Funktsiyaning muhim nuqtalarining onlayn ko'rinishi. Ekstremal funktsiya. zarur ruhiy ekstremum

Bu mutlaqo barcha akademik sinflar va talabalarni qamrab oladigan matematikaning bir xil bo'limiga erishish hiylasidir. Himoya qilish teriga o'xshash matan bo'lishdan uzoqdir. Deyakí oddiy tinglash funktsiyasidan foydalanganda oddiy nutqlarni ko'ra olmaydi. Maqola afvni tuzatish uchun poklikana berildi. Funktsiyalarni tahlil qilish haqida ko'proq ma'lumot olishni xohlaysizmi? Bazhaête díznatisya, nima ham ekstremum ishora va qanday í̈kh bilaman? Todi maqola siz uchun berilgan.

Doslidzhennya grafik funktsiyalari

Yorqin razvedka qulog'i uchun ko'pincha grafikni tahlil qilish kerak. Saqlash qiyin bo'lmagan oddiy funktsiyalarni topish qiyin. Parabola sifatida xizmat qilish uchun shunga o'xshash funktsiyaning dumbasidan foydalanishimiz mumkin. Jinoyatchilik grafigi qattiq ombor emas. Hamma narsa zarur, shuning uchun oddiy o'zgartirishning qo'shimcha yordami uchun funktsiya 0 qiymatini qabul qiladigan raqamlarni bilish kerak. Aslida, barcha zodagonlar parabola grafigini soxtalashtirish uchundir.

Ale scho robiti, qanday funktsiya, nimalarga g'amxo'rlik qilishimiz kerakligini grafik, ko'proq katlanabilen? Katlama funktsiyalari kuchining tebranishlari hali ham aniq emas, bir qator tahlillarni o'tkazish kerak. Funktsiya orqali faqat yozuvni grafik ko'rsatish mumkin. Yak tse zrobiti? Oziq-ovqat narxini statistikada bilib olishingiz mumkin.

Funktsiyani tahlil qilish rejasi

Birinchidan, uni ishlab chiqish kerak, shuning uchun oxirgi funktsiyaning sirtini bajarish kerak, uning davomida biz qiymat maydonini bilamiz. Otzhe, ko'proq yoki kamroq tartibda. Qiymat maydoni - bu tayinlanishi kerak bo'lgan sokin qiymatning narxi. Oddiyroq ko'rinadi, butun son, chunki ularni almashtirish funktsiyasida g'alaba qozonish mumkin. Buning uchun siz faqat rekordga qarashingiz kerak. Masalan, y (x) \ u003d x 3 + x 2 - x + 43 funktsiyasi qiymat maydoniga ega - ma'nosiz raqamlar. Xo'sh, functioyu zrazok (x 2 - 2x) / x barcha trochlar inaxesdir. Agar maxrajdagi raqam 0 uchun aybdor bo'lmasa, u holda bu funktsiya doirasi noldan tashqari barcha haqiqiy raqamlar bo'ladi.

Hozircha nol funktsiyalarni bilish kerak. Argumentning qiymati, uning uchun barcha funktsiyalar nol qiymatini qabul qiladi. Umuman olganda, funktsiyani nolga etkazish, hisobot berish va deyakni rivojlantirish kerak. Biz allaqachon bilganimizdek, y (x) \ u003d (x 2 - 2x) / x funktsiyasi. Maktab kursidan bilamizki, agar raqam nolga teng bo'lsa, bu raqam 0 tody. Buning uchun, mening vidkidaêmo bayrog'i va numberelnik bilan startmo pratsyuvati, uni nolga privnyuchi. Biz qavs ichida x 2 - 2x \ u003d 0 va vinosimo x ni taniymiz. Zvidsy x (x - 2) \ u003d 0. Natijada, bizning funktsiyamiz 0 yoki 2 bo'lishi kerak bo'lsa, nolga etkazilganligi tan olinadi.

Funksiya grafigi tugaguniga qadar bir soat oldin muammo ekstremum nuqtalarida yechiladi. Bu ajoyib. Aje extremumi juda oddiy mavzu. Siz shundaymisiz? Nizomning birinchi qismini o'qib bo'lgach, biz minimal va maksimal nuqtalar haqida gapiramiz.

Varto kosasi uchun ekstremum bo'lgan narsaga murojaat qiling. Ekstremum chegaraviy qiymatdir, masalan, grafik uchun foydalanish mumkin bo'lgan funksiya. Ikkita ekstremal qiymat mavjud - maksimal va minimal. Qulaylik uchun siz olib tashlangan rasmni hayratda qoldirishingiz mumkin. Dastlabki mintaqada -1 nuqta y (x) \ u003d x 5 - 5x funktsiyasining maksimal qiymati va 1 nuqta, aftidan, minimaldir.

Agar men guvoh bo'lsam, bu aldamchi emas. Funktsiyaning ekstremum nuqtalari argumentlar soni bo'lib, ular uchun shishiruvchi ekstremal qiymat funktsiyasi o'rnatiladi. O'z oqimlarida ekstremumlar minimal va maksimal funktsiyalarning ma'nosini chaqiradi. Misol uchun, men kichik narsalar aniq ekanligini bilaman. -1 í 1 - funksiya ekstremumining butun nuqtasi va 4 í -4 - ekstremumning butun nuqtasi.

Ekstremum nuqtalarini bilish

Ale yak funksiyaning ekstremum nuqtalarini hali ham biladimi? Hamma narsani tugatish oson. Birinchidan, katta bo'lish kerak - ryvnyannyaning kelib chiqishini bilish. Taxminlarga ko'ra, biz sukut bo'yicha e'tibordan chetda qoldik: "Y (x) funktsiyasining ekstremum nuqtalarini bilib oling, x argumentdir. 4x + 1. Natijalarda biz standart kvadrat o'lchovni oldik. Ikkita ma'noni tanib olish mumkin: 1/3 va -1. Tse va funktsiyaning ekstremumiga nuqtalar bo'ladi.. masalan, -2 soni mumkin, chunki -1 dan koordinatali to'g'ri chiziq bo'ylab yomonlik mavjud. Bizning tenglamamizda berilgan qiymat (- 2) \ u003d 12 - 8 + 1 \ u003d 5. natijalarda biz ijobiy raqamni rad etdik.1/3 dan -1 gacha o'sish funktsiyasi. minu dan noaniqlikdan 1/3 gacha va -1 dan ortiqcha noaniq yemirilish funksiyasi. Bunday martabada siz naqsh yaratishingiz mumkin, lekin 1/3 soni oxirgi avans uchun funktsiyaning minimal nuqtasi va -1 maksimal nuqtadir.

Bundan tashqari, ÊDI ning ekstremum nuqtalarini bilish oson emas, balki ular bilan operatsiyani bajarish (qo'shish, ko'paytirish va boshqalar) oson emasligi aniq. Aynan shu sababga ko'ra, vartoni shafqatsiz holga keltiring alohida hurmat aql zavdannya haqida. Hatto hurmatsizlik orqali ham siz bali isrof qilishingiz mumkin.

funktsiyasi y \ u003d f (x) deb nomlanadi o'sib borayotgan (pasayish) Xuddi shu oraliqda, x 1 bo'lganda< x 2 выполняется неравенство (f (x 1) < f (x 2) (f (x 1) >f (x 2)).

Agar y \ u003d f (x) funktsiyasi o'sish tezligi (pasayishi) uchun farqlansa, u f ga o'xshaydi. " (x)> 0

(f "(X)< 0).

Spek x haqida chaqirilsin mahalliy maksimal nuqta (eng kam) f (x) funktsiyalari, go'yo nuqtaga yaqin x haqida, Noaniqlik bo'lmagan barcha nuqtalar uchun f (x)≤ f (x o) (f (x)≥ f (x o)).

Maksimal va minimal nuqtalar chaqiriladi nuqtadan ekstremumgacha, Va funksiyaning qix nuqtalardagi ma'nosi - vv ekstremallar.

ekstremumga ishora qiladi

Ekstremumni tushuntirish kerak ... nuqta qayerda x haqida ê f (x) funksiyaning ekstremum nuqtasi bilan, keyin esa f " (x o) \ u003d 0 yoki f(x o) topilmadi. Bu nuqtalar nomlanadi tanqidiy Bundan tashqari, funktsiyaning o'zi muhim ahamiyatga ega. Kritik nuqtalar orasidagi shukatining ekstremum funktsiyalari.

Etarlidan ko'ra yaxshiroq aql uchun. Hey x haqida - nuqta juda muhim. Yaksho f " (x) nuqtani kesib o'tishda x haqida minusda ortiqcha belgisi, keyin nuqtada x haqida funktsiya maksimal, eng kamida - minimal. Agar tanqidiy nuqtadan o'tayotganda belgi o'zgarmasa, u holda nuqtada x haqida Ekstremum jim.

Boshqasining aqli yetarli. f (x) funksiyasi maʼ boʻlsin
f " (x) nuqtaga yaqin joyda x haqida Men f "" (x 0) do'stimning oldiga boraman x haqida... Yaksho f "(x haqida) \ u003d 0, f "" (x 0) \ u003e 0 (f "" (x 0)<0), то точка x haqidaê f (x) funksiyaning mahalliy minimal (maksimal) nuqtasi. Agar f "" (x 0) \ u003d 0 bo'lsa, unda birinchi etarli aqlni ishlatish yoki uni olish kerak.

y \ u003d f (x) funktsiyasining yuqori qismida siz eng kichik yoki eng katta qiymatga kritik nuqtalarda yoki egri chiziqning uchlarida erishishingiz mumkin.

Ilova 3.22.

Qaror. Shunday qilib f " (

Znaxozhennya ekstremum funktsiyasi

Ilova 3.23. a

Qaror. x і y y
0 ≤ x≤
\ u003e 0 va uchun x \ u003e a / 4 S " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение funktsiyalari kv.. od).

Butt 3.24. p ≈

Qaror. p p
S "
R \ u003d 2, H \ u003d 16/4 \ u003d 4.

Ilova 3.22.Ekstremum f (x) \ u003d 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14 funksiyasini biling.

Qaror. Shunday qilib f " (x) \ u003d 6x 2 - 30x +36 \ u003d 6 (x -2) (x - 3), keyin funksiyaning kritik nuqtalari x 1 \ u003d 2 í x 2 \ u003d 3. Ekstremumlar faqat shu nuqtalarda bo'lishi mumkin. . Shunday qilib, x 1 \ u003d 2 nuqtasidan o'tayotganda, ortiqcha belgisi minusga o'zgaradi, keyin funktsiya nuqtasida maksimal bo'ladi. X 2 \ u003d 3 nuqtasidan o'tayotganda, minus belgisi ortiqcha ga o'zgartiriladi, shuning uchun minimal funktsiyada x 2 \ u003d 3 nuqtasida. Nuqtalardagi muhim funktsiyalar
x 1 \ u003d 2 í x 2 \ u003d 3, ekstremum funktsiyasi bilan ma'lum: maksimal f (2) \ u003d 14 va minimal f (3) \ u003d 13.

Ilova 3.23.Tosh devorning maydanida tik turish kerak, shunda ho'kizning uch tomoni o'q to'r bilan haydab, to'rtinchi tomondan devorga yopishadi. Tsiogo ê uchun a ishlaydigan metr elak. Har qanday sp_vv_dnoshení tomoni bilan, maidanchik matime eng maydoni topadi?

Qaror.Ko'rinishidan, Maydanning tomonlari orqali x і y... Maydanchik eshigining kvadrati S \ u003d xy. Hey y- tse dozhina partiyalari, scho devorga mahkamlash. Todi, sabab, aybdor, paritet 2x + y \ u003d a. Bunga y \ u003d a - 2x í S \ u003d x (a - 2x), de
0 ≤ x≤ a / 2 (hatto va saytning kengligi salbiy bo'lishi mumkin emas). S "\ u003d a - 4x, a - 4x \ u003d 0 uchun x \ u003d a / 4, yulduzlar
y \ u003d a - 2 × a / 4 \ u003d a / 2.skíls x \ u003d a / 4 - bitta tanqidiy nuqta, nuqtadan o'tayotganda odobsizning belgisini o'zgartirish mumkin. x a / 4 S uchun "\ u003e 0 va uchun x \ u003e a / 4 S " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение funktsiyalari S (a / 4) \ u003d a / 4 (a - a / 2) \ u003d a 2/8 (kv.. od). S tebranishlari S (0) va S (a / 2) oxiridagi 1-qiymatda nolga qadar uzilmaydi, keyin qiymat funktsiyaning eng muhimi bo'ladi. Bunday unvon bilan, etakchi spívvídnoshenyam partiyalarda eng yaxshi vazifalari berilgan aqli uchun maidanchik ê y \ u003d 2x.

Butt 3.24.Mistkistu V \ u003d 16 silindrsimon idishini o'qiy olish kerak. p ≈ 50 m 3. Yakimi, shuningdek, tankning o'lchami (radius R va balandligi H), siz tayyorlash uchun eng kam miqdordagi materialni oldingizmi?

Qaror.Silindr eshigi sirtining maydoni S \ u003d 2 p R (R + H). Biz silindr V \ u003d haqida bilamiz p R 2 H Þ H \ u003d V / p R 2 \ u003d 16 p / p R 2 \ u003d 16 / R 2. Demak, S (R) \ u003d 2 p (R 2 + 16 / R). Biz bilamizki, quyidagi funktsiyalar yo'qoladi:
S "(R) \ u003d 2 p (2R- 16 / R 2) \ u003d 4 p (R- 8 / R 2). S " (R) \ u003d 0, R 3 \ u003d 8 uchun, hozir,
R \ u003d 2, H \ u003d 16/4 \ u003d 4.

Qiymat 1. M nuqta (x 0; y 0) maksimal (minimal) funktsiya nuqtasi z \ u003d f (x; y) deb ataladi, go'yo u M nuqtaga yaqin joylashgandek, barcha nuqtalar uchun (x; y) markaz aylana muvaffaqiyatsiz bo'lmaydi:

f (x 0; y 0)  f (x; y) ,.

Teorema 1 (Ekstremum haqida o'ylash kerak) ... Agar z \ u003d f (x; y) funksiyasi differensiallansa, M nuqtada (x 0; y 0) ekstremumga erishish mumkin bo'lsa, u holda barcha nuqtalardagi shaxsiy eski birinchi tartib nolga teng bo'ladi, shuning uchun
;

Ballar, ba'zi bir xususiy ballar, nolga olinadi, chaqiriladi statsionar abo tanqidiy nuqtalar.

Teorema 2 (Ekstremum uchun aqlning etarliligi)

z \ u003d f (x; y) funktsiyasi bo'lsin:

a) deyakomda (x 0; y 0) nuqta yaqinida, yakkada ko'rsatiladi
і
;

b) boshqa tartibda shaxsiy ma'lumotlarning uzilishisiz bir xil nuqtada ishlatilishi mumkin

;

Todi, agar  \ u003d AC  B 2 \ u003e 0 bo'lsa, u holda (x 0; y 0) nuqtada z \ u003d f (x; y) funktsiyasi ekstremumga ega, bundan tashqari, agar A.< 0 (или С < 0) – максимум, если А >0 (abo C \ u003e 0) - minimal. U razí  \ u003d AS  V 2< 0, функция z = f(x; y) экстремума не имеет. Если  = AC  B 2 = 0, то требуется дальнейшее исследование (сомнительный случай).

Butun 1. z \ u003d x 2 + xy + y 2  3x  6y funksiyaning ekstremumini biling.

Qaror. Biz maxfiylikning birinchi tartibini bilamiz:

Kerakli aql va ekstremum bilan Skoristya:

Rívnyany ning Virísheuchi tizimi, biz koordinatalarini bilamiz x í y statsionar nuqtalar: x \ u003d 0; y \ u003d 3, ya'ni M (0; 3).

Boshqa tartibda raqamlangan shaxsiylar mavjud va biz ularning ma'nosini M nuqtada bilamiz.

A \ u003d
\ u003d 2; C \ u003d
= 2;

In \ u003d
.

Qaysidir ma'noda diskriminant  \ u003d AS  V 2 \ u003d 2  2  1 \ u003e 0, A \ u003d 2 \ u003e 0. Shuningdek, M (0; 3) nuqtada maksimal minimumning funksiyasi. belgilangan. z min \ u003d 9 nuqtadagi funksiyaning qiymati.

Ekstremum funktsiyalarni bilish

322. z \ u003d x 2 + y 2 + xy  4x  5y 323. z \ u003d y 3  x 3  3xy

324. z \ u003d x 2  2xy + 4y 3 325. z \ u003d
 y 2  x + 6y

326. z \ u003d x y (1  x  y) 327. z \ u003d 2xy  4x  2y

328. z \ u003d e  x / 2 (x + y 2) 329. z \ u003d x 3 + 8y 3  6xy + 1

330. z \ u003d 3x 2 y  x 3  y 4 331. z \ u003d 3x + 6y  x 2  xy + y 2

Yopiq maydon yaqinidagi ikkita qishning eng va eng muhim vazifalari

Bilish uchun eng і kamida yopiq sohadagi funktsiyaning ma'nosi, talab:

1) berilgan sohadagi kritik nuqtalarni, roztasvani bilish va bu nuqtalarda funksiya qiymatini hisoblash;

2) mintaqaning kordonidagi muhim nuqtalarni bilish va eng ko'p hisoblash eng kam ahamiyatli ulardagi funktsiyalar;

3) eng kam ma'lum bo'lganidan tebranishning qiymati eng ko'p va eng kichikdir.

Butun 2. Eng yaxshi va ahamiyatsiz funktsiyalarni biling z \ u003d
x 2 + y 2  1 sonida.

Qaror. Berilgan maydonning o'rtasida yoyilgan tanqidiy nuqtalarning koordinatalari ma'lum, ular uchun nolga teng bo'lgan birinchi darajali xususiy funktsiyalarni hisoblash mumkin.

yulduzlar x \ u003d 0, y \ u003d 0 í, shuningdek, M (0; 0) kritik nuqtadir.

M nuqtadagi z funksiyaning son qiymati (0; 0): z (0; 0) \ u003d 2.

Kordon maydonidagi ma'lum kritik nuqtalar  aylana, teng x 2 + y 2 \ u003d 1. z \ u003d z (x; y) funktsiyasida 2 \ u003d 1  x 2 ni almashtiring, biz funktsiyani qabul qilamiz bitta ilon

z \ u003d
;

bu yerda x [1; biri].

raqamlangan yo'qolgan
va uni nolga qo'ygan holda, biz x 1 \ u003d 0, x 2 \ u003d kordon maydonidagi kritik nuqtalarni olib tashlashimiz mumkin. , X 3 \ u003d

Biz z (x) \ u003d funktsiyasining qiymatini bilamiz
muhim nuqtalarda va xabarning oxirida [1; 1]: z (0) \ u003d;
=;
; z (1) \ u003d; z (1) \ u003d

z funktsiyasining eng va eng kichik o'rtacha qiymati kritik nuqtalarda bo'lib, o'rtada va kola kordonida tarqaladi.

Otzhe, z naib. \ u003d Z (0; 0) \ u003d 2

Yana shuni aytish mumkinki, bu nuqtalarda funktsiyaning bevosita funktsiyasi o'zgarishi: tushishni to'xtatish va o'sishni boshlash funktsiyasi minimal nuqtaga, navpaki - maksimalga.

Minimum va maksimallar bir vaqtning o'zida chaqiriladi ekstremal funktsiyalarni bajaradi.

Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, grafikda ko'rilgan barcha besh nuqta ekstremaldir.

Nuqtalarni biladigan menejerlar, agar sizda funktsiyalarning ko'p grafiklari bo'lsa, muammolar ombori emas.

Uwaga! yozsangiz ekstremum Maksimlar / minimumlar uchun tobto \\ (Y \\) funktsiyasining ma'nosi asosida bo'lishi mumkin. yozsangiz ekstremal nuqtalar Maksimal/minimumlarning yuqoridagi nuqtalari maksimal/minimallarga erishish mumkin bo'lgan uvazí íksi bo'lishi mumkin. Misol uchun, kichik visce uchun, \\ (- 5 \\) nuqta minimal (abo nuqtasi ekstremum) va \\ (1 \\) - minimal (abo ekstremum).

Uyatsiz (7 DI) grafigi orqasidagi ekstremum funktsiyalar nuqtalarini qanday bilsam bo'ladi?

Keling, bir vaqtning o'zida ko'tdagi toqning grafigi orqasidagi funktsiyaning ekstremum nuqtalari sonini bilib olaylik:

Biz grafik berdik - grafikning ba'zi nuqtalarida shukaemo degani, u nolga o'tdi. Shubhasiz, \\ (- 13 \\), \\ (- 11 \\), \\ (- 9 \\), \\ (- 7 \\) í \\ (3 \\) nuqtalari. Ekstremum funktsiyasi uchun ballar soni \\ (5 \\) ga teng.

Uwaga! Yakshoga grafik beriladi yomon funktsiyalari, lekin siz bilishingiz kerak ekstremal funktsiyalar nuqtalari, Biz maksimal va minimali odobsizlik qarshi emas! Shu bilan birga, funktsiya nolga teng bo'lgan nuqtalar mavjud (\\ (x \\) ni ag'darish uchun).

Qadimgilarning grafigi uchun maksimal ball yoki minimal funktsiyalarni qanday bilsam bo'ladi (7 kunlik ADI)?

Oziq-ovqat zanjiriga moslashish uchun siz ikkita muhim qoidani taxmin qilishingiz kerak:

- Pochídna u erda ijobiy, de o'sish funktsiyasi.
- Pohídna u yerda manfiy, de funksiyasi pasayish.

Qoidalar bilan sizga yordam berish uchun, keling, minimal va maksimal funktsiyaga tayanch nuqtasining grafigini bilib olaylik.

Zrozumílo, scho minimumi va maxims ekstremumlarning shukati o'rta nuqtalarini talab qiladi, shuning uchun o'rtalar \\ (- 13 \\), \\ (- 11 \\), \\ (- 9 \\), \\ (- 7 \\) bo'ladi. men \\ (3 \\).

Bu oddiyroq bulo virishuvati muammo kichkintoyga ortiqcha va minus belgilar to'plami bilan qo'yiladi, bu yomon belgini anglatadi. Keyin o'qlar funktsiyaning o'sishini, pasayishini anglatadi.

Ehtimol, \\ dan (- 13 \\): \\ (- 13 \\) gacha, o'sish funktsiyasi ahamiyatsiz va o'sish funktsiyasi ahamiyatsiz va tushish funktsiyasi ahamiyatsiz. Aniq bo'lishi bilanoq, \\ (- 13 \\) maksimal nuqta ekanligi ayon bo'ladi.

\\ (- 11 \\): yo'qolgan narsa ijobiy, lekin ayni paytda salbiy; Bilaman, ba'zi fikrlarni kichik miqyosda sinab ko'ring va sizga \\ (- 11 \\) minimal ekanligi ayon bo'ladi.

\\ (- 9 \\): o'sish funktsiyasi, keyin esa o'zgartirish - maksimal.

\\ (- 7 \\): minimal.

\\ (3 \\): maksimal.

Kelgusi visnovka bilan barcha hikoyalarni axlatga tashlash mumkin:

- Funktsiya u erda maksimal bo'lib, u nolga tushadi va belgini ortiqcha dan minusga o'zgartiradi.
- Funktsiya u erda minimal, u nolga o'lik va belgini minusdan plyusga o'zgartiradi.

Funktsiyaning maksimal va minimal nuqtalarini qanday bilsam bo'ladi?

Oziq-ovqat narxini o'z zimmangizga olish uchun siz birinchi o'rinda bo'lganlarning barchasini ishlashingiz kerak: ular bu ijobiy, salbiy va nolga teng ekanligini bilishadi. Men yechimning oxiri bilan algoritm yozaman:

1. Yo'qotilgan funktsiyani biling \\ (f "(x) \\).
2. Oilaning ildizlarini biling \\ (f "(x) \ u003d 0 \\).
3. Chiziqni \\ (x \\) o'lchang va 2-bandda otrimaní nyy nuqtalarida belgilang, bo'linish uchun bo'shliqlarning yoylarini ko'rsating. Vissu \\ (f "(x) \\) ustiga yozing va vissu \\ (f (x) \\) ustiga yozing.
4. Visnachte teridagi yomonlik belgisi (intervallar usuli bilan).
5. Teri sohasida (tepada) odobsizlik belgisini qo'ying va o'q bilan o'sish (↗) yoki pasayish (↘) funktsiyasini (tepada) qo'ying.
6. Birinchidan, 2-bandda olib tashlangan nuqtalardan o'tayotganda yomonning belgisi o'zgaradi:
   - agar \\ (f '(x) \\) belgini "\\ (+ \\)" dan "\\ (- \\)" ga o'zgartirgan bo'lsa, u holda \\ (x_1 \\) maksimal nuqtadir;
   - agar \\ (f '(x) \\) belgini "\\ (- \\)" dan "\\ (+ \\)" ga o'zgartirgan bo'lsa, u holda \\ (x_3 \\) minimal nuqtadir;
   - agar \\ (f '(x) \\) belgisini o'zgartirmagan bo'lsa, u holda \\ (x_2 \\) - burilish nuqtasi bo'lishi mumkin.

Mo'ylov! Maksimal va minimal bilim ballari.

Nol yo'nalishi bo'yicha nuqta o'qi bo'yicha tasvirlash - shkala vrahovuvati bo'lishi mumkin emas. Funktsiyaning xatti-harakati quyida kichik birlikka bo'linadigan tarzda ko'rsatilishi mumkin. Shunday qilib, u maksimal va minimal bo'ladi.

dumba(ÉDI)... Funktsiyaning maksimal nuqtasini bilib oling \\ (y \ u003d 3x ^ 5-20x ^ 3-54 \\).
Qaror:
1. Funktsiya yo'qolishini bilamiz: \\ (y "\ u003d 15x ^ 4-60x ^ 2 \\).
2. Qunt bilan nolga í viríshimo її:

\\ (15x ^ 4-60x ^ 2 \ u003d 0 \\) \\ (|: 15 \\)
\\ (X ^ 4-4x ^ 2 \ u003d 0 \\)
\\ (X ^ 2 (x ^ 2-4) \ u003d 0 \\)
\\ (X \ u003d 0 \\) \\ (x ^ 2-4 \ u003d 0 \\)
\\ (X \ u003d ± 2 \\)

3. - 6. Nuqta sonli vaznga qo'llaniladi va u ahamiyatlidir, chunki yomonning belgisi o'zgaradi va funktsiya buziladi:

Endi bu nuqta ê \\ (- 2 \\) ning maksimal ekanligi aniq.

vidpovid. \(-2\).

Vino zavodini optimallashtirish xodimlari ekstremumlarni bilishlari kerak ikki va undan ortiq qishning vazifalari Quritish uchun, qo'ng'iroq ovozi va qish uchun, rivnyannyga berilgan tsim chaqiruvi ... Aytmoqchi bo'lgan savollarim ko'p aqlli ekstremum .

Aqlli ekstremumni bilish uchun siz bilishingiz kerak shaxsiy eski men virishuvati tizimi rivnyan Bir vaqtning o'zida va dumba ustida mavjud bo'lgan uchta krokli aqlli ekstremumni va dumbani o'zi terishda teriga etib borishda aybdor bo'lgan aqliy ekstremumning geometrik tuyg'usini bilishning aniq algoritmi mavjud.

Otzhe, eng mashhur dizayn asosida tanlangan algoritm - ikki g'olib funktsiyasi aqlli ekstremum bilim. ...

Croc 1. tanishtirilsin Lagrange funktsiyasi

Birinchi qo'shilish kob funktsiyasining o'zi va minus belgisi bilan boshqa qo'shilish ryvnyannyaning lva qismi bo'lib, (lambda) - Lagrange multiplikatoriga ko'paytiriladi.

Butun 1. bilish aqliy ekstremum to'rtburchakning kvadratini yon tomoniga aylantirib, ikkita qishning vazifalari x і y yuvish uchun, bu oddiy mototsikl degan ma'noni anglatadi, chunki to'g'ri oyoqni va hatto mototsikl zanjirini o'rab olish mumkin, 100.

Croc 1. Qaror. O'ng qismda nol bilan kerakli shaklga ulanishni darhol tozalang:

.

Aksiya Lagrange funktsiyasi:

Croc 2. Ombor tizimi shaxsiy eski nol í muvozanatli qo'ng'iroq va ovoz (ekstremum bilan ínuvannya ínuvannya zarur belgisi):

Aqlli fikrlashning ryvnyany ê nuqtalari tizimining qarori - statsionar nuqtalar yoki, ko'rinishidan, tanqidiy nuqtalar.

Butt 1. Croc 2.

Qaror.

x і y :

Uchinchi rivnyannyadagi ci viraziga ko'ra va biz Lagrange multiplikatorining qiymatini bilamiz:

x і y va biz o'zgaruvchan funktsiyalarning ma'nosini bilamiz:

Yo'lda edim. Qiymat, shuningdek, statsionar nuqtaning koordinatalari. Bu daraja bilan ular statsionar nuqtani ko'rsatdilar.

Croc 3. 2 ning oxirida ma'lum bo'lgan statsionar nuqta bilan bormang. Minimalning qiymati nima, lekin maksimal, siz Lagrange funktsiyasining boshqa differentsialini bilishingiz kerak.

va rad etilgan virazida, 2 oxirida ma'lum bo'lgan "lambda" qiymatini (Lagrange multiplikatorining qiymati) almashtiring.

Agar Lagranj funksiyasining boshqa differentsial qiymati noldan () kichik bo'lsa, u holda statsionar nuqta maksimal nuqtada, agar u noldan () katta bo'lsa, u holda statsionar nuqta minimal nuqtada bo'ladi. Agar Lagrange funktsiyasining boshqa differentsialining ma'nosi deyarli nolga teng bo'lsa, unda qo'shimcha ma'lumot qo'shish kerak bo'ladi, lekin talabalar tomonidan qo'yilgan vazifalarni mashq qilish deyarli shart emas.

Statsionar nuqtalarning koordinatalari i chiqish nuqtasiga beriladi, bunday darajada, mi qoldiq ma'lum. aqliy ekstremum (Abo minimal va maksimal, lekin ekstremumlar sonidan faqat bittasi).

Butt 1. Croc 3.

Qaror. Biz Lagrange funktsiyasining yana bir differensialini bilamiz:

Bizning holatda, birinchi va uchinchi omborlar nolga keltirilganligi sababli, biz ularga Lagrange multiplikatorining qiymatini kiritishimiz shart emas. Keyin differensiallar orasidagi farqlardan birini bilishingiz kerak dx і dy :

Shunday qilib, biz otrimaní ma'no beri - belgisi ortida prototylezhí, keyin biz otrimaní, har qanday tarzda scho.

Endi biz ma'nosini bilib olamiz aqlli ekstremum ishlab chiqarilgan funktsiyalar, maksimal:

.

Narx mototsikl bilan o'ralgan bo'lishi mumkin bo'lgan to'rtburchakning maksimal maydonining o'ziga xos funktsiyasi bilan belgilanadi, yo'lning maksimal maydoni 100 ta.

Butun 2. bilish aqliy ekstremum

Croc 1. Aksiya Lagrange funktsiyasi:

Croc 2. Biz Lagrange-ning shaxsiy funktsiyalarini bilamiz va xuddi shu tizimdan foydalanish oson

Birinchi va boshqa rívnyany ingl ravshan x і y :

Uchinchi rivnyannyadagi ci viraziga ko'ra va biz Lagrange multiplikatorining qiymatini bilamiz:

uchun virasidagi Lagrange multiplikatorining joriy qiymati x і yí biz Lagrange multiplikatorining ikkita qiymati bilan muqobil funktsiyalarning ma'nosini bilamiz:

Ix va yunoncha qiymatlar ikkita statsionar nuqtaning koordinatalaridir. Bunday martabada ular statsionar nuqtalarni ko'rsatdilar .

Croc 3. Biz Lagrangening shaxsiy funktsiyasini boshqacha tartibda bilamiz:

Lagranj funktsiyasining formulalar bo'yicha yana bir differentsialini bilamiz

:

Noldan kamroq qiymatni o'rnating, bir xil, nuqtadan nuqtaga aqliy maksimal:

.

Lagrange funktsiyasining boshqa differentsial belgisini Lagrange multiplikatorining qiymati bilan aniqlash mumkin:

Qiymati noldan katta bo'lgan, bir xil, nuqtadan nuqtaga aqlli minimal:

.

Bunday martabada, aqliy ekstremum bilimning berilgan funksiyasi.

Butun 3. bilish aqliy ekstremum aql uchun ikki kishining vazifalari.

Croc 1. Aksiya Lagrange funktsiyasi:

Croc 2. Biz Lagrange-ning shaxsiy funktsiyalarini bilamiz va xuddi shu tizimdan foydalanish oson

Birinchi va boshqa rívnyany ingl ravshan x і y :

Otrimuêmo, scho, ammo, uchinchi standart tizimidagi o'zgarish ma'nosi cich o'rniga yaxshi chora bermaydi. Buning uchun nolga teng bo'lgan boshqa sportchiga ega bo'lish huquqiga ega bo'lish juda muhim:. Zvidsi otrimuemo

Shukaêmo Lagrange multiplikatorining qiymati bilan statsionar nuqtalarning koordinatalari. Todi z viraziv uchun xi i Igreka s tizimlari teng slaydlar, scho. Uchinchi rivnyannya tizimidan va otrimu'yomo.