Конічні поверхні другого порядку. Конічні поверхні. Приклади розв'язання задач

Зміст статті

Конічні перетини,плоскі криві, які виходять перетином прямого кругового конуса площиною, що не проходить через його вершину (рис. 1). З точки зору аналітичної геометрії конічний перетин являє собою геометричне місце точок, що задовольняють рівняння другого порядку. За винятком вироджених випадків, що розглядаються в останньому розділі, конічними перетинами є еліпси, гіперболи або параболи.

Конічні перетину часто зустрічаються в природі і техніці. Наприклад, орбіти планет, які обертаються навколо Сонця, мають форму еліпсів. Окружність є окремим випадком еліпса, у якого велика вісь дорівнює малої. Параболічне дзеркало володіє тим властивістю, що всі падаючі промені, паралельні його осі, сходяться в одній точці (фокусі). Це використовується в більшості телескопів-рефлекторів, де застосовуються параболічні дзеркала, а також в антенах радарів і спеціальних мікрофонах з параболічними відбивачами. Від джерела світла, поміщеного в фокусі параболічного відбивача, виходить пучок паралельних променів. Тому в потужних прожекторах і автомобільних фарах використовуються параболічні дзеркала. Гіпербола є графіком багатьох важливих фізичних співвідношень, наприклад, закону Бойля (зв'язує тиск і обсяг ідеального газу) і закону Ома, що задає електричний струм як функцію опору при постійній напрузі.

РАННЯ ІСТОРІЯ

Відкривачем конічних перетинів може бути вважається Менехм (4 ст. До н.е.), учень Платона і вчитель Олександра Македонського. Менехм використовував параболу і равнобочной гіперболу для вирішення завдання про подвоєння куба.

Трактати про конічних перетинах, написані Арістеєм і Евклидом в кінці 4 ст. до н.е., були загублені, але матеріали з них увійшли в знамениті конічні перетину Аполлонія Пергського (бл. 260-170 до н.е.), які збереглися до нашого часу. Аполлоній відмовився від вимоги перпендикулярності січною площині утворює конуса і, варіюючи кут її нахилу, отримав всі конічні перетину з одного кругового конуса, прямого або похилого. Аполлонию ми зобов'язані і сучасними назвами кривих - еліпс, парабола і гіпербола.

У своїх побудовах Аполлоній використовував двопорожнинна круговий конус (як на рис. 1), тому вперше стало ясно, що гіпербола - крива з двома гілками. З часів Аполлонія конічні перетину діляться на три типи залежно від нахилу січної площини до котра утворює конуса. Еліпс (рис. 1, а) Утворюється, коли січна площина перетинає всі твірні конуса в точках одного його порожнини; парабола (рис. 1, б) - коли січна площина паралельна одній з дотичних площин конуса; гіпербола (рис. 1, в) - коли січна площина перетинає обидві порожнини конуса.

Побудова конічні перетини

Вивчаючи конічні перетину як перетину площин і конусів, давньогрецькі математики розглядали їх і як траєкторії точок на площині. Було встановлено, що еліпс можна визначити як геометричне місце точок, сума відстаней від яких до двох заданих точок постійна; параболу - як геометричне місце точок, рівновіддалених від заданої точки і заданої прямої; гіперболу - як геометричне місце точок, різниця відстаней від яких до двох заданих точок постійна.

Ці визначення конічних перетинів як плоских кривих підказують і спосіб їх побудови за допомогою натягнутої нитки.

Еліпс.

Якщо кінці нитки заданої довжини закріплені в точках F 1 і F 2 (рис. 2), то крива, описувана вістрям олівця, що ковзає по туго натягнутій нитки, має форму еліпса. точки F 1 і F 2 називаються фокусами еліпса, а відрізки V 1 V 2 і v 1 v 2 між точками перетину еліпса з осями координат - більшою і малої осями. якщо точки F 1 і F 2 збігаються, то еліпс перетворюється в коло.

Гіпербола.

При побудові гіперболи точка P, Вістрі олівця, фіксується на нитки, яка вільно ковзає по шпенькам, встановленим в точках F 1 і F 2, як показано на рис. 3, а. Відстані підібрані так, що відрізок PF 2 перевершує по довжині відрізок PF 1 на фіксовану величину, меншу відстані F 1 F 2. При цьому один кінець нитки проходить під шпеньком F 1 і обидва кінці нитки проходять поверх шпенька F 2. (Вістря олівця не повинно ковзати по нитці, тому його потрібно закріпити, зробивши на нитки маленьку петлю і протягнувши в неї вістря.) Одну гілку гіперболи ( PV 1 Q) Ми вичерчуємо, стежачи за тим, щоб нитка залишалася весь час натягнутою, і потягуючи обидва кінці нитки вниз за точку F 2, а коли точка P виявиться нижче відрізка F 1 F 2, притримуючи нитку за обидва кінці і обережно потравлівая (тобто відпускаючи) її. Другу гілку гіперболи ( Pў V 2 Qў) ми вичерчуємо, попередньо помінявши ролями шпенькі F 1 і F 2 .

Гілки гіперболи наближаються до двох прямим, що перетинаються між гілками. Ці прямі, звані асимптотами гіперболи, будуються як показано на рис. 3, б. Кутові коефіцієнти цих прямих рівні ± ( v 1 v 2)/(V 1 V 2), де v 1 v 2 - відрізок бісектриси кута між асимптотами, перпендикулярної відрізку F 1 F 2; відрізок v 1 v 2 називається сполученої віссю гіперболи, а відрізок V 1 V 2 - її поперечною віссю. Таким чином, асимптоти є діагоналями прямокутника зі сторонами, що проходять через чотири точки v 1 , v 2 , V 1 , V 2 паралельно осях. Щоб побудувати цей прямокутник, необхідно вказати місце розташування точок v 1 і v 2. Вони знаходяться на однаковій відстані, рівному

від точки перетину осей O. Ця формула передбачає побудову прямокутного трикутника з катетами Ov 1 і V 2 O і гіпотенузою F 2 O.

Якщо асимптоти гіперболи взаємно перпендикулярні, то гіпербола називається равнобочной. Дві гіперболи, що мають спільні асимптоти, але з переставленими поперечної і сполученої осями, називаються взаємно сполученими.

Парабола.

Фокуси еліпса і гіперболи були відомі ще Аполлонию, але фокус параболи, мабуть, вперше встановив Папп (2-га пол. 3 ст.), Який визначив цю криву як геометричне місце точок, рівновіддалених від заданої точки (фокуса) і заданої прямої, яка називається директоркою. Побудова параболи з допомогою натягнутої нитки, засноване на визначенні Паппа, було запропоновано Исидором Милетским (6 ст.). Розташуємо лінійку так, щоб її край збігся з директоркою LLў (рис. 4), і докладемо до цього краю катет AC креслярського трикутника ABC. Закріпимо один кінець нитки довжиною AB в вершині B трикутника, а інший - в фокусі параболи F. Натягнувши вістрям олівця нитка, пригорнемо вістря в змінної точці P до вільного катету AB креслярського трикутника. У міру того, як трикутник буде переміщатися уздовж лінійки, точка P буде описувати дугу параболи з фокусом F і директоркою LLў, так як загальна довжина нитки дорівнює AB, Відрізок нитки прилягає до вільного катету трикутника, і тому залишився відрізок нитки PF має дорівнювати решти катета AB, Тобто PA. Точка перетину V параболи з віссю називається вершиною параболи, пряма, що проходить через F і V, - віссю параболи. Якщо через фокус провести пряму, перпендикулярну осі, то відрізок цієї прямої, що відсікається параболою, називається фокальним параметром. Для еліпса і гіперболи фокальний параметр визначається аналогічно.

Властивості конічних перетинів

Визначення Паппа.

Встановлення фокуса параболи навело Паппа на думку дати альтернативне визначення конічних перетинів в цілому. нехай F - задана точка (фокус), а L - задана пряма (директриса), що не проходить через F, і D F і D L - відстані від рухомої точки P до фокусу F і директриси L відповідно. Тоді, як показав Папп, конічні перетину визначаються як геометричні місця точок P, Для яких відношення D F/D L є неотрицательной постійною. Це відношення називається ексцентриситетом e конічного перетину. при e e\u003e 1 - гіпербола; при e \u003d 1 - парабола. якщо F лежить на L, То геометричні місця мають вигляд прямих (справжніх чи уявних), які є виродженими конічними перетинами.

Кидається в очі симетрія еліпса і гіперболи говорить про те, що у кожної з цих кривих є по дві директриси і по два фокуси, і ця обставина навело Кеплера в 1604 на думку, що і у параболи існує другий фокус і друга директриса - нескінченно віддалені точка і пряма. Точно також і окружність можна розглядати як еліпс, фокуси якого збігаються з центром, а директриси знаходяться в нескінченності. ексцентриситет e в цьому випадку дорівнює нулю.

Конструкція Данделі.

Фокуси і директриси конічного перетину можна наочно продемонструвати, якщо скористатися сферами, вписаними в конус і званими сферами (кулями) Данделі в честь бельгійського математика та інженера Ж.Данделена (1794-1847), який запропонував наступну конструкцію. Нехай конічний перетин утворено перетином деякої площини p з двопорожнинна прямим круговим конусом з вершиною в точці O. Впишемо в цей конус дві сфери S 1 і S 2, які стосуються площині p в точках F 1 і F 2 відповідно. Якщо конічний перетин - еліпс (рис. 5, а), То обидві сфери знаходяться всередині однієї і тієї ж порожнини: одна сфера розташована над площиною p, А інша - під нею. Кожна утворює конуса стосується обох сфер, і геометричне місце точок дотику має вигляд двох кіл C 1 і C 2, розташованих в паралельних площинах p 1 і p 2. нехай P - довільна точка на конічному перерізі. проведемо прямі PF 1 , PF 2 і продовжимо пряму PO. Ці прямі - дотичні до сфер в точках F 1 , F 2 і R 1 , R 2. Оскільки всі дотичні, проведені до сфери з однієї точки, рівні, то PF 1 = PR 1 і PF 2 = PR 2. отже, PF 1 + PF 2 = PR 1 + PR 2 = R 1 R 2. Так як площині p 1 і p 2 паралельні, відрізок R 1 R 2 має постійну довжину. Таким чином, величина PR 1 + PR 2 одна і та ж для всіх положень точки P, і крапка P належить геометричному місцю точок, для яких сума відстаней від P до F 1 і F 2 постійна. Отже, точки F 1 і F 2 - фокуси еліптичного перетину. Крім того, можна показати, що прямі, за якими площину p перетинає площині p 1 і p 2, - директриси побудованого еліпса. якщо p перетинає обидві порожнини конуса (рис. 5, б), То дві сфери Данделі лежать по одну сторону від площини p, По одній сфері в кожній порожнини конуса. У цьому випадку різниця між PF 1 і PF 2 постійна, і геометричне місце точок P має форму гіперболи з фокусами F 1 і F 2 і прямими - лініями перетину p з p 1 і p 2 - в якості директрис. Якщо конічний перетин - парабола, як показано на рис. 5, в, То в конус можна вписати тільки одну сферу Данделі.

Інші властивості.

Властивості конічних перетинів воістину невичерпні, і будь-яка з них можна прийняти за визначальне. Важливе місце в математичному зборах Паппа (бл. 300), геометрії Декарта (1637) і засадах Ньютона (одна тисяча шістсот вісімдесят сім) займає задача про геометричному місці точок щодо чотирьох прямих. Якщо на площині задані чотири прямі L 1 , L 2 , L 3 і L 4 (дві з яких можуть збігатися) і точка P така, що твір відстаней від P до L 1 і L 2 пропорційно добутку відстаней від P до L 3 і L 4, то геометричне місце точок P є конічним перетином. Помилково вважаючи, що Аполлоній і Папп не зуміли вирішити задачу про геометричному місці точок щодо чотирьох прямих, Декарт, щоб отримати рішення і узагальнити його, створив аналітичну геометрію.

АНАЛІТИЧНИЙ ПІДХІД

Алгебраїчна класифікація.

В алгебраїчних термінах конічні перетину можна визначити як плоскі криві, координати яких в декартовій системі координат задовольняють рівняння другого ступеня. Інакше кажучи, рівняння всіх конічних перетинів можна записати в загалом вигляді як

де не всі коефіцієнти A, Bі C дорівнюють нулю. За допомогою паралельного перенесення і повороту осей рівняння (1) можна привести до виду

ax 2 + by 2 + c = 0

px 2 + qy = 0.

Перше рівняння виходить з рівняння (1) при B 2 № AC, Друге - при B 2 = AC. Конічні перетину, рівняння яких наводяться до першого виду, називаються центральними. Конічні перетину, задані рівняннями другого виду з q № 0, називаються нецентральних. В рамках цих двох категорій існують дев'ять різних типів конічних перетинів в залежності від знаків коефіцієнтів.

2831) Якщо коефіцієнти a, b і c мають один і той же знак, то не існує речових точок, координати яких задовольняли б рівняння. Таке конічний перетин називається уявним еліпсом (або уявної окружністю, якщо a = b).

2) Якщо a і b мають один знак, а c - протилежний, то конічний перетин - еліпс (рис. 1, а); при a = b - окружність (рис. 6, б).

3) Якщо a і b мають різні знаки, то конічний перетин - гіпербола (рис. 1, в).

4) Якщо a і b мають різні знаки і c \u003d 0, то конічний перетин складається з двох пересічних прямих (рис. 6, а).

5) Якщо a і b мають один знак і c \u003d 0, то існує тільки одна справжня точка на кривій, яка задовольнить рівнянню, і конічний перетин - дві уявні пересічні прямі. У цьому випадку також кажуть про стягнуті в точку еліпсі або, якщо a = b, Стягнутої в точку кола (рис. 6, б).

6) Якщо або a, або b дорівнює нулю, а інші коефіцієнти мають різні знаки, то конічний перетин складається з двох паралельних прямих.

7) Якщо або a, або b дорівнює нулю, а інші коефіцієнти мають один знак, то не існує жодної дійсної точки, що задовольняє рівняння. У цьому випадку говорять, що конічний перетин складається з двох уявних паралельних прямих.

8) Якщо c \u003d 0, і або a, або b також дорівнює нулю, то конічний перетин складається з двох дійсних співпадаючих прямих. (Рівняння не визначає ніякого конічного перетину при a = b \u003d 0, оскільки в цьому випадку вихідне рівняння (1) не другого ступеня.)

9) Рівняння другого типу визначають параболи, якщо p і q відмінні від нуля. якщо p № 0, а q \u003d 0, ми отримуємо криву з п. 8. Якщо ж p \u003d 0, то рівняння не визначає ніякого конічного перетину, оскільки вихідне рівняння (1) не другого ступеня.

Висновок рівнянь конічних перетинів.

Будь-яке конічний перетин можна також визначити як криву, по якій площина перетинається з квадратичною поверхнею, тобто з поверхнею, що задається рівнянням другого ступеня f (x, y, z) \u003d 0. Очевидно, конічні перетину були вперше розпізнані саме в цьому виді, а їх назви ( див. нижче) Пов'язані з тим, що вони були отримані при перетині площині з конусом z 2 = x 2 + y 2. нехай ABCD - підстава прямого кругового конуса (рис. 7) з прямим кутом при вершині V. нехай площину FDC перетинає утворить VB в точці F, Підстава - по прямій CD і поверхню конуса - по кривій DFPC, де P - будь-яка точка на кривій. Проведемо через середину відрізка CD - точку E - пряму EF і діаметр AB. через точку P проведемо площину, паралельну основи конуса, перетинає конус по колу RPS і пряму EF в точці Q. тоді QF і QP можна прийняти, відповідно, за абсциссу x і ординату y точки P. Отримана крива буде параболою.

Побудова, представлене на рис. 7, можна використовувати для виведення загальних рівнянь конічних перетинів. Квадрат довжини відрізка перпендикуляра, відновленого з будь-якої точки діаметра до перетину з колом, завжди дорівнює добутку довжин відрізків діаметра. Тому

y 2 = RQЧ QS.

Для параболи відрізок RQ має постійну довжину (так як при будь-якому положенні точки Pвін дорівнює відрізку AE), А довжина відрізка QS пропорційна x (Зі співвідношення QS/EB = QF/FE). Звідси слідує що

де a - постійний коефіцієнт. число a висловлює довжину фокального параметра параболи.

Якщо кут при вершині конуса гострий, то відрізок RQ НЕ дорівнює відрізку AE; але співвідношення y 2 = RQЧ QS еквівалентно рівнянню виду

де a і b - постійні, або, після зсуву осей, рівняння

що є рівнянням еліпса. Точки перетину еліпса з віссю x (x = a і x = –a) І точки перетину еліпса з віссю y (y = b і y = –b) Визначають відповідно велику і малу осі. Якщо кут при вершині конуса тупий, то крива перетину конуса і площини має вигляд гіперболи, і рівняння набуває такого вигляду:

або, після перенесення осей,

В цьому випадку точки перетину з віссю x, Що задаються співвідношенням x 2 = a 2, визначають поперечну вісь, а точки перетину з віссю y, Що задаються співвідношенням y 2 = –b 2, визначають пов'язану вісь. якщо постійні a і b в рівнянні (4a) рівні, то гіпербола називається равнобочной. Поворотом осей її рівняння приводиться до вигляду

xy = k.

Тепер з рівнянь (3), (2) і (4) ми можемо зрозуміти сенс назв, даних Аполлонием трьох основних конічних перетинах. Терміни «еліпс», «парабола» і «гіпербола» походять від грецьких слів, що означають «бракує», «дорівнює» і «перевершує». З рівнянь (3), (2) і (4) ясно, що для еліпса y 2 b 2 / a) x, Для параболи y 2 = (a) x і для гіперболи y 2 > (2b 2 /a) x. У кожному разі величина, укладена в дужки, дорівнює фокальному параметру кривої.

Сам Аполлоній розглядав тільки три загальних типу конічних перетинів (перераховані вище типи 2, 3 і 9), але його підхід допускає узагальнення, що дозволяє розглядати всі дійсні криві другого порядку. Якщо січну площину вибрати паралельної круговому основи конуса, то в перерізі вийде окружність. Якщо січна площина має тільки одну спільну точку з конусом, його вершину, то вийде перетин типу 5; якщо вона містить вершину і дотичну до конусу, то ми отримуємо перетин типу 8 (рис. 6, б); якщо січна площина містить дві твірні конуса, то в перерізі виходить крива типу 4 (рис. 6, а); при перенесенні вершини в нескінченність конус перетворюється в циліндр, і якщо при цьому площину містить дві складові, то виходить перетин типу 6.

Якщо на окружність дивитися під косим кутом, то вона виглядає як еліпс. Взаємозв'язок між окружністю і еліпсом, відома ще Архімед, стає очевидною, якщо окружність X 2 + Y 2 = a 2 за допомогою підстановки X = x, Y = (a/b) y перетворити в еліпс, заданий рівнянням (3a). перетворення X = x, Y = (ai/b) y, де i 2 \u003d -1, дозволяє записати рівняння кола в вигляді (4a). Це показує, що гіперболу можна розглядати як еліпс з уявною малою віссю, або, навпаки, еліпс можна розглядати як гіперболу з уявної сполученої віссю.

Співвідношення між координатами окружності x 2 + y 2 = a 2 і еліпса ( x 2 /a 2) + (y 2 /b 2) \u003d 1 безпосередньо призводить до формули Архімеда A = p ab для площі еліпса. Кеплеру була відома наближена формула p(a + b) Для периметра еліпса, близького до кола, але влучний вислів було отримано лише в 18 ст. після введення еліптичних інтегралів. Як показав Архімед, площа параболічного сегмента становить чотири третіх площі вписаного трикутника, але довжину дуги параболи вдалося обчислити лише після того, як в 17 ст. було винайдено диференціальне числення.

проектного підходу

Проективна геометрія тісно пов'язана з побудовою перспективи. Якщо накреслити коло на прозорому аркуші паперу і помістити під джерелом світла, то це коло буде проектуватися на що знаходиться нижче площину. При цьому, якщо джерело світла розташований безпосередньо над центром кола, а площину і прозорий лист паралельні, то проекція також буде окружністю (рис. 8). Положення джерела світла називається точкою сходу. Вона позначена буквою V. якщо V розташована не над центром кола або якщо площину не паралельна аркушу паперу, то проекція кола приймає форму еліпса. При ще більшому нахилі площині велика вісь еліпса (проекції кола) подовжується, і еліпс поступово переходить в параболу; на площині, паралельної прямої VP, Проекція має вигляд параболи; при ще більшому нахилі проекція набуває вигляду однієї з гілок гіперболи.

Кожній точці на вихідної окружності відповідає деяка точка на проекції. Якщо проекція має вигляд параболи або гіперболи, то кажуть, що точка, відповідна точці P, Знаходиться в нескінченності або нескінченно видалена.

Як ми бачили, при відповідному виборі точок сходу окружність може проектуватися в еліпси різних розмірів і з різними ексцентриситетами, а довжини великих осей не мають прямого відношення до діаметру проецируемой окружності. Тому проективна геометрія не має справи з відстанями або довжинами самими по собі, її завдання - вивчення ставлення довжин, яке зберігається при проектуванні. Це відношення можна знайти за допомогою наступного побудови. Через будь-яку точку P площині проведемо дві дотичні до будь-колу і з'єднаємо точки дотику прямої p. Нехай інша пряма, що проходить через точку P, Перетинає коло в точках C 1 і C 2, а пряму p - в точці Q (Рис. 9). У планіметрії доводиться, що PC 1 /PC 2 = –QC 1 /QC 2. (Знак мінус виникає через те, що напрямок відрізка QC 1 протилежно напрямками інших відрізків.) Інакше кажучи, точки P і Q ділять відрізок C 1 C 2 зовнішнім і внутрішнім чином в одному і тому ж відношенні; кажуть також, що гармонійне ставлення чотирьох відрізків одно - 1. Якщо окружність спроектувати в конічний перетин і зберегти за відповідними точками ті ж позначення, то гармонійне ставлення ( PC 1)(QC 2)/(PC 2)(QC 1) залишиться рівним - 1. Точка P називається полюсом прямій p щодо конічного перетину, а пряма p - полярою точки P щодо конічного перетину.

коли точка P наближається до коническому перетину, поляра прагне зайняти положення дотичної; якщо точка P лежить на конічному перетині, то її поляра збігається з дотичною до коническому перетину в точці P. якщо точка P розташована всередині конічного перетину, то побудувати її поляра можна наступним чином. Проведемо через точку P будь-яку пряму, що перетинає конічний перетин в двох точках; проведемо дотичні до коническому перетину в точках перетину; припустимо, що ці дотичні перетинаються в точці P 1. Проведемо через точку P ще одну пряму, яка перетинається з конічним перетином в двох інших точках; допустимо, що дотичні до коническому перетину в цих нових точках перетинаються в точці P 2 (рис. 10). Пряма, що проходить через точки P 1 і P 2, і є шукана поляра p. якщо точка P наближається до центру O центрального конічного перетину, то поляра p віддаляється від O. коли точка P співпадає з O, То її поляра стає нескінченно віддаленої, або ідеальної, прямої на площині.

СПЕЦІАЛЬНІ ПОБУДОВИ

Особливий інтерес для астрономів представляє наступне просте побудова точок еліпса за допомогою циркуля і лінійки. Нехай довільна пряма, що проходить через точку O (Рис. 11, а), Перетинає в точках Q і R дві концентричні кола з центром в точці O і радіусами b і a, де b a. Проведемо через точку Q горизонтальну пряму, а через R - вертикальну пряму, і позначимо їх точку перетину P P при обертанні прямої OQR навколо точки O буде еліпс. кут f між прямою OQR і великою віссю називається ексцентричним кутом, а побудований еліпс зручно задавати параметричними рівняннями x = a cos f, y = b sin f. Виключаючи з них параметр f, Отримаємо рівняння (3а).

Для гіперболи побудова багато в чому аналогічно. Довільна пряма, що проходить через точку O, Перетинає одну з двох кіл в точці R (Рис. 11, б). До точки R одному колі і до кінцевої точки S горизонтального діаметра інший окружності проведемо дотичні, які перетинають OS в точці T і OR - в точці Q. Нехай вертикальна пряма, що проходить через точку T, І горизонтальна пряма, що проходить через точку Q, Перетинаються в точці P. Тоді геометричним місцем точок P при обертанні відрізка OR навколо O буде гіпербола, що задається параметричними рівняннями x = a sec f, y = b tg f, де f - ексцентричний кут. Ці рівняння були отримані французьким математиком А.Лежандром (1752-1833). виключивши параметр f, Ми отримаємо рівняння (4a).

Еліпс, як зауважив Н. Коперник (1473-1543), можна побудувати за допомогою епіциклічних руху. Якщо окружність котиться без ковзання по внутрішній стороні інший кола вдвічі більшого діаметра, то кожна точка P, Що не лежить на меншій окружності, але нерухома відносно неї, опише еліпс. якщо точка P знаходиться на меншій окружності, то траєкторія цієї точки є вироджений випадок еліпса - діаметр більшої окружності. Ще більш просту побудову еліпса було запропоновано Проклом в 5 ст. якщо кінці Aі B відрізка прямої AB заданої довжини ковзають по двох нерухомих пересічним прямим (наприклад, по координатним осях), то кожна внутрішня точка P відрізка опише еліпс; нідерландський математик Ф. ван схотят (1615-1660) показав, що будь-яка точка в площині пересічних прямих, нерухома відносно ковзного відрізка, також опише еліпс.

Б. Паскаль (1623-1662) в 16 років сформулював нині знамениту теорему Паскаля, яка говорить: три точки перетину протилежних сторін шестикутника, вписаного в будь-конічний перетин, лежать на одній прямій. З цієї теореми Паскаль вивів понад 400 наслідків.

Визначення 1. Конічною поверхнею або конусом з вершиною в точці М 0 називається поверхня, утворена всіма прямими, кожна з яких проходить через точку М 0 і через деяку точку лінії γ. Точка М 0 називається вершиною конуса, лінія γ - направляючої. Прямі, що проходять через вершину конуса і лежать на ньому, називаються утворюють конуса.

Теорема.Поверхнею 2-го порядку з канонічним рівнянням

є конусом з вершиною на початку координат, що направляє якої служить еліпс

Доведення.

Нехай M 1 (x 1; y 1; z 1) - деяка точка поверхні α, відмінна від початку координат; ? \u003d ОM 1 - пряма, M (x; y; z) належить ?. Так як | | , То, таке що

Так як, то її координати x 1; y 1; z 1 задовольняють рівняння (1). З огляду на умови (3) маємо, де t ≠0. Розділивши обидві частини рівняння на t 2 ≠0, отримаємо, що координати довільної точки M (x; y; z) прямий m \u003d ОM 1 задовольняють рівняння (1). Йому також задовольняють і координати точки О (0,0,0).

Таким чином, будь-яка точка M (x; y; z) прямий m \u003d ОM 1 лежить на поверхні α з рівнянням (1), тобто пряма ОM 1 \u003d m - прямолінійна твірна поверхні α.

Розглянемо тепер перетин поверхні α площиною, паралельній площині Oxy з рівнянням z \u003d c ≠0:

Це перетин є еліпсом з півосями а і b. Отже, вона перетинає цей еліпс. Згідно з визначенням 1 поверхню α є конусом з вершиною Про(0,0,0) (Всі прямі m проходять через початок координат); утворюють цього конуса є прямі m, напрямна - зазначений вище еліпс.

Теорема доведена.

Визначення 2.Поверхня 2-го порядку з канонічним рівнянням (1) називається конусом другого порядку.

Властивості конуса 2-го порядку.

1º Конус з рівнянням (1) симетричний щодо всіх координатних площин, всіх координатних осей і початку координат (так як всі змінні містяться в рівнянні (1) у другому ступені).

2º Все координатні осі мають з конусом (1) єдину спільну точку - початок координат, яка служить його вершиною і центром одночасно

3º Перетин конуса (1) площинами Oxzі Oyz - пари пересічних на початку координат прямих; площиною Oxy - крапка Про(0,0,0).

4º Перетину конуса (1) площинами, паралельними координатним площинам, але не збігаються з ними, є або еліпсами, або гіперболами.

5º якщо а = b, То ці еліпси є колами, а сам конус - поверхнею обертання. Він називається в цьому випадку круговим конусом.

визначення 3: Конічним перетином називається лінія по якій перетинається круговий конус з довільною площиною що не проходить через його вершину. Таким чином, канонічними перетинами є еліпс, гіпербола і парабола.

Поверхні другого порядку - це поверхні, які в прямокутній системі координат визначаються алгебраїчними рівняннями другого ступеня.

1. Еліпсоїд.

Еліпсоїдом називається поверхню, яка в деякій прямокутній системі координат визначається рівнянням:

Рівняння (1) називається канонічним рівнянням еліпсоїда.

Встановимо геометричний вид еліпсоїда. Для цього розглянемо перерізи даного еліпсоїда площинами, паралельними площині Oxy. Кожна з таких площин визначається рівнянням виду z \u003d h, де h- будь-яке число, а лінія, яка виходить в перетині, визначається двома рівняннями

(2)

Досліджуємо рівняння (2) при різних значеннях h .

> c(C\u003e 0), то і рівняння (2) визначають уявний еліпс, т. Е. Точок перетину площини z \u003d hз даними еліпсоїдом не існує. , то і лінія (2) вироджується в точки (0; 0; + c) І (0; 0; - c) (Площині стосуються еліпсоїда). , То рівняння (2) можна представити у вигляді

звідки випливає, що площина z \u003d hперетинає еліпсоїд по еліпсу з півосями

і. При зменшенні значення і збільшуються і досягають своїх максимальних значень при, т. Е. В перерізі еліпсоїда координатної площиною Oxyвиходить найбільший еліпс з півосями і.

Аналогічна картина виходить і при перетині даної поверхні площинами, паралельними координатним площинам Oxzі Oyz.

Таким чином, розглянуті перерізи дають змогу зобразити еліпсоїд як замкнуту овальну поверхню (рис. 156). величини a, b, cназиваються півосямиеліпсоїда. В разі a \u003d b \u003d cеліпсоїд є сферой.

2. Однополосний гіперболоїд.

Однополосним гіперболоїдом називається поверхню, яка в деякій прямокутній системі координат визначається рівнянням (3)

Рівняння (3) називається канонічним рівнянням однополосного гіперболоїда.

Встановимо вид поверхні (3). Для цього розглянемо перетин її координатними площинами Oxy (y \u003d 0)і Oyx (x \u003d 0).Отримуємо відповідно рівняння

і

Тепер розглянемо перетину даного гіперболоїда площинами z \u003d h, паралельними координатної площині Oxy. Лінія, що виходить в перетині, визначається рівняннями

або (4)

з яких випливає, що площину z \u003d h перетинає гіперболоїд по еліпсу з півосями

і,

досягають своїх найменших значень при h \u003d 0, тобто в перетині даного гіперболоїда координатної віссю Oxy виходить найменший еліпс з півосями a * \u003d a і b * \u003d b. При нескінченному зростанні

величини a * і b * зростають нескінченно.

Таким чином, розглянуті перерізи дають змогу зобразити односмуговою гіперболоїд як безкінечною трубки, нескінченно розширення в міру віддалення (по обидва боки) від площини Oxy.

Величини a, b, c називаються півосями однополосного гіперболоїда.

3. Двуполостной гіперболоїд.

Двуполостной гіперболоїдом називається поверхню, яка в деякій прямокутній системі координат визначається рівнянням

Рівняння (5) називається канонічним рівнянням двуполостного гіперболоїда.

Встановимо геометричний вид поверхні (5). Для цього розглянемо його перетину координатними площинами Oxy і Oyz. Отримуємо відповідно рівняння

і

з яких випливає, що в перетинах виходять гіперболи.

Тепер розглянемо перетину даного гіперболоїда площинами z \u003d h, паралельними координатної площині Oxy. Лінія, отримана в перерізі, визначається рівняннями

або (6)

з яких випливає, що при

\u003e C (c\u003e 0) площину z \u003d h перетинає гіперболоїд по еліпсу з півосями і. При збільшенні величини a * і b * теж збільшуються. рівнянням (6) задовольняють координати лише двох точок: (0; 0; + с) і (0; 0; -с) (площині стосуються даної поверхні). рівняння (6) визначають уявний еліпс, тобто точок перетину площині z \u003d h з даними гіперболоїдом не існує.

Величина a, b і c називаються півосями двуполостного гіперболоїда.

4. Еліптичний параболоїд.

Еліптичних параболоїдом називається поверхню, яка в деякій прямокутній системі координат визначається рівнянням

(7)

де p\u003e 0 і q\u003e 0.

Рівняння (7) називається канонічним рівнянням еліптичного параболоїда.

Розглянемо перетину даної поверхні координатними площинами Oxy і Oyz. Отримуємо відповідно рівняння

і

з яких випливає, що в перетинах виходять параболи, симетричні щодо осі Oz, з вершинами на початку координат. (8)

з яких випливає, що при. При збільшенні h величини a і b теж збільшуються; при h \u003d 0 еліпс вироджується в точку (плоскостьz \u003d 0 стосується даного гіперболоїда). при h<0 уравнения (8) определяют мнимый эллипс, т.е. точек пересечения плоскости z=h с данным гиперболоидом нет.

Таким чином, розглянуті перерізи дають змогу зобразити еліптичний параболоїд у вигляді нескінченно опуклою чаші.

Точка (0; 0; 0) називається вершиною параболоїда; числа p і q - його параметрами.

У разі p \u003d q рівняння (8) визначає коло з центром на осі Oz, тобто еліптичний параболоїд можна розглядати як поверхня, утворену обертанням параболи навколо її осі (параболоїд обертання).

5. Гіперболічний параболоїд.

Гіперболічним параболоїдом називається поверхню, яка в деякій прямокутній системі координат, визначається рівнянням

(9)