одне рівняння підставити в інше, попередньо висловивши одну з змінних.
У нашій системі нічого висловлювати не потрібно. У другому рівнянні x = y + 1 змінна x вже виражена. Ця змінна дорівнює висловом y+ 1. Тоді можна підставити цей вираз в перше рівняння замість змінної x
Після підстановки виразу y + 1 в перше рівняння замість x , Отримаємо рівняння 25(y+ 1) + 10y= 200 . Це лінійне рівняння з однією змінною. Таке рівняння вирішити досить просто:
Ми знайшли значення змінної y . Тепер підставимо це значення в одне з рівнянь і знайдемо значення x . Для цього зручно використовувати друге рівняння x = y + 1. У нього і підставимо значення y
Значить пара (6; 5) є рішенням системи рівнянь, як ми і задумували. Виконуємо перевірку і переконуємося, що пара (6; 5) задовольняє системі:
приклад 2
Підставами перше рівняння x= 2 + y в друге рівняння 3 x -2y\u003d 9. У першому рівнянні змінна x дорівнює висловом 2 + y . Цей вислів і підставимо в друге рівняння замість x
Тепер знайдемо значення x . Для цього підставимо значення y в перше рівняння x= 2 + y
Значить рішенням системи є пара значення (5; 3)
приклад 3. Вирішити методом підстановки наступну систему рівнянь:
Тут на відміну від попередніх прикладів, одна з змінних не виражена явно.
Щоб підставити одне рівняння в інше, спочатку потрібно.
Висловлювати бажано ту змінну, яка має коефіцієнт одиницю. Коефіцієнт одиницю має змінна x , Яка міститься в першому рівнянні x+ 2y\u003d 11. Цю змінну і висловимо.
Після виразу змінної x , Наша система прийме наступний вигляд:
Тепер підставимо перше рівняння на друге і знайдемо значення y
підставами y x
Значить рішенням системи є пара значень (3, 4)
Звичайно, висловлювати можна і змінну y . Коріння від цього не зміняться. Але якщо висловити y, вийде не дуже-то і просте рівняння, на рішення якого піде більше часу. Виглядати це буде наступним чином:
Бачимо, що в даному прикладі висловлювати x набагато зручніше, ніж висловлювати y .
приклад 4. Вирішити методом підстановки наступну систему рівнянь:
Висловимо в першому рівнянні x . Тоді система набуде вигляду:
y
підставами y в перше рівняння і знайдемо x . Можна скористатися початковим рівнянням 7 x+ 9y\u003d 8, або скористатися рівнянням, в якому виражена змінна x . Цим рівнянням і скористаємося, оскільки це зручно:
Значить рішенням системи є пара значень (5; -3)
метод складання
Метод складання полягає в тому, щоб почленно скласти рівняння, що входять в систему. Це складання призводить до того, що утворюється нове рівняння з однією змінною. А вирішити таке рівняння досить просто.
Вирішимо наступне систему рівнянь:
Складемо ліву частину першого рівняння з лівою частиною другого рівняння. А праву частину першого рівняння з правою частиною другого рівняння. Отримаємо наступне рівність:
Наведемо подібні доданки:
В результаті отримали просте рівняння 3 x\u003d 27 корінь якого дорівнює 9. Знаючи значення x можна знайти значення y . Підставами значення x в друге рівняння x - y\u003d 3. Отримаємо 9 - y \u003d 3. Звідси y= 6 .
Значить рішенням системи є пара значень (9; 6)
приклад 2
Складемо ліву частину першого рівняння з лівою частиною другого рівняння. А праву частину першого рівняння з правою частиною другого рівняння. В отриманому рівність наведемо подібні доданки:
В результаті отримали просте рівняння 5 x\u003d 20, корінь якого дорівнює 4. Знаючи значення x можна знайти значення y . Підставами значення x в перше рівняння 2 x + y\u003d 11. Отримаємо 8 + y \u003d 11. Звідси y= 3 .
Значить рішенням системи є пара значень (4; 3)
Процес складання докладно не розписують. Його потрібно виконувати в умі. При додаванні обидва рівняння повинні бути приведені до канонічного вигляду. Тобто до виду ac + by \u003d c .
З розглянутих прикладів видно, що основна мета складання рівнянь це позбавлення від однієї з змінних. Але не завжди вдається відразу вирішити систему рівнянь методом складання. Найчастіше систему попередньо приводять до вигляду, при якому можна скласти рівняння, що входять в цю систему.
Наприклад, систему 
можна відразу вирішити шляхом складання. При додаванні обох рівнянь, складові y і -y зникнуть, оскільки їх сума дорівнює нулю. В результаті утворюється просте рівняння 11 x\u003d 22, корінь якого дорівнює 2. Потім можна буде визначити y рівний 5.
А систему рівнянь 
шляхом складання відразу вирішити не можна, оскільки це не призведе до зникнення однієї з змінних. Додавання призведе до того, що утворюється рівняння 8 x+ y\u003d 28, що має безліч рішень.
Якщо обидві частини рівняння помножити або розділити на одне й те саме число, не рівне нулю, то вийде рівняння рівносильне даному. Це правило справедливо і для системи лінійних рівнянь з двома змінними. Одне з рівнянь (або обидва рівняння) можна помножити на яке-небудь число. В результаті вийде рівносильна система, коріння якої будуть збігатися з попередньою.
Повернемося до найпершої системі, яка описувала скільки тістечок і чашок кави купив школяр. Рішенням цієї системи була пара значень (6; 5).
Помножимо обидва рівняння, що входять в цю систему на якісь числа. Скажімо перше рівняння помножимо на 2, а друге на 3
В результаті отримали систему 
Рішенням цієї системи як і раніше є пара значень (6; 5)
Це означає, що рівняння входять в систему можна привести до вигляду, придатного для застосування методу складання.
Повернемося до системи , Яку ми не змогли вирішити шляхом складання.
Помножимо перше рівняння на 6, а друге на -2
Тоді отримаємо наступну систему:
Складемо рівняння, що входять в цю систему. Додавання компонентів 12 x і -12 x дасть в результаті 0, складання 18 y і 4 y дасть 22 y , А складання 108 і -20 дасть 88. Тоді вийде рівняння 22 y \u003d 88, звідси y = 4 .
Якщо перший час важко складати рівняння в розумі, то можна записувати як складається ліва частина першого рівняння з лівою частиною другого рівняння, а права частина першого рівняння з правою частиною другого рівняння:
Знаючи, що значення змінної y дорівнює 4, можна знайти значення x. підставами y в одне з рівнянь, наприклад в перше рівняння 2 x+ 3y\u003d 18. Тоді отримаємо рівняння з однією змінною 2 x+ 12 \u003d 18. Перенесемо 12 в праву частину, змінивши знак, отримаємо 2 x\u003d 6, звідси x = 3 .
приклад 4. Вирішити таку систему рівнянь методом складання:
Помножимо друге рівняння на -1. Тоді система прийме наступний вигляд:
Складемо обидва рівняння. додавання компонентів x і -x дасть в результаті 0, складання 5 y і 3 y дасть 8 y , А складання 7 і 1 дасть 8. У результаті вийде рівняння 8 y\u003d 8, коріння якого дорівнює 1. Знаючи, що значення y дорівнює 1, можна знайти значення x .
підставами y в перше рівняння, отримаємо x+ 5 \u003d 7, звідси x= 2
приклад 5. Вирішити таку систему рівнянь методом складання:
Бажано, щоб складові містять однакові змінні, розташовувалися один під одним. Тому в другому рівнянні складові 5 y і -2 x поміняємо місцями. В результаті система набуде вигляду:
Помножимо друге рівняння на 3. Тоді система набуде вигляду:
Тепер складемо обидва рівняння. В результаті складання отримаємо рівняння 8 y\u003d 16, корінь якого дорівнює 2.
підставами y в перше рівняння, отримаємо 6 x- 14 \u003d 40. Перенесемо доданок -14 в праву частину, змінивши знак, отримаємо 6 x\u003d 54. Звідси x= 9.
приклад 6. Вирішити таку систему рівнянь методом складання:
Позбудемося дробів. Помножимо перше рівняння на 36, а друге на 12
У вийшла системі 
перше рівняння можна помножити на -5, а друге на 8
Складемо рівняння в вийшла системі. Тоді отримаємо просте рівняння -13 y\u003d -156. Звідси y\u003d 12. підставами y в перше рівняння і знайдемо x
приклад 7. Вирішити таку систему рівнянь методом складання:
Наведемо обидва рівняння до нормального вигляду. Тут зручно застосувати правило пропорції в обох рівняннях. Якщо в першому рівнянні праву частину уявити як, а праву частину другого рівняння як, то система прийме вигляд:
У нас вийшла пропорція. Перемножимо її крайні і середні члени. Тоді система набуде вигляду:
Перше рівняння помножимо на -3, а в другому розкриємо дужки:
Тепер складемо обидва рівняння. В результаті складання цих рівнянь, ми отримаємо рівність, в обох частинах якого буде нуль:
Виходить, що система має незліченну безліч рішень.
Але ми не можемо просто так взяти з неба довільні значення для x і y . Ми можемо вказати одне зі значень, а інше визначиться в залежності від значення, зазначеного нами. Наприклад, нехай x\u003d 2. Підставами це значення в систему:
В результаті рішення одного з рівнянь, визначиться значення для y , Яке буде задовольняти обом рівнянням:
Отримана пара значень (2; -2) буде задовольняти системі:
Знайдемо ще одну пару значень. нехай x\u003d 4. Підставами це значення в систему:
На око можна визначити, що значення y дорівнює нулю. Тоді отримаємо пару значень (4; 0), яка задовольняє нашій системі:
приклад 8. Вирішити таку систему рівнянь методом складання:
Помножимо перше рівняння на 6, а друге на 12
Перепишемо то, що залишилося:
Перше рівняння помножимо на -1. Тоді система набуде вигляду:
Тепер складемо обидва рівняння. В результаті складання утворюється рівняння 6 b\u003d 48, корінь якого дорівнює 8. Підставами b в перше рівняння і знайдемо a
Система лінійних рівнянь з трьома змінними
В лінійне рівняння з трьома змінними входить три змінні з коефіцієнтами, а також вільний член. У канонічному вигляді його можна записати в такий спосіб:
ax + by + cz \u003d d
Дане рівняння має незліченну кількість рішень. Надаючи двом змінним різні значення, можна знайти третє значення. Рішенням в цьому випадку є трійка значень ( x; y; z) Яка звертає рівняння в тотожність.
якщо змінні x, y, z пов'язані між собою трьома рівняннями, то утворюється система трьох лінійних рівнянь з трьома змінними. Для вирішення такої системи можна застосовувати ті ж методи, які застосовуються до лінійних рівнянь з двома змінними: метод підстановки і метод складання.
приклад 1. Вирішити таку систему рівнянь методом підстановки:
Висловимо в третьому рівнянні x . Тоді система набуде вигляду:
Тепер виконаємо підстановку. Мінлива x дорівнює висловом 3 − 2y − 2z . Підставами цей вислів в перше і друге рівняння:
Розкриємо дужки в обох рівняннях і наведемо подібні доданки:
Ми прийшли до системи лінійних рівнянь з двома змінними. В даному випадку зручно застосувати метод складання. В результаті змінна y зникне, і ми зможемо знайти значення змінної z
Тепер знайдемо значення y . Для цього зручно скористатися рівнянням - y+ z\u003d 4. Підставами в нього значення z
Тепер знайдемо значення x . Для цього зручно скористатися рівнянням x= 3 − 2y − 2z . Підставами в нього значення y і z
Таким чином, трійка значень (3; -2; 2) є рішенням нашої системи. Перевіркою переконуємося, що ці значення задовольняють системі:
приклад 2. Вирішити систему шляхом складання
Складемо перше рівняння з другим, помноженим на -2.
Якщо друге рівняння помножити на -2, то воно набуде вигляду −6x+ 6y -4z = −4 . Тепер складемо його з першим рівнянням:
Бачимо, що в результаті елементарних перетворень, визначилося значення змінної x . Воно дорівнює одиниці.
Повернемося до головної системи. Складемо друге рівняння з третім, помноженим на -1. Якщо третє рівняння помножити на -1, то воно набуде вигляду −4x + 5y − 2z = −1 . Тепер складемо його до другого рівняння:
отримали рівняння x -2y\u003d -1. Підставами в нього значення x , Яке ми знаходили раніше. Тоді ми зможемо визначити значення y
Тепер нам відомі значення x і y . Це дозволяє визначити значення z . Скористаємося одним з рівнянь, що входять в систему:
Таким чином, трійка значень (1; 1; 1) є рішенням нашої системи. Перевіркою переконуємося, що ці значення задовольняють системі:
Завдання на складання систем лінійних рівнянь
Завдання на складання систем рівнянь вирішується шляхом введення декількох змінних. Далі складаються рівняння на підставі умов завдання. З складених рівнянь утворюють систему і вирішують її. Вирішивши систему, необхідно виконати перевірку на те, чи задовольняє її рішення умовами завдання.
завдання 1. З міста в колгосп виїхала машина «Волга». Назад вона поверталася по іншій дорозі, яка була на 5 км коротше першої. Всього в обидва кінці машина проїхала 35 км. Скільки кілометрів становить довжина кожної дороги?
Рішення
нехай x - довжина першої дороги, y - довжина другої. Якщо в обидва кінці машина проїхала 35 км, то перше рівняння можна записати як x+ y\u003d 35. Це рівняння описує суму довжин обох доріг.
Сказано, що назад машина поверталася по дорозі яка була коротшою першою на 5 км. Тоді друге рівняння можна записати як x− y\u003d 5. Це рівняння показує, що різниця між довжинами доріг становить 5 км.
Або друге рівняння можна записати як x= y+ 5. Цим рівнянням і скористаємося.
оскільки змінні x і y в обох рівняннях означають одне і те ж число, то ми можемо утворити з них систему:
Вирішимо цю систему яким-небудь з вивчених раніше методів. В даному випадку зручно скористатися методом підстановки, оскільки в другому рівнянні змінна x вже виражена.
Підставами друге рівняння в перше і знайдемо y
Підставами знайдене значення y в в друге рівняння x= y+ 5 і знайдемо x
Довжина першої дороги була позначена через змінну x . Тепер ми знайшли її значення. Мінлива x дорівнює 20. Значить довжина першої дороги становить 20 км.
А довжина другої дороги була позначена через y . Значення цієї змінної дорівнює 15. Значить довжина другої дороги становить 15 км.
Виконаємо перевірку. Для початку переконаємося, що система вирішена правильно:
Тепер перевіримо чи задовольняє рішення (20; 15) умовам завдання.
Було сказано, що всього в обидва кінці машина проїхала 35 км. Складаємо довжини обох доріг і переконуємося, що рішення (20; 15) задовольняє даній умові: 20 км + 15 км \u003d 35 км
Наступна умова: назад машина поверталася по іншій дорозі, яка була на 5 км коротше першої . Бачимо, що рішення (20; 15) задовольняє і цій умові, оскільки 15 км коротше, ніж 20 км на 5 км: 20 км - 15 км \u003d 5 км
При складанні системи важливо, щоб змінні позначали одні й ті ж числа у всіх рівняннях, що входять в цю систему.
Так наша система містить два рівняння. Ці рівняння в свою чергу містять змінні x і y , Які позначають одні й ті ж числа в обох рівняннях, а саме довжини доріг, рівних 20 км і 15 км.
завдання 2. На платформу були занурені дубові і соснові шпали, всього 300 шпал. Відомо, що всі дубові шпали важили на 1 т менше, ніж всі соснові. Визначити, скільки було дубових і соснових шпал окремо, якщо кожна дубова шпала важила 46 кг, а кожна соснова 28 кг.
Рішення
нехай x дубових і y соснових шпал було завантажено на платформу. Якщо все шпал було 300, то перше рівняння можна записати як x + y = 300 .
Всі дубові шпали важили 46 x кг, а соснові важили 28 y кг. Оскільки дубові шпали важили на 1 т менше, ніж соснові, то друге рівняння можна записати, як 28y -46x= 1000 . Це рівняння показує, що різниця мас між дубовими і сосновими шпалами, становить 1000 кг.
Тонни були переведені в кілограми, оскільки маса дубових і соснових шпал виміряна в кілограмах.
В результаті отримуємо два рівняння, які утворюють систему
Вирішимо дану систему. Висловимо в першому рівнянні x . Тоді система набуде вигляду:
Підставами перше рівняння на друге і знайдемо y
підставами y в рівняння x= 300 − y і дізнаємося чому дорівнює x
Значить на платформу було завантажено 100 дубових і 200 соснових шпал.
Перевіримо чи задовольняє рішення (100; 200) умовам завдання. Для початку переконаємося, що система вирішена правильно:
Було сказано, що всього було 300 шпал. Складаємо кількість дубових і соснових шпал і переконуємося, що рішення (100; 200) задовольняє даній умові: 100 + 200 = 300.
Наступна умова: всі дубові шпали важили на 1 т менше, ніж всі соснові . Бачимо, що рішення (100; 200) задовольняє і цій умові, оскільки 46 × 100 кг дубових шпал легше, ніж 28 × 200 кг соснових шпал: 5600 кг - 4600 кг \u003d 1000 кг.
завдання 3. Взяли три шматка сплаву міді з нікелем у відносинах 2: 1, 3: 1 і 5: 1 за масою. З них сплавлен шматок масою 12 кг з відношенням змісту міді і нікелю 4: 1. Знайдіть масу кожного вихідного шматка, якщо маса першого з них вдвічі більша за масу другого.
Ідея методу. Вибирається рівняння, в якому одна з змінних найбільш просто виражається через інші змінні. Отриманий вираз цієї змінної підставляється в решту рівняння системи.
- b) Комбінування з іншими методами.
ідея методу. Якщо метод прямої підстановки не застосовують на початковому етапі рішення, то використовуються рівносильні перетворення систем (почленное додавання, віднімання, множення, ділення), а потім проводять безпосередньо пряму підстановку.
2) Метод незалежного рішення одного з рівнянь.
ідея методу. Якщо в системі міститься рівняння, в якому знаходяться взаємно зворотні вираження, то вводиться нова змінна і щодо її вирішується рівняння. Потім система розпадається на кілька простіших систем.
Вирішити систему рівнянь
Розглянемо перше рівняння системи:
Зробивши заміну, де t ≠ 0, отримуємо
Звідки t 1 \u003d 4, t 2 \u003d 1/4.
Повертаючись до старих змінним, розглянемо два випадки.
Корінням рівняння 4у 2 - 15у - 4 \u003d 0 є у 1 \u003d 4, у 2 \u003d - 1/4.
Корінням рівняння 4х 2 + 15х - 4 \u003d 0 є х 1 \u003d - 4, х 2 \u003d 1/4.
3) Зведення системи до об'єднання простіших систем.
- a) Розкладання на множники способом винесення спільного множника.
Ідея методу. Якщо в одному з рівнянь є загальний множник, то це рівняння розкладають на множники і, з огляду на рівність вираження нулю, переходять до вирішення більш простих систем.
- b) Розкладання на множники через рішення однорідного рівняння.
Ідея методу. Якщо одне з рівнянь є однорідне рівняння (, то вирішивши його щодо однієї з змінних, розкладаємо на множники, наприклад: a (x-x 1) (x-x 2) і, з огляду на рівність вираження нулю, переходимо до вирішення більш простих систем.
Вирішимо першу систему
- c) Використання однорідності.
Ідея методу. Якщо в системі є вираз, що представляє собою твір змінних величин, то застосовуючи метод алгебраїчного додавання, отримують однорідне рівняння, а потім використовують метод розкладання на множники через рішення однорідного рівняння.
4) Метод алгебраїчного додавання.
Ідея методу. В одному з рівнянь позбавляємося від однієї з невідомих, для цього зрівнює модулі коефіцієнтів при одній з змінних, потім виробляємо або почленное складання рівнянь, або віднімання.
5) Метод множення рівнянь.
Ідея методу.Якщо немає таких пар (х; у), при яких обидві частини одного з рівнянь звертаються в нуль одночасно, то це рівняння можна замінити твором обох рівнянь системи.
Вирішимо друге рівняння системи.
Нехай \u003d t, тоді 4t 3 + t 2 -12t -12 \u003d 0. Застосовуючи наслідок з теореми про коріння многочлена, маємо t 1 \u003d 2.
Р (2) \u003d 4 ∙ 2 3 +2 2 - 12 ∙ 2 - 12 \u003d 32 + 4 - 24 - 12 \u003d 0. знизився ступінь многочлена, використовуючи метод невизначених коефіцієнтів.
4t 3 + t 2 -12t -12 \u003d (t - 2) (at 2 + bt + c).
4t 3 + t 2 -12t -12 \u003d at 3 + bt 2 + ct - 2at 2 -2bt - 2c.
4t 3 + t 2 - 12t -12 \u003d at 3 + (b - 2a) t 2 + (c -2b) t - 2c.
Отримуємо рівняння 4t 2 + 9t + 6 \u003d 0, яке не має коренів, так як D \u003d 9 2 - 4 ∙ 4 ∙ 6 \u003d -15<0.
Повертаючись до змінної у, маємо \u003d 2, звідки у \u003d 4.
Відповідь. (1; 4).
6) Метод розподілу рівнянь.
Ідея методу. Якщо немає таких пар (х; у), при яких обидві частини одного з рівнянь звертаються в нуль одночасно, то це рівняння можна замінити рівнянням, яке виходить при розподілі одного рівняння системи на інше.
7) Метод введення нових змінних.
Ідея методу. Деякі вирази від вихідних змінних приймаються за нові змінні, що призводить до більш простої, ніж первісна, системі від цих змінних. Після того як нові змінні будуть знайдені, потрібно знайти значення вихідних змінних.
Повертаючись до старих змінним, маємо:
Вирішуємо першу систему.
8) Застосування теореми Вієта.
Ідея методу. Якщо система складена так, одне з рівнянь представлено у вигляді суми, а друге - у вигляді твору деяких чисел, які є країнами деякого квадратного рівняння, то застосовуючи теорему Вієта складаємо квадратне рівняння і вирішуємо його.
Відповідь. (1; 4), (4; 1).
Для вирішення симетричних систем застосовується підстановка: х + у \u003d а; ху \u003d в. При вирішенні симетричних систем використовуються наступні перетворення:
х 2 + у 2 \u003d (х + у) 2 - 2ху \u003d а 2 - 2в; х 3 + у 3 \u003d (х + у) (х 2 - ху + у 2) \u003d а (а 2 -3В);
х 2 у + ху 2 \u003d ху (х + у) \u003d ав; (Х +1) ∙ (у +1) \u003d ху + х + у + 1 \u003d а + в +1;
Відповідь. (1; 1), (1; 2), (2; 1).
10) «Граничні задачі».
Ідея методу. Рішення системи виходять шляхом логічних міркувань, пов'язаних зі структурою області визначення або безлічі значень функцій, дослідження знака дискримінанту квадратного рівняння.
Особливість цієї системи в тому, що число змінних в ній більше числа рівнянь. Для нелінійних систем така особливість часто є ознакою «граничної задачі». Виходячи з виду рівнянь, спробуємо знайти безліч значень функції, яка зустрічається і в першому, і в другому рівнянні системи. Так як х 2 + 4 ≥ 4, то з першого рівняння слід, що
Відповідь (0; 4; 4), (0; -4; -4).
11) Графічний метод.
ідея методу. Будують графіки функцій в одній системі координат і знаходять координати точок їх перетину.
1) Переписавши перше рівняння систем у вигляді у \u003d х 2, приходимо до висновку: графіком рівняння є парабола.
2) Переписавши друге рівняння систем у вигляді у \u003d 2 / х 2, приходимо до висновку: графіком рівняння є гіпербола.
3) Парабола і гіпербола перетинаються в точці А. Точка перетину тільки одна, оскільки права гілка параболи служить графіком зростаючої функції, а права гілка гіперболи - спадання. Судячи з побудованої геометричній моделі точка А має координати (1; 2). Перевірка показує, що пара (1, 2) є рішенням обох рівнянь системи.
Рішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР), безсумнівно, є найважливішою темою курсу лінійної алгебри. Величезна кількість завдань з усіх розділів математики зводиться до вирішення систем лінійних рівнянь. Цими факторами пояснюється причина створення даної статті. Матеріал статті підібраний і структурований так, що з його допомогою Ви зможете
- підібрати оптимальний метод вирішення Вашої системи лінійних алгебраїчних рівнянь,
- вивчити теорію обраного методу,
- вирішити Вашу систему лінійних рівнянь, розглянувши детально розібрані рішення характерних прикладів і завдань.
Короткий опис матеріалу статті.
Спочатку дамо всі необхідні визначення, поняття і введемо позначення.
Далі розглянемо методи вирішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь, в яких число рівнянь дорівнює числу невідомих змінних і які мають єдине рішення. По-перше, зупинимося на методі Крамера, по-друге, покажемо матричний метод вирішення таких систем рівнянь, по-третє, розберемо метод Гаусса (метод послідовного виключення невідомих змінних). Для закріплення теорії обов'язково вирішимо кілька СЛАР різними способами.
Після цього перейдемо до вирішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь загального вигляду, в яких число рівнянь не збігається з числом невідомих змінних або основна матриця системи є виродження. Сформулюємо теорему Кронекера - Капеллі, яка дозволяє встановити спільність СЛАР. Розберемо рішення систем (в разі їх спільності) за допомогою поняття базисного мінору матриці. Також розглянемо метод Гаусса і докладно опишемо рішення прикладів.
Обов'язково зупинимося на структурі загального рішення однорідних і неоднорідних систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Дамо поняття фундаментальної системи рішень і покажемо, як записується спільне рішення СЛАР за допомогою векторів фундаментальної системи рішень. Для кращого розуміння розберемо кілька прикладів.
Наприкінці розглянемо системи рівнянь, що зводяться до лінійних, а також різні завдання, при вирішенні яких виникають СЛАР.
Навігація по сторінці.
Визначення, поняття, позначення.
Будемо розглядати системи з p лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими змінними (p може дорівнювати n) виду
Невідомі змінні, - коефіцієнти (деякі дійсні або комплексні числа), - вільні члени (також дійсні або комплексні числа).
Таку форму записи СЛАР називають координатної.
В матричної формі записи ця система рівнянь має вигляд,
де 
- основна матриця системи, - матриця-стовпець невідомих змінних, - матриця-стовпець вільних членів.
Якщо до матриці А додати в якості (n + 1) -ого стовпця матрицю-стовпець вільних членів, то отримаємо так звану розширену матрицю системи лінійних рівнянь. Зазвичай розширену матрицю позначають буквою Т, а стовпець вільних членів відокремлюють вертикальною лінією від решти стовпців, тобто, 
Рішенням системи лінійних алгебраїчних рівнянь називають набір значень невідомих змінних, звертає всі рівняння системи в тотожності. Матричне рівняння при даних значеннях невідомих змінних також звертається в тотожність.
Якщо система рівнянь має хоча б одне рішення, то вона називається спільної.
Якщо система рівнянь рішень не має, то вона називається несумісною.
Якщо СЛАР має єдине рішення, то її називають певної; якщо рішень більше одного, то - невизначеною.
Якщо вільні члени всіх рівнянь системи дорівнюють нулю 
, То система називається однорідної, в іншому випадку - неоднорідною.
Рішення елементарних систем лінійних алгебраїчних рівнянь.
Якщо число рівнянь системи дорівнює числу невідомих змінних і визначник її основної матриці не дорівнює нулю, то такі СЛАР будемо називати елементарними. Такі системи рівнянь мають єдине рішення, причому в разі однорідної системи все невідомі змінні дорівнюють нулю.
Такі СЛАР ми починали вивчати в середній школі. При їх вирішенні ми брали якусь одну рівняння, висловлювали одну невідому змінну через інші і підставляли її в решту рівняння, слідом брали наступне рівняння, висловлювали таку невідому змінну і підставляли в інші рівняння і так далі. Або користувалися методом складання, тобто, складали два або більше рівнянь, щоб виключити деякі невідомі змінні. Не будемо детально зупинятися на цих методах, так як вони по суті є модифікаціями методу Гаусса.
Основними методами вирішення елементарних систем лінійних рівнянь є метод Крамера, матричний метод та метод Гаусса. Розберемо їх.
Рішення систем лінійних рівнянь методом Крамера.
Нехай нам потрібно вирішити систему лінійних алгебраїчних рівнянь 
в якій число рівнянь дорівнює числу невідомих змінних і визначник основної матриці системи відмінний від нуля, тобто,.
Нехай - визначник основної матриці системи, а 
- визначники матриць, які виходять з А заміною 1-ого, 2-ої, ..., n-ого стовпчика відповідно на стовпець вільних членів: 
При таких позначеннях невідомі змінні обчислюються за формулами методу Крамера як 
. Так на сьогодні вирішення системи лінійних алгебраїчних рівнянь методом Крамера.
Приклад.
методом Крамера 
.
Рішення.
Основна матриця системи має вигляд 
. Обчислимо її визначник (при необхідності дивіться статтю): 
Так як визначник основної матриці системи відмінний від нуля, то система має єдине рішення, яке може бути знайдено методом Крамера.
Складемо і обчислимо необхідні визначники 
(Визначник отримуємо, замінивши в матриці А перший стовпець на стовпець вільних членів, визначник - замінивши другий стовпець на стовпець вільних членів, - замінивши третій стовпець матриці А на стовпець вільних членів): 
Знаходимо невідомі змінні за формулами 
:
відповідь:
Основним недоліком методу Крамера (якщо це можна назвати недоліком) є трудомісткість обчислення визначників, коли число рівнянь системи більше трьох.
Рішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь матричним методом (за допомогою оберненої матриці).
Нехай система лінійних алгебраїчних рівнянь задана в матричної формі, де матриця A має розмірність n на n і її визначник відмінний від нуля.
Так як, то матриця А - оборотна, тобто, існує зворотна матриця. Якщо помножити обидві частини рівності на зліва, то отримаємо формулу для знаходження матриці-стовпця невідомих змінних. Так ми отримали рішення системи лінійних алгебраїчних рівнянь матричним методом.
Приклад.
Вирішіть систему лінійних рівнянь матричним методом.
Рішення.
Перепишемо систему рівнянь в матричної формі: 
Так як
то СЛАР можна вирішувати матричних методом. За допомогою оберненої матриці рішення цієї системи може бути знайдено як 
.
Побудуємо зворотну матрицю за допомогою матриці з алгебраїчних доповнень елементів матриці А (при необхідності дивіться статтю): 
Залишилося обчислити - матрицю невідомих змінних, помноживши зворотну матрицю 
на матрицю-стовпець вільних членів (при необхідності дивіться статтю): 
відповідь:
або в іншому записі x 1 \u003d 4, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d -1.
Основна проблема при знаходженні рішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь матричним методом полягає в трудомісткості знаходження зворотної матриці, особливо для квадратних матриць порядку вище третього.
Рішення систем лінійних рівнянь методом Гаусса.
Нехай нам потрібно знайти рішення системи з n лінійних рівнянь з n невідомими змінними 
визначник основної матриці якої відмінний від нуля.
Суть методу Гаусса складається в послідовному виключенні невідомих змінних: спочатку виключається x 1 з усіх рівнянь системи, починаючи з другого, далі виключається x 2 з усіх рівнянь, починаючи з третього, і так далі, поки в останньому рівнянні залишиться тільки невідома змінна x n. Такий процес перетворення рівнянь системи для послідовного виключення невідомих змінних називається прямим ходом методу Гауса. Після завершення прямого ходу методу Гаусса з останнього рівняння знаходиться x n, за допомогою цього значення з передостаннього рівняння обчислюється x n-1, і так далі, з першого рівняння знаходиться x 1. Процес обчислення невідомих змінних при русі від останнього рівняння системи до першого називається зворотним ходом методу Гауса.
Коротко опишемо алгоритм виключення невідомих змінних.
Будемо вважати, що, так як ми завжди можемо цього досягти перестановкою місцями рівнянь системи. Виключимо невідому змінну x 1 з усіх рівнянь системи, починаючи з другого. Для цього до другого рівняння системи додамо найперше, помножене на, до третього рівняння додамо найперше, помножене на, і так далі, до n-ому рівняння додамо найперше, помножене на. Система рівнянь після таких перетворень набуде вигляду 
де, а 
.
До такого ж результату ми б прийшли, якби висловили x 1 через інші невідомі змінні в першому рівнянні системи і отриманий вираз підставили в усі інші рівняння. Таким чином, змінна x 1 виключена з усіх рівнянь, починаючи з другого.
Далі діємо аналогічно, але лише з частиною отриманої системи, яка відзначена на малюнку 
Для цього до третього рівняння системи додамо Друге, помножене на, до четвертого рівняння додамо Друге, помножене на, і так далі, до n-ому рівняння додамо Друге, помножене на. Система рівнянь після таких перетворень набуде вигляду 
де, а 
. Таким чином, змінна x 2 виключена з усіх рівнянь, починаючи з третього.
Далі приступаємо до виключення невідомої x 3, при цьому діємо аналогічно із зазначеною на малюнку частиною системи 
Так продовжуємо прямий хід методу Гаусса поки система не набуде вигляду 
З цього моменту починаємо зворотний хід методу Гаусса: обчислюємо x n з останнього рівняння як, за допомогою отриманого значення x n знаходимо x n-1 з передостаннього рівняння, і так далі, знаходимо x 1 з першого рівняння.
Приклад.
Вирішіть систему лінійних рівнянь методом Гаусса.
Рішення.
Виключимо невідому змінну x 1 з другого і третього рівняння системи. Для цього до обох частин другого і третього рівнянь додамо відповідні частини першого рівняння, помножені на і на відповідно: 
Тепер з третього рівняння виключимо x 2, додавши до його лівої і правої частин ліву і праву частини другого рівняння, помножені на: 
На цьому прямий хід методу Гаусса закінчений, починаємо зворотний хід.
З останнього рівняння отриманої системи рівнянь знаходимо x 3: 
З другого рівняння отримуємо.
З першого рівняння знаходимо залишилася невідому змінну і цим завершуємо зворотний хід методу Гаусса.
відповідь:
X 1 \u003d 4, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d -1.
Рішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь загального вигляду.
У загальному випадку число рівнянь системи p не збігається з числом невідомих змінних n:
Такі СЛАР можуть не мати рішень, мати єдине рішення або мати нескінченно багато рішень. Це твердження стосується також до систем рівнянь, основна матриця яких квадратна і вироджена.
Теорема Кронекера - Капеллі.
Перш ніж знаходити рішення системи лінійних рівнянь необхідно встановити її спільність. Відповідь на питання коли СЛАР сумісна, а коли несовместна, дає теорема Кронекера - Капеллі:
для того, щоб система з p рівнянь з n невідомими (p може дорівнювати n) була сумісна необхідно і достатньо, щоб ранг основної матриці системи дорівнював рангу розширеної матриці, тобто, Rank (A) \u003d Rank (T).
Розглянемо на прикладі застосування теореми Кронекера - Капеллі для визначення спільності системи лінійних рівнянь.
Приклад.
З'ясуйте, чи має система лінійних рівнянь 
рішення.
Рішення.
. Скористаємося методом оздоблюють мінорів. Мінор другого порядку 
відмінний від нуля. Переберемо оздоблюють його мінори третього порядку: 
Так як всі оздоблюють мінори третього порядку дорівнюють нулю, то ранг основної матриці дорівнює двом.
У свою чергу ранг розширеної матриці 
дорівнює трьом, так як мінор третього порядку 
відмінний від нуля.
Таким чином, Rang (A), отже, по теоремі Кронекера - Капеллі можна зробити висновок, що вихідна система лінійних рівнянь несумісна.
відповідь:
Система рішень не має.
Отже, ми навчилися встановлювати несумісні системи за допомогою теореми Кронекера - Капеллі.
А як же знаходити рішення СЛАР, якщо встановлена \u200b\u200bїї спільність?
Для цього нам буде потрібно поняття базисного мінору матриці і теорема про ранзі матриці.
Мінор найвищого порядку матриці А, відмінний від нуля, називається базисним.
З визначення базисного мінору слід, що його порядок дорівнює рангу матриці. Для ненульовий матриці А базисних мінорів може бути кілька, один базисний мінор є завжди.
Для прикладу розглянемо матрицю 
.
Все мінори третього порядку цієї матриці дорівнюють нулю, так як елементи третього рядка цієї матриці представляють собою суму відповідних елементів першої та другої рядків.
Засадничими є такі мінори другого порядку, так як вони відмінні від нуля 
мінори 
базисними не є, так як дорівнюють нулю.
Теорема про ранг матриці.
Якщо ранг матриці порядку p на n дорівнює r, то всі елементи рядків (і стовпців) матриці, що не утворюють обраний базисний мінор, лінійно виражаються через відповідні елементи рядків (і стовпців), що утворюють базисний мінор.
Що нам дає теорема про ранзі матриці?
Якщо по теоремі Кронекера - Капеллі ми встановили спільність системи, то вибираємо будь-який базисний мінор основної матриці системи (його порядок дорівнює r), і виключаємо з системи всі рівняння, які не утворюють обраний базисний мінор. Отримана таким чином СЛАР буде еквівалентна вихідної, так як відкинуті рівняння все одно зайві (вони відповідно до теореми про ранг матриці є лінійною комбінацією решти рівнянь).
У підсумку, після відкидання зайвих рівнянь системи, можливі два випадки.
Якщо число рівнянь r в отриманій системі буде дорівнює числу невідомих змінних, то вона буде певною і єдине рішення можна буде знайти методом Крамера, матричним методом або методом Гаусса.
Приклад.
.
Рішення.
Ранг основної матриці системи 
дорівнює двом, так як мінор другого порядку 
відмінний від нуля. Ранг розширеної матриці 
також дорівнює двом, так як єдиний мінор третього порядку дорівнює нулю 
а розглянутий вище мінор другого порядку відмінний від нуля. На підставі теореми Кронекера - Капеллі можна стверджувати спільність вихідної системи лінійних рівнянь, так як Rank (A) \u003d Rank (T) \u003d 2.
В якості базисного мінору візьмемо . Його утворюють коефіцієнти першого і другого рівнянь: 
Третє рівняння системи не бере участь в утворенні базисного мінору, тому виключимо його з системи на підставі теореми про ранг матриці: 
Так ми отримали елементарну систему лінійних алгебраїчних рівнянь. Вирішимо її методом Крамера: 
відповідь:
x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2.
Якщо число рівнянь r в отриманої СЛАР менше числа невідомих змінних n, то в лівих частинах рівнянь залишаємо складові, що утворюють базисний мінор, інші складові переносимо в праві частини рівнянь системи з протилежним знаком.
Невідомі змінні (їх r штук), що залишилися в лівих частинах рівнянь, називаються основними.
Невідомі змінні (їх n - r штук), які виявилися в правих частинах, називаються вільними.
Тепер вважаємо, що вільні невідомі змінні можуть приймати довільні значення, при цьому r основних невідомих змінних будуть виражатися через вільні невідомі змінні єдиним чином. Їх вираз можна знайти вирішуючи отриману СЛАР методом Крамера, матричним методом або методом Гаусса.
Розберемо на прикладі.
Приклад.
Вирішіть систему лінійних алгебраїчних рівнянь 
.
Рішення.
Знайдемо ранг основної матриці системи 
методом оздоблюють мінорів. Як ненульового мінору першого порядку візьмемо a 1 1 \u003d 1. Почнемо пошук ненульового мінору другого порядку, окаймляющего даний мінор: 
Так ми знайшли ненульовий мінор другого порядку. Почнемо пошук ненульового окаймляющего мінору третього порядку: 
Таким чином, ранг основної матриці дорівнює трьом. Ранг розширеної матриці також дорівнює трьом, тобто, система сумісна.
Знайдений ненульовий мінор третього порядку візьмемо в якості базисного.
Для наочності покажемо елементи, що утворюють базисний мінор: 
Ми залишаємо в лівій частині рівнянь системи складові, які беруть участь в базисному мінорі, решта переносимо з протилежними знаками в праві частини: 
Надамо вільним невідомим змінним x 2 і x 5 довільні значення, тобто, приймемо 
, Де - довільні числа. При цьому СЛАР набуде вигляду 
Отриману елементарну систему лінійних алгебраїчних рівнянь вирішимо методом Крамера: 
Отже,.
У відповіді не забуваємо вказати вільні невідомі змінні.
відповідь:
Де - довільні числа.
Підведемо підсумок.
Щоб вирішити систему лінійних алгебраїчних рівнянь загального вигляду, спочатку з'ясовуємо її спільність, використовуючи теорему Кронекера - Капеллі. Якщо ранг основної матриці не дорівнює рангу розширеної матриці, то робимо висновок про несумісності системи.
Якщо ранг основної матриці дорівнює рангу розширеної матриці, то вибираємо базисний мінор і відкидаємо рівняння системи, які не беруть участі в утворенні обраного базисного мінору.
Якщо порядок базисного мінору дорівнює числу невідомих змінних, то СЛАР має єдине рішення, яке знаходимо будь-яким відомим нам способом.
Якщо порядок базисного мінору менше числа невідомих змінних, то в лівій частині рівнянь системи залишаємо складові з основними невідомими змінними, інші складові переносимо в праві частини і надаємо вільним невідомим змінним довільні значення. З отриманої системи лінійних рівнянь знаходимо основні невідомі змінні методом Крамера, матричним методом або методом Гаусса.
Метод Гаусса для вирішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь загального вигляду.
Методом Гауса можна вирішувати системи лінійних алгебраїчних рівнянь будь-якого виду без попереднього їх дослідження на спільність. Процес послідовного виключення невідомих змінних дозволяє зробити висновок як про спільності, так і про несумісності СЛАР, а в разі існування рішення дає можливість відшукати його.
З точки зору обчислювальної роботи метод Гаусса найбільш прийнятний.
Дивіться його докладний опис і розібрані приклади в статті метод Гаусса для вирішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь загального вигляду.
Запис спільного рішення однорідних і неоднорідних систем лінійних алгебраїчних за допомогою векторів фундаментальної системи рішень.
У цьому розділі мова піде про спільні однорідних і неоднорідних системах лінійних алгебраїчних рівнянь, що мають безліч рішень.
Розберемося спочатку з однорідними системами.
Фундаментальною системою рішень однорідної системи з p лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими змінними називають сукупність (n - r) лінійно незалежних рішень цієї системи, де r - порядок базисного мінору основної матриці системи.
Якщо позначити лінійно незалежні рішення однорідної СЛАР як X (1), X (2), ..., X (nr) (X (1), X (2), ..., X (nr) - це матриці стовпці розмірності n на 1) , то загальне рішення цієї однорідної системи представляється у вигляді лінійної комбінації векторів фундаментальної системи рішень з довільними постійними коефіцієнтами з 1, з 2, ..., с (nr), тобто,.
Що означає термін спільне рішення однорідної системи лінійних алгебраїчних рівнянь (Орослан)?
Сенс простий: формула задає всі можливі рішення вихідної СЛАР, іншими словами, взявши будь-який набір значень довільних постійних С 1, С 2, ..., С (n-r), за формулою ми отримаємо одне з рішень вихідної однорідної СЛАР.
Таким чином, якщо ми знайдемо фундаментальну систему рішень, то ми зможемо поставити всі рішення цієї однорідної СЛАР як.
Покажемо процес побудови фундаментальної системи рішень однорідної СЛАР.
Вибираємо базисний мінор вихідної системи лінійних рівнянь, виключаємо всі інші рівняння з системи і переносимо в праві частини рівнянь системи з протилежними знаками всі складові, що містять вільні невідомі змінні. Надамо вільним невідомим змінним значення 1,0,0, ..., 0 і обчислимо основні невідомі, вирішивши отриману елементарну систему лінійних рівнянь будь-яким способом, наприклад, методом Крамера. Так буде отримано X (1) - перше рішення фундаментальної системи. Якщо надати вільним невідомим значення 0,1,0,0, ..., 0 і обчислити при цьому основні невідомі, то отримаємо X (2). І так далі. Якщо вільним невідомим змінним додамо значення 0,0, ..., 0,1 і обчислимо основні невідомі, то отримаємо X (n-r). Так буде побудована фундаментальна система рішень однорідної СЛАР і може бути записано її спільне рішення у вигляді.
Для неоднорідних систем лінійних алгебраїчних рівнянь спільне рішення представляється у вигляді, де - загальне рішення відповідної однорідної системи, а - приватне рішення вихідної неоднорідною СЛАР, яке ми отримуємо, надавши вільним невідомим значення 0,0, ..., 0 і обчисливши значення основних невідомих.
Розберемо на прикладах.
Приклад.
Знайдіть фундаментальну систему рішень і спільне рішення однорідної системи лінійних алгебраїчних рівнянь 
.
Рішення.
Ранг основної матриці однорідних систем лінійних рівнянь завжди дорівнює рангу розширеної матриці. Знайдемо ранг основної матриці методом оздоблюють мінорів. Як ненульового мінору першого порядку візьмемо елемент a 1 + 1 \u003d 9 основної матриці системи. Знайдемо окаймляющий ненульовий мінор другого порядку: 
Мінор другого порядку, відмінний від нуля, знайдений. Переберемо оздоблюють його мінори третього порядку в пошуках ненульового: 
Все оздоблюють мінори третього порядку дорівнюють нулю, отже, ранг основної і розширеної матриці дорівнює двом. Базовим мінор візьмемо. Відзначимо для наочності елементи системи, які його утворюють: 
Третє рівняння вихідної СЛАР не бере участі в утворенні базисного мінору, тому, може бути виключено: 
Ми залишаємо в правих частинах рівнянь складові, які містять основні невідомі, а в праві частини переносимо доданки з вільними невідомими:
Побудуємо фундаментальну систему рішень вихідної однорідної системи лінійних рівнянь. Фундаментальна система рішень даної СЛАР складається з двох рішень, так як початкова СЛАУ містить чотири невідомих змінних, а порядок її базисного мінору дорівнює двом. Для знаходження X (1) додамо вільним невідомим змінним значення x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0, тоді основні невідомі знайдемо з системи рівнянь 
.
