Як побудувати графік функції f x m

Побудувавши точки (0; 4), (1; 5), (-1; 5), (2; 8), (-2; 8) на координатної площини і з'єднавши їх плавною кривою, одержимо параболу (кольорова лінія на рис. 43). Зверніть увагу - це точно така ж парабола, як і у \u003d х 2, але тільки зрушена уздовж осі у на 4 одиниці масштабу вгору. Вершина параболи тепер знаходиться в точці (0; 4), а не в точці (0; 0), як для параболи у \u003d х 2. Віссю симетрії як і раніше служить пряма х \u003d 0, як це було і в разі

параболи у \u003d х 2.

Якщо ж побудувати в одній системі координат графіки функцій у \u003d х 2 і у \u003d х 2 -2 (рис. 44), то зауважимо, що другий графік виходить з першого зрушенням (паралельним перенесенням) уздовж осі у на 2 одиниці масштабу вниз.

Точно так само йде справа і з графіками інших функцій. Наприклад, графік функції у \u003d 2х 2 - 3 - парабола, яка виходить з параболи у \u003d 2х 2 зрушенням (паралельним перенесенням) уздовж осі у на 3 одиниці масштабу вниз (рис. 45).

Взагалі, справедливо наступне твердження: щоб побудувати графік функції у \u003d f (x) + mт, де т - заданий позитивне число, треба зрушити графік функції у \u003d f (x) уздовж осі у на т одиниць масштабу вгору; щоб побудувати графік функції у \u003d f (x) - m, де m - заданий позитивне число, треба зрушити графік функції у \u003d f (x) уздовж осі у на т одиниць масштабу вниз.

Між іншим, цей результат не є для вас абсолютно новим. Згадайте, як було з графіками функцій у \u003d kx і у \u003d kx + m: це - дві паралельні прямі, одна з яких (у \u003d kx) проходить через початок координат, а інша (у \u003d kx + m) проходить через точку ( 0; m), т. е. фактично отримана з першої прямої зрушенням уздовж осі у на т одиниць (рис. 46).

Приклад 1. Побудувати графік функції у \u003d 2х 2 + 5.

Рішення. Побудувавши параболу у \u003d - 2х2 і зсунувши її
вздовж осі у вгору на 5 одиниць, отримаємо графік функції у \u003d - 2х 2 + 5 (рис. 47).

приклад 2. Побудувати графік функції - 2
Рішення. Побудувавши гіперболу і зсунувши її уздовж осі у вниз на 2 одиниці, отримаємо графік функції - 2 (рис. 48). Зверніть увагу, що і горизонтальна асимптота гіперболи зрушила на 2 одиниці вниз: для гіперболи асимптотой служила вісь х (пряма у \u003d 0), а для гіперболи - 2 асимптотой служить пряма у \u003d -2.

Приклад 3. Знайти найменше і найбільше значення функції у \u003d 3 - 2х 2 на відрізку [-2, 1].

Рішення. Побудуємо графік функції у \u003d 3 - 2х 2 і виділимо його частина на відрізку [- 2, 1] (рис. 49). Помічаємо, що у нанм \u003d - 5 (досягається при х \u003d - 2),

а у наиб. \u003d 3 (досягається при х \u003d 0).

Відповідь: у найм. \u003d - 5; у наиб. \u003d 3.

1. Область визначення функції - промінь [-4, + оо).

2. у \u003d 0 при х \u003d - 2 і при х \u003d 2; у\u003e 0 при -4<х<-2 и при -2<х<2;у<0 при х > 2.

3. Функція убуває на проміжках [-4, -2] і.
4. Функція обмежена зверху, але не обмежена знизу.

5 y нанм. не існує; y наиб \u003d 4 (досягається при х \u003d - 4 і при х \u003d 0).

6. Функція неперервна в заданій області визначення.

Зауваження. По суті справи, в цьому параграфі мова йшла про побудову графіка функції у \u003d f (x) + m, де m - будь-яке число, як позитивне, так і негативне. Ви, напевно, помітили, що, думаючи, на скільки одиниць масштабу треба зрушити вздовж осі у графік функції у \u003d f (x), ми не звертали уваги на знак числа m; графік зсувається в дійсності вгору або вниз на | m I одиниць. А ось напрямок зсуву якраз і визначалося знаком числа m при т\u003e 0 графік зсувається вгору, а при т< 0 - вниз.

Мордкович А. Г., алгебра . 8 кл .: Учеб. для загальноосвіт. учрежденій.- 3-е изд., доработ. - М .: Мнемозина, 2001. - 223 с: ил.

Бібліотека з підручниками та книгами на скачку безкоштовно онлайн, Математика для 8 класу скачати, шкільна програма з математики, плани конспектів уроків

зміст уроку конспект уроку опорний каркас презентація уроку акселеративного методи інтерактивні технології Практика завдання і вправи самоперевірка практикуми, тренінги, кейси, квести домашні завдання дискусійні питання риторичні питання від учнів ілюстрації аудіо-, відео- та мультимедіа фотографії, картинки графіки, таблиці, схеми гумор, анекдоти, приколи, комікси притчі, приказки, кросворди, цитати додатки реферати статті фішки для допитливих шпаргалки підручники основні і додаткові словник термінів інші Удосконалення підручників та уроків виправлення помилок в підручнику оновлення фрагмента в підручнику елементи новаторства на уроці заміна застарілих знань новими Тільки для вчителів ідеальні уроки календарний план на рік методичні рекомендації програми обговорення інтегровані уроки

На уроках алгебри, які навчаються повинні навчитися будувати графіки. Адже ці вміння можуть надати хороше значення і на інших предметах. Також це важливо і для життєвих ситуацій. Але щоб матеріал був наочний, потрібні різні способи його піднесення. Одним з таких дієвих способів є презентація.

слайди 1-2 (Тема презентації "Як побудувати графік функції у \u003d f (x) + m, якщо відомий графік функції у \u003d f (x)", приклад)

Дана презентація була підготовлена \u200b\u200bавтором для полегшення роботи вчителя, щоб заощадити сили і час. Тут є все необхідне, щоб донести матеріал до учнів. І починається ця презентація з окремого випадку, де на прикладі показано, як побудувати графік функції y \u003d x2 + 4, якщо навчаються вже можуть будувати графіки y \u003d x2 на його основі новий графік і будується.

Тобто спочатку слід зобразити графік y \u003d x2, а потім, побудувавши таблицю значень для другої функції побудувати її графік. Звідси стає ясно, що графік y \u003d x2 + 4 виходить шляхом зсуву графіка y \u003d x2 на 4 одиниці вгору. Таким чином, учитель може підвести учнів до способу побудови таких графіків, грунтуючись на вміння, отримані раніше. Але цей приклад кається тільки те, що до стандартної функції додається позитивне число.

слайди 3-4 (приклади, правила побудови)

Але в математиці часто можна зустріти випадок, коли до функції додається і негативне число. Для цього автор демонструє інші два приклади, розташованих на наступному слайді. Причому, автор акцентує увагу на те, що коефіцієнт ніяким чином не впливає на поведінку графіка, в плані його зсуву.

Далі в презентації йде словесна формулювання правила, за яким відбувається побудова графіка функції у \u003d f (x) + m. У ньому записано про те, що якщо до функції додати позитивне число m, то графік її зсувається на m одиниць вгору, а якщо віднімати, то на m одиниць вниз. Це учні повинні добре затямити. Тоді ніяких проблем з побудовою графіків не виникне.

слайди 5-6 (приклади)

Далі автор на прикладі лінійної функції, що проходить через початок координат, показує, як побудувати графік, якщо до значення функції додати число m. Це повинно буде в нагоді в подальшому, навіть на цьому ж уроці.

Після цього автор на прикладах пропонує показати, як застосовувати отримані знання. Тут дана функція y \u003d -2x2 + 5, потрібно побудувати її графік. Спочатку в системі координат будується графік y \u003d -2x2, а потім, цей графік, а точніше, все його точки піднімаються на 5 одиниць вгору. Це все показано на малюнку.

слайди 7-8 (приклади)

У наступному прикладі потрібно побудувати графік функції y \u003d 3 / x-2. Тут теж автор пропонує спочатку побудувати графік y \u003d 3 / x, а потім всі крапки цього графіка опустити на 2 одиниці вниз, так як з значення функції віднімається число 2.

Але ці приклади зовсім вже примітивні, рівень яких ледве дотягує до задовільного рівня. У математиці часто зустрічаються завдання набагато складніше цих. Тому автор пропонує розглянути наступний приклад, суть якого полягає саме не в тому, щоб побудувати графік функції, а знайти її найбільше і найменше значення. Але без знань, які давалися в даній презентації ніяк не обійтися.

слайди 9-10 (приклади)

Тоді робота по знаходженню найменшого і найбільшого значень буде полегшена. Для початку слід графік цієї функції побудувати згідно з новим правилом, а потім відзначити проміжок, на якому слід відшукати найменше та найбільше значення. І остаточно записати відповідь.

Наступний же приклад пропонує вирішити рівняння, у якого ліва і права частини рівності є деякі функції. Тому, щоб вирішити це рівняння потрібно знайти точки перетину цих графіків. Значить графіки функцій потрібно побудувати. Якраз одна з цих функцій дуже схожа на ту, що підходить під правило, вивчене на початку уроку. Застосувавши це правило, не доведеться будувати таблицю значень, а значить скорочується час на виконання даного завдання.

слайди 11-12 (приклад, зауваження)

Наступний же приклад містить в собі два правила побудови графіків функцій. Одне з них навчаються повинні проходити за темами трохи раніше, а інше по даній презентації. Побудувавши графіки за цими правилами, залишається більше часу на те, щоб описати властивості заданої функції. Що також важливо для учнів.

І останній слайд презентації містить зауваження, що графік зсувається вгору або вниз на | m | одиниць. Напрямок зсуву визначається знаком числа m: при m\u003e 0 графік зсувається вгору, при m<0 - вниз.

Презентацію учитель, звичайно, може доопрацювати, але автор постарався тут розмістити все необхідне і важливе. Її можна використовувати на стандартних уроках, на показових уроках і на позаурочних заняттях. Матеріал підібраний гармонійно, відповідно до методики навчання математики.

розділи: Математика

Мета уроку:

освітні:

• експериментальним шляхом отримання алгоритму побудови графіків функцій виду y \u003d f (x + l), y \u003d f (x) + m; ? у \u003d k(х - l) 2 , у \u003d KХ 2 + m, якщо відомий графік функції y \u003d KХ 2 ;
• засвоєння основних понять; впливу k, l і m на рух графіка;
• формування узагальнених знань, способів діяльності з побудови графіка функції y \u003d f (x + l), ? y \u003d f (x) + m, якщо відомий графік функції y \u003d f (x), оперування ними;
• застосування отриманого алгоритму та закономірностей його прояви до побудови графіків квадратичної функції, функції виду y \u003d k / x.

Розвиваючі:

• удосконалювати вміння логічно мислити і висловлювати свої думки вголос; стимулювати пізнавальну діяльність учнів постановкою проблемного завдання, оцінкою і заохоченням; сприяти розвитку спритності, кмітливості;
• розвиток навичок роботи з графіками, з'ясування властивостей функції за графіком і застосування шаблонів для побудови графіків;
• формування потреби в придбанні знань, розвиток кругозору, допитливості, уваги.

виховні:

• виховувати в учнів прагнення до вдосконалення своїх знань; виховувати інтерес до предмету;
• виховання навичок самоконтролю, звички до рефлексії;
• культури математичної мови, прищеплення інтересу до вивчення математики.
• зміна ролі учня в навчальному процесі від пасивного спостерігача до активного дослідника.

Устаткування: шаблони лінійка, олівець, кольорові олівці, планшети.

Хід уроку

Організаційний момент. / Мета- позитивний настрой на організовану роботу /.

(Привітання, перевірка готовності уч-ся до уроку, організація уваги учнів).

Етап перевірки виконання домашнього завдання. Мета-з'ясування прогалин в знаннях.

Повторення теми: "Як побудувати графік функції y \u003d f (x + l), якщо відомий графік функції y \u003d f (x)?" (Визначення типових недоліків в знаннях і їх причин; виправлення допущених помилок; використання взаємодопомоги і самоконтролю учнів).

1. Назвіть формули функцій, графіки яких ви будували в домашній роботі, які відрізнялися один від одного числом, додають до аргументу функції. Назвіть це число.

2. Як розташовані графіки в першому випадку відносно один одного при побудові їх в одній системі координат? На скільки одиниць один з графіків зрушать щодо іншого? (Зрушення графіка вліво).

3. Назвіть формули функцій, графіки яких ви будували в домашній роботі, які відрізнялися один від одного числом, віднімається з аргументу функції. Назвіть це число.

4. Як розташовані графіки в другому випадку відносно один одного при побудові їх в одній системі координат? На скільки одиниць один з графіків зрушать щодо іншого? (Зрушення графіка вправо).

5. Як маючи графік однієї з функцій, ви могли б побудувати графік другої функції? Що для цього вам було б потрібно знати.

Актуалізація знань. Усна робота.

Мета-розрізнення видів функцій.

1. Завдання: Игра. "Збери яблука". Задані формули на внутрішній стороні паперової моделі яблука, потрібно зібрати і розсортувати яблука по кошиках №1; №2; №3.В №1- елементарні функції; №2 -Функції відчувають розтягування і стиснення; №3 - функції зсунуті вздовж осі ОХ. Графіки яких функцій виявилися в 1 кошику, 2 і 3? ( у \u003d x 2 , у \u003d (х + 3) 2; у \u003d 4 (х + 5) 2 ; у \u003d (х + 0,3) 2; у \u003d (х - 3) 2; у \u003d x 2 -2; у \u003d 2х 2 -3; у \u003d -12x 2 у \u003d - x 2 , , , ; y \u003d -2х 2 ; y \u003d 0,5х 2). Слайд12. / Додаток № 1 /

Які формули виявилися зайвими? (Поки відкладемо ці формули) / Додаток №2 /

2. Завдання. Графік якої функції зображено на малюнку.

3. Завдання. Заповніть порожні графи таблиці: / Додаток №3 /

х	- 4	- 3	- 2	-	0	1			4
у		9		1			4	9

За отриманими даними яку фігуру можна побудувати? (Криву).

Назвіть формулу залежності. Побудуйте її графік.Как називається графік функції y \u003d KХ 2? Як спрямовані гілки параболи? При яких значеннях аргументу функція y \u003d х 2? Приймає: позитивні значення; від'ємні значення?

Етап підготовки учнів до активного і свідомого засвоєння нового матеріалу.

Маша і Міша (хлопці з країни "Юні математики") посперечалися між собою. Маша, сказала, що для побудови графіка функції y \u003d f (x + l) потрібно взяти багато, багато точок і побудувати по ним графік, а Міша каже, що можна зробити простіше. Для цього можна використовувати графік схожою функції і рухати його уздовж осі ОХ.

Ребята помогите дозволити їм це питання. Хто з хлопців прав і чому? (Мають рацію обидва, але метод зсуву вздовж ОХ раціональніше). Використовуючи шаблони, планшет побудувати графіки функції у \u003d (х + 3) 2; у \u003d (х-1) 2; у \u003d - (х + 3) 2. Який висновок можна зробити? Скільки точок і будь зручніше брати для побудови графіків функцій? (Робота на 1 трафареті, з використанням шаблонів-1 частина дошки). Слайд13

Висновок: "Щоб побудувати графік функції y \u003d f (x + l), якщо відомий графік функції y \u003d f (x): потрібно зрушити графік функції y \u003d f (x) - вліво, якщо l\u003e 0? Вправо, якщо l<0".?(5точек, начальная противоположна l) l<0- вправо; l>0-вліво. / Додаток №4 /

Маша і Міша подивившись на функцію у \u003d х 2 +2, знову посперечалися: Маша стверджує що графік цієї функції потрібно рухати вліво вздовж осі ОХ, а Міша твердо переконаний що робити цього не можна. Допоможіть Маші знайти правильне рещеніе. що потрібно для цього зробити? (Потрібно побудувати графік заданої функції).

Вивчення нового матеріалу. Відтворення знань і способів діяльності в нових ситуаціях. (Будується на основі проектного методу - 2,3 частина дошки). (Робота в парах).

Отже, тема нашого уроку: "Як побудувати графік функції y \u003d f (x) + m, якщо відомий графік функції y \u003d f (x). Давайте, щоб точно дізнатися алгоритм побудови такого виду функцій будемо працювати групами. Для кожної групи задано схоже із заданою функцією вираження: 1гр. - у \u003d х 2 +2; 2 гр.- у \u003d х 2 - 2; 3 гр.- у \u003d - х 2 +2.

Йде побудову і перетворення графіків квадратичної функції. Хлопці спробують експериментальним шляхом отримати алгоритм для побудови графіків квадратичних функцій виду у \u003d KХ 2 + M,використовуючи графік функції y \u003d KХ 2. (На 2 трафареті-3Частина дошки, відображається результат рішення за допомогою шаблонів парабол)

(Мета: експериментальним шляхом отримати алгоритм побудови графіків функцій виду: ? y \u003d f (x) + m; ? у \u003d k(х - l) 2 ,? у \u003d KХ 2 + m, якщо відомий графік функції y \u003d KХ 2; встановити вплив k, l і m на рух графіка; засвоїти способи діяльності з побудови графіка функції y \u003d f (x + l), y \u003d f (x) + m, функції виду y \u003d k / x, якщо відомий графік функції y \u003d f (x), оперувати ними; потім з'ясувати властивості заданої функції за графіком, читати і пояснювати графіки, побачити красу і досконалість залежностей). слайд 22

Висновок: "Щоб побудувати графік функції y \u003d f (x) + m, якщо відомий графік функції y \u003d f (x): потрібно зрушити графік функції y \u003d f (x) - вгору вздовж осі ОУ, якщо m\u003e 0? Вниз уздовж осі ОУ, якщо m<0".? m>0 -вгору; m<0- вниз. / Приложение №5/

Давайте перевіримо висновок, на нашу одному - підручником. Робота за підручником. П.20 стор.110. (Сам. Робота за підручником). Пошук, читання і промовляння алгоритму роботи з функціями виду y \u003d f (x + l), якщо відомий графік функції y \u003d f (x). Повторення і застосування алгоритму для роботи з лінійними функціями. Аналіз: прімер№1 і прімер№2. Стор. 112 підручника

6, Аналіз, озвучування, оцінювання та обговорення отриманих результатів. / Мета -вміння побачити і пояснити математичною мовою відбуваються перетворення перетворення /

Але, як бути з іншими видами функцій, наприклад: види у \u003d 1 / х - сумнівається Маша. Допоможіть Маші вирішити цю проблему. (Див. Приклад №2 Стор. 112 підручника)

Давайте застосуємо висновок, для вирішення різного типу завдань.

"Як побудувати функції у \u003d f (x + l), маючи графік функції у \u003d f (x)?"

"Як побудувати функції у \u003d f (x) + m, маючи графік функції у \u003d f (x)?"

Рішення: 1 гр. - №20.1 (в), 1 гр .-- 20.1 (г); 3 гр.-20.3 (в) на нашу помічникові - задачник. Робота по задачник. П.20 стор.124.

Узагальнення знань, їх систематизація.Рефлексія.

Мета - вміння зробити математичні висновки і пояснити їх суть.

Який загальний висновок можна зробити для роботи з графіками y \u003d f (x + l), y \u003d f (x) + m, якщо відомий графік функції y \u003d f (x). / Додаток №6 /

вид функції	Графік може бути отриманий з графіка функції у \u003d f (x) за допомогою зсуву початкового графіка	Графік може бути отриманий з графіка функції у \u003d f (x) за допомогою зсуву координатної осі
у \u003d f (x + l), l\u003e 0	вздовж осі абсцис на l одиниць масштабу вліво	ординат на l одиниць масштабу вправо
у \u003d f (x + l), l< 0	вздовж осі абсцис на l одиниць масштабу вправо	ординат на l одиниць масштабу вліво
у \u003d f (x) + m, m\u003e 0	вздовж осі ординат на m одиниць масштабу вгору	абсцис на m одиниць масштабу вниз
у \u003d f (x) + m, m< 0	вздовж осі ординат на m одиниць масштабу вниз	абсцис на m одиниць масштабу вгору

Блискуче: якщо буде відповідь "При зсуві графіка вправо (вліво) в який бік зсувається вісь ординат?", "При зсуві графіка вниз (вгору) в який бік зсувається вісь абсцис?". Тобто Можна зрушувати для зручності осі координат.

Маша і Міша задоволені висновком алгоритму встановленим хлопцями 8 класу, для квадратичної функції та ін. Видами функцій виду y \u003d f (x + l), і y \u003d f (x) + m, якщо відомий графік функції y \u003d f (x).

8. Застосування отриманих знань. Перевірка розуміння сутності досліджуваної теми за допомогою навчальних перевірочних тестів. Кожен учень отримує листок із завданням, на якому дає відповіді на питання. Після закінчення учні міняються листами, перевіряють відповіді один одного, ставлять оцінку. За кожну правильну завдання -1 бал. відповіді:/ Додаток №7 /

№1 - 1В, 2Б, 3Г, 4А. №2 - А4, Б1, В2, Г3. №3 - Iв, IIа, ІІІб. №4 - Іб, IIа, IIIв. №5 - 13, 21, 34, 42.

Застосування перевірочних тестів. / Додаток №8 /

/ Додаток №9 /

Рефлексія.Підведення підсумків, домашнє завдання (Мета -ефективність роботи на уроці).

Рефлексивні питання:

Що нового ви дізналися сьогодні на уроці?

Що хотіли б дізнатися додатково по темі?

Чи сподобався вам урок?

Як ви оцінюєте свою роботу на уроці?

Підведення підсумків, домашнє завдання (Мета -ефективність роботи на уроці).

• проводиться аналіз робіт учнів;
• відзначаються кращі роботи;
• організовується самооцінка учнями своєї діяльності;
• фіксується ступінь відповідності поставленої мети і результатів діяльності;
• намічаються цілі подальшої діяльності (дається можливість скласти рівняння функції виду y \u003d f (x + l) + m, за заданим графіком параболи) -на координатної площини.