Цифри. Розряди рахункових одиниць 7 одиниць 4 розряду

Цифри в запису багатозначних чисел розбивають справа наліво на групи по три цифри в кожній. Ці групи називають класами. У кожному класі цифри справа наліво позначають одиниці, десятки і сотні цього класу:

Перший клас справа називають класом одиниць, Другий - тисяч, Третій - мільйонів, Четвертий - мільярдів, П'ятий - трильйонів, Шостий - квадрильйонів, Сьомий - квінтильйонів, Восьмий - секстильйонів.

Для зручності читання записи багатозначного числа, Між класами залишається невеличка прогалина. Наприклад, щоб прочитати число 148951784296, виділимо в ньому класи:

і прочитаємо число одиниць кожного класу зліва направо:

148 мільярдів 951 мільйон 784 тисячі 296.

При читанні класу одиниць в кінці зазвичай не додають слово одиниць.

Кожна цифра в запису багатозначного числа займає певне місце - позицію. Місце (позицію) в запису числа, на якому стоїть цифра, називають розрядом.

Рахунок розрядів йде справа наліво. Тобто, перша цифра праворуч в запису числа називається цифрою першого розряду, друга цифра праворуч - цифрою другого розряду і т. Д. Наприклад, в першому класі числа 148 951 784 296, цифра 6 є цифрою першого розряду, 9 - цифра другого розряду, 2 - цифра третього розряду:

Одиниці, десятки, сотні, тисячі і т. Д. Інакше ще називають розрядними одиницями:
одиниці називають одиницями 1-го розряду (або простими одиницями)
десятки називають одиницями 2-го розряду
сотні називають одиницями 3-го розряду і т. д.

Всі одиниці, крім простих одиниць, називаються складовими одиницями. Так, десяток, сотня, тисяча і т. Д. - складові одиниці. Кожні 10 одиниць будь-якого розряду становлять одну одиницю наступного (вищого) розряду. Наприклад, сотня містить 10 десятків, десяток - 10 простих одиниць.

Будь-яка складова одиниця в порівнянні з іншою одиницею, меншою її називається одиницею вищого розряду , А в порівнянні з одиницею, більшої її, називається одиницею нижчого розряду. Наприклад, сотня є одиницею вищого розряду щодо десятка і одиницею нижчого розряду щодо тисячі.

Щоб дізнатися, скільки в числі полягає всіх одиниць якого-небудь розряду, треба відкинути всі цифри, що означають одиниці нижчих розрядів і прочитати число, яке виражається залишилися цифрами.

Наприклад, потрібно дізнатися, скільки всього сотень міститься в числі 6284, т. Е. Скільки сотень полягає в тисячах і в сотнях даного числа разом.

У числі 6284 на третьому місці в класі одиниць стоїть цифра 2, значить в числі є дві прості сотні. Наступна вліво цифра - 6, означає тисячі. Так як в кожній тисячі міститься 10 сотень то, в 6 тисячах їх полягає 60. Всього, таким чином, в даному числі міститься 62 сотні.

Цифра 0 в якомусь розряді означає відсутність одиниць в даному розряді. Наприклад, цифра 0 у розряді десятків означає відсутність десятків, в розряді сотень - відсутність сотень і т. Д. У тому розряді, де стоїть 0, при читанні числа нічого не вимовляється:

172 526 - сто сімдесят дві тисячі п'ятсот двадцять шість.
102 026 - сто дві тисячі двадцять шість.

Щоб запам'ятати, скільки зібрали врожаю або скільки зірок на небі люди придумали символи. У різних місцевостях ці символи були різними.

Але з розвитком торгівлі, щоб розуміти позначення іншого народу, люди стали користуватися найбільш зручними символами. Ми, наприклад, користуємося арабськими символами. А арабськими вони називаються тому, що європейці їх дізналися від арабів. А ось араби ці символи дізналися від індійців.

Символи, які використовуються для запису чисел, називаються цифрами .

Слово цифра пішло від арабського назви числа 0 (Сифре). Це дуже цікава цифра. Вона називається незначної і позначає відсутність чогось.

На малюнку ми бачимо тарілку, на якій лежить 3 яблука, і порожню тарілку, на якій немає яблук. У випадку з порожньою тарілкою ми можемо сказати, що на ній 0 яблук.

Інші цифри: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 називаються значущими .

розрядні одиниці

Система зчислення , Якою ми користуємося, називається десяткової . Тому що саме десять одиниць одного розряду становить одну одиницю наступного розряду.

Ми вважаємо одиницями, десятками, сотнями, тисячами і так далі. Це і є розрядні одиниці нашої системи числення.

10 одиниць - 1 десяток (10)

10 десятків - 1 сотня (100)

10 сотень - 1 тисяча (1000)

10 раз по 1 тисячі - 1 десяток тисяч (10 000)

10 десятків тисяч - 100 тисяч (100 000) і так далі ...

Розряд це місце цифри в запису числа.

Наприклад, в числі 12 два розряду: розряд одиниць складається з 2 одиниць, Розряд десятків складається з одного десятка.

Ми говорили про те, що 0 - незначущий цифра, яка позначає відсутність чогось. В числах цифра 0 означає відсутність одиниць в розряді.

У числі 190 цифра 0 вказує на відсутність розряду одиниць. У числі 208 цифра 0 вказує на відсутність розряду десятків. Такі числа називаються неповними .

А числа, в розрядах яких немає нулів, називаються повними .

Розряди вважають справа наліво:

Зрозуміліше буде, якщо зобразити розрядну сітку наступним чином:

1. У числі 2375 :

5 одиниць першого розряду, або 5 одиниць

7 одиниць другого розряду, або 7 десятків

3 одиниці третього розряду, або 3 сотні

2 одиниці четвертого розряду, або 2 тисячі

Вимовляється це число так: дві тисячі триста сімдесят п'ять

1. У числі 1000462086432

2 одиниці

3 десятка

8 десятків тисяч

0 сотень тисяч

2 одиниці мільйонів

6 десятків мільйонів

4 сотні мільйонів

0 одиниць мільярдів

0 десятків мільярдів

0 сотень мільярдів

1 одиниця трильйонів

Вимовляється це число так: один трильйон чотири сотні шістдесят два мільйона вісімдесят шість тисяч чотири сотні тридцять два .

1. У числі 83 :

3 одиниці

8 десятків

Вимовляється так: вісімдесят три .

розрядними,називають числа, що складаються з одиниць тільки одного розряду:

Наприклад, числа 1, 3, 40, 600, 8000 - розрядні, в таких числах нулів (незначної цифри) може бути скільки завгодно чи не бути зовсім, а значуща цифра тільки одна.

Решта числа, наприклад: 34, 108, 756 і так далі, неразрядние , їх називають алгоритмічними.

Неразрядние числа можна представити у вигляді суми розрядних доданків.

Наприклад, число 6734 можна уявити так:

6000 + 700 + 30 + 4 = 6734

За допомогою цього уроку ми вивчимо розряди рахункових доданків. Спочатку повторимо співвідношення рахункових одиниць. Згадаймо, що таке розряди, до якого розряду відносяться сотні, десятки і одиниці. Вирішимо багато різноманітних і цікавих завдань на закріплення матеріалу. Після цього уроку ви легко визначите, до якого розряду відносять одиниці, десятки і сотні в тризначним числом. Ви також без праці будете переводити одиниці вимірювання довжини в більш дрібні або великі значення. Не втрачайте ні хвилини. Вперед - вчитися і осягати нові горизонти!

При записи числа кожна рахункова одиниця записується на своєму місці (табл. 1).

Таблиця 1. Запис тризначних чисел

Розряди вважаються справа наліво, починаючи з першого розряду - одиниці. Другий розряд - десятки. І третій розряд - сотні.

Запишіть числа, відкладені на рахунках, (рис. 2, 3, 4) і прочитайте їх.

Мал. 2. Числа

Мал. 4. Числа

Мал. 3. Числа

Рішення: 1. На рахунках відкладено сім одиниць, два десятка і три сотні. Виходить число триста двадцять сім.

2. У наступному числі (рис. 3) одиниці відсутні. Якщо немає якого-небудь розряду, можна поставити нуль. Все число - триста двадцять.

3. На малюнку 4 в числі сім одиниць, немає десятків і три сотні. Виходить число триста сім.

2. У другій величиною п'ятсот сорок сантиметрів. У цьому числі 5 сотень - 5 м і 4 десятка - 4 дм, а одиниці відсутні, отже, сантиметрів не буде.

540 см \u003d 5 м 4 дм

3. Вісімдесят шість міліметрів. В одному сантиметрі десять міліметрів, значить, в цій величині буде вісім сантиметрів і шість міліметрів.

86 мм \u003d 8 см 6 мм

4. В останньому числі (42 дм) видно чотири десятки і відомо, що в 1 м - 10 дм.

42 дм \u003d 4 м 2 дм

Висловіть дані величини в більш дрібних одиницях виміру:

2. 2 дм 8 мм

Рішення: 1. Для вирішення завдання скористаємося малюнком 5, на якому зображена взаємозв'язок між одиницями вимірювання довжини.

1 м 75 см \u003d 175 см

2. Переведемо друге число.

2 дм 8 мм \u003d 208 мм

Список літератури

1. Математика. 3 клас. Учеб. для загальноосвіт. установ з дод. на електрон. носії. У 2 ч. Ч. 1 / [М.І. Моро, М.А. Бантова, Г.В. Бельтюкова и др.] - 2-е вид. - М .: Просвещение, 2012. - 112 с .: іл. - (Школа Росії).
2. Рудницька В.М., Юдачёва Т.В. Математика, 3 клас. - М .: ВЕНТАНА-ГРАФ.
3. Петерсон Л.Г. Математика, 3 клас. - М .: Ювента.

1. All-schools.pp.ua ().
2. Urokonline.com ().
3. Uchu24.ru ().

Домашнє завдання

1. Математика. 3 клас. Учеб. для загальноосвіт. установ з дод. на електрон. носії. У 2 ч. Ч. 2 / [М.І. Моро, М.А. Бантова, Г.В. Бельтюкова и др.] - 2-е вид. - М .: Просвещение, 2012., стор. 44, 45 № 1-7.
2. Висловіть в міліметрах

Наш перший урок називався числа. Ми розглянули лише малу частину цієї теми. Насправді тема чисел досить обширна. У ній багато тонкощів і нюансів, багато хитрощів і цікавих фішок.

Сьогодні ми продовжимо тему чисел, але знову ж таки не будемо розглядати її всю, щоб не ускладнювати навчання зайвою інформацією, яка на перших порах не особливо то й потрібна. Ми поговоримо про розрядах.

зміст уроку

Що таке розряд?

Якщо говорити простою мовою, то розряд це позиція цифри в числі або місце, де розташовується цифра. Візьмемо для прикладу число 635. Це число складається з трьох цифр: 6, 3 і 5.

Позиція, де розташовується цифра 5, називається розрядом одиниць

Позиція, де розташовується цифра 3, називається розрядом десятків

Позиція, де розташовується цифра 6, називається розрядом сотень

Кожен з нас чув зі школи такі речі як «одиниці», «десятки», «сотні». Розряди крім того, що грають роль позиції цифри в числі, повідомляють нам деяку інформацію про самому числі. Зокрема, розряди повідомляють нам вага числа. Вони повідомляють скільки в числі одиниць, скільки десятків і скільки сотень.

Повернемося до нашого числу 635. У розряді одиниць розташовується п'ятірка. Про що це говорить? А говорить це про те, що розряд одиниць містить п'ять одиниць. Виглядає це так:

У розряді десятків розташовується трійка. Це говорить про те, що розряд десятків містить три десятка. Виглядає це так:

У розряді сотень розташовується шістка. Це говорить про те, що в розряді сотень розташовуються шість сотень. Виглядає це так:

Якщо скласти число одержані одиниць, число десятків і число сотень, то отримаємо наше споконвічне число 635

Існують і більш старші розряди такі як розряд тисяч, розряд десятків тисяч, розряд сотень тисяч, розряд мільйонів і так далі. Такі великі числа ми будемо розглядати рідко, але тим не менше про них теж бажано знати.

Наприклад, в них 1 645 832 розряд одиниць містить 2 одиниці, розряд десятків - 3 десятки, розряд сотень - 8 сотень, розряд тисяч - 5 тисяч, розряд десятків тисяч - 4 десятка тисяч, розряд сотень тисяч - 6 сотень тисяч, розряд мільйонів - 1 мільйон.

На перших етапах вивчення розрядів бажано розбиратися скільки одиниць, десятків, сотень містить ту чи іншу кількість. Наприклад, число 9 містить 9 одиниць. Число 12 містить дві одиниці і один десяток. Число 123 містить три одиниці, два десятка і одну сотню.

угруповання предметів

Після підрахунку якихось предметів, розряди можна використовувати для угрупування цих предметів. Наприклад, якщо ми нарахували у дворі 35 цегли, то можна використовувати розряди для угруповання цієї речовини. У разі угруповання предметів, розряди можна читати зліва направо. Так, цифра 3 в числі 35 говоритиме про те, що в числі 35 міститься три десятка. А це означає, що 35 цегли можна згрупувати три рази по десять штук.

Отже, згрупуємо цеглини три рази по десять штук:

Вийшло тридцять цегли. Але залишилося ще п'ять одиниць цегли. Їх ми назвемо як «П'ять одиниць»

Вийшло три десятка і п'ять одиниць цегли.

А якби ми не стали групувати цеглини на десятки і одиниці, то можна було б сказати, що число 35 містить тридцять п'ять одиниць. Таке групування теж була б допустимою:

Аналогічно можна міркувати і про інші числа. Наприклад, про кількість 123. Раніше ми сказали, що це число містить три одиниці, два десятка і одну сотню. Але можна ще сказати, що це число містить 123 одиниці. Більш того, можна згрупувати це число і іншим чином, сказавши що воно містить 12 десятків і 3 одиниці.

слова одиниці, десятки, сотні, Замінюють собою множимо 1, 10 і 100. Наприклад, в розряді одиниць числа 123 розташовується цифра 3. За допомогою множимо 1 можна записати, що ця одиниця міститься в розряді одиниць три рази:

100 × 1 \u003d 100

Якщо скласти отримані результати 3, 20 і 100, то отримаємо число 123

3 + 20 + 100 = 123

Те ж саме буде відбуватися якщо ми скажемо, що число 123 містить 12 десятків і 3 одиниці. Іншими словами, десятки будуть згруповані 12 разів:

10 × 12 \u003d 120

А одиниці три рази:

1 × 3 \u003d 3

Це можна зрозуміти на наступному прикладі. Якщо є 123 яблука, то можна згрупувати перші 120 яблук 12 раз по 10 штук:

Вийшло сто двадцять яблук. Але залишилося ще три яблука. Їх ми назвемо як «Три одиниці»

Якщо скласти отримані результати 120 і 3, знову отримаємо число 123

120 + 3 = 123

Ще можна згрупувати 123 яблука на одну сотню, два десятка і три одиниці.

Згрупуємо сотню:

Згрупуємо два десятка:

Згрупуємо три одиниці:

Якщо скласти отримані результати 100, 20 і 3, знову отримаємо число 123

100 + 20 + 3 = 123

Ну і нарешті, розглянемо останню можливу угруповання, де яблука не будуть розподілятися на десятки і сотні, а будуть зібрані разом. У такому випадку число 123 буде читатися як «Сто двадцять три одиниці» . Таке групування теж буде допустимої:

1 × 123 \u003d 123

Число 523 можна прочитати, як 3 одиниці, 2 десятка і 5 сотень:

1 × 3 \u003d 3 (три одиниці)

10 × 2 \u003d 20 (два десятка)

100 × 5 \u003d 500 (п'ять сотень)

3 + 20 + 500 = 523

Ще можна прочитати, як 3 одиниці 52 десятка:

1 × 3 \u003d 3 (три одиниці)

10 × 52 \u003d 520 (п'ятдесят і два десятка)

3 + 520 = 523

Ще число 523 можна прочитати, як 523 одиниці:

1 × 523 \u003d 523 (п'ятсот двадцять три одиниці)

Де застосувати розряди?

Розряди істотно полегшують деякі обчислення. Уявіть, що ви біля дошки і вирішуєте задачу. Ви майже закінчили завдання, залишилося тільки обчислити останній вираз і отримати відповідь. Вираз, який треба обчислити, виглядає наступним чином:

Калькулятора під рукою немає, а хочеться швидко записати відповідь і здивувати всіх швидкістю своїх обчислень. Все просто, якщо окремо скласти одиниці, окремо десятки і окремо сотні. Починати потрібно з розряду одиниць. В першу чергу після знака рівності (\u003d) необхідно подумки поставити три крапки. Замість цих точок буде розташовуватися нове число (наша відповідь):

Тепер починаємо складати. У розряді одиниць числа 632 розташовується цифра 2, а в розряді одиниць числа 264 - цифра 4. Це означає, розряд одиниць числа 632 містить дві одиниці, а розряд одиниць числа 264 містить чотири одиниці. Складаємо 2 і 4 одиниці - отримуємо 6 одиниць. Записуємо цифру 6 в розряді одиниць нового числа (нашої відповіді):

Далі складаємо десятки. У розряді десятків числа 632 розташовується цифра 3, а в розряді десятків числа 264 - цифра 6. Це означає, що розряд десятків числа 632 містить три десятка, а розряд десятків числа 264 містить шість десятків. Складаємо 3 і 6 десятків - отримуємо 9 десятків. Записуємо цифру 9 в розряді десятків нового числа (нашої відповіді):

Ну і на завершення складаємо окремо сотні. У розряді сотень числа 632 розташовується цифра 6, а в розряді сотень числа 264 - цифра 2. Це означає, що розряд сотень числа 632 містить шість сотень, а розряд сотень числа 264 містить дві сотні. Складаємо 6 і 2 сотні, отримуємо 8 сотень. Записуємо цифру 8 в розряді сотень нового числа (нашої відповіді):

Таким чином, якщо до числа 632 додати 264, виходить 896. Звичайно, ви обчисліть подібний вираз швидше і навколишні почнуть дивуватися вашим здібностям. Вони будуть думати, що ви швидко обчислюєте великі числа, а насправді ви вираховували маленькі. Погодьтеся, що маленькі числа обчислювати легше, ніж великі.

переповнення розряду

Розряд характеризується однією цифрою від 0 до 9. Але іноді при обчисленні числового виразу в середині рішення може статися переповнення розряду.

Наприклад, при додаванні чисел 32 і 14 переповнення не відбувається. Додавання одиниць цих чисел дасть 6 одиниць в новому числі. А складання десятків цих чисел дасть 4 десятка в новому числі. Вийде відповідь 46 або шість одиниць і чотири десятки .

А ось при додаванні чисел 29 і 13 відбудеться переповнення. Додавання одиниць цих чисел дає 12 одиниць, а складання десятків 3 десятка. Якщо в новому числі в розряді одиниць записати отримані 12 одиниць, а в розряді десятків записати отримані 3 десятка, то вийде помилка:

Значення виразу 29 + 13 одно 42, а не 312. Як же слід чинити при переповненні? У нашому випадку переповнення сталося в розряді одиниць нового числа. При додаванні дев'яти і трьох одиниць у нас вийшло 12 одиниць. А в розряд одиниць можна записувати тільки цифри в діапазоні від 0 до 9.

Справа в тому, що 12 одиниць це не просто «Дванадцять одиниць» . Інакше це число можна прочитати як «Дві одиниці і один десяток» . Розряд одиниць призначений тільки для одиниць. Десяткам там не місце. Тут і полягає наша помилка. Склавши 9 одиниць і 3 одиниці ми отримали 12 одиниць, які по-іншому можна назвати двома одиницями і одним десятком. Записавши дві одиниці і один десяток в одному розряді, ми допустили помилку, яка в підсумку призвела до неправильного відповіді.

Щоб виправити ситуацію, дві одиниці потрібно записати в розряді одиниць нового числа, а залишився десяток перенести на наступний розряд десятків. Після складання десятків в прикладі 29 + 13, ми додамо до отриманого результату той десяток, який залишився при додаванні одиниць.

Отже, з 12 одиниць дві одиниці запишемо в розряді одиниць нового числа, а один десяток перенесемо на наступний розряд

Як видно на малюнку, 12 одиниць ми представили як 1 десяток і 2 одиниці. Дві одиниці ми записали в розряді одиниць нового числа. А один десяток перенесли до розрядів десятків. Цей десяток ми додамо до результату складання десятків чисел 29 і 13. Щоб не забути про нього, ми надписати його над десятками числа 29.

Тепер складаємо десятки. Два десятка плюс один десяток буде три десятка, плюс один десяток, який залишився від попереднього складання. В результаті в розряді десятків отримуємо чотири десятка:

приклад 2. Скласти за розрядами числа 862 і 372.

Починаємо з розряду одиниць. У розряді одиниць числа 862 розташовується цифра 2, в розряді одиниць числа 372 - також цифра 2. Це означає, що розряд одиниць числа 862 містить дві одиниці, і розряд одиниць числа 372 також містить дві одиниці. Складаємо 2 одиниці плюс 2 одиниці - отримуємо 4 одиниці. Записуємо цифру 4 в розряді одиниць нового числа:

Далі складаємо десятки. У розряді десятків числа 862 розташовується цифра 6, а в розряді десятків числа 372 - число 7. Це означає, що розряд десятків числа 862 містить шість десятків, а розряд десятків числа 372 містить сім десятків. Складаємо 6 десятків і 7 десятків - отримуємо 13 десятків. Сталося переповнення розряду. 13 десятків це десятка повторена 13 разів. А якщо повторити десятку 13 раз, то вийде число 130

10 × 13 \u003d 130

Число 130 складається з трьох десятків і однієї сотні. Три десятка ми запишемо в розряді десятків нового числа, а одну сотню відправимо на наступний розряд:

Як видно на малюнку, 13 десятків (число 130) ми представили як 1 сотню і 3 десятка. Три десятка ми записали в розряді десятків нового числа. А одну сотню перенесли до розрядів сотень. Цю сотню ми додамо до результату складання сотень чисел 862 і 372. Щоб не забути про неї, ми надписати її над сотнями числа 862.

Тепер складаємо сотні. Вісім сотень плюс три сотні буде одинадцять сотень плюс одна сотня, яка залишилася від попереднього складання. В результаті в розряді сотень отримуємо дванадцять сотень:

Тут також відбувається переповнення розряду сотень, але це не призводить до помилки, оскільки рішення завершено. При бажанні з 12 сотнями можна провести ті ж дії, що ми провели з 13 десятками.

12 сотень це сотня, повторена 12 разів. А якщо повторити сотню 12 раз, то одержати 1200

100 × 12 \u003d 1200

У числі 1200 дві сотні і одна тисяча. Дві сотні записуються в розряд сотень нового числа, а одна тисяча перенеслася до розряду тисяч.

Тепер розглянемо приклади на віднімання. Для початку згадаємо, що таке віднімання. Це операція, яка дозволяє від одного числа відняти інше. Віднімання складається з трьох параметрів: зменшуваного, від'ємника і різниці. Віднімати теж потрібно за розрядами.

приклад 3. Відняти від числа 65 число 12.

Починаємо з розряду одиниць. У розряді одиниць числа 65 розташовується цифра 5, а в розряді одиниць числа 12 - цифра 2. Це означає, що розряд одиниць числа 65 містить п'ять одиниць, а розряд одиниць числа 12 містить дві одиниці. Віднімемо з п'яти одиниць дві одиниці, отримаємо три одиниці. Записуємо цифру 3 в розряді одиниць нового числа:

Тепер віднімаємо десятки. У розряді десятків числа 65 розташовується цифра 6, а в розряді десятків числа 12 - цифра 1. Це означає, що розряд десятків числа 65 містить шість десятків, а розряд десятків числа 12 містить один десяток. Віднімемо з шести десятків один десяток, отримаємо п'ять десятків. Записуємо цифру 5 в розряді десятків нового числа:

приклад 4. Відняти від числа 32 число 15

У розряді одиниць числа 32 міститься дві одиниці, а в розряді одиниць числа 15 - п'ять одиниць. Від двох одиниці не відняти п'ять одиниць, оскільки дві одиниці менше, ніж п'ять одиниць.

Згрупуємо 32 яблука так, щоб в першій групі було три десятка яблук, а в другій - залишилися дві одиниці яблук:

Отже, нам потрібно з цих 32 яблук відняти 15 яблук, тобто відняти п'ять одиниць і один десяток яблук. Причому відняти за розрядами.

Від двох одиниць яблук можна відняти п'ять одиниць яблук. Щоб виконати віднімання, дві одиниці повинні взяти кілька яблук у сусідній групи (розряду десятків). Але не можна брати скільки хочеться, оскільки десятки строго впорядковані по десять штук. Розряд десятків може дати двом одиницям тільки один цілий десяток.

Отже, беремо один десяток з розряду десятків і віддаємо його двом одиницям:

До двох одиницям яблук тепер приєднався один десяток яблук. Виходить 12 одиниць яблук. А від дванадцяти можна відняти п'ять, вийде сім. Записуємо цифру 7 в розряді одиниць нового числа:

Тепер віднімаємо десятки. Оскільки розряд десятків віддав одиницям один десяток, зараз він має не три, а два десятка. Тому віднімаємо з двох десятків один десяток. Залишиться один десяток. Записуємо цифру 1 в розряді десятків нового числа:

Щоб не забувати, що в якомусь розряді був узятий один десяток (або сотня або тисяча), над цим розрядом прийнято ставити крапку.

приклад 5. Відняти від числа 653 число 286

У розряді одиниць числа 653 міститься три одиниці, а в розряді одиниць числа 286 - шість одиниць. Від трьох одиниці не відняти шість одиниць, тому беремо один десяток у розряду десятків. Ставимо крапку над розрядом десятків, щоб пам'ятати про те, що ми взяли звідти один десяток:

Взятий один десяток і три одиниці разом утворюють тринадцять одиниць. Від тринадцяти одиниць можна відняти шість одиниць, вийде сім одиниць. Записуємо цифру 7 в розряді одиниць нового числа:

Тепер віднімаємо десятки. Раніше розряд десятків числа 653 містив п'ять десятків, але ми взяли з нього один десяток, і тепер в розряді десятків містяться чотири десятки. З чотирьох десятків НЕ відняти вісім десятків, тому беремо одну сотню у розряду сотень. Ставимо крапку над розрядом сотень, щоб пам'ятати про те, що ми взяли звідти одну сотню:

Узята одна сотня і чотири десятки разом утворюють чотирнадцять десятків. Від чотирнадцяти десятків можна відняти вісім десятків, вийде шість десятків. Записуємо цифру 6 в розряді десятків нового числа:

Тепер віднімаємо сотні. Раніше розряд сотень числа 653 містив шість сотень, але ми взяли з нього одну сотню, і тепер в розряді сотень містяться п'ять сотень. З п'яти сотень можна відняти дві сотні, виходить три сотні. Записуємо цифру 3 в розряді сотень нового числа:

Набагато складніше віднімати з чисел виду 100, 200, 300, 1000, 10000. Тобто числа, у яких на кінці нулі. Щоб виконати віднімання, кожному розряду доводиться займати десятки / сотні / тисячі у наступного розряду. Давайте подивимося, як це відбувається.

приклад 6

У розряді одиниць числа 200 міститься нуль одиниць, а в розряді одиниць числа 84 - чотири одиниці. Від нуля трохи відняти чотири одиниці, тому беремо один десяток у розряду десятків. Ставимо крапку над розрядом десятків, щоб пам'ятати про те, що ми взяли звідти один десяток:

Але в розряді десятків немає десятків, які ми могли б взяти, оскільки там теж нуль. Щоб розряд десятків зміг дати нам один десяток, ми повинні взяти для нього одну сотню у розряду сотень. Ставимо крапку над розрядом сотень, щоб пам'ятати про те, що ми взяли звідти одну сотню для розряду десятків:

Узята одна сотня це десять десятків. Від цих десяти десятків ми беремо один десяток і віддаємо його одиницям. Цей взятий один десяток і колишні нуль одиниць разом утворюють десять одиниць. Від десяти одиниць можна відняти чотири одиниці, вийде шість одиниць. Записуємо цифру 6 в розряді одиниць нового числа:

Тепер віднімаємо десятки. Щоб відняти одиниці ми звернулися до розряду десятків за одним десятком, але на той момент цей розряд був порожній. Щоб розряд десятків зміг дати нам один десяток, ми взяли одну сотню у розряду сотень. Цю одну сотню ми назвали «Десять десятків» . Один десяток ми віддали одиницям. Значить на даний момент в розряді десятків містяться не десять, а дев'ять десятків. Від дев'яти десятків можна відняти вісім десятків, вийде один десяток. Записуємо цифру 1 в розряді десятків нового числа:

Тепер віднімаємо сотні. Для розряду десятків ми брали у розряду сотень одну сотню. Значить зараз в розряді сотень містяться не дві сотні, а одна. Оскільки в віднімається розряд сотень відсутня, ми переносимо цю одну сотню в розряд сотень нового числа:

Природно, виконувати віднімання таким традиційним методом досить складно, особливо на перших порах. Зрозумівши сам принцип віднімання, можна скористатися нестандартними способами.

Перший спосіб полягає в тому, щоб зменшити число, у якого на кінці нулі на одну одиницю. Далі з отриманого результату відняти від'ємник і до отриманої різниці додати одиницю, яку спочатку відняли з зменшуваного. Давайте вирішимо попередній приклад цим способом:

Зменшуване тут це число 200. Зменшимо це число на одиницю. Якщо від 200 відняти 1 вийде 199. Тепер в прикладі 200 - 84 замість числа 200 записуємо число 199 і вирішуємо приклад 199 - 84. А рішення цього прикладу не складає особливих труднощів. Одиниці віднімемо з одиниць, десятки з десятків, а сотню просто перенесемо до нового числа, оскільки в числі 84 немає сотень:

Отримали відповідь 115. Тепер до цієї відповіді додаємо одиницю, яку ми спочатку відняли з числа 200

Отримали остаточну відповідь 116.

приклад 7. Відняти від числа 100000 число 91899

Віднімемо від 100000 одиницю, отримаємо 99999

Тепер з 99999 віднімаємо 91899

До отриманого результату 8100 додамо одиницю, яку ми відняли з 100000

Отримали остаточну відповідь 8101.

Другий спосіб віднімання полягає в тому, щоб розглядати цифру, що знаходиться в розряді, як самостійне число. Вирішимо кілька прикладів цим способом.

приклад 8. Відняти від числа 75 число 36

Отже, в розряді одиниць числа 75 розташовується число 5, а в розряді одиниць числа 36 розташовується число 6. З п'яти відняти шести, тому беремо одну одиницю у наступного числа, що знаходиться в розряді десятків.

У розряді десятків розташовується число 7. Беремо від цього числа одну одиницю і подумки дописуємо її зліва від числа 5

А оскільки від числа 7 взята одна одиниця, це число зменшиться на одну одиницю і звернеться в число 6

Тепер в розряді одиниць числа 75 розташовується число 15, а в розряді одиниць числа 36 число 6. З 15 можна відняти 6, вийде 9. Записуємо число 9 в розряді одиниць нового числа:

Переходимо до наступного числа, що знаходиться в розряді десятків. Раніше там розташовувалося число 7, але ми взяли з цього числа одну одиницю, тому зараз там розташовується число 6. А в розряді десятків числа 36 розташовується число 3. З 6 можна відняти 3, вийде 3. Записуємо число 3 в розряді десятків нового числа:

приклад 9. Відняти від числа 200 число 84

Отже, в розряді одиниць числа 200 розташовується нуль, а в розряді одиниць числа 84 - розташовується чотири. Від нуля трохи відняти чотири, тому беремо одну одиницю у наступного числа, що знаходиться в розряді десятків. Але в розряді десятків теж нуль. Нуль не зможе дати нам одиницю. У такому випадку за наступне приймаємо число 20.

Беремо одну одиницю від числа 20 і подумки дописуємо її зліва від нуля, розташованого в розряді одиниць. А оскільки від числа 20 взята одна одиниця, це число звернеться до числа 19

Тепер в розряді одиниць розташовується число 10. Десять мінус чотири одно шість. Записуємо число 6 в розряді одиниць нового числа:

Переходимо до наступного числа, що знаходиться в розряді десятків. Раніше там розташовувався нуль, але цей нуль разом з наступною цифрою 2 утворив число 20, від якого ми брали одну одиницю. В результаті число 20 звернулося до числа 19. Виходить, що тепер в розряді десятків числа 200 розташовується число 9, а в розряді десятків числа 84 розташовується число 8. Дев'ять мінус вісім одно одному. Записуємо число 1 в розряді десятків нашої відповіді:

Переходимо до наступного числа, що знаходиться до розряду сотень. Раніше там розташовувалося число 2, але це число разом з цифрою 0 ми прийняли за число 20, від якого взяли одну одиницю. В результаті число 20 звернулося до числа 19. Виходить, що тепер в розряді сотень числа 200 розташовується число 1, а в числі 84 розряд сотень порожній, тому ми переносимо цю одиницю до нового числа:

Цей метод спочатку здається складним і позбавленим будь-якого сенсу, але на ділі він найлегший. В основному ми будемо ним користуватися при додаванні і відніманні чисел в стовпчик.

Додавання в стовпчик

Додавання в стовпчик це шкільна операція, яку пам'ятають багато, але не заважає згадати її ще раз. Додавання в стовпчик відбувається за розрядами - одиниці складаються з одиницями, десятки з десятками, сотні з сотнями, тисячі з тисячами.

Розглянемо кілька прикладів.

приклад 1. Скласти 61 і 23.

Спочатку записуємо перше число, а під ним друге число так, щоб одиниці і десятки другого числа виявилися під одиницями і десятками першого числа. Все це з'єднуємо знаком складання (+) по вертикалі:

Тепер одиниці першого числа складаємо з одиницями другого числа, а десятки першого числа складаємо з десятками другого числа:

Отримали 61 + 23 \u003d 84.

Приклад 2. Скласти 108 і 60

Тепер складаємо одиниці першого числа з одиницями другого числа, десятки першого числа з десятками другого числа, сотні першого числа з сотнями другого числа. Але сотня є тільки у першого числа 108. У цьому випадку цифра 1 з розряду сотень додається до нового числа (нашому відповіді). Як говорили в школі «зноситься»:

Видно, що ми знесли цифру 1 до нашого відповіді.

Коли мова йде про складання, немає різниці в якому порядку записувати числа. Наш приклад цілком можна було записати і так:

Перший запис, де число 108 було нагорі, більш зручніше для обчислення. Людина має право вибирати будь-який запис, але обов'язково потрібно пам'ятати, що одиниці треба записувати строго під одиницями, десятки під десятками, сотні під сотнями. Іншими словами, такі записи будуть неправильними:

Якщо раптом при додаванні відповідних розрядів вийде число, яке не поміщається в розряд нового числа, то необхідно записати одну цифру з молодшого розряду, а решту перенести на наступний розряд.

Мова в даному випадку йде про переповнення розряду, про який ми говорили раніше. Наприклад, при додаванні 26 і 98 виходить 124. Давайте подивимося, як це вийшло.

Записуємо числа в стовпчик. Одиниці під одиницями, десятки під десятками:

Складаємо одиниці першого числа з одиницями другого числа: 6 + 8 \u003d 14. Отримали число 14, яка не вміститься в розряд одиниць нашої відповіді. У таких випадках ми спочатку витягуємо з 14 цифру, що знаходиться в розряді одиниць і записуємо її в розряді одиниць нашої відповіді. У розряді одиниць числа 14 розташовується цифра 4. Записуємо цю цифру в розряді одиниць нашої відповіді:

А куди подіти цифру 1 у складі 14? Тут починається найцікавіше. Цю одиницю ми переносимо на наступний розряд. Вона буде додана до розряду десятків нашої відповіді.

Складаємо десятки з десятками. 2 плюс 9 дорівнює 11, плюс додаємо одиницю, яка дісталася нам від числа 14. Додавши до 11 нашу одиницю, ми отримаємо число 12, яке і запишемо в розряді десятків нашої відповіді. Оскільки це кінець рішення, тут вже не стоїть питання про те, вміститься чи отриману відповідь в розряд десятків. 12 ми записуємо повністю, утворюючи остаточну відповідь.

Отримали відповідь 124.

Говорячи традиційним методом складання, при додаванні 6 і 8 одиниць вийшло 14 одиниць. 14 одиниць це 4 одиниці і 1 десяток. Чотири одиниці ми записали в розряді одиниць, а один десяток відправили на наступний розряд (до розрядів десятків). Потім служив 2 десятка і 9 десятків, ми отримали 11 десятків, плюс додали 1 десяток, який залишився при додаванні одиниць. В результаті отримали 12 десятків. Ці дванадцять десятків ми записали цілком, утворюючи остаточну відповідь 124.

Цей простенький приклад демонструє шкільну ситуацію, в якій говорять «Чотири пишемо, один в умі» . Якщо ви будете вирішувати приклади і у вас після складання розрядів залишиться цифра, яку треба тримати в умі, запишіть її над тим розрядом, куди вона буде потім додана. Це дозволить вам не забути про неї:

приклад 2. Скласти числа 784 і 548

Записуємо числа в стовпчик. Одиниці під одиницями, десятки під десятками, сотні під сотнями:

Складаємо одиниці першого числа з одиницями другого числа: 4 + 8 \u003d 12. Число 12 не вміщається в розряд одиниць нашої відповіді, тому ми з 12 виймаємо цифру 2 з розряду одиниць і записуємо її в розряд одиниць нашої відповіді. А цифру 1 переносимо на наступний розряд:

Тепер складаємо десятки. Складаємо 8 і 4 плюс одиниця, яка залишилася від попередньої операції (одиниця залишилася від 12, на малюнку вона виділена синім кольором). Складаємо 8 + 4 + 1 \u003d 13. Число 13 не вміститься в розряд десятків нашої відповіді, тому ми запишемо цифру 3 в розряді десятків, а одиницю перенесемо на наступний розряд:

Тепер складаємо сотні. Складаємо 7 і 5 плюс одиниця, яка залишилася від попередньої операції: 7 + 5 + 1 \u003d 13. Записуємо число 13 в розряд сотень:

Віднімання в стовпчик

приклад 1. Віднімемо з числа 69 число 53.

Запишемо числа в стовпчик. Одиниці під одиницями, десятки під десятками. Потім віднімаємо за розрядами. З одиниць першого числа віднімаємо одиниці другого числа. З десятків першого числа віднімаємо десятки другого числа:

Отримали відповідь 16.

Приклад 2. Знайти значення виразу 95 - 26

Розряд одиниць числа 95 містить 5 одиниць, а розряд одиниць числа 26 містить 6 одиниць. Від п'яти одиниць не можна відняти шість одиниць, тому беремо один десяток у розряду десятків. Цей десяток і наявні п'ять одиниць разом складають 15 одиниць. З 15 одиниць можна відняти 6 одиниць, вийде 9 одиниць. Записуємо цифру 9 в розряді одиниць нашої відповіді:

Тепер віднімаємо десятки. Розряд десятків числа 95 раніше містив 9 десятків, але ми взяли з цього розряду один десяток, і зараз він містить 8 десятків. А розряд десятків числа 26 містить 2 десятка. З восьми десятків можна відняти два десятка, вийде шість десятків. Записуємо цифру 6 в розряді десятків нашої відповіді:

Скористаємося при якому кожна цифра, що входить в число, розглядається як окреме число. При відніманні великих чисел в стовпчик цей спосіб дуже зручний.

У розряді одиниць зменшуваного розташовується число 5. А в розряді одиниць від'ємника число 6. З п'ятірки НЕ відняти шістку. Тому беремо одну одиницю у числа 9. Узята одиниця мислення дописується зліва від п'ятірки. А оскільки у числа 9 ми взяли одну одиницю, це число зменшиться на одну одиницю:

В результаті п'ятірка звертається в число 15. Тепер можна з 15 відняти 6. Виходить 9. Записуємо число 9 в розряді одиниць нашої відповіді:

Переходимо до розряду десятків. Раніше там розташовувалося число 9, але оскільки ми взяли у нього одну одиницю воно звернулося до числа 8. У розряді десятків другого числа розташовується число 2. Вісім мінус два буде шість. Записуємо число 6 в розряді десятків нашої відповіді:

Приклад 3. Знайдемо значення виразу 2412 - 2317

Записуємо в стовпчик даний вираз:

У розряді одиниць числа 2412 розташовується число 2, а в розряді одиниць числа 2317 розташовується число 7. З двійки НЕ відняти сімку, тому беремо одиницю у наступного числа 1. Узяту одиницю мислення дописуємо зліва від двійки:

В результаті двійка звертається в число 12. Тепер можна з 12 відняти 7. Виходить 5. Записуємо цифру 5 в розряді одиниць нашої відповіді:

Переходимо до десяткам. У розряді десятків числа 2412 раніше розташовувалося число 1, але оскільки ми взяли у нього одну одиницю, воно звернулося до 0. А в розряді десятків числа 2317 розташовується число 1. З нуля трохи відняти одиницю. Тому беремо одну одиницю у наступного числа 4. Узяту одиницю мислення дописуємо зліва від нуля. А оскільки у числа 4 ми взяли одну одиницю, це число зменшиться на одну одиницю:

В результаті нуль звертається в число 10. Тепер можна з 10 відняти 1. Виходить 9. Записуємо цифру 9 в розряді десятків нашої відповіді:

У розряді сотень числа 2412 раніше розташовувалося число 4, але зараз там розташовується число 3. У розряді сотень числа 2317 також розташовується число 3. Три мінус три дорівнює нулю. Те ж саме і з розрядами тисяч в обох числах. Два мінус два дорівнює нулю. А якщо різниця старших розрядів дорівнює нулю, то цей нуль не записував. Тому остаточною відповіддю буде число 95.

приклад 4. Знайти значення виразу 600 - 8

У розряді одиниць числа 600 розташовується нуль, а в розряді одиниць числа 8 саме це число. З нуля трохи відняти вісімку, тому беремо одиницю у наступного числа. Але наступне число це теж нуль. Тоді за таке число приймаємо число 60. Беремо одну одиницю у цього числа і подумки дописуємо її зліва від нуля. А оскільки у числа 60 ми взяли одну одиницю, це число зменшиться на одну одиницю:

Тепер в розряді одиниць розташовується число 10. З 10 можна відняти 8, вийде 2. Записуємо число 2 в розряді одиниць нового числа:

Переходимо до наступного числа, що знаходиться в розряді десятків. У розряді десятків раніше розташовувався нуль, але зараз там розташовується число 9, а в другому числі розряд десятків відсутня. Тому число 9 переноситься до нового числа:

Переходимо до наступного числа, що знаходиться в розряді сотень. У розряді сотень раніше розташовувалося число 6, але зараз там розташовується число 5, а в другому числі розряд сотень відсутня. Тому число 5 переноситься до нового числа:

Приклад 5. Знайти значення виразу 10000 - 999

Запишемо в стовпчик даний вираз:

У розряді одиниць числа 10000 розташовується 0, а в розряді одиниць числа 999 розташовується число 9. З нуля трохи відняти дев'ятку, тому беремо одну одиницю у наступного числа, що знаходиться в розряді десятків. Але в наступному розряді теж нуль. Тоді за таке число приймаємо 1000 і беремо від цього числа одиницю:

Наступне число в даному випадку було 1000. Взявши у нього одиницю, ми звернули його в число 999. А взяту одиницю дописали зліва від нуля.

Подальше обчислення не склало особливих труднощів. Десять мінус дев'ять одно одному. Віднімання чисел, що знаходяться в розряді десятків обох чисел дало нуль. Віднімання чисел, що знаходяться в розряді сотень обох чисел теж дало нуль. А дев'ятка з розряду тисяч була перенесена до нового числа:

приклад 6. Знайти значення виразу 12301 - 9046

Запишемо в стовпчик даний вираз:

У розряді одиниць числа 12301 розташовується число 1, а в розряді одиниць числа 9046 розташовується число 6. З одиниці не відняти шість, тому беремо одну одиницю у наступного числа, що знаходиться в розряді десятків. Але в наступному розряді розташовується нуль. Нуль нічого нам дати не зможе. Тоді за таке число приймаємо 1 230 і беремо від цього числа одиницю:

Для запису чисел люди придумали десять знаків, які називаються цифрами. Це: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

За допомогою десяти цифр можна записати будь-яке натуральне число.

Від кількості знаків (цифр) в числі залежить його назву.

Число, що складається з одного знака (цифри), називається однозначним. Найменша однозначне натуральне число - «1», найбільше - «9».

Число, що складається з двох знаків (цифр), називається двозначним. Найменша двозначне число - «10», найбільше - «99».

Числа, записані за допомогою двох, трьох, чотирьох і більше цифр, називаються двозначними, тризначними, чотиризначного або багатозначними. Найменша тризначне число - «100», найбільше - «999».

Кожна цифра в запису багатозначного числа займає певне місце - позицію.

Запам'ятайте!

розряд - це місце (позиція), на якому в запису числа стоїть цифра.

Одна і та ж цифра в запису числа може мати різні значення в залежності від того, в якому розряді вона стоїть.

Розряди відраховуються з кінця числа.

розряд одиниць - це наймолодший розряд, яким закінчується будь-яке число.

Цифра «5» - означає «5» одиниць, якщо п'ятірка стоїть на останньому місці в запису числа (в розряді одиниць).

розряд десятків - це розряд, який стоїть перед розрядом одиниць.

Цифра «5» - означає «5» десятків, якщо вона стоїть на передостанньому місці (в розряді десятків).

розряд сотень - це розряд, який стоїть перед розрядом десятків. Цифра «5» означає «5» сотень, якщо вона стоїть на третьому місці від кінця числа (в розряді сотень).

Запам'ятайте!

Якщо в числі відсутній будь-який розряд, то в запису числа на його місці буде стояти цифра «0» (нуль).

Приклад. У числі «807» міститься 8 сотень, 0 десятків і 7 одиниць - такий запис називається розрядних складом числа.

807 \u003d 8 сотень 0 десятків 7 одиниць

Кожні 10 одиниць будь-якого розряду утворюють нову одиницю вищого розряду. Наприклад, 10 одиниць утворюють 1 десяток, а 10 десятків утворюють 1 сотню.

Таким чином, значення цифри від розряду до розряду (від одиниць до десятків, від десятків до сотень) збільшується в 10 разів. Тому система рахунку (числення), яку ми використовуємо, називається десятковою системою числення.

Класи і розряди

У записі числа розряди, починаючи справа, групуються в класи по три розряди в кожному.

клас одиниць або перший клас - це клас, який утворюють перші три розряди (праворуч від кінця числа): розряд одиниць, розряд десятків і розряд сотень.

клас тисяч або другий клас - це клас, який утворюють такі три розряди: одиниці тисяч, десятки тисяч і сотні тисяч.

числа	Клас тисяч (другий клас)			Клас одиниць (перший клас)
	сотні тисяч	десятки тисяч	одиниці тисяч	сотні	десятки	одиниці
5 234	-	-	5	2	3	4
12 803	-	1	2	8	0	3
356 149	3	5	6	1	4	9

Нагадуємо, що 10 одиниць розряду сотень (з класу одиниць) утворюють одну тисячу (одиницю наступного розряду: одиницю тисяч в класі тисяч).

10 сотень \u003d 1 тисячу

клас мільйонів або третій клас - це клас, який утворюють такі три розряди: одиниці мільйонів, десятки мільйонів і сотні мільйонів.

Одиниця розряду мільйонів - це один мільйон або тисяча тисяч (1 000 тисяч). Один мільйон можна записати у вигляді числа «1 000 000».

Десять таких одиниць утворюють нову розрядну одиницю - десять мільйонів «10 000 000»

Десять десятків мільйонів утворюють нову розрядну одиницю - сто мільйонів або в запису цифрами «100 000 000».

числа				Клас тисяч (другий клас)			Клас одиниць (перший клас)
	сотні мільйонів	десятки мільйонів	одиниці мільйонів	сотні тисяч	десятки тисяч	одиниці тисяч	сотні	десятки	одиниці
8 345 216	-	-	8	3	4	5	2	1	6
93 785 342	-	9	3	7	8	5	3	4	2
134 590 720	1	3	4	5	9	0	7	2	0

числа	Клас мільйонів (третій клас)			Клас тисяч (другий клас)			Клас одиниць (перший клас)
	сотні мільйонів	десятки мільйонів	одиниці мільйонів	сотні тисяч	десятки тисяч	одиниці тисяч	сотні	десятки	одиниці
8 345 216	-	-	8	3	4	5	2	1	6
93 785 342	-	9	3	7	8	5	3	4	2
134 590 720	1	3	4	5	9	0	7	2	0

Як прочитати багатозначне число

Запам'ятайте!

Чи не вимовляють назву класу одиниць, а також назва класу, все три цифри якого нулі.

Наприклад, число «134 590 720» читаємо ста й тридцяти чотири мільйони п'ятсот дев'яносто тисяч сімсот двадцять.

Число «418 000 547» читаємо: чотири сотні вісімнадцять мільйонів п'ятсот сорок сім.

На нашому сайті для перевірки своїх результатів ви можете скористатися калькулятором розкладання числа на розряди онлайн.

Важливо!