Dom > Električni alati > Najveća vrijednost funkcije na segmentu algoritma. Najveća i najmanja funkcija funkcije. Potrebna ekstremna stanja funkcije jedne varijable

Najveća vrijednost funkcije na segmentu algoritma. Najveća i najmanja funkcija funkcije. Potrebna ekstremna stanja funkcije jedne varijable

\\ (\\ Blacktriangleright \\) Da biste pronašli najveću / manju vrijednost funkcije na segmentu \\ (\\), potrebno je shematski prikazati grafikon funkcije na ovom segmentu.
U zadacima iz ovog subtopa može se učiniti pomoću derivata: pronaći praznine povećanja (\\ (f "\u003e 0 \\)) i silazno (\\ (f")<0\) ) функции, критические точки (где $f"=0$ или $f"$ не существует).

\\ (\\ Blacktrianglogyright \\) Ne zaboravite da najveća / najmanja funkcija može preuzeti ne samo u unutrašnjim točkama segmenta \\ (\\), kao i na svojim krajevima.

\\ (\\ Blacktriangleright \\) Najveća / najmanja vrijednost funkcije je vrijednost koordinatne \\ (y \u003d f (x) \\).

\\ (\\ Blacktriangleright \\) Derivat složene funkcije \\ (f (t (x (x)) \\) se traži po pravilu: \\ [(\\ Velika (f "(x) \u003d f" (t) \\ CDOT T "(x))) \\]
\\ [\\ počnite (Arrg) (| R | C | C |) \\ hline & \\ Tekst (funkcija) f (x) i \\ Tekst (derivat) f "(x) \\\\ \\ hline \\ textbf (1) i c & 0 \\\\ && \\\\ \\ TextBF (2) & x ^ A & A \\ CDOT X ^ (A-1) \\\\ && \\\\ \\ TextBF (3) & \\ ln x & \\ dfrac1x \\\\ && \\\\ \\ TextBF (4) \\ log_ax \\ dfrac1 (X \\ CDOT \\ ln a) \\\\ && \\\\ \\ TextBF (5) & E ^ X & E ^ x \\\\ && \\\\ \\ TextBF (6) & A ^ X & A ^ X \\ CDOT \\ ln a \\\\ && \\\\ \\ TextBF (7) & \\ Sin X & \\ cos x \\\\ && \\\\ \\ TextBF (8) & \\ cos X & - \\ Sin x \\\\ \\ hline \\ end (Array) \\ Quad \\ Quad \\ Quad \\ Quad \\ Počini (Array) (| R | C | C |) \\ hline & \\ Tekst (funkcija) F (x) i \\ Tekst (derivat) f "(x) \\\\ \\ Hline \\ TextBF (9) \\ Mathrm (TG) \\, x \\ dfrac1 (\\ cos ^ 2 x) \\\\ && \\\\ \\ TextBF (10) & \\ mathrm (CTG) \\, X & - \\, \\ DFrac1 ( \\ sin ^ 2 x) \\\\ && \\\\ \\ TextBF (11) i \\ arcsin x \\ DFRAC1 (\\ SQRT (1-x ^ 2)) \\\\ && \\\\ \\ TextBF (12) i \\ arccos x & - \\ , \\ Dfrac1 (\\ sqrt (1-x ^ 2)) \\\\ && \\\\ \\ textbffffffffffffffffffffffff(arctg) \\, x \\ dfrac1 (1 + x ^ 2) \\\\ && \\\\ \\ textbf (14 ) & \\ Mathrm (ARCCTG) \\, X & - \\, \\ dfrac1 (1 + x ^ 2) \\\\ \\ hline \\ end (Arry) \\]

Zadatak 1 # 2357

Nivo zadatka: jednak EGE

Pronađite najmanju vrijednost funkcije \\ (y \u003d e ^ (x ^ 2 - 4) \\) na segmentu \\ ([- 10; -2] \\).

OTZ: \\ (X \\) - proizvoljna.

1) \

\ Dakle, \\ (y "\u003d 0 \\) na \\ (x \u003d 0 \\).

3) Pronađite praznine alternacije \\ (y "\\) na segmentu koji se razmatra \\ ([- 10; -2] \\):

4) skica grafike na segmentu \\ ([- 10; -2] \\):

Dakle, najmanji na \\ ([- 10; -2] \\) Funkcija dostiže \\ (x \u003d -2 \\).

\\ Ukupno: \\ (1 \\) - Najmanja vrijednost funkcije \\ (y \\) na \\ ([- 10; -2] \\).

Odgovor: 1.

Zadatak 2 # 2355

Nivo zadatka: jednak EGE

\\ (Y \u003d \\ sqrt (2) \\ CDOT \\ SQRT (x ^ 2 + 1) \\) Na segmentu \\ ([- 1; 1] \\).

OTZ: \\ (X \\) - proizvoljna.

1) \

Pronaći ćemo kritične točke (to jest unutarnje tačke funkcije utvrđivanja funkcije u kojoj je njegov izvod jednak \\ (0 \\) ili ne postoji): \\ [\\ sqrt (2) \\ CDOT \\ DFFRAC (x) (\\ sqrt (x ^ 2 + 1)) \u003d 0 \\ qquad \\ leftrighardrow \\ qquad x \u003d 0 \\ ,. \\] Derivat postoji na bilo kojem \\ (x \\).

2) Pronaći ćemo praznine usklađivanja \\ (y "\\):

3) Pronaći ćemo praznine alternacije \\ (y "\\) na segmentu koji se razmatra \\ ([- 1; 1] \\):

4) skica grafike na segmentu \\ ([- 1; 1] \\):

Dakle, najveći na \\ ([- 1; 1] \\) Funkcija dostiže b \\ (x \u003d -1 \\) ili u \\ (x \u003d 1 \\). Uporedite funkcionalne vrijednosti na tim točkama.

\ Ukupno: \\ (2 \\) - Najveća vrijednost funkcije \\ (y \\) na \\ ([- 1; 1] \\).

Odgovor: 2.

Zadatak 3 # 2356

Nivo zadatka: jednak EGE

Pronađite najmanju vrijednost funkcije \\ (y \u003d \\ cos 2x \\) na segmentu \\ (\\).

OTZ: \\ (X \\) - proizvoljna.

1) \

Pronaći ćemo kritične točke (to jest unutarnje tačke funkcije utvrđivanja funkcije u kojoj je njegov izvod jednak \\ (0 \\) ili ne postoji): \\ [- 2 \\ CDOT \\ SIN 2x \u003d 0 \\ qquad \\ leftrrowarrow \\ qquad 2x \u003d \\ pi n, n \\ in \\ mathbb (z) \\ qquad \\ leftrightrow \\ qquad x \u003d \\ dfrac (\\ pi n) (2), n \\ in \\ mathbb (z) \\ ,. \\] Derivat postoji na bilo kojem \\ (x \\).

2) Pronaći ćemo praznine usklađivanja \\ (y "\\):

(Evo beskonačnog broja intervala u kojima znakovi izvedenih alternativa).

3) Pronaći ćemo praznine alternacije \\ (y "\\) na segmentu koji se razmatra \\ (\\):

4) skica grafike na segmentu \\ (\\):

Dakle, najmanja na \\ (\\) Funkciju vrijednosti dostiže b \\ (x \u003d \\ dfrac (\\ pi) (2) \\).

\ Ukupno: \\ (- 1 \\) - Najmanja vrijednost funkcije \\ (y \\) na \\ (\\).

Odgovor: -1.

Zadatak 4 # 915

Nivo zadatka: jednak EGE

Pronađite najveću vrijednost funkcije

\\ (y \u003d - \\ log_ (17) (2x ^ 2 - 2 \\ sqrt (2) x + 2) \\).

OST: \\ (2x ^ 2 - 2 \\ sqrt (2) x + 2\u003e 0 \\). Ja odlučujem o ...

1) označavamo \\ (2x ^ 2-2 \\ sqrt (2) x + 2 \u003d t (x) \\), a zatim \\ (y (t) \u003d - \\ log_ (17) t \\).

Pronaći ćemo kritične točke (to jest unutarnje tačke funkcije utvrđivanja funkcije u kojoj je njegov izvod jednak \\ (0 \\) ili ne postoji): \\ [- \\ dfrac (1) (\\ ln 17) \\ CDOT \\ DFRC (4x-2 \\ sqrt (2)) (2x ^ 2-2 \\ sqrt (2) x + 2) \u003d 0 \\ qquad \\ leftrightrow \\ QQuad 4x-2 \\ sqrt (2) \u003d 0 \\] - Na OTZ-u, odakle pronalaze root \\ (x \u003d \\ dfrac (\\ sqrt (2)) (2) \\). Derivat funkcije \\ (y \\) ne postoji na \\ (2x ^ 2-2 \\ sqrt (2) x + 2 \u003d 0 \\), ali ta jednadžba ima negativan diskriminator, dakle, nema rješenja. Da biste pronašli najveću / najmanju vrijednost funkcije, morate shvatiti kako to izgleda shematski.

2) Pronaći ćemo praznine usklađivanja \\ (y "\\):

3) Skica grafike:

Dakle, najveća vrijednost funkcije dostiže b \\ (x \u003d \\ dfrac (\\ sqrt (2)) (2) \\):

\\ (Y \\ lijevo (\\ dfrac (\\ sqrt (2)) (2) \\ desno) \u003d - \\ log_ (17) 1 \u003d 0 \\),

Ukupno: \\ (0 \\) je najveća vrijednost funkcije \\ (y \\).

Odgovor: 0.

Zadatak 5 # 2344

Nivo zadatka: jednak EGE

Pronađite najmanju funkciju

\\ (y \u003d \\ log_ (3) (x ^ 2 + 8x + 19) \\) \\) \\).

OST: \\ (x ^ 2 + 8x + 19\u003e 0 \\). Ja odlučujem o ...

1) označavamo \\ (x ^ 2 + 8x + 19 \u003d t (x) \\), a zatim \\ (y (t) \u003d \\ log_ (3) t \\).

Pronaći ćemo kritične točke (to jest unutarnje tačke funkcije utvrđivanja funkcije u kojoj je njegov izvod jednak \\ (0 \\) ili ne postoji): \\ [\\ dfrac (1) (\\ ln 3) \\ CDOT \\ DFFAR (2x + 8) (x ^ 2 + 8x + 19) \u003d 0 \\ qquad \\ leftrrowarrow \\ qquad 2x + 8 \u003d 0 \\] - Na neparno, gdje nalazimo root \\ (x \u003d -4 \\). Derivat funkcije \\ (y \\) ne postoji na \\ (x ^ 2 + 8x + 19 \u003d 0 \\), ali ta jednadžba ima negativan diskriminator, zato nema rješenja. Da biste pronašli najveću / najmanju vrijednost funkcije, morate shvatiti kako to izgleda shematski.

2) Pronaći ćemo praznine usklađivanja \\ (y "\\):

3) Skica grafike:

Dakle, \\ (x \u003d -4 \\) je minimalna točka funkcije \\ (y \\) i najmanju vrijednost se postiže u njemu:

\\ (y (-4) \u003d \\ log_ (3) 3 \u003d 1 \\).

Ukupno: \\ (1 \\) je najmanja vrijednost funkcije \\ (y \\).

Odgovor: 1.

Zadatak 6 # 917

Nivo potražnje: teže od Ege

Pronađite najveću vrijednost funkcije

\\ (y \u003d -e ^ ((x ^ 2 - 12x + 36 + 2 \\ ln 2)) \\).

U ovom ću članku reći o algoritam za pronalazak najveće i najmanju vrijednost Funkcije, minimalne i maksimalne točke.

Od teory, tačno smo korisni. tabela derivati i pravila diferencijacije. Sve je ovo u ovom tabletu:

Algoritam za pronalazak najveće i najmanju vrijednost.

Prikladnije mi je da objasnim na određenom primeru. Razmislite:

Primjer: Pronađite najveću vrijednost funkcije y \u003d x ^ 5 + 20x ^ 3-65x na segmentu [-4; 0].

Korak 1. Kreni iz derivata.

Y "\u003d (x ^ 5 + 20x ^ 3-65x)" \u003d 5x ^ 4 + 20 * 3x ^ 2 - 65 \u003d 5x ^ 4 + 60x ^ 2 - 65

Korak 2. Pronalazimo poenta ekstremmena.

Točka ekstremiranja Nazivamo takve tačke u kojima funkcija dostigne najveću ili najmanju vrijednost.

Da biste pronašli ekstremne bodove, potrebno je izjednačiti s derivatnom funkcijom na nulu (y "\u003d 0)

5x ^ 4 + 60x ^ 2 - 65 \u003d 0

Sada rješavamo ovu bic-dužnost i korijene pronađene su naše ekstremne bodove.

Riješite takve jednadžbe sa zamjenom T \u003d x ^ 2, a zatim 5t ^ 2 + 60t - 65 \u003d 0.

Sperirajte jednadžbu za 5, dobivamo: T ^ 2 + 12t - 13 \u003d 0

D \u003d 12 ^ 2 - 4 * 1 * (- 13) \u003d 196

T_ (1) \u003d (-12 + sqrt (196)) / 2 \u003d (-12 + 14) / 2 \u003d 1

T_ (2) \u003d (-12 - SQRT (196)) / 2 \u003d (-12 - 14) / 2 \u003d -13

Napravimo reverzni zamjenu X ^ 2 \u003d T:

X_ (1 i 2) \u003d ± SQRT (1) \u003d ± 1
x_ (3 i 4) \u003d ± SQRT (-13) (isključujući, ispod korijena ne može biti negativnih brojeva, osim ako naravno govorimo o složenim brojevima)

Ukupno: x_ (1) \u003d 1 i x_ (2) \u003d -1 - Ovo su naši ekstrem bodovi.

Korak 3. Definiramo najveću i najmanju vrijednost.

Način zamjene.

U stanju su nam dobili segment [b] [- 4; 0]. Point X \u003d 1 u ovom segmentu nije uključen. Dakle, mi ne smatramo. Ali pored tačke X \u003d -1, moramo razmotriti i lijevu i desnu granicu našeg segmenta, odnosno bodova -4 i 0. Za to zamjenjujemo sva ova tri boda u originalnu funkciju. Napomena Izvor - Ovo je onaj koji je dat u stanju (y \u003d x ^ 5 + 20x ^ 3-65x), neki počinju zamijeniti u derivatu ...

Y (-1) \u003d (-1) ^ 5 + 20 * (- 1) ^ 3 - 65 * (- 1) \u003d -1 - 20 + 65 \u003d [b] 44
y (0) \u003d (0) ^ 5 + 20 * (0) ^ 3 - 65 * (0) \u003d 0
y (-4) \u003d (-4) ^ 5 + 20 * (- 4) ^ 3 - 65 * (- 4) \u003d -1024 - 1280 + 260 \u003d -2044

To znači da je najveća vrijednost funkcije [b] 44, a postiže se na tački [b] -1, koji se naziva tačkom maksimalne funkcije na segmentu [-4; 0].

Odlučili smo i dobili odgovor, super smo, možete se opustiti. Ali stani! Čini se da ne smatrate da (-4) nekako previše teško? U uvjetima ograničenog vremena bolje je koristiti drugi način, ja to zovem ovako:

Kroz intervale znaka.

Ti se intervali nalaze za derivativnu funkciju, odnosno za našu biquettu jednadžbu.

Ja to radim na sledeći način. Rižinski usmjereni segment. Postavili smo bodove: -4, -1, 0, uprkos činjenici da 1 nije uključen u navedeni segment, on bi se i dalje trebao primijetiti kako bi se ispravno odredio praznine alterness. Uzmi neki broj više puta više od 1, recimo 100, mentalno zamijeni u našoj jednoj izdžbenici 5 (100) ^ 4 + 60 (100) ^ 2 - 65. Ništa ne postaje očigledno da na tački 100 ima funkciju plus znak . Dakle, u intervalima od 1 do 100 ima znak plus. Prilikom kretanja nakon 1 (idemo na desno lijevo) funkcija će promijeniti znak na minusu. Prilikom prelaska kroz tačku 0, funkcija će sačuvati svoj znak, jer je to samo granica segmenta, a ne korijen jednadžbe. Prilikom prebacivanja preko -1, funkcija će ponovo promijeniti znak na plus.

Teorije znamo da tamo, gdje je izvedena funkcija (i mi za to izvlači) mijenja znak iz plus do minus (Point -1 u našem slučaju) Funkcija stiže njegov lokalni maksimum (y (-1) \u003d 44, kao što je ubrojeno ranije) Na ovom segmentu (ovo je logično vrlo jasno, funkcija se prestala povećavati, jer je dosegla svoju maksimalnu i početnu uredbu).

U skladu s tim, gdje postoji derivatna funkcija mijenja znak s minusom pluspostignut lokalna minimalna funkcija. Da, da, pronašli smo i lokalnu minimalnu točku. Ovo je 1, a y (1) minimalna vrijednost funkcije na segmentu, recimo od -1 do + ∞. Obratite veliku pažnju da je ovo samo lokalni minimum, odnosno barem na određenom segmentu. Budući da će realna (globalna) minimalna značajka dostići negdje u -∞.

Po mom mišljenju, prvi put je lakši teoretski, a drugi je lakši sa stanovišta aritmetičkih akcija, ali mnogo teže u smislu teorije. Uostalom, ponekad postoje slučajevi kada funkcija ne promijeni znak prilikom kretanja kroz korijen jednadžbe, a općenito se možete zbuniti sa ovim lokalnim, globalnim maksima i minima Planirate da uđete u tehnički univerzitet (i za ono što na neki drugi način preuzme ispit profila i odlučite ovaj zadatak). Ali prakticirajte i samo jednom vježbajte i zauvijek će vas naučiti da riješite takve zadatke. I možete trenirati na našoj web stranici. Evo.

Ako se pojave neka pitanja ili nešto nerazumljivo - obavezno pitati. Rado ću vam odgovoriti i izvršite promjene, dodatke u članku. Zapamtite da zajedno napravimo ovu stranicu!

Najveća (najmanja) funkcija funkcije je najveća (mala) donesena vrijednost naloga u intervalu koja se razmatra.

Da biste pronašli najveću ili najmanju funkciju funkcije koja vam je potrebna:

Provjerite koje su stacionarne točke uključene u navedeni segment.
Izračunajte vrijednost funkcije na krajevima segmenta i u stacionarnim tačkama od klauzule 3
Odaberite najmanju ili najmanju vrijednost iz dobivenih rezultata.

Da biste pronašli maksimalnu ili minimalnu točku koja vam je potrebna:

Pronađite derivatnu funkciju $ F "(x) $
Pronađite stacionarne bodove, odlučujući jednadžbu $ f "(x) \u003d 0 $
Otpremi derivat funkcija na multiplikatoru.
Držite koordinatnu direktno, stavite stacionarne tačke na njega i odredite znakove izvedenih u dobivenim intervalima, koristeći zapisnik klauzule 3.
Pronađite maksimalnu točku ili minimum pravila: ako na točki izvedenica mijenja znak iz Plus na minus, a zatim će biti maksimalna tačka (ako je s minusom na plus, tada će biti minimalna točka). U praksi je prikladno koristiti sliku strelica u intervalima: U intervalu, gdje je derivat pozitivan, strelica se izrađuje i obrnuto.

Tabela derivata nekih elementarnih funkcija:

Funkcija	Derivat
$ C $	$0$
$ X $	$1$
$ x ^ n, n∈n $	$ nx ^ (n-1), n∈n $
$ (1) / (x) $	$ - (1) / (x ^ 2) $
$ (1) / x (^ n), n∈n $	$ - (n) / (x ^ (n + 1)), n∈n $
$ √ ^ n (x), n∈n $	$ (1) / (n√ ^ n (x ^ (n - 1)), n∈n $
$ SINX $	$ Cosx $
$ Cosx $	$ -Sinx $.
$ TGX $.	$ (1) / (cos ^ 2x) $
$ CTGX $.	$ - (1) / (sin ^ 2x) $
$ cos ^ 2x $	$ -Sin2x $
$ SIN ^ 2x $	$ SIN2X $
$ E ^ x $	$ E ^ x $
$ a ^ x $	$ a ^ xlna $
$ Lnx $.	$ (1) / (x) $
$ log_ (a) x $	$ (1) / (xlna) $

Osnovna pravila diferencijacije

1. Izvodi iznos i razlika jednak je izvedenju svakog mandata

$ (f (x) ± g (x)) '\u003d f' (x) ± g '(x) $

Pronađite derivatnu funkciju $ F (x) \u003d 3x ^ 5 - cosx + (1) / (x) $

Derivati \u200b\u200biz iznosa i razlike jednak je derivaciji svakog pojmova

$ F '(x) \u003d (3x ^ 5)' - (cosx) '+ ((1) / (x)) "\u003d 15x ^ 4 + sinx- (1) / (x ^ 2) $

2. Derivativni rad.

$ (f (x) ∙ g (x)) '\u003d f' (x) ∙ g (x) + f (x) ∙ g (x) '$

Pronađite derivat $ F (x) \u003d 4x ∙ cosx $

$ F '(x) \u003d (4x)' ∙ cosx + 4x ∙ (cosx) '\u003d 4 ∙ cosx-4x ∙ sinx $

3. Privatni derivat

$ ((F (x)) / (g (x))) "\u003d (f ^" (x) ∙ g (x) -f (x) ∙ g (x) ") / (g ^ 2 (x) ) $

Pronađite derivat $ F (x) \u003d (5x ^ 5) / (e ^ x) $

$ F "(x) \u003d ((5x ^ 5)" ∙ e ^ x-5x ^ 5 ∙ (E ^ x) ") / ((E ^ x) ^ 2) \u003d (25x ^ 4 ∙ e ^ x- 5x ^ 5 ∙ E ^ x) / ((E ^ x) ^ 2) $

4. Derivat složene funkcije jednak je proizvodu izvedene vanjske funkcije na derivatu interne funkcije

$ F (g (x)) '\u003d f' (g (x)) ∙ g '(x) $

$ F '(x) \u003d cos' (5x) ∙ (5x) '\u003d - greh (5x) ∙ 5 \u003d -5sin (5x) $

Pronađite tačku minimalne funkcije $ y \u003d 2x-ln\u2061 (x + 11) + $ 4

1. Pronađite ... Funkcije: $ x + 11\u003e 0; x\u003e -11 $

2. Pronađite funkciju izvedenih $ y "\u003d 2- (1) / (x + 11) \u003d (2x + 22-1) / (x + 11) \u003d (2x + 21) / (x + 11) $ 2.

3. Pronađite stacionarne točke, izjednačavajući izvedenog na nulu

$ (2x + 21) / (x + 11) \u003d 0 $

Frakcija je nula ako je brojčanik nula, a nazivnik nije nula

$ 2x + 21 \u003d 0; x ≠ -11 $

4. Nacrtajte koordinatni direktni, položite stacionarne tačke na njemu i odredite znakove derivata u dobivenim intervalima. Da biste to učinili, zamijenit ćemo na derivativci bilo koji broj ekstremnog desnog područja, na primjer, nulu.

$ y "(0) \u003d (2 ∙ 0 + 21) / (0 + 11) \u003d (21) / (11)\u003e 0 $

5. Na minimalnoj točki, derivat mijenja znak iz minus na plus, dakle, točka od $ -10,5 $ je minimalna točka.

Odgovor: $10,5 $

Pronađite najveću vrijednost funkcije $ y \u003d 6x ^ 5-90x ^ 3-5 $ na segmentu $ [- 5; 1] $

1. Pronađite derivat funkcije $ y '\u003d 30x ^ 4-270x ^ 2 $

2. Osigurajte derivate nuli i pronađite stacionarne tačke

$ 30x ^ 4-270x ^ 2 \u003d 0 $

Izvršit ću ukupni multiplikator 30x ^ 2 USD za nosače

$ 30x ^ 2 (x ^ 2-9) \u003d 0 USD

$ 30x ^ 2 (x-3) (x + 3) \u003d 0 $

Svaki multiplikator izjednačavamo na nulu

$ x ^ 2 \u003d 0; x-3 \u003d 0; x + 3 \u003d 0 $

$ x \u003d 0; x \u003d 3; x \u003d -3 $

3. Odaberite stacionarne točke koje pripadaju određenom segmentu $ [- 5; 1] $

Pogodni smo za stacionarne tačke $ x \u003d 0 $ i $ x \u003d -3 $

4. Izračunajte vrijednost funkcije na krajevima segmenta i u stacionarnim tačkama od klauzule 3

Da vidimo kako istražiti funkciju pomoću grafikona. Ispada da je pogledalo raspored, možete saznati sve što nas zanima, naime:

područje definiranja funkcije
funkcionalne vrijednosti Područje
nulta funkcija
praznine povećavanja i silaznog
maksimalne i minimalne točke
najveća i najmanja vrijednost funkcije na segmentu.

Razjasniti terminologiju:

Abscissa - Ovo je horizontalna koordinata.
Ordinatirati - Vertikalna koordinata.
Axis apscisa - Horizontalna os, najčešće se naziva os.
Osovina ordinata - vertikalna os ili osovina.

Argument - Nezavisna varijabla na kojoj ovise vrijednosti funkcije. Najčešće je naznačeno.
Drugim riječima, mi se sami odaberemo, zamijenimo funkciju u formuli i dobijemo.

Domena Funkcije su skup tih (i samo onih) vrijednosti argumenta, u kojem funkcija postoji.
Određeno: ili.

Na našoj figuri, područje definicije polja je segment. Na ovom se segmentu nacrtava funkcija. Tek ovde ova funkcija postoji.

Funkcionalne vrijednosti Područje - Ovo je skup vrijednosti koji uzimaju varijablu. Na našoj figuri je segment - od najniže do najviše vrijednosti.

Nulta funkcija - Bodovi na kojima je vrijednost funkcije nula, odnosno. Na našem crtežu su bodovi i.

Vrijednosti funkcije su pozitivne Gde. U našem crtežu, ovo su praznine i.
Vrijednosti funkcije su negativne Gde. Imamo ovaj jaz (ili interval) od do.

Najvažniji pojmovi - uzlazno i \u200b\u200bsmanjenje funkcije U nekom setu. Možete uzeti segment, interval, integraciju praznina ili čitavog numeričkog direktnog.

Funkcija povećava

Drugim riječima, to više, to je više, raspored ide udesno i gore.

Funkcija smanjiti Na setu, ako za bilo koji i posjeduje set, nejednakost slijedi nejednakost.

Za smanjenje funkcije, veća vrijednost odgovara manjoj vrijednosti. Raspored ide desno i dolje.

Na našoj figuri, funkcija se povećava u intervalu i smanjuje se u intervalima i.

Definiramo šta maksimalna tačka i minimalna funkcija.

Maksimalna tačka - Ovo je unutarnja tačka definicije, takva je da vrijednost funkcije u njemu veća je nego u svim točkama blizu nje.
Drugim riječima, maksimalna tačka je takva točka, vrijednost funkcije u kojoj višenego u susjednoj. Ovo je lokalni "Holmik" na grafikonu.

U našem crtežu - točka maksimuma.

Točka minimalnog - Unutarnja tačka područja definicije, takva da je vrijednost funkcije u njemu manja nego u svim točkama blizu nje.
To je, minimalna točka je takva da je vrijednost funkcije u njemu manja nego u susjednoj. Na rasporedu je lokalna "fossa".

U našem crtežu - minimalna točka.

Tačka je granica. To nije unutarnja tačka definicije i stoga ne odgovara definiciji maksimalne tačke. Uostalom, ona sa lijeve strane nema komšije. Slično tome, na našem rasporedu ne može biti minimalna točka.

Nazivaju se maksimalne i minimalne točke bodovi ekstremne funkcije. U našem slučaju jeste.

I šta učiniti ako trebate pronaći, na primjer, minimalna funkcija Na segmentu? U ovom slučaju odgovor :. Jer minimalna funkcija - Ovo je njegova vrijednost u minimalnoj tački.

Slično tome, maksimum naše funkcije je jednak. To se postiže u točki.

Može se reći da su krajnosti funkcije jednake i.

Ponekad u zadacima morate pronaći najveće i najmanja vrijednosti funkcije U datom segmentu. Ne moraju se nužno podudarati sa krajnostima.

U našem slučaju najmanje značenje funkcije Na segmentu je jednak i podudara s minimalnom funkcijom. Ali njegova najveća vrijednost na ovom segmentu jednaka je. Postiže se na lijevom kraju segmenta.

U svakom slučaju, najveće i najmanje vrijednosti kontinuirane funkcije na segmentu postižu se u ekstremnim točkama ili na krajevima segmenta.

I za rješavanje toga zahtijevat će minimalno znanje o temi. Završava sljedeće akademska godinaŽelim da svi na odmoru i da donesu ovaj trenutak da se iznesu, odmah se okrećem u slučaju:

Krenimo od područja. Područje u kojem se troši u stanju je ograničen zatvoren Mnogo tačaka aviona. Na primjer, skup bodova ograničen trokutom, uključujući cijeli trokut (ako zato što granice "Kupiti" barem jedan bod, regija će prestati biti zatvorena). U praksi se nalaze i područja pravokutnog, okruglog i blago složenijih oblika. Treba napomenuti da postoje stroge definicije u teoriji matematičke analize. ograničenja, bliže, granice itd.Ali mislim da su svi svjesni ovih koncepata na intuitivnoj razini, a više i sada ne.

Plosno područje je standardno označeno od strane pisma, a u pravilu je postavljeno analitički - nekoliko jednadžbi (ne nužno linearna); manje često nejednakosti. Tipičan verbalni promet: "Zatvoreno područje ograničeno linijama."

Sastavni dio zadatka koji se razmatra je izgradnja područja na crtežu. Kako uraditi? Morate izvući sve navedene linije (u ovom slučaju 3 ravni) I analizirati šta se dogodilo. Željeno područje obično se malo udari, a njegova granica se odlikuje podebljanim redom:

Isto područje se može postaviti i linearne nejednakosti: To iz nekog razloga češće piše popisu tranzicije, a ne sistem.
Budući da granica pripada regiji, a zatim sve nejednakosti, naravno, neztreat.

A sada suština zadatka. Zamislite da se od početka koordinata osmorila direktno. Razmislite o funkciji koja neprekidan u svakom Tačka regije. Raspored ove funkcije je neki površinaA mala sreća je da je riješiti današnji zadatak, ne trebamo uopće znati kako ova površina izgleda. Može se postaviti iznad, ispod, preći avion - sve ovo nije važno. A sledeće je: prema weierstrass teoremi, neprekidan u ograničeno zatvorenopodručja Funkcija dostiže najveće ("High") i najmanji ("Nizak" sam) Vrijednosti koje su potrebne za pronalaženje. Takve se vrijednosti postižu ili u stacionarni bodovi, vlasnička područjaD. , ilina bodovima koji leže na granici ovog područja. Što slijedi jednostavan i prozirni algoritam rješenja:

Primjer 1.

U ograničenom zatvorenom području

Odluka: Prije svega, morate prikazati područje na crtežu. Nažalost, tehnički je teško da napravim interaktivni model zadatka, pa ću odmah dati završnu ilustraciju, što pokazuje sve "sumnjive" bodove koji su pronađeni tokom studije. Obično su pričvršćeni jedan pored drugog dok su otkriveni:

Na osnovu preambule, rješenje je prikladno za razbijanje dva boda:

I) Pronađite stacionarne bodove. Ovo je standardna akcija koju smo više puta nastupili na lekciji. o krajnosti nekoliko varijabli:

Pronašao nepomičnu tačku pripadaju Područja: (Slavimo ga u crtežu)Dakle, trebali bismo izračunati vrijednost funkcije u ovom trenutku:

- kao u članku Najveće i najmanja vrijednosti funkcije na segmentuVažni rezultati ističe ću hrabar font. U bilježnici su prikladni za krug olovke.

Obratite pažnju na našu drugu sreću - nema smisla u provjeri dovoljan uvjet ekstremiranja. Zašto? Čak i ako funkcija dostigne funkciju, na primjer, lokalni minimumTada to ne znači da će dobijena vrijednost biti minimalan U cijelom području (pogledajte početak lekcije na bezuvjetne ekstremnike) .

Šta ako stacionarna tačka ne pripada regionu? Gotovo ništa! Treba napomenuti to i prijeći na sljedeću stavku.

(Ii) Istražite granicu regiona.

Budući da se granica sastoji od strana trouta, tada je studija prikladna za podijeljevanje u 3 podstavke. Ali bolje je to učiniti ne kao Ababi. Sa moje stanovišta, prvo je povoljnije razmotriti segmente paralelno s koordinatnim osovinama, a prije svega - leže na samim sjekirama. Da biste uhvatili čitav niz i logiku radnji, pokušajte naučiti kraj "u jednom dahu":

1) Bavićemo se donjom stranom trougla. Da bismo to učinili, mi ćemo direktno zamijeniti funkciju:

Alternativno, možete se dogovoriti i tako:

Geometrijski, to znači da koordinatni avion (koja takođe postavlja jednadžba) "Carves" iz površina "Prostorni" parabola, čiji Vertex odmah pada pod sumnjom. Saznati gde se nalazi:

- rezultirajuća vrijednost "pogodi" na to područje i možda je to u toku (slavite na crtežu) Funkcija dostiže najveću ili najmanju vrijednost u cijelom području. U svakom slučaju, izvršite računanje:

Ostali "kandidati" su, naravno, krajevi segmenta. Izračunajte vrijednosti funkcije na bodovima (slavite na crtežu):

Ovdje, usput, možete izvesti oralnu mini ček na "obrezivoj" verziji:

2) Za proučavanje desne strane trougla zamjenjujemo funkciju i "narudžbu tamo":

Ovdje odmah izvršite nacrt provjere ", nadimak" Kraj segmenta je već tretiran:
, pa.

Geometrijska situacija odnosi se na prethodnu stavku:

- Rezultirajuća vrijednost "ušla je i u sferu naših interesa", što znači da je potrebno izračunati ono što je jednako funkciji u točku koja se pojavljuje:

Istražujemo drugi kraj segmenta:

Korištenje funkcije , Izvršite ček:

3) Vjerovatno svi nagađaju kako istražiti ostalo. Zamjenjujemo funkciju i činemo pojednostavljenja:

Krajevi reza već istraženi, ali na nacrtu i dalje provjerite jesmo li ispravno pronašli funkciju :
- podudaralo se sa rezultatom 1. podstavke;
- Pojačate se rezultatom drugog podstavka.

Ostaje da saznamo ima li nešto zanimljivo unutar segmenta:

- tu je! Zamjena linije na jednadžbu, dobivamo redoslijed ovog "interesa":

Označavamo tačku na crtežu i pronalazimo odgovarajuću vrijednost funkcije:

Provjerite proračune na verziji "Budžet" :
, Naručite.

I završni korak: Pažljivo pogledajte sve "masne" brojeve, koji počnu preporučiti čak i za sastavljanje popisa pojedinosti:

Iz kojeg biramo najveća i najmanja značenja. Odgovoriti Pišemo u stilu zadatka boravka najveće i najmanja vrijednosti funkcije na segmentu:

Za svaki slučaj, još jednom komentirajte geometrijsko značenje rezultata:
- evo najveće površine u tom području;
- Evo najniže točke površine u tom području.

U rastavljenom zadatku već smo otkrili 7 "sumnjivih" bodova, ali iz zadatka zadatka njihov broj varira. Za trokutasto područje minimalni "set istraživanja" sastoji se od tri boda. To se događa kada funkcija, na primjer, pita avion - Apsolutno je jasno da stacionarne tačke su odsutne, a funkcija može postići najveće / najmanje vrijednosti samo u vrhovima trougla. Ali takvi primjeri jednom, dva i okrenuta - obično se moraju baviti nekim površinu drugog naloga.

Ako takve zadatke napravite malo, onda iz trouglova glava može obići i zato sam pripremio za vas neobične primjere tako da postane kvadrat :))

Primer 2.

Pronađite najveće i najmasnije vrijednosti funkcije u zatvorenom području ograničene linije

Primjer 3.

Pronađite najveće i najmanje vrijednosti funkcije u ograničenom zatvorenom području.

Posebna pažnja Plaćajte racionalni nalog i tehniku \u200b\u200bproučavanja granica područja, kao i na intermedijarnom kontrolnom lancu, koji će gotovo apsolutno pomoći u izbjegavanju računarskog grešaka. Generalno gledano, možete riješiti kako želite, ali u nekim zadacima, na primjer, u istom primjeru 2 postoje sve šanse da značajno zakomplicira vaš život. Uzorak uzorka završnih zadataka na kraju lekcije.

Sistematiziramo algoritam rješenja, a potom i sa svojom markom pauka, nekako se izgubio u dugim niti komentarima prvog primjera:

- U prvom koraku gradimo područje, poželjno ga je protrese, a granica je istaknuti podebljanu liniju. Tokom rješenja čini se da su bodovi instalirani na crtežu.

- Pronađite stacionarne točke i izračunajte vrijednosti funkcije samo u njima od njihkoji pripadaju tom području. Dobivene vrijednosti su odvojene u tekstu (na primjer, opskrbljuju olovku). Ako stacionarna točka ne pripada regionu, onda ovu činjenicu slavimo značku ili verbalno. Ako uopće nema stacionarnih točaka, onda nanesemo pismeni zaključak da im nedostaje. U svakom slučaju, ovaj predmet se ne može preskočiti!

- Istražite granicu regiona. Prvo, korisno je baviti se ravno, koji su paralelni sa koordinatnim osovinama (ako ima ih). Vrijednosti funkcije izračunate u "sumnjivim" bodova također dodjeljuju. O tehniku \u200b\u200brješenja je vrlo rečeno gore i nešto drugo će se reći u nastavku - pročitajte, ponovo pročitajte, razmislite!

- Iz odabranih brojeva odaberite najveće i najmanje vrijednosti i dati odgovor. Ponekad se to dogodi da takve vrijednosti značajku doseže odjednom u nekoliko točaka - u ovom slučaju sve se ove bodove trebaju odraziti u odgovoru. Neka, na primjer, I pokazalo se da je ovo najmanje značenje. Zatim zapišite to

Završni primjeri posvećeni su drugim korisnim idejama koje će biti korisne u praksi:

Primjer 4.

Pronađite najveće i najmanje vrijednosti funkcije u zatvorenom području .

Zadržao sam formulaciju autorskih prava u kojoj se registra traži u obliku dvostruke nejednakosti. Ovo stanje može se snimiti ekvivalentnim sistemom ili u tradicionalnijem obliku za ovaj zadatak:

Podsjećam na to nelinearan Nejednakosti na kojima smo se susreli, a ako ne razumijete geometrijsko značenje zapisa, nemojte se odlagati i trenutno razjasniti situaciju ;-)

OdlukaKao i uvijek, započinje izgradnjom regije, koja je vrsta "potplata":

Hmm, ponekad morate grickati ne samo granitne nauke ....

I) Pronađite stacionarne tačke:

Idiot-ov sistem iz snova :)

Stacionarna tačka pripada regiji, naime, leži na svojoj granici.

I tako, ništa ... lekcija je otišla ići - to znači popiti pravi čaj \u003d)

(Ii) Istražite granicu regiona. Bez Caustva, započinjemo sa Abscissa osi:

1) ako, onda

Pronaći ćemo gdje je vrh parabole:
- Cijenite takve trenutke - "dobio" direktno do točke sa kojom je sve već jasno. Ali još uvijek ne zaboravite na provjeru:

Izračunavamo vrijednosti funkcije na krajevima segmenta:

2) s dnom "potplati" će shvatiti "za jednu sjedenju" - bez ikakvih kompleksa zamjenjujemo funkciji, a nas samo zanima samo:

Kontrola:

Ovo već doprinosi nekom oživljavanju u monotonu vožnju u valjanom rutu. Pronađite kritične točke:

Odlučiti kvadratna jednadžba, sjetite se na takvu? ... Međutim, zapamtite, naravno, u protivnom ne bi pročitali ove linije \u003d) ako su u dva prethodna primjera bili zgodni za proračune u decimalne frakcije (Šta, usput, rijetkost), ovdje ćemo čekati uobičajene obične frakcije. Pronalazimo "ICX" korijene i jednadžbama, definiramo odgovarajuće "inerižne" koordinate točaka "kandidata":

Izračunajte funkcije funkcije na pronalaženim bodovima:

Navedite sami funkciju.

Sada pažljivo proučite osvojene trofeje i zapišite odgovoriti:

Ovo su "kandidati", tako "kandidati"!

Za samo rješenja:

Primjer 5.

Pronađite najmanje i najveće vrijednosti funkcije u zatvorenom području

Snimanje sa figurednim zagradama se čita ovako: "Mnogo bodova, poput".

Ponekad u takvim primjerima koristite lAGRANGE MULTIPLIER METODAAli stvarna potreba za primjenom malo je vjerojatno da će se pojaviti. Na primjer, ako je funkcija data s istim područjem "DE", zatim nakon zamjene u njemu - s derivatom bilo kakvih poteškoća; I sastavlja se sa "jednim redom" (sa znakovima) bez potrebe za odvojeno razmotriti gornji i donji polukrug. Ali, naravno, postoje teški slučajevi gdje bez funkcije Lagrange (gde, na primjer, ista opsežna jednadžba) Teško je bez njega - koliko je teško učiniti bez dobrog odmora!

Svi su dobro proslijediti sednicu ubrzo na sastancima sljedeće sezone!

Rješenja i odgovori:

Primjer 2: Odluka: Prikaži područje na crtežu: