Фокусна відстань параболи. Діректоріальное властивість параболи. Формули знаходження вершини

III рівень

3.1. Гіпербола стосується прямих 5 x – 6y – 16 = 0, 13x – 10y - - 48 \u003d 0. Запишіть рівняння гіперболи за умови, що її осі збігаються з осями координат.

3.2. Складіть рівняння дотичних до гіперболи

1) проходять через точку A(4, 1), B(5, 2) і C(5, 6);

2) паралельних прямої 10 x – 3y + 9 = 0;

3) перпендикулярних прямої 10 x – 3y + 9 = 0.

параболою називається геометричне місце точок площини, координати яких задовольняють рівняння

Параметри параболи:

Крапка F(p/ 2, 0) називається фокусом параболи, величина p – параметром , крапка Про(0, 0) – вершиною . При цьому пряма OF, Щодо якої парабола симетрична, задає вісь цієї кривої.

величина де M(x, y) - довільна точка параболи, називається фокальним радіусом , пряма D: x = –p/2 – директоркою (Вона не перетинає внутрішню область параболи). величина називається ексцентриситетом параболи.

Основне характеристичне властивість параболи: Все точки параболи рівновіддалені від директриси і фокуса (рис. 24).

Існують інші форми канонічного рівняння параболи, які визначають інші напрямки її гілок в системі координат (рис. 25) .:

для параметричного завдання параболи в якості параметра t може бути взята величина ординати точки параболи:

де t - довільне дійсне число.

Приклад 1.Визначити параметри і форму параболи по її канонічному рівнянню:

Рішення.1. Рівняння y 2 = –8x визначає параболу з вершиною в точці Про Оx. Її гілки спрямовані вліво. Порівнюючи дане рівняння з рівнянням y 2 = –2px, Знаходимо: 2 p = 8, p = 4, p/ 2 \u003d 2. Отже, фокус знаходиться в точці F(-2; 0), рівняння директриси D: x \u003d 2 (рис. 26).

2. Рівняння x 2 = –4y задає параболу з вершиною в точці O(0; 0), симетричну щодо осі Oy. Її гілки спрямовані вниз. Порівнюючи дане рівняння з рівнянням x 2 = –2py, Знаходимо: 2 p = 4, p = 2, p/ 2 \u003d 1. Отже, фокус знаходиться в точці F(0; -1), рівняння директриси D: y \u003d 1 (рис. 27).

Приклад 2.Визначити параметри і вид кривої x 2 + 8x – 16y - 32 \u003d 0. Зробити креслення.

Рішення. перетворимо ліву частину рівняння, використовуючи метод виділення повного квадрата:

x 2 + 8x– 16y – 32 =0;

(x + 4) 2 – 16 – 16y – 32 =0;

(x + 4) 2 – 16y – 48 =0;

(x + 4) 2 – 16(y + 3).

В результаті отримаємо

(x + 4) 2 = 16(y + 3).

Це канонічне рівняння параболи з вершиною в точці (-4; -3), параметром p \u003d 8, гілками, спрямованими вгору (), віссю x \u003d -4. Фокус знаходиться в точці F(–4; –3 + p/ 2), т. Е. F(-4; 1) Директриса D задається рівнянням y = –3 – p/ 2 або y \u003d -7 (рис. 28).

Приклад 4.Скласти рівняння параболи з вершиною в точці V(3; -2) і фокусом в точці F(1; –2).

Рішення. Вершина і фокус даної параболи лежать на прямій, паралельній осі Ox (Однакові ординати), гілки параболи спрямовані вліво (абсциса фокуса менше абсциси вершини), відстань від фокуса до вершини одно p/2 = 3 – 1 = 2, p \u003d 4. Отже, шукане рівняння

(y + 2) 2 \u003d -2 · 4 ( x - 3) або ( y + 2) 2 = = –8(x – 3).

Завдання для самостійного рішення

I рівень

1.1. Визначте параметри параболи і побудувати її:

1) y 2 = 2x; 2) y 2 = –3x;

3) x 2 = 6y; 4) x 2 = –y.

1.2. Напишіть рівняння параболи з вершиною в початку координат, якщо відомо, що:

1) парабола розташована в лівій півплощині симетрично щодо осі Ox і p = 4;

2) парабола розташована симетрично щодо осі Oy і проходить через точку M(4; –2).

3) директриса задана рівнянням 3 y + 4 = 0.

1.3. Складіть рівняння кривої, всі крапки якої рівновіддалені від точки (2; 0) і прямий x = –2.

II рівень

2.1. Визначити тип і параметри кривої.

ОПР 1.параболою називається геометричне місце точок на площині, відстані від яких до деякої точки, званої фокусом, і до деякої прямої, званої директоркою, рівні.

Для виведення рівняння параболи введемо на площині прямокутну систему координат так, щоб вісь абсцис проходила через фокус перпендикулярно директрисі, і будемо вважати її позитивним напрямком напрямок від директриси до фокусу. Початок координат розташуємо посередині між фокусом і директоркою. Виведемо рівняння параболи в обраній системі координат.

Нехай М ( х; у) - довільна точка площини.

позначимо через r відстань від точки М до фокуса F, нехай r \u003d FM,

через d - відстань від точки до директриси, а через р відстань від фокуса до директриси.

величину р називають параметром параболи, його геометричний зміст розкритий далі.

Точка М буде лежати на даній параболі в тому і тільки в тому випадку, коли r \u003d d.

У цьому випадку маємо

рівняння

y 2 = 2 p x

називається канонічним рівнянням параболи .

властивості параболи

1. Парабола проходить через початок координат, тому що координати початку координат задовольняють рівняння параболи.

2. Парабола симетрична щодо осі ОХ, тому що точки з координатами ( x, y) І ( x, − y) Задовольняють рівняння параболи.

3. Якщо р \u003e 0, то гілки параболи спрямовані вправо і парабола знаходиться в правій півплощині.

4. Точка Про називається вершиною параболи, вісь симетрії (вісь Ох) - віссю параболи.

Точка називається фокусом параболи, пряма - директоркою параболи, середина перпендикуляра, опущеного з фокуса на директрису, - вершиною параболи, відстань від фокуса до директриси - параметром параболи, а відстань від вершини параболи до її фокуса - фокусною відстанню (ріс.3.45, а) . Пряма, перпендикулярна директрисі і проходить через фокус, називається віссю параболи (фокальній віссю параболи). Відрізок, що з'єднує довільну точку параболи з її фокусом, називається фокальним радіусом точки. Відрізок, що з'єднує дві точки параболи, називається хордою параболи.

Для довільної точки параболи відношення відстані до фокусу до відстані до директриси дорівнює одиниці. Порівнюючи діректоріальние властивості еліпса, гіперболи і параболи, робимо висновок, що ексцентриситет параболи за визначенням дорівнює одиниці.

Геометричне визначення параболи, що виражає її діректоріальное властивість, еквівалентно її аналітичного визначення - лінії, що задається канонічним рівнянням параболи:

(3.51)

Дійсно, введемо прямокутну систему координат (ріс.3.45,6). Вершину параболи приймемо за початок системи координат; пряму, що проходить через фокус перпендикулярно директрисі, приймемо за вісь абсцис (позитивний напрямок на ній від точки до точки); пряму, перпендикулярну осі абсцис і проходить через вершину параболи, приймемо за вісь ординат (напрямок на осі ординат вибирається так, щоб прямокутна система координат виявилася правою).

Складемо рівняння параболи, використовуючи її геометричне визначення, що виражає діректоріальное властивість параболи. У вибраній системі координат визначаємо координати фокуса та рівняння директриси. Для довільної точки, що належить параболі, маємо:

де - ортогональна проекція точки на директрису. Записуємо це рівняння в координатної формі:

Зводимо обидві частини рівняння в квадрат: . Наводячи подібні члени, отримуємо канонічне рівняння параболи

тобто обрана система координат є канонічною.

Проводячи міркування в зворотному порядку, можна показати, що всі крапки, координати яких задовольняють рівняння (3.51), і тільки вони, належать геометричному місцю точок, званому параболою. Таким чином, аналітичне визначення параболи еквівалентно його геометричному визначенню, що виражає діректоріальное властивість параболи.

Наведемо наступні властивості параболи:

Властивість 10.10.

Парабола має вісь симетрії.

Доведення

Мінлива y входить в рівняння тільки в другому ступені. Тому, якщо координати точки M (x; y) задовольняють рівняння параболи, то і координати точки N (x; - y) будуть йому задовольняти. Точка N симетрична точці M щодо осі Ox. Отже, вісь Ox є віссю симетрії параболи в канонічній системі координат.

Вісь симетрії називається віссю параболи. Точка перетину параболи з віссю називається вершиною параболи. Вершина параболи в канонічній системі координат знаходиться на початку координат.

Властивість 10.11.

Парабола розташована в півплощині x ≥ 0.

Доведення

Дійсно, так як параметр p позитивний, то рівняння можуть задовольняти тільки точки з невід'ємними абцісс, тобто точки півплощини x ≥ 0.

При заміні системи координат задана в умові точка A з координатами матиме нові координати, які визначаються з соотношенійТакім чином, точка A буде мати в канонічній системі коордінатиДанную точкуназивают фокусом параболи і позначають буквою F.

Пряма l, що задається в старій системі координат рівнянням в новій системі координат буде мати видили, опускаючи штрихування,

Дана пряма в канонічній системі координат називається директоркою параболи. Відстань від неї до фокусу називається фокальним параметромпараболи. Очевидно, він дорівнює p. Ексцентриситет параболи за визначенням вважають рівними одиниці, тобто ε \u003d k \u003d 1.

Тепер властивість, через яке ми визначили параболу, в нових термінах можна сформулювати наступним чином: будь-яка точка параболи рівновіддалена від її фокуса і директриси.

Вид параболи в канонічній системі координат і розташування її директриси наведені на рис. 10.10.1.

Малюнок 10.10.1.

Над полем P, є лінійний оператор, якщо 1) для будь-яких векторов2) для будь-якого вектораі будь-кого.

1) Матриця лінійного оператора: Нехай φ-Л.О. векторного простору V над полем P і один з базисів V: нехай Тоді матриця Л.О.φ: 2) Зв'язок між матрицями лінійного оператора в різних базисах: M (φ) - матриця Л.О. φ в старому базисі. M1 (φ) - матриця Л.О. φ в новому базисі. Т - матриця переходу від старшого базису до нового базису. 2) Дії над лінійними операторами: Нехай φ і f - різні Л.О. векторного простору V. Тоді φ + f - сума лінійних операторів φ і f. k · φ - множення Л.О. на скаляр k. φ · f - твір лінійних операторів φ і f. Являюіся також Л.О. вектороного простору V.

4) Ядро лінійного оператора: d (φ) - розмірність ядра Л.О. φ (дефект). 5) Образ лінійного оператора: ranφ - ранг Л.О. φ (розмірність Jmφ). 6) собсвенно вектори і власні значення лінійного вектора:  Нехай φ - Л.О. векторного простору V над полем P і іЕсліто λ - власне значення-власний вектор Л.О. φ, що відповідає λ.  Характеристичне рівняння Л.О. φ:  Безліч власних векторів, що відповідають власному значенню λ:  Л.О. вектороного простору називаються Л.О. з простим спектром, якщо φ, якщо φ має рівно n власних значень.  Якщо φ - Л.О. з простим спектром, то він має базис з власних векторів, щодо якого матриця Л.О. φ діагональна.

2) Положення прямої в просторі цілком визначається завданням будь-якої її фіксованою точки М 1 і вектора, паралельного цієї прямої.

Вектор, паралельний прямій, називається напрямних вектором цієї прямої.

Отже, нехай пряма l проходить через точку М 1 (x 1 , y 1 , z 1 ), Що лежить на прямій паралельно вектору.

Розглянемо довільну точку М (x, y, z) на прямій. З малюнка видно, що.

Вектори іколлінеарни, тому знайдеться таке число t, Що, де множник t може приймати будь-яке числове значення в залежності від положення точки M на прямій. множник t називається параметром. Позначивши радіус-вектори точок М 1 і М відповідно через і, отримуємо. Це рівняння називається векторних рівнянням прямої. Воно показує, що кожному значенню параметра t відповідає радіус-вектор деякої точки М, Що лежить на прямій.

Запишемо це рівняння в координатної формі. Зауважимо, що, іотсюда

Отримані рівняння називаються параметрическимирівняннями прямої.

При зміні параметра t змінюються координати x, y і z і крапка М переміщається по прямій.

Канонічне рівняння ПРЯМИЙ

нехай М 1 (x 1 , y 1 , z 1 ) - точка, що лежить на прямій l, і - її направляючий вектор. Знову візьмемо на прямий довільну точку М (x, y, z) і розглянемо вектор.

Ясно, що вектори іколлінеарние, тому їх відповідні координати повинні бути пропорційні, отже,

– канонічні рівняння прямої.

Зауваження 1. Зауважимо, що канонічні рівняння прямої можна було отримати з параметричних, виключивши параметр t. Дійсно, з параметричних рівнянь отримуємо або .

Приклад. Записати рівняння прямої в параметричному вигляді.

позначимо , звідси x = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.

Зауваження 2. Нехай пряма перпендикулярна одній з координатних осей, наприклад осі Ox. Тоді спрямовує вектор прямої перпендикулярний Ox, Отже, m\u003d 0. Отже, параметричні рівняння прямої візьмуть вид

Виключаючи з рівнянь параметр t, Отримаємо рівняння прямої у вигляді

Однак і в цьому випадку домовимося формально записувати канонічні рівняння прямої у вигляді . Таким чином, якщов знаменнику однією з дробів варто нуль, то це означає, що пряма перпендикулярна відповідної координатної осі.

Аналогічно, канонічним рівнянням відповідає пряма перпендикулярна осям Ox і Oyабо паралельна осі Oz.

Приклади.

Канонічні рівняння: .

Параметричні рівняння:

Скласти рівняння прямої, що проходить через дві точки М 1 (-2;1;3), М 2 (-1;3;0).

Складемо канонічні рівняння прямої. Для цього знайдемо спрямовує вектор. тоді l:.

ЗАГАЛЬНІ Рівняння ПРЯМИЙ, ЯК ЛІНІЇ ПЕРЕТИНУ ДВОХ ПЛОЩИН

Через кожну пряму в просторі проходить безліч площин. Будь-які дві з них, перетинаючись, визначають її в просторі. Отже, рівняння будь-яких двох таких площин, що розглядаються спільно представляють собою рівняння цієї прямої.

Взагалі будь-які дві які паралельні площині, задані загальними рівняннями

визначають пряму їх перетину. Ці рівняння називаються загальними рівняннями прямий.

Приклади.

Побудувати пряму, задану рівняннями

Для побудови прямої досить знайти будь-які дві її точки. Найпростіше вибрати точки перетину прямої з координатними площинами. Наприклад, точку перетину з площиною xOy отримаємо з рівнянь прямої, вважаючи z= 0:

Вирішивши цю систему, знайдемо точку M 1 (1;2;0).

Аналогічно, вважаючи y\u003d 0, отримаємо точку перетину прямої з площиною xOz:

Від загальних рівнянь прямої можна перейтік її канонічним або параметричних рівнянь. Для цього потрібно знайти якусь точку М 1 на прямий і спрямовує вектор прямої.

координати точки М 1 отримаємо з даної системи рівнянь, надавши одній з координат довільне значення. Для відшукання направляючого вектора, зауважимо, що цей вектор повинен бути перпендикулярний до обох нормальним векторам і. Тому за направляючий векторпрямой l можна взяти векторний добуток нормальних векторів:

.

Приклад. Привести загальні рівняння прямої до канонічного вигляду.

Знайдемо точку, що лежить на прямій. Для цього виберемо довільно одну з координат, наприклад, y\u003d 0 і вирішимо систему рівнянь:

Нормальні вектори площин, що визначають пряму мають координати Тому спрямовує вектор прямої буде

. отже, l: .

1) Нехай і - два базису в R n .

Визначення. матрицею переходу від базису до базису називається матриця C, стовпцями якої є координати векторів в базисі :

Матриця переходу оборотна, оскільки вектори базису лінійно незалежні і, отже,

Вектор лінійно виражається через вектори обох базисів. Зв'язок координат вектора в різних базисах встановлена \u200b\u200bв наступній теоремі.

Теорема. якщо

то координати вектора в базисі , І його координати в базисі зв'язані співвідношеннями

де - матриця переходу від базису до базису , - вектори-стовпці координат вектора в базисах і відповідно.

2)Взаємне розташування двох прямих

Якщо прямі задані рівняннями Іто вони:

1) паралельні (але не збігаються)

2) збігаються

3) перетинаються

4) схрещуються

Якщо то випадки 1 - 4 мають місце, коли (- знак заперечення умови):

3)

4)

Відстань між двома паралельними прямими

У координатах

Відстань між двома перехресними прямими

У координатах

Кут між двома прямими

Необхідна і достатня умова перпендикулярності двох прямих

або

Взаємне розміщення прямої і площини

Площина і пряма

1) перетинаються

2) пряма лежить в площині

3) паралельні

Якщо то випадки 1 - 3 мають місце, коли:

1)

Необхідна і достатня умова паралельності прямої і площини

Кут між прямою і площиною

Точка перетину прямої з площиною

У координатах:

Рівняння прямої, що проходить через точку перпендикулярно до площини

У координатах:

1) Очевидно, що система лінійних уранвеній може бути записана у вигляді:

x 1 + x 2 + ... + x n

Доведення.

1) Якщо рішення існує, то стовпець вільних членів є лінійна комбінація стовпців матриці А, а значить додавання цього стовпця в матрицю, тобто перехід АА * не змінюють рангу.

2) Якщо RgA \u003d RgA *, то це означає, що вони мають один і той жебазісний мінор. Стовпець вільних членів - лінійна комбінація стовпців базисного мінору, ті вірна запис, наведена вище.

2) Площина в просторі.

Отримаємо спочатку рівняння площини, що проходить через точку М 0 (х 0 , у 0 , z 0 ) Перпендикулярно вектору n = {A, B, C), Званому нормаллю до площини. Для будь-якої точки площини М (х, у,z) вектор М 0 М = {x - x 0 , y - y 0 , z - z 0 ) Ортогонален вектору n , Отже, їх скалярний добуток дорівнює нулю:

A(x - x 0 ) + B(y - y 0 ) + C(z - z 0 ) = 0. (8.1)

Отримано рівняння, якому задовольняє будь-яка точка заданої площині - рівняння площини, що проходить через дану точку перпендикулярно даному вектору.

Після приведення подібних можна записати рівняння (8.1) у вигляді:

Ax + By + Cz + D = 0, (8.2)

де D \u003d -Ax 0 - By 0 - Cz 0 . Це лінійне рівняння відносно трьох змінних називають загальним рівнянням площини.

Неповні рівняння площині.

Якщо хоча б одне з чисел А, В, С,D дорівнює нулю, рівняння (8.2) називають неповним.

Розглянемо можливі види неповних рівнянь:

1) D \u003d 0 - площину Ax + By + Cz \u003d 0 проходить через початок координат.

2) А = 0 – n = {0,B, C} Ox, Отже, площина By + Cz + D\u003d 0 паралельна осі Ох.

3) В\u003d 0 - площину Ax + Cz + D = 0 паралельна осі Оу.

4) З \u003d 0 - площину Ax + By + D \u003d 0 паралельна осі Проz.

5) А \u003d В \u003d 0 - площину Cz + D Оху (Так як вона паралельна осях Ох і Оу).

6) А \u003d С \u003d 0 - площину Ву +D \u003d 0 паралельна координатній площині Охz.

7) B = C \u003d 0 - площину Ax + D \u003d 0 паралельна координатній площині Оуz.

8) А \u003dD \u003d 0 - площину By + Cz \u003d 0 проходить через вісь Ох.

9) B = D \u003d 0 - площину Ах + Сz \u003d 0 проходить через вісь Оу.

10) C = D \u003d 0 - площину Ax + By \u003d 0 проходить через вісь Oz.

11) A = B = D \u003d 0 - рівняння Зz \u003d 0 задає координатну площину Оху.

12) A = C = D \u003d 0 - отримуємо Ву \u003d 0 - рівняння координатної площини Охz.

13) B = C = D \u003d 0 - площину Ах\u003d 0 є координатної площиною Оуz.

Якщо ж загальне рівняння площини є повним (тобто жоден з коефіцієнтів не дорівнює нулю), його можна привести до виду:

званому рівнянням площини у відрізках. Спосіб перетворення показаний в лекції 7. \u200b\u200bПараметри а,b і з рівні величинам відрізків, що відсікаються площиною на координатних осях.

1) однорідні системи лінійних рівнянь

Однорідна система лінійних рівнянь AX \u003d 0 завжди сумісна. Вона має нетривіальні (ненульові) рішення, якщо r \u003d rank A< n .

Для однорідних систем базисні змінні (коефіцієнти при яких утворюють базисний мінор) виражаються через вільні змінні співвідношеннями виду:

тоді n - r лінійно незалежними вектор-рішеннями будуть:

а будь-яке інше рішення є їх лінійною комбінацією. Вектор-рішення утворюють нормовану фундаментальну систему.

У лінійному просторі безліч рішень однорідної системи лінійних рівнянь утворює підпростір розмірності n - r; - базис цього підпростору.

Параболою називається геометричне місце точок площини, рівновіддалених від заданої точки F

і заданої прямої dd, що не проходить через задану точку. Це геометричне визначення висловлює діректоріальное властивість параболи.

Діректоріальное властивість парабол

Точка F називається фокусом параболи, пряма d - директоркою параболи, середина O перпендикуляра, опущеного з фокуса на директрису, - вершиною параболи, відстань p від фокуса до директриси - параметром параболи, а відстань p2от вершини параболи до її фокуса - фокусною відстанню. Пряма, перпендикулярна директрисі і проходить через фокус, називається віссю параболи (фокальній віссю параболи). Відрізок FM, що з'єднує довільну точку M параболи з її фокусом, називається фокальним радіусом точки

M. Відрізок, що з'єднує дві точки параболи, називається хордою параболи.

Для довільної точки параболи відношення відстані до фокусу до відстані до директриси дорівнює одиниці. Порівнюючи діректоріальние властивості еліпса, гіперболи і параболи, робимо висновок, що ексцентриситет параболи за визначенням дорівнює одиниці

Геометричне визначення параболи, Що виражає її діректоріальное властивість, еквівалентно її аналітичному визначенню - лінії, що задається канонічним рівнянням параболи:

властивості

• Вона має вісь симетрії, званої віссю параболи. Ось проходить через фокус і вершину перпендикулярно директрисі.
• Оптичне властивість. Пучок променів, паралельних осі параболи, відбиваючись в параболі, збирається в її фокусі. І навпаки, світло від джерела, що знаходиться у фокусі, відбивається параболою в пучок паралельних її осі променів.
• Якщо фокус параболи відобразити щодо дотичній, то його образ буде лежати на директрисі.
• Відрізок, що з'єднує середину довільної хорди параболи і точку перетину дотичних до неї в кінцях цієї хорди, перпендикулярний директрисі, а його середина лежить на параболі.
• Парабола є антіподерой прямий.
• Все параболи подібні. Відстань між фокусом і директоркою визначає масштаб.

Функція однієї дійсної змінної: основні поняття, приклади.

Визначення: Якщо кожному значенню х числового безлічі X за правилом f відповідає єдине число безлічі Y, то кажуть, що на числовому безлічі X задана функція у \u003d f (x), значення х визначаються безліччю значень, що входять в область визначення функції (Х).
В цьому випадку х називається аргументом, а у - значенням функції. Безліч X називається областю визначення функції, Y - безліччю значень функції.
Часто задають це правило формулою; наприклад, у \u003d 2х + 5. Зазначений спосіб завдання функції за допомогою формули називається аналітичним.
Функціяй можна так само задати графіком - Графіком функції у - f (x) називається безліч точок площині, координати х, у яких задовольняють співвідношенню у \u003d f (x).

Що таке парабола знають, мабуть, усі. А ось як її правильно, грамотно використовувати при вирішенні різних практичних завдань, розберемося нижче.

Спочатку позначимо основні поняття, які дає цьому терміну алгебра і геометрія. Розглянемо всі можливі види цього графіка.

Дізнаємося все основні характеристики цієї функції. Зрозуміємо основи побудови кривої (геометрія). Навчимося знаходити вершину, інші основні величини графіка даного типу.

Дізнаємося: як правильно будується шукана крива за рівнянням, на що треба звернути увагу. подивимося основне практичне застосування цієї унікальної величини в житті людини.

Що таке парабола і як вона виглядає

Алгебра: під цим терміном розуміється графік квадратичної функції.

Геометрія: це крива другого порядку, що має ряд певних особливостей:

Канонічне рівняння параболи

На малюнку зображена прямокутна система координат (XOY), екстремум, напрямок гілок креслення функції вздовж осі абсцис.

Канонічне рівняння має вигляд:

y 2 \u003d 2 * p * x,

де коефіцієнт p - фокальний параметр параболи (AF).

В алгебрі воно запишеться інакше:

y \u003d a x 2 + b x + c (відомий шаблон: y \u003d x 2).

Властивості і графік квадратичної функції

Функція має віссю симетрії і центром (екстремум). Область визначення - все значення осі абсцис.

Область значень функції - (-∞, М) або (М, + ∞) залежить від напрямку гілок кривої. Параметр М тут означає величину функції в вершині лінії.

Як визначити, куди спрямовані гілки параболи

Щоб знайти напрям кривої такого типу з виразу, потрібно визначити знак перед першим параметром алгебраїчного виразу. Якщо а ˃ 0, то вони спрямовані вгору. Якщо навпаки - вниз.

Як знайти вершину параболи за формулою

Знаходження екстремуму є основним етапом при вирішенні безлічі практичних завдань. Звичайно, можна відкрити спеціальні онлайн калькулятори, Але краще це вміти робити самому.

Як же її визначити? Є спеціальна формула. Коли b не дорівнює 0, треба шукати координати цієї точки.

Формули знаходження вершини:

• x 0 \u003d -b / (2 * a);
• y 0 \u003d y (x 0).

Приклад.

Є функція у \u003d 4 * x 2 + 16 * x - 25. Знайдемо вершини цієї функції.

Для такої лінії:

• х \u003d -16 / (2 * 4) \u003d -2;
• y \u003d 4 * 4 - 16 * 2 - 25 \u003d 16 - 32 - 25 \u003d -41.

Отримуємо координати вершини (-2, -41).

зсув параболи

Класичний випадок, коли в квадратичної функції y \u003d a x 2 + b x + c, другий і третій параметри дорівнюють 0, а \u003d 1 - вершина знаходиться в точці (0; 0).

Рух по осях абсцис або ординат обумовлено зміною параметрів b і c відповідно. Зрушення лінії на площині буде здійснюватися рівно на ту кількість одиниць, чому дорівнює значення параметра.

Приклад.

Маємо: b \u003d 2, c \u003d 3.

Це означає, що класичний вигляд кривої зрушиться на 2 одиничних відрізка по осі абсцис і на 3 - по осі ординат.

Як будувати параболу по квадратного рівняння

Школярам важливо засвоїти, як правильно накреслити параболу по заданих параметрах.

Аналізуючи вирази і рівняння, можна побачити наступне:

1. Точка перетину шуканої лінії з вектором ординат матиме значення, рівне величині с.
2. Всі точки графіка (по осі абсцис) будуть симетричні щодо основного екстремуму функції.

Крім того, місця перетину з ОХ можна знайти, знаючи дискриминант (D) такої функції:

D \u003d (b 2 - 4 * a * c).

Для цього потрібно прирівняти вираз до нуля.

Наявність коренів параболи залежить від результату:

• D ˃ 0, то х 1, 2 \u003d (-b ± D 0,5) / (2 * a);
• D \u003d 0, то х 1, 2 \u003d -b / (2 * a);
• D ˂ 0, то немає точок перетину з вектором ОХ.

Отримуємо алгоритм побудови параболи:

• визначити напрямок гілок;
• знайти координати вершини;
• знайти перетин з віссю ординат;
• знайти перетин з віссю абсцис.

Приклад 1.

Дана функція у \u003d х 2 - 5 * х + 4. Необхідно побудувати параболу. Діємо за алгоритмом:

1. а \u003d 1, отже, гілки спрямовані вгору;
2. координати екстремуму: х \u003d - (-5) / 2 \u003d 5/2; y \u003d (5/2) 2 - 5 * (5/2) + 4 \u003d -15/4;
3. з віссю ординат перетинається в значенні у \u003d 4;
4. знайдемо дискримінант: D \u003d 25 - 16 \u003d 9;
5. шукаємо корені:

• Х 1 \u003d (5 + 3) / 2 \u003d 4; (4, 0);
• Х 2 \u003d (5 - 3) / 2 \u003d 1; (1, 0).

Приклад 2.

Для функції у \u003d 3 * х 2 - 2 * х - 1 потрібно побудувати параболу. Діємо за наведеним алгоритмом:

1. а \u003d 3, отже, гілки спрямовані вгору;
2. координати екстремуму: х \u003d - (-2) / 2 * 3 \u003d 1/3; y \u003d 3 * (1/3) 2 - 2 * (1/3) - 1 \u003d -4/3;
3. з віссю у буде перетинатися в значенні у \u003d -1;
4. знайдемо дискримінант: D \u003d 4 + 12 \u003d 16. Значить коріння:

• Х 1 \u003d (2 + 4) / 6 \u003d 1; (1; 0);
• Х 2 \u003d (2 - 4) / 6 \u003d -1/3; (-1/3; 0).

За отриманими точкам можна побудувати параболу.

Директриса, ексцентриситет, фокус параболи

Виходячи з канонічного рівняння, фокус F має координати (p / 2, 0).

Пряма АВ - директриса (свого роду хорда параболи певної довжини). Її рівняння: х \u003d -р / 2.

Ексцентриситет (константа) \u003d 1.

висновок

Ми розглянули тему, яку вивчають школярі в середній школі. Тепер ви знаєте, дивлячись на квадратичну функцію параболи, як знайти її вершину, в яку сторону будуть спрямовані гілки, чи є зміщення по осях, і, маючи алгоритм побудови, зможете накреслити її графік.