Розрахунок балок на прогин. Максимальний прогин балки: формула
Балка - елемент в інженерії, що є стрижнем, який навантажують сили, що діють у напрямку, перпендикулярному стрижню. Діяльність інженерів часто включає необхідність розрахунку прогину балки під навантаженням. Ця дія виконується для того, щоб обмежити максимальний прогин балки.
Типи
На сьогоднішній день у будівництві можуть використовуватись балки, виготовлені з різних матеріалів. Це може бути метал чи дерево. Кожен конкретний випадок має на увазі різні балки. При цьому розрахунок балок на прогин може мати деякі відмінності, які виникають за принципом різниці в будові матеріалів, що використовуються.
Дерев'яні балки
Сьогоднішнє індивідуальне будівництво передбачає широке застосування балок, виготовлених з дерева. Практично кожна будова містить у собі Балки з дерева можуть використовуватися як несучі елементи, їх застосовують при виготовленні підлог, а також як опори для перекриттів між поверхами.
Ні для кого не секрет, що дерев'яна, так само як і залізна балка, має властивість прогинатися під впливом навантажувальних сил. Стрілка прогину залежить від того, який матеріал використовується, геометричних характеристик конструкції, в якій використовується балка, та характеру навантажень.
Допустимий прогин балки формується з двох факторів:
- Відповідність прогину та допустимих значень.
- Можливість експлуатації будівлі з урахуванням прогину.
Розрахунки на міцність і жорсткість, що проводяться при будівництві, дозволяють максимально ефективно оцінити те, які навантаження зможе витримувати будівлю в ході експлуатації. Також ці розрахунки дозволяють дізнатися, якою буде деформація елементів конструкції в кожному конкретному випадку. Мабуть, ніхто не буде сперечатися з тим, що докладні та максимально точні розрахунки – це частина обов'язків інженерів-будівельників, проте з використанням кількох формул та навичок математичних обчислень можна розрахувати всі необхідні величини самостійно.
Для того щоб зробити правильний розрахунок прогину балки, потрібно також брати до уваги той факт, що у будівництві поняття жорсткості та міцності є нерозривними. Маючи дані розрахунку міцності, можна приступати до подальших розрахунків щодо жорсткості. Розрахунок прогину балки - один з незамінних елементів розрахунку жорсткості.
Зверніть вашу увагу на те, що для проведення таких обчислень самостійно краще використовувати укрупнені розрахунки, вдаючись при цьому до досить простих схем. При цьому також рекомендується робити невеликий запас у бік. Особливо, якщо розрахунок стосується несучих елементів.
Розрахунок балок на прогин. Алгоритм роботи
Насправді алгоритм, яким робиться подібний розрахунок, досить простий. Як приклад розглянемо дещо спрощену схему проведення розрахунку, при цьому опустивши деякі специфічні терміни та формули. Щоб зробити розрахунок балок на прогин, необхідно виконати ряд дій у порядку. Алгоритм проведення розрахунків наступний:
- Складається розрахункова схема.
- Визначаються геометричні характеристики балки.
- Обчислюється максимальне навантаження на цей елемент.
- У разі виникнення необхідності перевіряється міцність бруса за згинальним моментом.
- Проводиться обчислення максимального прогину.
Як бачите, всі дії досить прості та цілком здійсненні.
Складання розрахункової схеми балки
Щоб скласти розрахункову схему, не потрібно великих знань. Для цього достатньо знати розмір і форму поперечного перерізу елемента, проліт між опорами та спосіб спирання. Прольотом є відстань між двома опорами. Наприклад, ви використовуєте балки як опорні бруси перекриття для несучих стін будинку, між якими 4 м, то величина прольоту дорівнюватиме 4 м. 
Обчислюючи прогин дерев'яної балки, їх вважають вільно оперти елементами конструкції. У разі розрахунку приймається схема з навантаженням, яка розподілена рівномірно. Позначається символом q. Якщо ж навантаження несе зосереджений характер, то береться схема із зосередженим навантаженням, що позначається F. Величина цього навантаження дорівнює вазі, яка буде чинити тиск на конструкцію.
Момент інерції
Геометрична характеристика, яка отримала назву важлива під час проведення розрахунків на прогин балки. Формула дозволяє обчислити цю величину, ми наведемо її трохи нижче.
При обчисленні моменту інерції слід звертати увагу, що розмір цієї характеристики залежить від цього, яка орієнтація елемента у просторі. При цьому спостерігається обернено пропорційна залежність між моментом інерції і величиною прогину. Чим менше значення моменту інерції, тим більше значення прогину і навпаки. Цю залежність досить легко відстежити практично. Кожна людина знає, що дошка, покладена на ребро, прогинається набагато менше, ніж аналогічна дошка, яка перебуває у нормальному положенні. 
Підрахунок моменту інерції для балки з прямокутним перерізом провадиться за формулою:
J=b*h^3/12, де:
b – ширина перерізу;
h – висота перерізу балки.
Обчислення максимального рівня навантаження
Визначення максимального навантаження на елемент конструкції проводиться з урахуванням цілого ряду факторів та показників. Зазвичай при обчисленні рівня навантаження беруть до уваги вага 1 метра погонного балки, вага 1 квадратного метра перекриття, навантаження на перекриття тимчасового характеру і навантаження від перегородок на 1 квадратний метр перекриття. Також враховується відстань між балками, виміряна у метрах. Для прикладу обчислення максимального навантаження на дерев'яну балку приймемо усереднені значення, згідно з якими вага перекриття становить 60 кг/м², тимчасове навантаження на перекриття дорівнює 250 кг/м², перегородки важитимуть 75 кг/м². Вагу балки дуже просто обчислити, знаючи її об'єм і щільність. Припустимо, що використовується дерев'яна балка перетином 0,15 х0, 2 м. У цьому випадку її вага становитиме 18 кг/пог. Також для прикладу приймемо відстань між брусами перекриття рівним 600 мм. І тут потрібний нам коефіцієнт становитиме 0,6.
В результаті обчислення максимального навантаження отримуємо наступний результат: q=(60+250+75)*0,6+18=249 кг/м.
Коли значення отримано, можна переходити до розрахунку максимального прогину.
Обчислення значення максимального прогину
Коли проводиться розрахунок балки, формула відображає всі необхідні елементи. При цьому варто враховувати, що формула, що використовується для розрахунків, може мати інший вигляд, якщо розрахунок проводиться для різних типів навантажень, які будуть впливати на балку.
Спочатку приведемо до вашої уваги формулу, яка використовується для розрахунку максимального прогину дерев'яної балки з розподіленим навантаженням.
f=-5*q*l^4/384*E*J.
Зверніть увагу, що в даній формулі Е – це постійна величина, яка отримала назву модуль пружності матеріалу. Для деревини ця величина дорівнює 100 000 кгс/м2.
Продовживши обчислення з нашими даними, використаними для прикладу, отримаємо те, що для балки з деревини, переріз якої становить 0,15х0,2 м, а довжина дорівнює 4 м, величина максимального прогину при дії розподіленого навантаження дорівнює 0,83 см.
Звертаємо увагу, що коли проводиться розрахунок прогину з урахуванням схеми із зосередженим навантаженням, формула набуває наступного вигляду:
f=-F*l^3/48*E*J, де:
F – сила тиску на брус. 
Також звертаємо увагу на те, що значення модуля пружності, яке використовується в розрахунках, може відрізнятися для різних видів деревини. Вплив мають не тільки порода дерева, а й вид бруса. Тому цільна балка з дерева, клеєний брус або оциліндрована колода матимуть різні модулі пружності, а отже, і різні значення максимального прогину.
Ви можете переслідувати різні цілі, роблячи розрахунок балок на прогин. Якщо ви хочете дізнатись межі деформації елементів конструкції, то після завершення розрахунку стрілки прогину ви можете зупинитися. Якщо ж ваша мета – встановити рівень відповідності знайдених показників будівельним нормам, їх потрібно порівняти з даними, які розміщені в спеціальних документах нормативного характеру.
Двотаврова балка
Зверніть увагу на те, що балки з двутавра застосовуються трохи рідше в силу їх форми. Однак також не варто забувати, що такий елемент конструкції витримує набагато більші навантаження, ніж куточок або швелер, альтернативою яких може стати двотаврова балка.
Розрахунок прогину двотаврової балки варто проводити в тому випадку, якщо ви збираєтеся використовувати її як потужний елемент конструкції. 
Також звертаємо вашу увагу на те, що не для всіх типів балок з двотавра можна робити розрахунок прогину. У яких випадках дозволено розрахувати прогин Всього таких випадків 6, які відповідають шести типам двутавровых балок. Ці типи такі:
- Балка однопрогонового типу з рівномірно розподіленим навантаженням.
- Консоль з жорстким закладенням на одному кінці і рівномірно розподіленим навантаженням.
- Балка з одного прольоту з консоллю з одного боку, до якої прикладається рівномірно розподілене навантаження.
- Однопрогонова балка з шарнірним типом спирання із зосередженою силою.
- Однопрогонова шарнірно оперта балка із двома зосередженими силами.
- Консоль із жорстким закладенням та зосередженою силою.
Металеві балки
Розрахунок максимального прогину однаковий, чи це сталева балка або елемент з іншого матеріалу. Головне - пам'ятати про ті величини, які специфічні і постійні, як модуль пружності матеріалу. При роботі з металевими балками, важливо пам'ятати, що вони можуть бути виготовлені зі сталі або двотавра. 
Прогин металевої балки, виготовленої зі сталі, обчислюється з урахуванням, що константа Е в даному випадку становить 2 105 МПа. Решта елементів, на кшталт моменту інерції, обчислюються за алгоритмами, описаним вище.
Розрахунок максимального прогину для балки з двома опорами
Як приклад розглянемо схему, в якій балка знаходиться на двох опорах, а до неї прикладається зосереджена сила у довільній точці. До моменту прикладання сили балка була прямою лінією, проте під впливом сили змінила свій вигляд і внаслідок деформації стала кривою. 
Припустимо, що площина ХУ є площиною симетрії балки двох опорах. Усі навантаження діють на балку у цій площині. У цьому випадку фактом буде те, що крива, отримана в результаті дії сили, також перебуватиме в цій площині. Дана крива отримала назву пружної лінії балки або лінії прогинів балки. Алгебраїчно вирішити пружну лінію балки і розрахувати прогин балки, формула якого буде постійною для балок з двома опорами, можна в такий спосіб.
Прогин на відстані z від лівої опори балки при 0 ≤ z ≤ a
F(z)=(P*a 2 *b 2)/(6E*J*l)*(2*z/a+z/b-z 3 /a 2 *b)
Прогин балки на двох опорах з від лівої опори при а ≤ z ≤l
f(z)=(-P*a 2 *b 2)/(6E*J*l)*(2*(l-z)/b+(l-z)/a-(l-z) 3 /a+b 2), де Р - сила, що прикладається, Е - модуль пружності матеріалу, J - осьовий момент інерції.
У разі балки з двома опорами момент інерції обчислюється так:
J=b 1 h 1 3 /12, де b 1 і h 1 - значення ширини та висоти перерізу використовуваної балки відповідно.
Висновок
На закінчення можна дійти невтішного висновку у тому, що самостійно обчислити величину максимального прогину балки різних типів досить легко. Як було показано в цій статті, головне - знати деякі характеристики, які залежать від матеріалу та його геометричних характеристик, а також провести обчислення за декількома формулами, в яких кожен параметр має своє пояснення і не береться з нізвідки.
