Головна > калькулятори > Рух рідини і газів закон Бернуллі. Принцип Бернуллі. Практичне значення. Рівняння нерозривності струменя

Рух рідини і газів закон Бернуллі. Принцип Бернуллі. Практичне значення. Рівняння нерозривності струменя

Документальні навчальні фільми. Серія «Фізика».

Данило Бернуллі (Daniel Bernoulli; 29 січня (8 лютого) 1700 - 17 березня 1782), швейцарський фізик-універсал, механік і математик, один з творців кінетичної теорії газів, гідродинаміки і математичної фізики. Академік і іноземний почесний член (1733) Петербурзької академії наук, член Академій: Болонської (одна тисяча сімсот двадцять-чотири), Берлінської (1747), Паризької (1748), Лондонського королівського товариства (1750). Син Йоганн Бернуллі.

Закон (рівняння) Бернуллі є (в найпростіших випадках) наслідком закону збереження енергії для стаціонарного потоку ідеальної (тобто без внутрішнього тертя) нестисливої \u200b\u200bрідини:

тут

- щільність рідини, - швидкість потоку, - висота, на якій знаходиться розглянутий елемент рідини, - тиск в точці простору, де розташований центр маси елемента, що розглядається рідини, - прискорення вільного падіння.

Рівняння Бернуллі також може бути виведено як наслідок рівняння Ейлера, що виражає баланс імпульсу для рідини, що рухається.

У науковій літературі закон Бернуллі, як правило, називається рівнянням Бернуллі(Не слід плутати з диференціальним рівнянням Бернуллі), теоремою Бернуллі або інтегралом Бернуллі.

Константа в правій частині часто називається повним тиском і залежить, в загальному випадку, від лінії струму.

Розмірність всіх доданків - одиниця енергії, яка припадає на одиницю об'єму рідини. Перше і друге складова в інтегралі Бернуллі мають сенс кінетичної і потенційної енергії, що припадає на одиницю об'єму рідини. Слід звернути увагу на те, що третій доданок за своїм походженням є роботою сил тиску і не представляє собою запасу будь-якого спеціального виду енергії ( «енергії тиску»).

Співвідношення, близьке до наведеного вище, було отримано в 1738 р Данилом Бернуллі, з ім'ям якого зазвичай пов'язують інтеграл Бернуллі. В сучасному вигляді інтеграл був отриманий Іоганном Бернуллі близько 1740 року.

Для горизонтальної труби висота постійна і рівняння Бернуллі приймає вигляд:.

Ця форма рівняння Бернуллі може бути отримана шляхом інтегрування рівняння Ейлера для стаціонарного одновимірного потоку рідини, при постійній щільності:.

Відповідно до закону Бернуллі, повний тиск у сталому потоці рідини залишається постійним уздовж цього потоку.

Повний тиск складається з вагового, статичного і динамічного тисків.

Із закону Бернуллі випливає, що при зменшенні перерізу потоку, через зростання швидкості, тобто динамічного тиску, статичний тиск падає. Це є основною причиною ефекту Магнуса. Закон Бернуллі справедливий і для ламінарних потоків газу. Явище зниження тиску при збільшенні швидкості потоку лежить в основі роботи різного роду витратомірів (наприклад труба Вентурі), водо- і пароструминних насосів. А послідовне застосування закону Бернуллі призвело до появи технічної гидромеханической дисципліни - гідравліки.

Закон Бернуллі справедливий в чистому вигляді тільки для рідин, в'язкість яких дорівнює нулю. Для наближеного опису течій реальних рідин в технічної гідромеханіки (гідравліки) використовують інтеграл Бернуллі з додаванням доданків, що враховують втрати на місцевих і розподілених опорах.

Відомі узагальнення інтеграла Бернуллі для деяких класів течій в'язкої рідини (наприклад, для плоскопаралельних течій), в магнітної гідродинаміки, Ферогідродинаміка.

Мета уроку:

Вивчити окремий випадок закону збереження енергії в застосуванні до пояснення залежності тиску від швидкості руху рідини і газу;
Сформулювати закон Бернуллі;
Розглянути приклади його застосування і прояви на практиці.

Тип уроку: комбінований.

Обладнання: комп'ютер, мультимедійний проектор, екран, презентація до уроку.

Устаткування для демонстрацій: ваги, макет крила літака, невелика воронка, тенісну кульку, повітродувки (фен), демонстраційний манометр, таблички на магнітах з фізичними формулами.

Устаткування для практичних робіт: стакан з водою, одноразовий шприц, два аркуші паперу, бруски.

Хід уроку

I. Організаційний момент.

Тема, радше назва, нашого уроку звучить не зовсім звичайно. Може бути хтось із вас подумав: до чого тут фізика? А дійсно, до чого тут фізика? А це і належить нам з'ясувати сьогодні. В кінці уроку ви повинні будете самі сформулювати правильно "фізичну" тему. Я ж скажу тільки, що ці об'єкти об'єднані одним і тим же законом, а саме, законом збереження повної механічної енергії. Працювати ви будете на робочих картах (додаток 1). Напишіть своє прізвище на карті у правому верхньому кутку.

II. Актуалізація знань.

Отже, начінаем.Раз вже я згадала закон збереження механічної енергії, то давайте його згадаємо.

1. Що стверджує закон збереження повної механічної енергії?
2. Що називається повною механічною енергією?
3. Яка енергія називається кінетичної? За якою формулою розраховується?
4. Яка енергія називається потенційної? Формули потенційної енергії.

III. Основна частина. Вивчення нового матеріалу.

Сьогодні на уроці ми будемо говорити про застосування закону збереження для рухомих потоків рідин і газів. Рух рідин і газів розділяється на ламинарное і турбулентний. На дидактичних картах (додаток 2) у вас є їх визначення. Давайте прочитаємо. Ми будемо розглядати ламінарний плин.

А почнемо ми з питання: чи можна утримати кульку в вертикальної воронці, видуваючи з неї повітря? Добре, давайте перевіримо це на досвіді. Критерієм будь-якої істини є досвід. Мені потрібен помічник, який виконає цей нескладний експеримент. Виявляється, щоб утримати кульку в воронці треба видувати повітря. Хто ж може пояснити цей "парадокс"? Тоді запишемо перше питання в таблицю на робочій карті. Чому при видування повітря з воронки кулька утримується в ній?

Продовжуємо відповідати на питання. Що станеться з аркушем паперу, якщо подути над ним? Розташуйте аркуш паперу на рівні рота і з силою продміть повітря. Що сталося з аркушем паперу? А чому? Запишіть в таблицю на робочих картах і це питання : Чому піднявся листок?

Проведемо ще один досвід. Наберіть в шприц води з склянки і, натискаючи на поршень, випустіть її (Добийтеся, щоб вона витікала безперервним струменем).Спочатку виконує товариш по парті, а сусід спостерігає. Потім помінятися ролями. Зверніть увагу на товщину витікає струменя. Струмінь стає вже. А тепер треба пояснити побачене. Є якісь припущення? Записуємо в таблицю друге питання: чому струмінь витікаючої води стає вже? До цих питань ми повернемося пізніше.

Що ж, питань, напевно, поки достатньо. Пора шукати відповіді. Допоможе в цьому відомий вам закон збереження механічної енергії і невідомий поки закон Бернуллі.

Розглянемо ламінарний плин рідини по трубі різного сеченія.Посмотріте на слайд. Там, де перетин не змінюється швидкість теж залишається постійною. Але чи однакова швидкість течії рідини на різних ділянках? І де більше? А може хто-небудь пояснити чому? (Так як рідина нестислива, то за однаковий проміжок часу t через кожне з цих перетинів повинна пройти рідина одного і того ж обсягу. Але як рідина, що протікає через перший перетин може "встигнути" за той же час протекти через значно менший перетин? Очевидно, що для цього при проходженні вузьких частин труби швидкість руху рідини повинна бути більше, ніж при проходженні широких).

Покажіть на малюнку 1 в робочих картах вектори швидкостей в різних ділянках. А тепер перевіримо як це вийшло у мене (Слайд). Значить, швидкість залежить від перетину. Більш того, залежність ця обернено пропорційна. Математично це виражається наступним співвідношенням, яке носить назву рівняння нерозривності струменя: VS \u003d const, тут - V швидкість рідини, S - площа перетину труби, по якій тече рідина. Сформулювати цей закон можна так: скільки вливається рідини в трубу, стільки повинно і виливатися, якщо умови течії не змінюються. Швидкість у вузьких ділянках труби повинна бути вище, ніж в широких.

Звідси слідує що

Висновок: чим менше площа перетину, тим більше швидкість.

Завдання №1. Як і у скільки разів зміниться кінетична енергії рідини, якщо перетин труби зменшити в 2 рази? (Відповідь збільшиться в 4 рази). А потенційна енергія? Обережно, помилка!

Потенційна енергія зменшиться, але необов'язково в 4 рази!

(Наприклад: 100 \u003d 100, 100 \u003d 10 + 90, 100 \u003d 40 + 60)

З питанням про швидкість ви впоралися добре. А що скажете про тиск води в різних частинах? Якщо змінюється, то як? На малюнку 2 відзначте рівень води у вертикальних трубках в залежності від тиску рідини в горизонтальній трубі. А тепер подивимося, на цей слайд . У вузьких місцях труби висота стовпчика рідини менше, ніж в широких. Про що говорить різна висота води? Виявляється, у вузьких місцях труби тиск рідини менше, ніж в широких. А чому?

При переході рідини з широкого ділянки в вузький швидкість течії збільшується, то це означає, що десь на кордоні між вузьким і широким ділянкою труби рідина отримує прискорення. А за другим законом Ньютона для цього на цьому кордоні повинна діяти сила. Цією силою може бути тільки різниця між силами тиску в широкому і вузькому ділянках труби. У широкому ділянці труби тиск повинен бути більше, ніж у вузькому. Цей висновок випливає з закону збереження енергії. Якщо у вузьких місцях труби збільшується швидкість рідини, то збільшується і її кінетична енергія. А так як ми домовилися, що рідина тече без тертя, то цей приріст кінетичної енергії повинен компенсуватися зменшенням потенційної енергії, тому що повна енергія повинна залишатися незмінною. Але це не потенційна енергія "mgh", тому що труба горизонтальна і висота h скрізь однакова. Значить, залишається тільки потенційна енергія, пов'язана з силою пружності. Сила тиску рідини - це і є сила пружності стислої рідини. У широкої частини труби рідина трохи сильніше стисла, ніж у вузькій. Правда, ми тільки що говорили, що рідина вважається несжимаемой. Але це означає, що рідина не настільки стиснута, щоб скільки-небудь помітно змінився її обсяг. Дуже мала стиснення, що викликає появу сили пружності, неминуче. Воно і зменшується в вузьких частинах труби.

Щоб розібратися в причинах зменшення тиску в вузьких частинах і збільшення в широких, використовуємо закон збереження енергії і математичні навички. Я почну, а ви будете допомагати.

Робота сил тиску, досконала над елементом рідини при його переміщенні, дорівнює:

тут \u003d V 1 і \u003d V 2 - обсяги рідини, що пройшла за один і той же час через перетину 1 і 2. Підставами (2) в (1) і отримуємо:

Так як висота центру мас труби не змінюється, то h 1 \u003d h 2. Виберемо нульовий рівень, що проходить через центр мас, тоді mgh 1 \u003d mgh 2 \u003d 0.

Так як рідина практично нестислива, то обсяги її, що пройшли за одне і теж час рівні, V 1 \u003d V 2 (або), тому обидві частини рівності можна розділити обидві частини на V.

отже,

(*)

Таким чином, якщо швидкість, наприклад, збільшується, то збільшується перший доданок, значить, щоб рівність виконувалося, на таку ж величину другий доданок зменшується, тобто зменшується тиск .

Висновок: Чим більше швидкість потоку рідини, тим менше її тиск.

Залежність тиску від швидкості течії називають ефектом, а рівняння (*) - законом Бернуллі в честь автора, швейцарського вченого Данила Бернуллі , який, до речі, працював в С.-Петербурзі. Закон Бернуллі для ламінарних потоків рідини і газів є наслідком закону збереження енергії.

Переконаємося на досвіді, що отриманий висновок справедливий і для газів. Для цього виконаємо ще практичні завдання (Опис на дидактичної карті).

1 варіант. Візьміть в руки два листка паперу і розташуйте їх на расстояніі3- 4см один від одного і продуйте несильно між ними повітря. Що спостерігаємо? Чому? Між листочками тиск зменшився, а зовні залишилося таким же. Повторіть досвід, але подмімо тепер сильніше. Поясніть цей результат.

2 Варіант. Покладіть листок на дві книги, як показано на слайді. Продуйте повітря під листком спочатку несильно, а потім сильніше. Поясніть, що ви спостерігали.

Настав час для відповідей на залишені вами, але не забуті мною питання:

Чому при видування повітря з воронки кулька утримується в ній?
Чому піднявся листок?
Чому струмінь витікаючої води стає вже?

Запишіть відповіді в таблиці.

Ось і настала черга літаків. Подивимося відеофрагмент (Додаток 4).

Так чому ж піднімається літак? У чому причина виникнення підйомної сили?

Вся справа в формі крила і в куті атаки.

Переконаємося на досвіді (рисунок 1). Чому порушилося рівновагу терезів?

Малюнок 1

До речі сказати, у птахів крило теж має схожу форму .

Ефект Бернуллі - це те, завдяки чому птиці і літаки можуть літати. Розріз крила у них практично однаковий: за рахунок складної форми крила створюється різниця обтекающих його зверху і знизу повітряних потоків, що дозволяє тілу підніматися вгору.

Формулу для розрахунку підйомної сили вперше отримав наш співвітчизник Микола Єгорович Жуковський - "батько російської авіації".

F \u003d (P 2 - P 1) S \u003d - (v 1 2 - v 2 2) S

Що стосується білок - летяг, то вони, звичайно ж не можуть розвинути велику швидкість і форма "крил" трошки інша, тому і підйомна сила у них невелика і виникає вона в великій мірі через кута нахилу. Як і звичайна білка, летяга більшу частину життя проводить на деревах, але на землю спускається набагато рідше. Між передніми і задніми лапами у неї є шкірна перетинка, яка дозволяє планувати з дерева на дерево. Так білка-летяга долає відстань до 50-60 м по низхідній параболічної кривої. Для стрибка летяга забирається на верхівку дерева. Під час польоту її передні кінцівки широко розставлені, а задні притиснуті до хвоста, утворюючи характерний трикутний силует. Змінюючи натяг перетинки, летяга маневрує, іноді змінюючи напрямок польоту на 90 °. Хвіст в основному виконує роль гальма. Посадку на стовбур дерева летяга зазвичай робить по дотичній, як би збоку. Перед посадкою приймає вертикальне положення і чіпляється всіма чотирма лапами, після чого відразу переходить на іншу сторону ствола. Цей маневр допомагає їй ухилятися від пернатих хижаків.

Задача№2: У польоті тиск повітря під крилом літака 97,8 кН / м 2, а над крилом 96,8 кН / м 2. Площа крила 20 м 2. Визначити підйомну силу.

Рішення: F \u003d PS, де P \u003d P 2 - P 1, тоді F \u003d (P 2 - P 1) S, F \u003d 20. 10 3 H

Відповідь: 20кН

Завдання №3. Про "кручених м'ячах" ви прочитаєте самостійно текст і дайте відповідь на питання.

Ефект Магнуса.

Чому рухаються обертаються тіла відхиляються від прямолінійної траєкторії?
Чому тиск на м'яч з різних сторін по-різному?
Чому відносна швидкість повітряного потоку різна по різні боки м'яча?

Можна навести ще безліч прикладів: бумеранг, літаючі тарілки, водоструминний насос, розпилювачі, карбюратори, катери на підводних крилах.

А ось подивіться, яку небезпеку становить зменшення тиску для морських судів. Потік води між судами має менший тиск, ніж зовні. Всі моряки знають, що два судна, що йдуть поруч на великих швидкостях сильно притягуються один до одного. Ще небезпечніше, коли один корабель йде за іншим. Сили тяжіння, що виникли через різницю тисків, прагнуть кораблі розгорнути. Задній корабель розгортається сильніше переднього. Зіткнення в таких випадках неминуче.

Завдання №4. Дуже часто лоцмани скаржаться на підступні мілини, які так і притягують до себе суду. Чому мілини на річках притягують суду?

IV. Закріплення вивченого матеріалу

Контрольний тест.

1. Рідина тече через трубу зі змінним поперечним перерізом. В якому перетині труби швидкість " v"Течії рідини і її тиск" P "на стінках максимальна?

v і P максимальні в перерізі 1;
v і P максимальні в перерізі 2;
v максимальні в перерізі 1, P - в перерізі 2;
v максимальні в перерізі 2, P - в перерізі 1;
v і P однакові у всіх перетинах.

2. В якій трубці рівень води буде вище?

У всіх однаково.

3. Що станеться, якщо продувати струмінь повітря між двома кульками від пінг-понгу, підвішеними на нитках (дивись малюнок)?

Залишаться нерухомими;
Рухатимуться разом вправо або вліво;
Відхиляться один від одного;
Наблизяться один до одного.

Підводячи підсумок нашого уроку, згадаємо ще раз основні закони і рівняння, з якими познайомилися на уроці:

Рівняння нерозривності струменя - яку залежність і будь величин воно висловлює?
Закон Бернуллі - що він стверджує?

V. Рефлексія. Підведення підсумків уроку.

А тепер настав час дати нашого уроку "фізичне" назва. Які будуть ваші пропозиції?

Закон Бернуллі як наслідок закону збереження енергії. ( Прояв і застосування закону збереження енергії для рухомих потоків рідини і газів).

VI. Домашнє завдання.

Домашнє завдання:

Завдання № 404, 406, 409, 410 (Римкевіч А.П. Фізика. Задачник. 10-11 класси.- М .: Дрофа, 2003)
Домашня практична робота: Зробіть з тонкого паперу циліндр діаметром 3 см, довжиною 20 см. Покладіть його на стіл на похилу площину. Поспостерігайте за траєкторією, по якій скочується циліндр. Поясніть спостережуване явище.

Рівняння Бернуллі для потоку реальної рідини, його фізичний зміст.

рівняння Бернуллі є наслідком закону збереження енергії для стаціонарного потоку ідеальної (тобто без внутрішнього тертя) нестисливої \u200b\u200bрідини:

Тут - щільність рідини, - швидкість потоку, - висота, на якій знаходиться розглянутий елемент рідини, - тиск у точці простору, де розташований центр маси елемента, що розглядається рідини, - прискорення вільного падіння.

У реальних потоках рідини присутні сили в'язкого тертя. В результаті шари рідини труться одна об одну в процесі руху. На це тертя витрачається частина енергії потоку. З цієї причини в процесі руху неминучі втрати енергії. Ця енергія, як і при будь-якому терті, перетворюється на теплову енергію. Через ці втрат енергія потоку рідини по довжині потоку, і в його напрямку постійно зменшується.

Із закону Бернуллі випливає, що при зменшенні перерізу потоку, через зростання швидкості, тобто динамічного тиску, статичний тиск падає. Це є основною причиною ефекту Магнуса. Закон Бернуллі справедливий і для ламінарних потоків газу. Закон Бернуллі справедливий в чистому вигляді тільки для рідин, в'язкість яких дорівнює нулю. Для опису течій реальних рідин в технічної гідромеханіки (гідравліки) використовують інтеграл Бернуллі з додаванням доданків, що враховують втрати на місцевих і розподілених опорах.

Рівняння Бернуллі для потоку реальної рідини

Розподіл швидкостей:

Що таке трубка Піто і для чого вона служить?

Трубка Піто - прилад для вимірювання швидкості в точках потоку. для вимірювання динамічного напору поточної рідини або газу. Являє собою Г-подібну трубку. Стале в трубці надлишковий тиск приблизно однаково:, де p - щільність рухається (набігає) середовища; V? - швидкість набігаючого потоку; ξ - коефіцієнт.

Напорная трубка Піто підключається до спеціальних приладів і пристроїв. Застосовується при визначенні відносної швидкості і об'ємної витрати в газоходах і вентиляційних системах в комплекті з диференціальними манометрами.

застосовується як складова частина трубки Прандтля в авіаційних приймачах повітряного тиску для можливості одночасного визначення швидкості і висоти польоту.

Як перевести рівняння Бернуллі з розмірності довжин в розмірність тисків?

Рівняння Бернуллі в формі напорів, м

Рівняння Бернуллі в формі тисків, Па

Втрати тиску від першого перетину до другого.

Які існують режими течії і як визначаються межі існування цих режимів?

1. Ламінарний режим руху. Особливості - шаруватий характер перебігу рідини, відсутність перемішування, незмінність тиску і швидкості за часом.

2. Перехідний режим.

3. Турбулентний режим течії. Помітні: вихреобразование, обертальний рух рідини, безперервні пульсації тиску і швидкості в потоці води.

1. ламінарними називається шарувату протягом без перемішування частинок рідини і без пульсації швидкості і тиску. При ламінарному плині рідини в прямій трубі постійного перетину все лінії струму спрямовані паралельно осі труби, при цьому відсутні поперечні переміщення частинок рідини.

2. турбулентності називається перебіг, що супроводжується інтенсивним перемішуванням рідини з пульсаціями швидкостей і тисків. Поряд з основним поздовжнім переміщенням рідини спостерігаються поперечні переміщення і обертальні рухи окремих обсягів рідини. 3. Перехід від ламінарного режиму до турбулентного спостерігається при певній швидкості руху рідини. Ця швидкість називається критичною ( Vкр \u003d kv / d).

Значення цієї швидкості прямо пропорційно кінематичної в'язкості рідини v і обернено пропорційно діаметру труби d.

4. Що входить в цю формулу безрозмірний коефіцієнт kоднаковий для всіх рідин і газів, а також для будь-яких діаметрів труб. Цей коефіцієнт називається критичним числом Рейнольдса Reкрі визначається наступним чином:

Reкр \u003d Vкрd / v \u003d pVкрd / μ ≈ 2300-2320

Як обчислюється число Рейнольдса?

Критерій подібності Рейнольдса (число Рейнольдса) дозволяє судити про режим течії рідини в трубі. Число (критерій) Рейнольдса Re - міра відносини сили інерції до сили тертя

Re \u003d Vd / v \u003d pVd / μ, де μ-дінаміч.коеф.вязкості, v \u003d μ / p,

при Re< Reкр = 2320 течение является ламинарным;

Re\u003e 3800-4200 протягом турбулентний.

Залежно справедливі тільки для круглих труб.

При збільшенні швидкості зростають сили інерції. Сили тертя при цьому більше сил інерції і до певного часу випрямляють траєкторії цівок

При деякій швидкості vкр:

Сила інерції Fи\u003e сили тертя Fтр, потік стає турбулентним

Рівняння Бернуллі для усталеного руху ідеальної рідини, його фізичний зміст.

Наведемо рівняння Ейлера до вигляду, зручного для інтегрування, помноживши відповідно на dx, dy,

dz і склавши:

отримуємо

З урахуванням, що

Повний диференціал тиску

Остаточне вираз:

Якщо рідина знаходиться тільки під дією сили тяжіння і її щільність незмінна, то

остаточно

рівняння Бернуллі для цівки ідеальної рідини

Рівняння Бернуллі для усталеного руху в'язкої рідини.

Розподіл швидкостей:

1 - елементарна цівка; ідеальна рідина;

2 - реальна (в'язка) рідина

При русі реальної в'язкої рідини виникають сили тертя і вихори, на подолання яких рідина витрачає енергію.

В результаті повна питома енергія рідини в перерізі 1-1 буде більше повної питомої енергії в перетині 2-2 на величину втраченої енергії

V 1,2- середня швидкість потоку в перетинах 1,2;

hW1,2 \u003d hпот 1-2- втрачений напір втрати напору між перетинами 1-2;

α1,2- безрозмірний коефіцієнт Коріоліса - відношення дійсної кінетичної енергії потоку в даному перетині до кінетичної енергії потоку в тому ж перерізі при рівномірному розподілі швидкостей.

Таким чином, рівень початкової енергії, якою володіє рідина в першому перетині, для другого перетину буде складатися з чотирьох складових: геометричній висоти, пьезометрической висоти, швидкісний висоти і втраченого напору між перетинами 1-1 і 2-2
Швидкість течії в'язкої рідини в довгій трубці: v \u003d (ΔP / η) · R 2 / (8 · l), де ΔP - різниця тисків на кінцях трубки, η - в'язкість рідини або газу (сильно залежить від температури), R - внутрішній радіус трубки, l - її довжина, l >> R.

Коефіцієнти Коріоліса. Величина коефіцієнтів для ламінарного і турбулентного режимів течії.

Коефіцієнт Коріоліса - відношення дійсної кінетичної енергії потоку в даному перетині до кінетичної енергії потоку в тому ж перерізі при рівномірному розподілі швидкостей.

Потужність елементарної цівки:

для потоку

Розділивши отримане вираз на і враховуючи, що (питома потужність на 1 Н

ваги рідини \u003d середній натиск в перетині Нср) Отримуємо:

тут ? - коефіцієнт Коріоліса.

При рівномірному розподілі швидкостей α \u003d 1 (елементарна цівка / ідеальна рідина),

при нерівномірному α\u003e 1. V- середня швидкість в живому перетині .

Коефіцієнт Коріоліса для ламінарного режиму.

Коефіцієнт Коріоліса для турбулентного режиму (прагне до 1,0 при збільшенні Re)

Раціональний вибір перетинів для вирішення рівняння Бернуллі.

перетину вибираютьсязавжди перпендикулярно напрямку руху рідини і повинні розташовуватися на прямолінійних ділянках потоку

Одне зрозрахункових перетинів необхідно брати там, де потрібно визначити тиск р, висоту zабо швидкість V, Друге, де величини р, z, і Vвідомі

нумеруватирозрахункові перетину слід так, щоб рідина рухалася від перетину 1-1 до перетину 2-2

Площина порівняння 0-0 -будь-яка горизонтальна площина. Для зручності її проводять через центр ваги одного з перетинів

Практичне застосування рівняння Бернуллі: трубка Піто.

Трубка Піто - прилад для вимірювання швидкості в точках потоку.

Склавши рівняння Бернуллі для перетинів a-aі b-b, отримаємо

Практичне застосування рівняння Бернуллі: витратомір Вентурі.

а) Нехтуючи втратами напору і вважаючи z1 \u003d z2, напишемо рівняння Бернуллі для перетинів 1-1 і 2-2:

б) З рівняння нерозривності

в) З рівняння пьезометра

Вирішуючи спільно, отримуємо:

Енергетичне тлумачення рівняння Бернуллі.

Енергетичних характеристик рідини. Сумарної енергетичної характеристикою рідини є її гідродинамічний напір.

З фізичної точки зору це відношення величини механічної енергії до величини ваги рідини, яка цією енергією володіє. Таким чином, гідродинамічний напір потрібно розуміти як енергію одиниці ваги рідини. І для ідеальної рідини ця величина постійна по довжині. Таким чином, фізичний зміст рівняння Бернуллі це закон збереження енергії для рідини, що рухається .

Тут з енергетичної точки зору (в одиницях енергії, Дж / кг) gz — питома-ва потенційна енергія положення; rр / — питома потенційна енергія тиску; gz + rр / — питома потенційна енергія; u 2/2 — питома кине-чна енергія; і — швидкість елементарної цівки ідеальної рідини.

Помноживши всі члени рівняння на питому вагу рідини g , Отримаємо:

g z - вагове тиск, Па; P — гідродинамічний тиск, Па; іr 2/2 - динамічний тиск Па; Hg - повний тиск, Па

Геометричне тлумачення рівняння Бернуллі.

Положення будь-якої частки рідини щодо деякої довільної лінії нульового рівня 0-0 визначається вертикальної координатою Z . Для реальних гідравлічних систем це може бути рівень, нижче якого рідина з даної гідросистеми витекти не може. Наприклад, рівень підлоги цеху для верстата або рівень підвалу будинку для домашнього водопроводу.

Всі складові рівняння Бернуллі мають розмірність довжини і їх можна зобразити графічно.

значення - нівелірну, пьезометрические і швидкісну висоти можна визначити для кожного перетину елементарної цівки рідини. Геометричне місце точок, висоти яких рівні, називається пьезометрической лінією . Якщо до цих висот додати швидкісні висоти, рівні, то вийде інша лінія, яка називається гідродинамічної або напірної лінією .

З рівняння Бернуллі для цівки нев'язкої рідини (і графіка) слід, що гідродинамічний напір по довжині цівки постійний.

Лінія повного напору і її побудова.

Фізичний сенс рівняння Бернуллі.

Закон Бернуллі справедливий в чистому вигляді тільки для рідин, в'язкість яких дорівнює нулю, тобто таких рідин, які не прилипають до поверхні труби. Насправді експериментально встановлено, що швидкість рідини на поверхні твердого тіла майже завжди в точності дорівнює нулю (крім випадків відриву струменів при деяких рідкісних умовах).

закон Бернуллі пояснює ефект тяжіння між тілами, що знаходяться на кордоні потоку рідини, що рухається (газу). Іноді це тяжіння може створювати загрозу безпеці. Наприклад, при русі швидкісного поїзда «Сапсан» (швидкість руху понад 200 км / год) для людей на платформах виникає небезпека скидання під поезд.Аналогічно «затягує сила» виникає при русі судів паралельним курсом: наприклад, подібні інциденти відбувалися з лайнером «Олімпік» .

Вплив епюри швидкостей в каналі на питому кінетичну енергію потоку. Її облік в рівнянні Бернуллі.

Кавітація, причини, умови виникнення, заходи боротьби з кавітацією. Визначення можливості кавітації за допомогою рівняння Бернуллі.

Кавітація - явище, яке виникає в рідині при високих швидкостях руху рідини, тобто при малих тисках. Кавітація - порушення суцільності рідини з утворенням парових і газових бульбашок (каверн), викликане падінням статичного тиску рідини нижче тиску насичених парів цієї рідини при даній температурі.

p2 \u003d pнп \u003d f (t) - умова виникнення кавітації

Заходи боротьби з кавітацією:

Зниження швидкості рідини в трубопроводі;

Зменшення перепадів діаметрів трубопроводу;

Підвищення робочого тиску в гідросистемах (наддув баків стисненим газом);

Установка отвору всмоктування насоса не вище допустимої висоти всмоктування (з паспорта насоса);

Застосування кавітаційно-стійких матеріалів.

Запишемо рівняння Бернуллі для перетинів 1-1 і 2-2 потоку реальної рідини:

Звідси

Правила застосування рівняння Бернуллі.

Вибираємо два перетину потоку: 1-1 і 2-2, а також горизонтальну площину відліку 0-0 і записуємо в загалом вигляді рівняння Бернуллі.

Площина порівняння 0-0 - будь-яка горизонтальна площина. Для зручності її проводять через центр ваги одного з перетинів

У цьому параграфі ми застосуємо закон збереження енергії до руху рідини або газу по трубах. Рух рідини по трубах часто зустрічається в техніці і побуті. По трубах водопроводу подається вода в місті в будинку, до місць її споживання. В машинах по трубах надходить масло для змащення, паливо в двигуни і т. Д. Рух рідини по трубах нерідко зустрічається і в природі. Досить сказати, що кровообіг тварин і людини - це політична течія крові по трубках - кровоносних судинах. В якійсь мірі протягом води в річках теж є різновидом течії рідини по трубах. Русло річки - це своєрідна труба для поточної води.

Як відомо, нерухома рідина в посудині відповідно до закону Паскаля передає зовнішній тиск в усіх напрямках і в усі точки обсягу без зміни. Однак, коли рідина тече без тертя по трубі, площа поперечного перерізу якої на різних ділянках різна, тиск виявляється неоднаковим уздовж труби. З'ясуємо, чому тиск в рідині, що рухається залежить від площі поперечного перерізу труби. Але спочатку ознайомимося з однією важливою особливістю будь-якого потоку рідини.

Припустимо, що рідина тече по горизонтально розташованої трубі, перетин якої в різних місцях різний, наприклад по трубі, частину якої показана на малюнку 207.

Якби ми подумки провели кілька перетинів уздовж труби, площі яких відповідно рівні і виміряли б кількість рідини, що протікає через кожне з них за якийсь проміжок часу то ми виявили б, що через кожне перетин протекло одне і те ж кількість рідини. Це означає, що вся та рідина, яка за час проходить через перший перетин, за такий же час проходить і через третю перетин, хоча воно по площі значно менше, ніж перше. Якби це було не так і через перетин площею за час проходило, наприклад, менше рідини, ніж через перетин площею то надлишок рідини повинен був би десь накопичуватися. Але рідина заповнює всю трубу, і накопичуватися їй ніде.

Як же може рідина, яка пропливла через широке розтин, встигнути за такий же час «протиснутися» через вузьке? Очевидно, що для цього при проходженні вузьких частин труби швидкість руху повинна бути більше, і як раз в стільки разів, у скільки разів площа перетину менше.

Дійсно, розглянемо деякий перетин рухається стовпа рідини, що збігається в початковий момент часу з одним з перетинів труби (рис. 208). За час цей майданчик переміститься на відстань що дорівнює де - швидкість течії рідини. Обсяг V рідини, яка пропливла через перетин труби, дорівнює добутку площі цього перерізу на довжину

В одиницю ж часу протікає обсяг рідини -

Обсяг рідини, що протікає в одиницю часу через перетин труби, дорівнює добутку площі поперечного перерізу труби на швидкість течії.

Як ми тільки що бачили, цей обсяг повинен бути одним і тим же в різних перетинах труби. Тому, чим менше перетин труби, тим більше швидкість руху.

Скільки рідини проходить через одне перетин труби за деякий час, стільки ж її має пройти за таке

водночас через будь-який інший перетин.

При цьому ми вважаємо, що дана маса рідини завжди має один і той же обсяг, що вона не може стиснутися і зменшити свій обсяг (про рідини кажуть, що вона нестислива). Добре відомо, наприклад, що у вузьких місцях річки швидкість течії води більше, ніж в широких. Якщо позначити швидкість течії рідини в перетинах площами через те можна написати:

Звідси видно, що при переході рідини з ділянки труби з більшою площею перетину на ділянку з меншою площею перетину швидкість течії збільшується, т. Е. Рідина рухається з прискоренням. А це за другим законом Ньютона означає, що на рідину діє сила. Що це за сила?

Цією силою може бути тільки різниця між силами тиску в широкому і вузькому ділянках труби. Таким чином, в широкому ділянці тиск рідини має бути більше, ніж в вузькій ділянці труби.

Це ж випливає з закону збереження енергії. Дійсно, якщо в вузьких місцях труби збільшується швидкість руху рідини, то збільшується і її кінетична енергія. А так як ми прийняли, що рідина тече без тертя, то цей приріст кінетичної енергії повинен компенсуватися зменшенням потенційної енергії, тому що повна енергія повинна залишатися незмінною. Про яку ж потенційної енергії тут йдеться? Якщо труба горизонтальна, то потенційна енергія взаємодії із Землею у всіх частинах труби одна і та ж і не може змінитися. Значить, залишається тільки потенційна енергія пружної взаємодії. Сила тиску, яка змушує рідину текти по трубі, - це і є пружна сила стиснення рідини. Коли ми говоримо, що рідина нестислива, то маємо лише на увазі, що вона не може бути стиснута настільки, щоб помітно змінився її обсяг, але дуже мале стиснення, що викликає появу пружних сил, неминуче відбувається. Ці сили і створюють тиск рідини. Ось це стиснення рідини і зменшується в вузьких частинах труби, компенсуючи зростання швидкості. У вузьких місцях труб тиск рідини має бути тому менше, ніж в широких.

У цьому полягає закон, відкритий петербурзьким академіком Данилом Бернуллі:

Тиск поточної рідини більше в тих перетинах потоку, в яких швидкість її руху менша, і,

навпаки, в тих перетинах, в яких швидкість більше, тиск менше.

Як це не здасться дивним, але коли рідина «протискується» через вузькі ділянки труби, то її стиск не збільшується, а зменшується. І досвід добре це підтверджує.

Якщо трубу, по якій тече рідина, забезпечити упаяними в неї відкритими трубками - манометрами (рис. 209), то можна буде спостерігати розподіл тиску уздовж труби. У вузьких місцях труби висота стовпа рідини в манометричної трубці менше, ніж в широких. Це означає, що в цих місцях тиск менше. Чим менше перетин труби, тим більше в ній швидкість течії і менше тиск. Можна, очевидно, підібрати таке перетин, в якому тиск дорівнює зовнішньому атмосферному тиску (Висота рівня рідини в манометрі буде тоді дорівнює нулю). А якщо взяти ще менший перетин, то тиск рідини в ньому буде менше атмосферного.

Такий потік рідини можна використовувати для відкачування повітря. На цьому принципі діє так званий водоструминний насос. На малюнку 210 зображено схема такого насоса. Струмінь води пропускають через трубку А з вузьким отвором на кінці. Тиск води у отвори труби менше атмосферного. Тому

газ з відкачуваного обсягу через трубку В втягується до кінця трубки А і видаляється разом з водою.

Все сказане про рух рідини по трубах відноситься і до руху газу. Якщо швидкість течії газу не надто велика і газ не стискується настільки, щоб змінювався його обсяг, і якщо, крім того, знехтувати тертям, то закон Бернуллі вірний і для газових потоків. У вузьких частинах труб, де газ рухається швидше, тиск його менше, ніж в широких частинах, і може стати менше атмосферного. У деяких випадках для цього навіть не потрібно труби.

Можна виконати простий дослід. Якщо дути на аркуш паперу вздовж його поверхні, як показано на малюнку 211, можна побачити, що папір стане підніматися вгору. Це відбувається через зниження тиску в струмені повітря над папером.

Таке ж явище має місце при польоті літака. Зустрічний потік повітря набігає на опуклу верхню поверхню крила літака, і за рахунок цього відбувається зниження тиску. Тиск над крилом виявляється менше, ніж тиск під крилом. Саме тому виникає підйомна сила крила.

Вправа 62

1. Допустима швидкість течії нафти по трубах дорівнює 2 м / сек. Який обсяг нафти проходить через трубу діаметром 1 м протягом 1 ч?

2. Виміряйте кількість води, яка витікає з водопровідного крана за певний час Визначте швидкість течії води, вимірявши діаметр труби перед краном.

3. Яким повинен бути діаметр трубопроводу, по якому має протікати води в годину? Допустима швидкість течії води 2,5 м / сек.

Повідомлення від адміністратора:

Хлопці! Хто давно хотів вивчити англійську?
Переходьте по і отримаєте два безкоштовних уроку у школі англійської мови SkyEng!
Займаюся там сам - дуже круто. Прогрес в наявності.

У додатку можна вчити слова, тренувати аудіювання та вимову.

Спробуйте. Два уроку безкоштовно по моїй посиланням!
тисніть

Для стабільно поточного потоку (газу або рідини) сума кінетичної і потенційної енергії, тиску на одиницю об'єму є постійною в будь-якій точці цього потоку.

Перше і друге складова в законі Бернуллі мають сенс кінетичної і потенційної енергії, що припадає на одиницю об'єму рідини. А третій доданок в нашій формула є роботою сил тиску і не запасає якусь енергію. З цього можна зробити висновок, що розмірність всіх доданків - одиниця енергії, яка припадає на одиницю об'єму рідини або газу.

Постійна в правій частині рівняння Бернуллі називається повним тиском і залежить в загальних випадках, тільки від лінії потоку.

Якщо у вас горизонтальна труба, то Рівняння Бернуллі приймає якийсь інший вид. Так як h \u003d 0, то потенційна енергія буде дорівнювати нулю, і тоді вийде:

З Рівняння Бернуллі можна зробити один важливий висновок. При зменшенні перерізу потоку зростає швидкість руху газу або рідини (зростає динамічний тиск), але в цей же момент зменшує статичний тиск слід, що при зменшенні перерізу потоку, через зростання швидкості, тобто динамічного тиску, статичний тиск падає.

Давайте дізнаємося, як же літають літаки. Данило Бернуллі об'єднав закони механіки Ньютона до закону збереження енергії і умовою нерозривності рідини, і зміг вивести рівняння (), згідно з яким тиск з боку текучого середовища (рідина або газ) падає зі збільшенням швидкості потоку цього середовища. У випадку з літаком повітря обтікає крило літака знизу повільніше, ніж зверху. І завдяки цьому ефекту зворотній залежності тиску від швидкості тиск повітря знизу, спрямоване вгору, виявляється більше тиску зверху, напрвлениях вниз. В результаті, під час набору літаком швидкості, зростає спрямована вгору різниця тисків, і на крила літака діє наростаюча у міру розгону підйомна сила. Як тільки вона починає перевищувати силу гравітаційного тяжіння літака до землі, літак в буквальному сенсі злітає в небо. Ця ж сила утримує літак в горизонтальному польоті: на крейсерській швидкості і висоті підйомна сила врівноважує силу тяжіння.