Nima uchun Vipadkova qiymati ham uzluksiz? Vipadkova kattaligi. NSV bo'limining differentsial funktsiyasi
Dispersiyaning bir xil taqsimlanishiga erishish mumkinligini tekshiramiz. Keling, birodarlarimizga qonunni yozaylik 
:
|
|
|
|
|
|
|
Matematik jihatdan ma'lum 
:
biz farqni bilamiz 
:
Bu funktsiya o'sib boradi va keyin dispersiyani cheklaydigan doimiyni hisoblash uchun siz chegarani hisoblashingiz mumkin:
Shu tarzda, vazifalarning xilma-xilligi vifallik miqdorlar shartsiz, bunga erishish kerak edi.
B) Chebishev teoremasining formulasidan ko'rinib turibdiki, dispersiyaning mumkin bo'lgan yagona taqsimoti etarli, ammo zarur emas, shuning uchun bu xulosaga qadar bu teoremani aytib bo'lmaydi.
X 1, X 2, ..., X n, ... mustaqil o'zgaruvchan qiymatlar ketma-ketligi bo'linish qonuni bilan berilgan.
D (X n) \u003d M (X n 2) - 2,
Salom, nima M (X n) \u003d 0, biz bilamiz
Ko'pincha n ning doimiy ravishda o'zgarishi qabul qilinadi (bu taxminni ta'kidlash uchun biz n dan x ni bildiramiz) va biz ph (x) \u003d x 2/2 x-1 ekstremum funktsiyasiga amal qilamiz.
Funktsiyaning birinchi qiymatini nolga tenglashtirib, biz bilamiz tanqidiy nuqtalar x 1 \u003d 0 í x 2 \u003d ln 2.
Men, albatta, bir nuqtani qo'shaman, chunki u qiziq emas (n nolga teng qiymatni qabul qilmaydi); X 2 \u003d 2 / ln 2 nuqtasida ph (x) funktsiyasi maksimalga ega ekanligini ko'rish oson. 2 / ln 2 ≈ 2,9 va N mutlaqo musbat son ekanligiga qarab, 2,9 raqamiga eng yaqin bo'lganlar uchun D (X n) \u003d (n 2/2 n -1) dispersiya a 2 (chapda- qo'lda va o'ng qo'lda) hisoblab chiqiladigan raqamlar, ya'ni. E. n\u003d 2 va n\u003d 3 uchun.
N \u003d 2 uchun D (X 2) \u003d 2a 2, n \u003d 3 uchun D (X 3) \u003d 9 / 4a 2 dispersiyasi. Shubhasiz,
(9/4) a 2\u003e 2a 2.
Shunday qilib, mumkin bo'lgan eng katta dispersiya (9/4) a 2 ga teng, shuning uchun X n o'zgaruvchan qiymatlarining dispersiyasi (9/4) a 2 soni bilan teng ravishda o'ralgan bo'ladi.
X 1, X 2, ..., X n, ... mustaqil fazali miqdorlar ketma-ketligi boʻlinish qonuni bilan berilgan.
Chebishev teoremasini qanday qilib berilgan ketma-ketlikka kondensatsiya qilish mumkin?
Hurmat. Biroq, X ning tasodifiy qiymatining bo'laklari bo'linadi va mustaqil bo'ladi, keyin Xinchin teoremasi bilan tanish bo'lgan o'quvchi matematik hisob-kitoblarsiz hisob-kitoblarni taqqoslashi va u tugaganligini qayta sozlashi mumkin.
Yiqilish qiymati X n bo'laklari mustaqil, keyin potivlarning hidlari va juftlik mustaqil bo'lib, Chebishev teoremasining birinchi xulosasi xulosa qilinadi.
M (X n) \u003d 0, ya'ni matematik hisob-kitoblarni tugatishning birinchi usuli tugashini bilish oson.
Dispersiyalarni bir xil taqsimlash imkoniyatining samaradorligini tekshirish kerak emas. Formulaning orqasida
D (X n) \u003d M (X n 2) - 2,
Salom, nima M (X n) \u003d 0, biz bilamiz
Shunday qilib, mumkin bo'lgan eng katta dispersiya 2 dan katta, shuning uchun X n o'zgaruvchan qiymatlarining dispersiyasi 2 raqami bilan bir xilda o'ralgan bo'ladi.
Chebishevning barcha teoremalarini ko'rib chiqilayotgan ketma-ketlikda kuzatish mumkin, bu teorema Stastosovniki.
Sinov natijasida X qiymati oraliqlarga (0, 1/3) joylashtirilgan qiymatni olishining ishonchliligini aniqlang.
Vipadkovaning X qiymati butun Ox o'qida F (x) \u003d 1/2 + (arctg x) / p ga bo'lingan funktsiya bilan belgilanadi. Sinov natijasida X ning qiymati (0, 1) oraliqlarga joylashtirilgan qiymatni olish ehtimolini aniqlang. X ning qiymatni qabul qilish ehtimoli (a, b) oraliqlarga joylashtiriladi, bu oraliqda bo'linish funktsiyasining ortishiga teng: P (a). P (0<
Х <1) = F(1)-F(0)
= x =1 -
x =0
= 1/4 Vipadkova qiymati X bo'linish funktsiyasi sifatida Sinov natijasida X ning qiymati (-1, 1) oraliqlarga joylashtirilgan qiymatni olish ehtimolini aniqlang. X ning qiymatni qabul qilish ehtimoli (a, b) oraliqlarga joylashtiriladi, bu oraliqda bo'linish funktsiyasining ortishiga teng: P (a). P (-1<
Х <1) = F(1)-F(-1)
= x =-1
– x =1
= 1/3. Uzluksiz o'zgaruvchan X qiymatini bo'linish funktsiyasi (qurilmaning jim ishlash soati) qadimgi F (x) \u003d 1-x / T (x≥0). Men ko'rinmas robotning ishonchliligini x≥T soatda bilib olaman. X qiymatni qabul qilish ehtimoli x≥T oraliqda joylashtiriladi, bu oraliqda bo‘linish funksiyasining ortishiga teng: P (0). P (x≥T) \u003d 1 - P (T X ning Vipadkova qiymati bo'linish funktsiyasi bilan belgilanadi X ni tekshirish natijasida quyidagi qiymat olinishining ishonchliligini aniqlang: a) 0,2 dan kam; b) uchtadan kam; c) uchtadan kam; p) beshdan kam bo'lgan. a) Chunki x≤2 uchun F (x) \u003d 0, keyin F (0, 2) \u003d 0, keyin P (x) funksiyasi< 0, 2)=0; b) P (X< 3) = F(3) = x =3
= 1.5-1 = 0.5; c) podííí X≥3 va X<3 противоположны,
поэтому Р(Х≥3)+Р(Х<3)=1. Отсюда, учитывая,
что Р(Х<3)=0.5 [см. п. б.], получим Р(Х≥3) =
1-0.5 = 0.5; d) oldingi birliklarning yotoqlari yig'indisi, ya'ni P (X≥5) + P (X)<5)=1. Отсюда, используя условие,
в силу которого при х>4 funksiya F (x) \u003d 1, bekor qilish P (X≥5) \u003d 1-P (X)<5) = 1-F(5)
= 1-1 = 0. Vipadkova qiymati X taqsimlash funktsiyasi bilan belgilanadi To'rtta mustaqil test natijasida X ning qiymati intervalgacha (0,25, 0,75) to'g'ri keladigan qiymatdan uch baravar ko'p olishiga ishonch hosil qiling. X ning qiymatni qabul qilish ehtimoli (a, b) oraliqlarga joylashtiriladi, bu oraliqda bo'linish funktsiyasining ortishiga teng: P (a). P (0,25< X <0.75) =
F(0.75)-F(0.25) =
0.5 Ozhe, yoki Tepalik qiymati X butun Ox o'qida bo'linish funktsiyasi bilan belgilanadi. Aqlni qanoatlantiradigan qiymatni bilish mumkin: X ning tushishi izchilligi bilan, sinov natijasida qiymat kattaroq bo'ladi. Qaror. Podíi i - buning aksi. Ozhe,. Xo'sh, unda. Bo'limga yuklangan vazifalar uchun,. Ozhe, yoki Diskret diskret qiymat X bo'linish qonuni bilan berilgan Xo'sh, bo'linmaning funktsiyasi o'xshaydi Diskret diskret qiymat X bo'linish qonuni bilan berilgan Bo‘lish funksiyasini toping va uning grafigini tuzing. Funktsiya uzluksiz o'zgaruvchi X qiymatining bo'linmasiga beriladi f (x) kesmaning qalinligini toping. Bo'limning qalinligi bo'limning birinchi o'xshash funktsiyasiga o'xshaydi: Uzluksiz tushish qiymati X intervaldagi bo'limning qalinligi bilan beriladi; oraliqda poza qiling. X oraliq ichiga tushadigan qiymatni qabul qiladigan narsaning haqiqiyligini toping. Formula tez. Yuvish xonasining orqasida, ya'ni. Ozhe, shukana ymovirnyst Uzluksiz tushish qiymati X kichik bo'limning qalinligi bilan beriladi Formula tez. Yuvish xonasining orqasida, ya'ni (-p / 2, p / 2) oraliqda uzluksiz faza qiymati X kesimining qalinligi f (x) \u003d (2 / p) * cos2x; f (x) \u003d 0 oralig'idagi pozitsiya. Uchta mustaqil namunada X oraliqlarga (0, p / 4) joylashtirilgan qiymatlardan ikki baravar ko'p bo'lishi ehtimolini aniqlang. Tezlik P formulasi bilan aniqlanadi (a P (0 Versiya: p + 24p. fx \u003d 0, x≤0cosx da, 0 da Vikorist formulasi Agar x ≤0 bo'lsa, f (x) \u003d 0, demak, F (x) \u003d - ∞00dx \u003d 0. pochta qutisi 0 F (x) \u003d - ∞00dx + 0xcosxdx \u003d sinx. Agar x≥ p2 bo'lsa, u holda F (x) \u003d - ∞00dx + 0p2cosxdx + p2x0dx \u003d sinx | \u200b\u200b0p2 \u003d 1. Ozhe, shukana funksiyasi rospodil Fx \u003d 0, x≤0sinx da, 0 da Uzluksiz bosqichli X qiymatining bo'linish qalinligi ko'rsatilgan: Fx \u003d 0, x≤0sinx da, 0 da F (x) bo‘linish funksiyasini toping. Vikorist formulasi Uzluksiz fazali X qiymatining kesimining qalinligi butun Ox o'qi bo'yicha tenglik bilan o'rnatiladi. Doimiy C parametrini toping. Shunday tarzda Uzluksiz faza qiymatining kesimining qalinligi butun tenglik o'qi bo'yicha o'rnatiladi C doimiy parametrini toping. Qaror. Jinsning kuchi aqlni qondirish uchun javobgardir. Bu miya ma'lum bir funktsiya uchun mo'ljallanganligiga ishonch hosil qilishimiz kerak: Biz integralni noqiymatlarning boshidan bilamiz: Keyin hisoblash mumkin bo'lgan uchuvchan bo'lmagan integral: Shunday tarzda (**) ni (*) o'rniga qo'yish orqali qolgan qismi o'chiriladi. Intervaldagi uzluksiz fazali qiymat X ning bo'linish qalinligi o'xshash; f (x) \u003d 0 oralig'idagi pozitsiya. S doimiy parametrini toping. Biz integralni noqiymatlarning boshidan bilamiz: Keyin hisoblash mumkin bo'lgan uchuvchan bo'lmagan integral: (**) ni (*) o'rniga qo'yish orqali qolgan qismi o'chiriladi. Uzluksiz faza qiymati X bo'limining qalinligi teng oraliqda ko'rsatilgan; f (x) \u003d 0 oralig'idagi pozitsiya. S doimiy parametrini toping. Qaror. Bo'limning qalinligi ongni qondirish uchun javobgardir va shuning uchun f (x) oraliqning pozitsiyasi qo'shilishi uchun 0 ga teng, shuning uchun u qanoatlantiradi: Biz integralni noqiymatlarning boshidan bilamiz: Keyin hisoblash mumkin bo'lgan uchuvchan bo'lmagan integral: (**) ni (*) o'rniga qo'yish orqali qolgan qismi o'chiriladi. Vipadkovaning X qiymati (0,1) oraliqda ƒ (x) \u003d 2x bo'limning qalinligi bilan berilgan; ƒ (x) \u003d 0 oralig'idagi joy. X qiymatining matematik asosini toping. R \u003d 0, b \u003d 1, ƒ (x) \u003d 2x o'rniga biz olib tashlashimiz mumkin Hukm: 2/3. Tushilish qiymati X (0; 2) oraliqlarda ƒ (x) \u003d (1/2) x kesimining qalinligi bilan beriladi; ƒ (x) \u003d 0 oralig'idagi joy. X qiymatining matematik asosini toping. R \u003d 0, b \u003d 2, ƒ (x) \u003d (1/2) x ni almashtirsak, biz olib tashlashimiz mumkin. M (X)\u003d Hukm: 4/3. Intervallardagi (-s, s) Vipadkova qiymati X bo'limning qalinligiga beriladi ƒ R \u003d -s, b \u003d c, ƒ (x) \u003d o'rniga biz olib tashlashimiz mumkin Integral funksiya juftlashtirilmagan va interintegrasiya koordinatalarga simmetrik ekanligiga qarasak, ayniqsa integral nolga teng. Otje, M (X) \u003d 0. Ushbu natijani bo'linish egri chizig'i x \u003d 0 to'g'ri chiziqqa nosimmetrik ekanligini hisobga olgan holda darhol olinishi mumkin. (2, 4) oraliqdagi X tepalik qiymati f (x) \u003d bo'limining qalinligi bilan berilgan (3, 5) oraliqdagi X tepalik qiymati f (x) \u003d bo'limining qalinligi bilan berilgan Qaror. Tashqi ko'rinishdagi kichik guruhning qalinligi aniq (-1, 1) oraliqlarda X ning Vipadkova qiymati kesma qalinligiga beriladi vipadkovoy qiymati
turli sharoitlarda u yoki bu ma'noni qabul qila oladigan o'zgaruvchi deyiladi va Vipadkova miqdori uzluksiz deb ataladi
, Shunday qilib, istalgan chegaralangan yoki cheklanmagan oraliqdan istalgan qiymatni olishingiz mumkin. Uzluksiz o'zgaruvchan qiymat uchun barcha mumkin bo'lgan qiymatlarni ko'rsatish mumkin emas, shuning uchun bu qiymatlarning mumkin bo'lgan qiymatlar bilan bog'liq bo'lgan intervallari ko'rsatilgan. Doimiy o'zgaruvchan qiymatlar bo'lishi mumkin: qismning diametri, ma'lum o'lchamdagi maydalash, odamning yoshi, o'qning otish masofasi va boshqalar. Demak, uzluksiz tushadigan miqdorlar uchun funktsiya F(x), administrator tomonida diskret diskret kattaliklar, Chiziqlar yo'q, keyin uzluksiz o'zgaruvchan qiymatning har qanday chekli qiymatining ishonchliligi nolga teng. Bu shuni anglatadiki, uzluksiz o'zgaruvchan qiymat uchun uning qiymatlari o'rtasidagi muvofiqlikni taqsimlash haqida gapirish xavfsizdir: ularning har biri nol moslikka ega. Biroq, bu ma'noda, uzluksiz faza qiymatining o'rtacha qiymati "kattaroq va kichikroq". Misol uchun, epizodik qiymatning qiymati tor fikrli odamning e'tiborini oshirish - 170 sm - 220 sm dan oshishiga hech kimda shubha bo'lishi dargumon, garchi u yoki bu qiymat amalda keskin bo'lishi mumkin. Faqat uzluksiz tushish qiymatlari uchun ma'noga ega bo'lgan bo'linish qonuniga muvofiq, bo'linishning mustahkamligi yoki bir xillikning mustahkamligi tushunchasi kiritiladi. Keling, uzluksiz o'zgaruvchan qiymat va diskret o'zgaruvchan qiymat uchun bo'linishning hissiy funktsiyasini tenglashtirishning yangi usuliga o'tamiz. Shuningdek, uzluksiz qiymatning (ham diskret, ham uzluksiz) bo'linish funktsiyasi yoki integral funktsiya tushish qiymatining qiymati bo'lgan ishonchlilikni aniqlaydigan funktsiya deyiladi X chegaraviy qiymatdan kamroq yoki undan ko'p X. Nuqtalardagi diskret o'zgaruvchining qiymati uchun її qiymati x1
, x 2
, ..., x men, ... zoseredzhení massi ímovírnosti p1
, p 2
, ..., p men, ..., Bundan tashqari, barcha massalarning yig'indisi 1 ga teng. Keling, bu talqinni uzluksiz faza qiymatining fazasiga o'tkazamiz. Ko'rinib turibdiki, 1 ga teng massa qo'shni nuqtalarda to'plangan emas, balki abscis o'qi bo'ylab doimiy ravishda "tarqaladi". Oh uning notekis qalinligi tufayli. Har bir uchastkaga tushish qiymatini olish ehtimoli D x bu uchastkaga tushadigan massa va bu uchastkadagi o'rtacha qalinlik - massaning oxirigacha og'irligi sifatida talqin qilinadi. Aynan o'sha paytda biz kuchli tomonlar nazariyasining muhim kontseptsiyasini kiritdik: bo'linish kuchi. ovqatning kuchi f(x) Uzluksiz o'zgaruvchan qiymat bo'linishga o'xshash funktsiya deb ataladi: Quvvat funksiyasini bilgan holda, uzluksiz o'zgaruvchan qiymatning qiymatlari yopiq intervalgacha tushishiga ishonch hosil qilish mumkin. a; b]: tushish qiymatining uzluksiz ekanligining aniqligi X oraliqda muhimmi yoki yo'qligini maqtash [ a; b], ikkalasi orasidagi qiymatli integralga teng a oldin b: Funktsiyaning formulasi nima? F(x) Qalinlik funktsiyasi bilan aniqlanishi mumkin bo'lgan doimiy bo'lmagan o'zgaruvchan qiymatlarning xilma-xilligi. f(x)
: Qiymatning uzluksiz pasayishining intensivligi va intensivligi grafigi taqsimot egri chizig'i deb ataladi (Quyida rasm). Shaklning maydoni (kichik shaklda soyali), egri chiziq bilan o'ralgan, nuqtadan chizilgan to'g'ri chiziqlar a і b abscis o'qiga perpendikulyar va vertikal Oh, Uzluksiz o'zgaruvchan qiymat qiymatining haqiqiyligini grafik ko'rsatadi X orasida bo'lish a oldin b. 1. O'zgaruvchan qiymat intervaldan (va funktsiya grafigini kesib o'tuvchi rasmning maydonidan) qiymatlarni olishining aniqligi f(x) I hammasi Oh) Eski birliklar: 2. Intensivlik va intensivlik funksiyasi manfiy qiymatlarni qabul qila olmaydi: va chegaralardan tashqarida bo'linish qiymatlari nolga teng Bo'limning qalinligi f(x), Bo'linish qanday vazifani bajaradi F(x), Va bo'linish qonunining shakllaridan biri, lekin bo'linish funktsiyasi asosida, u universal emas: bo'linishning qalinligi faqat doimiy o'zgaruvchan qiymatlarga asoslanadi. Keling, amalda eng muhim bo'lgan ikkita turni, uzluksiz o'zgaruvchan o'lchamdagi bo'linmalarni taxmin qilaylik. Bo'limning qalinligi funktsiyasi sifatida f(x) Berilgan terminal oralig'ida uzluksiz tushish qiymati [ a; b] Doimiy qiymatlarni qabul qiladi C, Va intervaldan tashqarida qiymat nolga teng qiymatni oladi, keyin bo'linish teng deb ataladi . Bo'linishning kuch funktsiyasining grafigi markazga nisbatan nosimmetrik bo'lganligi sababli, o'rtacha qiymatlar markazga yaqin joylashgan va markazdan uzoqroqda ular o'rtacha qiymatdan ko'proq uzoqlashishga moyildirlar (bu funktsiya grafigi qo'ng'iroq turi), keyin bo'linish normal deb ataladi . Butun 1. Bu uzluksiz o'zgaruvchan qiymatning o'zgaruvchanliklarini bo'linish funktsiyasi: funktsiyasini bilish f(x) Uzluksiz yog'ingarchilik qiymatining intensivligining kuchi. Ikkala funktsiya uchun grafiklarni yarating. 4 dan 8 gacha bo'lgan oraliqda qiymatlarni qabul qiladigan uzluksiz o'zgaruvchan qiymatning aniqligini biling. Qaror. Intensivlikning intensivlik funktsiyasini intensivlikning bo'linishining o'xshash funktsiyasini topish orqali aniqlash mumkin: Funktsiya grafigi F(x) - parabola: Funktsiya grafigi f(x) - Streyt: Biz bilamizki, o'zgaruvchan qiymat uzluksiz bo'lib, 4 dan 8 gacha bo'lgan oraliqdagi har qanday qiymatlarni oladi: Button 2. Uzluksiz o'zgaruvchan qiymatning intensivligi va intensivligi funktsiyasi quyidagi shaklda berilgan: koeffitsientini hisoblang C. funktsiyasini bilish F(x) Vaqti-vaqti bilan bo'lmagan, davriy kattaliklarning xilma-xilligiga. Ikkala funktsiya uchun grafiklarni yarating. 0 dan 5 gacha bo'lgan oraliqdagi har qanday qiymatlarni olib, o'zgaruvchan qiymatning uzluksiz ekanligiga ishonch hosil qiling. Qaror. koeffitsienti C Biz kuch va quvvatning 1 funktsiyasining kuchini o'rganish orqali bilamiz: Shunday qilib, uzluksiz o'zgaruvchan qiymatning kuchi va intensivligi funktsiyasi: Integratsiya orqali biz funktsiyani bilamiz F(x) Dunyoqarashlar bo‘linishiga. yakscho x < 0
, то
F(x) \u003d 0. yakscho 0< x < 10
, то x\u003e 10, keyin F(x) = 1
. Shunday qilib, dunyoqarashlar bo'linishi funktsiyasining yangi rekordi: Funktsiya grafigi f(x)
: Funktsiya grafigi F(x)
: Biz bilamizki, o'zgaruvchan qiymat uzluksiz bo'lib, 0 dan 5 gacha bo'lgan oraliqdagi har qanday qiymatlarni oladi: Butun 3. Uzluksiz tushish qiymatining intensivligining kuchi X rashk uchun berilgan, buning uchun. koeffitsientini toping A, O'zgaruvchan qiymat uzluksiz bo'lishining ahamiyati X oraliqdan har qanday qiymatni maqtash] 0,5 [, uzluksiz o'zgaruvchan qiymatning bo'linish funktsiyasi X. Qaror. Aql uchun biz tenglikka erishamiz Ey azizim, yulduzlar. Otzhe, Endi biz pasayish qiymatining uzluksiz ekanligini bilamiz X oraliqda har qanday qiymatni maqtash] 0,5 [: Endi biz ushbu tushish qiymatining bo'linish funktsiyasini olib tashlashimiz mumkin: Butun 4. Doimiy yog'ingarchilik qiymatining intensivligining kuchini toping X, Chunki u faqat noma'lum qiymatlarni qabul qiladi va uning funksiyasi bo'linadi Uzluksiz o'zgaruvchining qiymati X bo'linish funktsiyasi bilan aniqlansin f(x). Kutish qiymatining barcha mumkin bo'lgan qiymatlari [ bo'limida joylashganligi qabul qilinadi. a, b]. Viznachennya. matematik tadqiqotlar Mumkin qiymatlari bir-biriga qo'shilishi mumkin bo'lgan doimiy o'zgaruvchan X qiymatining integral deyiladi. Agar bosqichli miqdorning mumkin bo'lgan qiymatlarini butun raqamli o'qda ko'rish mumkin bo'lsa, matematik hisoblar quyidagi formula yordamida amalga oshiriladi: Bunday holda, munosabat bo'lmagan integral yaqinlashishini o'tkazish kerak. Viznachennya. dispersiya Uzluksiz o'zgaruvchan qiymat kvadratning matematik moslashuvi deb ataladi. O'zgaruvchan qiymatning dispersiyasiga o'xshashlikdan so'ng, dispersiyani amaliy hisoblash uchun quyidagi formuladan foydalaniladi: Viznachennya. O'rtacha kvadratik rivojlanishlar dispersiyaning kvadrat ildizi deyiladi. Viznachennya. moda M 0 diskret qo'shimcha qiymat uning eng katta qiymati deb ataladi. Uzluksiz tushish qiymati uchun rejim - bu qismning qalinligi maksimal bo'lgan tushish qiymatining qiymati. Diskret o'zgaruvchan qiymat uchun taqsimot egri chizig'i yoki uzluksiz o'zgaruvchan qiymat uchun bo'linish egri chizig'i ikki yoki bir nechta maksimalga ega bo'lsa, bunday bo'linish deyiladi. bimodal yoki yana multimodal. Agar bo'linish minimal bo'lsa, lekin maksimal bo'lmasa, u chaqiriladi antimodal. Viznachennya. median X o'zgaruvchi qiymatining M D ga shunday qiymat deyiladi, shuning uchun o'zgaruvchi qiymatining kattaroq yoki kichikroq qiymatini olib tashlash ehtimoli teng bo'ladi. Geometrik jihatdan mediana - bu maydon egri bo'linish bilan o'ralgan va yarmiga bo'lingan nuqtaning abscissasidir. Shunisi e'tiborga loyiqki, unimodal bo'linishda matematik hisob-kitoblar bilan rejim va medianadan qochish kerak. Viznachennya. kob momenti tartibda; ... uchun k X ning tasodifiy qiymati X qiymatining matematik hisobi deyiladi k. Birinchi tartibning boshlang'ich momenti matematik hisoblash uchun qadimiy hisoblanadi. Viznachennya. markaziy nuqta tartibda; ... uchun k X ning chiziqli qiymati qiymatning matematik hisobi deb ataladi Diskret o'zgaruvchan qiymat uchun:. Uzluksiz o'zgaruvchan qiymat uchun:. Birinchi tartibning markaziy momenti har doim nolga teng, boshqa tartibning markaziy momenti esa dispersiyaga teng. Uchinchi darajali markaziy moment bo'linishning assimetriyasini tavsiflaydi. Viznachennya.
Uchinchi tartibdagi markaziy momentni uchinchi bosqichda o'rta kvadratik kengaytmaga qo'yish deyiladi assimetriya koeffitsienti. Viznachennya.
Yassi tepalik va tekis bo'linishlarni tavsiflash uchun qiymat deyiladi ortiqcha. Ushbu qiymatlar mutlaq momentlar deb ham ataladi: Mutlaq kob momenti:. Mutlaq markaziy nuqta:. Birinchi tartibning mutlaq markaziy momenti deyiladi arifmetik o'rtachalar. Butt. Yuqorida aytib o'tilgan dumba uchun X tushish qiymatining matematik hisobini va dispersiyasini hisoblang. Butt. Idishda 6 ta oq va 4 ta qora sumka bor. Shundan so'ng, qopni besh marta tortib oling va har safar qop chiqarilganda, uni orqaga burang va qoplarni aralashtiring. Chizilgan oq sharlar sonini tushish qiymati sifatida olib, bu qiymatning taqsimot qonunini egib, uning matematik o'zgarishi va dispersiyasini hisoblang. Teri dalillaridagi kulisning bo'laklari orqaga buriladi va aralashadi, keyin sinov mustaqil ravishda amalga oshirilishi mumkin (oldingi sinov natijasi boshqa sinovda moddaning ko'rinishi yoki ko'rinmasligining ishonchliligiga ta'sir qilmaydi). Shunday qilib, terida oq dog'lar paydo bo'lish ehtimoli barqaror va zamonaviydir Shu tarzda, ketma-ket beshta sinov natijasida oq sumka umuman paydo bo'lmasligi mumkin, u bir marta, ikki marta, uch, hatto besh marta paydo bo'lishi mumkin. Qonunni yozish uchun bu sohada terining tabiiy xususiyatlarini bilish kerak. 1) Oq kula umuman ko'rinmadi: 2) Oq kulya bir marta paydo bo'ldi: 3) Bila Kulya ikki marta paydo bo'ladi: Bilganingizdek, vipadkovoy qiymati
Bu bir yoki bir nechta qiymat sifatida qabul qilinishi mumkin bo'lgan o'zgaruvchan qiymat deb ataladi. Turli qiymatlar lotin alifbosining katta harflari (X, Y, Z) bilan, ularning qiymatlari esa kichik harflar (x, y, z) bilan belgilanadi. doimiy ravishda parchalanadi va diskret o'zgaruvchan miqdorlar
. Uzluksiz vipadkovoy qiymati
X bosqichli qiymat deb ataladi, chunki uning bo'linish funktsiyasi (integral bo'linish funktsiyasi) quyidagi ko'rinishda taqdim etiladi: funktsiyasi f(x) deyiladi tushish qiymatining intensivligi bo'linishining kuchi
X (bo'lish uchun differentsial funktsiya). Xalqarolik
Uzluksiz o'zgaruvchan X qiymati ma'lum oraliqda qiymatlarni olishiga qo'shimcha ravishda, u quyidagicha hisoblanadi: Doimiy bo'lmagan X o'lchamdagi bo'linmalarning butalari: Eng yuqori darajada doimiy bo'lmagan o'zgaruvchan miqdorlarning raqamli tavsiflari keng qo'llaniladi (1-jadval). Zavdannya.
Tushish qiymatining intensivligining kuchi: Bilish: a) parametr a; b) F (x) bo'linish funktsiyasi; c) X ning intervalga tushish ehtimoli (-p / 4; p / 4). Qaror.
1. Quvvat va quvvatning kuchini - f (x) funktsiyasini bilib, noma'lum parametr a ni bilamiz. Tengsizlik f (x) ≥0, a≥0 ekanligiga ishonchimiz komil. berilgan: Daniya integrali hisoblash mumkin. Birliklarning boshqa ma'noga ega bo'lishi mumkinligini bilib, bu aniq. A - (- a) \u003d 2a. Men buni bilaman 2a \u003d 1, yulduz \u003d 1/2 ni olib tashlang. agar x ≤ 0 bo'lsa pochta qutisi 0< х ≤ π, то \u003d ½ (-cosx + cos0) \u003d ½ (1-cosx) Agar x\u003e p bo'lsa, u holda Shukanning integral funktsiyasi qoldiq shaklni oladi: 2-chaqaloq haqidagi taqdimotlarning F (x) funktsiyasining grafigi. 3. (-p / 4; p / 4) oraliqda to'satdan X qiymatini olish ehtimoli quyidagi formula bilan aniqlanadi: P(a VYPADKOVI QIYMATI 2.1-misol. Vipadkova qiymati X bo'linmaning vazifasi bilan belgilanadi Sinov natijalarining ishonchliligini bilib oling X qiymatni qabul qiling, uni bo'sh joyga qo'ying (2.5; 3.6). Qaror: X oraliq (2,5; 3,6) ikki usulda hisoblanishi mumkin: Butt 2.2. Har qanday parametr qiymatlari uchun A і IN funktsiyasi F(x) \u003d A + Be - x o'zgaruvchan miqdorning ko'rinmas qiymatlari uchun bo'linish funktsiyasi sifatida foydalanish mumkin X. Qaror: Shunday qilib, tushish qiymatining barcha mumkin bo'lgan qiymatlari qanday X oraliq ichida yotadi, keyin funksiya uchun bo'linish funktsiyasi bo'lishi uchun X, Quvvat tugashi mumkin: dalil: Butt 2.3. Vipadkova qiymati X bo'linish funktsiyasi bilan belgilanadi Bir nechta mustaqil testlar natijasida qiymatning ishonchliligini aniqlang. X Intervalga tushish uchun qiymatlarni 3 marta qabul qiling (0,25; 0,75). Qaror: Qabul qilingan qiymatning harakatchanligi X oraliqda (0,25; 0,75) quyidagi formula bilan ma'lum: Butt 2.4. Mushuklardan bitta otish bilan to'pni olish ehtimoli hali ham 0,3 ga teng. Qonunni uchta otish bilan raqamning pastki qismiga katlayın. Qaror: Vipadkova qiymati X- uchta otish bilan mushuklar soni - siz quyidagi qiymatlarni olishingiz mumkin: 0, 1, 2, 3. Nimaning ahamiyati X X: Butt 2.5. Ikki otuvchi nishonga bittadan o‘q uzadi. Unda birinchi Sagittariusni olish ehtimoli hali ham 0,5, boshqalar uchun - 0,4. Qonunni raqamning nishonga bo'linishiga katlayın. Qaror: Biz diskret o'zgaruvchan miqdorlarning bo'linish qonunini bilamiz X- raqamlar nishonga tegdi. Hech qachon o'ylamang - birinchi kamonchi tomonidan nishonga olinishi va - boshqa kamonchi tomonidan qo'lga olinishi va - shubhasiz, ularning xatolari. Qonun SV turlarining bo'linishiga mos keladi X: Butt 2.6. 3 ta elementni sinab ko'ring, ular asosan boshqasining bir turi. Uch soat davomida (yillarda) elementlarning jim ishi bo'limning mustahkamligi funktsiyalarini bajaradi: birinchisi uchun: F 1 (t) =1-e- 0,1 t, Boshqasi uchun: F 2 (t) = 1-e- 0,2 t, Uchinchisi uchun: F 3 (t) =1-e- 0,3 t. 0 dan 5 yilgacha bo'lgan soat oralig'ida nima mavjudligini aniqlang: faqat bitta elementni tanlang; faqat ikkita elementni aniqlang; barcha uchta elementni ajratib ko'rsatish. Qaror: Imkoniyatlarning funktsiyalari tez tebranadi: Mustaqil testda, birinchi navbatda, haqiqiylik paydo bo'lganligining haqiqiyligi A eski, boshqa va hokazo, bo'linmada A aynan bir marta paydo bo'lishi uchun mos keladigan koeffitsient ochilganda qadamlar orqasidagi funktsiyalarni aylantiradi. Biz modelning ishonchliligini va 0 dan 5 yilgacha bo'lgan soat oralig'ida birinchi, ikkinchi va uchinchi elementlarning ishdan chiqishini bilamiz: Funktsiya osongina tebranadi: Nima sodir bo'layotganining an'anaviy ishonchliligi bilan koeffitsient A to'liq uch marta paydo bo'ladi, shuning uchun barcha uchta element noyobdir; aniq ikkita element mavjudligining an'anaviy ishonchliligi bilan koeffitsient; faqat bitta elementning an'anaviy ishonchliligi bilan koeffitsient. Butt 2.7. Viruslilikning kuchi berilgan f(x) Vipadkova qiymati X: F (x) bo‘linish funksiyasini toping. Qaror: Vikorist formulasi: Shunday qilib, bo'linishning funktsiyasi quyidagicha ko'rinadi: Butt 2.8. Qurilma uchta mustaqil ishlaydigan elementdan iborat. Bir parcha teri elementining mustahkamligi 0,1 ga teng. Qonunni bitta dalilda raqamlar va elementlarning bo'linmalariga aylantiring. Qaror: Vipadkova qiymati X- bitta sertifikatda ko'rsatilgan elementlar soni - siz quyidagi qiymatlarni olishingiz mumkin: 0, 1, 2, 3. Nimaning izchilligi X Ushbu qiymatlarni qabul qilib, Bernulli formulasidan foydalanamiz: Shunday qilib, biz pasayish qiymatining tezliklarini bo'lishning haqoratli qonunini rad etamiz X: Butt 2.9. 6 qismdan iborat partiyada 4 ta standart qism mavjud. 3 ta element tanlandi. Tanlanganlar orasida standart qismlar sonini taqsimlash uchun qonunni katlayın. Qaror: Vipadkova qiymati X- tanlovlar o'rtasida standart qismlar soni - siz quyidagi qiymatlarni olishingiz mumkin: 1, 2, 3 va gipergeometrik bo'linish mavjud. Nimaning haqiqati X de --
partiyadagi qismlar soni; --
partiyadagi standart qismlar soni; –
tanlangan qismlar soni; --
tanlanganlar orasida standart qismlar soni. Butt 2.10. Vipadkova qiymati bo'limning qalinligini ko'rsatadi nega men bilmayman, lekin, lekin y. i toping. Qaror: Bunday holda, paddkova qiymati X trikut qismini (Simpson bo'limi) bo'limga joylashtiradi [ a, b]. raqamli xususiyatlar X: Ha mayli, dalil: Butt 2.11. O'rtacha 10% shartnomalar uchun sug'urta kompaniyasi sug'urta da'vosi munosabati bilan sug'urta mukofotlarini to'laydi. Tanlanganlar orasidagi bunday kelishuvlar sonining matematik ehtimoli va tarqalishini hisoblang. Qaror: Matematik farq va dispersiyani quyidagi formulalar yordamida topish mumkin: SV ning mumkin bo'lgan qiymatlari (sug'urta qoplamasiga asoslangan shartnomalar soni (shartnomalar soni): 0, 1, 2, 3, 4. Sug'urta mukofoti to'langan bir qator shartnomalarning adolatliligini hisoblash uchun biz Bernulli formulasidan foydalanamiz: SV bo'linmalari soni (sug'urta mukofoti bilan tuzilgan shartnomalar soni) quyidagicha ko'rinadi: Hukm:,. Butt 2.12. Beshta troyandan ikkita oq rang bor. Qonunni bir vaqtning o'zida olingan ikkitasi orasidagi oq troyanlar sonini ifodalovchi qiymatning bo'linishiga katlayın. Qaror: Ikkita troyan tanlovi oq troyanlarni ko'rsatmasligi yoki bitta yoki ikkita oq troyan bo'lishi mumkin. Ozhe, Vipadkova qiymati X Siz quyidagi qiymatlarni olishingiz mumkin: 0, 1, 2. Nimaning ehtimoli X Ushbu qiymatlarni oling va ularni formuladan foydalanib toping: de --
troyanlar soni; --
oq troyanlar soni; –
bir kechada qo'lga olingan troyanlar soni; --
kuyovlar orasida oq troyanlarning soni. Keyin pasayish qiymatini taqsimlash qonuni quyidagicha bo'ladi: Butt 2.13. 15 ta yig'ilgan birlikdan 6 tasi qo'shimcha moy talab qiladi. Qonunni birliklar sonining bo'linishiga o'tkazing, bu esa qo'shimcha malhamni talab qiladi, beshning o'rtasida, asl raqamdan tanlanganlarni induktsiya qilish. Qaror: Vipadkova qiymati X- beshta o'rtada qo'shimcha moy talab qiladigan birliklar soni - siz quyidagi qiymatlarni olishingiz mumkin: 0, 1, 2, 3, 4, 5 va hipergeometrik bo'linish mavjud. Nimaning haqiqati X Ushbu qiymatlarni oling va ularni formuladan foydalanib toping: de --
yig'ilgan birliklar soni; --
qo'shimcha moy talab qiladigan birliklar soni; –
ishlaydigan birliklar soni; --
o'rtada qo'shimcha moy talab qiladigan birliklar soni. Keyin pasayish qiymatini taqsimlash qonuni quyidagicha bo'ladi: Butt 2.14. Biz 10 yil ichida ta'mirlash uchun edik 7 va mexanizmni chuqur tozalashni talab qilamiz. Yillik ta'mirlash turi bo'yicha saralanmagan. Usta tozalashni talab qiladigan yubileyni bilishga umid qilib, ularni ko'zdan kechiradi va bunday yubileyni bilib, yana ko'zdan kechiradi. Qaragan yillar sonining matematik ehtimoli va dispersiyasini aniqlang. Qaror: Vipadkova qiymati X- beshta tanlovning o'rtasida qo'shimcha moy talab qiladigan birliklar soni - siz quyidagi qiymatlarni olishingiz mumkin: 1, 2, 3, 4. Nima ehtimoli X Ushbu qiymatlarni oling va ularni formuladan foydalanib toping: Keyin pasayish qiymatini taqsimlash qonuni quyidagicha bo'ladi: Endi miqdorning raqamli xarakteristikalarini hisoblaymiz: Hukm:,. Aksiya 2.15. Abonent kerakli telefon raqamining qolgan raqamini unutib qo'ygan holda, u bog'lanmaganligini eslaydi. Kerakli raqamni terishdan oldin terilgan telefon raqamlari sonining matematik ehtimoli va tarqalishini bilib oling, chunki qolgan raqam qo'lda teriladi va terilgan raqam kelajakda terilmaydi. Qaror: Vipadkova qiymatini quyidagicha qabul qilish mumkin: Terilgan raqam abonent tomonidan boshqa terilmasa, bu qiymatlarning ishonchliligi teng bo'ladi. Biz kuz o'lchamining bir qator kichik bo'limlarini qo'shamiz: Terish sinovlari sonining matematik ehtimoli va dispersiyasini hisoblash mumkin: Hukm:,. Butt 2.16. Mahsulotning ishonchliligi Dorovnya seriyasining terisida ishonchliligi uchun bir soat ichida sinovdan o'tkazildi p. Vidmovga berilgan qurilmalar sonining matematik ahamiyati katta, chunki sinov muvaffaqiyatli o'tdi. N sozlangan. Qaror: Diskret o'zgaruvchan qiymati X - qurilmalar soni N mustaqil test, har bir holatda, bir xillik yanada rivojlangan ko'rinadi p, binom qonuniga ko'ra bo'linadi. Matematik jihatdan, oldingi namunalar sonining binomial bo'linishi bitta namunada bo'linishning paydo bo'lish ehtimoli bilan aniqlanadi: Butt 2.17. Diskret Vipadkova miqdori X 3 ta mumkin bo'lgan qiymatni oladi: betaraflik bilan; ishonchlilik va ishonchlilik bilan. Men bilaman, bilaman M ( X) = 8. Qaror: Vikoristning matematik hisoblash qiymati va diskret o'zgaruvchan miqdorlarni bo'lish qonuni: Bilamiz: Butt 2.18. Texnik nazorat bo'limi mahsulotlarning standartligini tekshiradi. Virusning standart bo'lish ehtimoli 0,9 dan ortiq. Har bir partiyada 5 ta virus mavjud. Yiqilish qiymatining matematik asosini toping X- har birida aniq 4 ta standart partiyadan iborat bo'lgan partiyalar soni, chunki konvertatsiyalar 50 tagacha qo'shiladi. Qaror: Bunday holda, barcha natijalar mustaqil ravishda amalga oshirildi va har bir partiyada aniq 4 ta standart namunalar mavjud bo'lishi mumkin, ammo matematik hisobni quyidagi formula yordamida hisoblash mumkin: de - partiyalar soni; Partiyada aniq 4 ta standart loviya mavjud bo'lishi mumkin. Xalqarolik Bernulli formulasidan ma'lum: dalil: Butt 2.19. Yiqilish qiymatining dispersiyasini toping X- ko'rinishlar soni A ikkita mustaqil sinovda, haqiqiylik ushbu sinovlarda paydo bo'lgan ko'rinadi va shunday ko'rinadi M(X) = 0,9. Qaror: Buyruq ikki yo'l bilan amalga oshirilishi mumkin. 1) SV ning mumkin bo'lgan qiymatlari X: 0, 1, 2. Bernulli formulasiga koʻra, bu yondashuvlarning toʻgʻriligi muhim: ,
Shunday qilib, qonun ikkiga bo'lingan X kabi ko'rinadi: Matematik tushunishning ahamiyati katta: Biz SV ning dispersiyasini bilamiz X: 2) Quyidagi formuladan foydalanishingiz mumkin: dalil: Aksiya 2.20. Oddiy bo'lingan fazali miqdorning matematik hisobi va o'rtacha kvadratik o'zgarishi X aniq 20 va 5 ga teng. Sinov natijasi nima ekanligining ishonchliligini aniqlang X Qiymatni qabul qiling, intervalgacha (15; 25) joylashtirilgan. Qaror: Oddiy va epizodik qiymatni olish ehtimoli X har bir uchastka Laplas funktsiyasi orqali ifodalanadi: Butt 2.21. Berilgan funktsiya: Har qanday parametr qiymati uchun C Bu funktsiya har qanday uzluksiz o'zgaruvchan qiymatning pastki bo'limining qalinligidir X? Yiqilish qiymatining matematik hisobi va dispersiyasini toping X. Qaror: Berilgan o'zgaruvchan qiymatning bo'linishida funktsiya kuchli bo'lishi uchun u manfiy bo'lmasligi kerak va u hokimiyatni qanoatlantirishi kerak: otzhe: U quyidagi formula bo'yicha matematik tarzda hisoblab chiqiladi: Keling, formuladan foydalanib dispersiyani hisoblaylik: T qimmatroq p. Bu tushish qiymatining matematik asosini va dispersiyasini bilish kerak. Qaror: Diskret o'zgaruvchan qiymatning bo'linish qonuni X - paydo bo'lish ehtimoli o'xshash bo'lgan mustaqil sinovlardagi ko'rinishlar soni binomial deb ataladi. Raqamning oldingi qo'shilishining binomial bo'linishini matematik aniqlash bo'linishning paydo bo'lish ehtimoli uchun sinovdan o'tkazildi va namunalardan biri sinovdan o'tkazildi. Aksiya 2.25. Nishonga uchta mustaqil otishma amalga oshiriladi. Teri in'ektsiyasidan keyin ta'sir qilish xavfi 0,25 ni tashkil qiladi. Uch tortishish bilan tortishish sonining o'rtacha qiymatini hisoblang. Qaror: Uchta mustaqil test mavjud va har bir testda A kichik turi (urish) paydo bo'lish ehtimoli bir xil bo'lganligi sababli, biz X diskret o'zgaruvchan qiymati - nishonga kiritilgan raqamga qarab taqsimlanishini hisobga olamiz. binom qonuni. Binomiyali bo'linishning tarqalishi - bu bitta namunada turning paydo bo'lishi va paydo bo'lmasligi ehtimoli bo'yicha sinovdan o'tgan qo'shimcha namunalar soni: Aksiya 2.26. 10-asrda sug'urta kompaniyasiga hisobot bergan mijozlarning o'rtacha soni uchtadir. Keyingi 5 hafta ichida bitta mijoz kelishi ehtimolini aniqlang. 5 daqiqada kelgan mijozlarning o'rtacha soni: Aksiya 2.29. Protsessor orqali arizani qayta ishlash soati o'rtacha 20 sekundlik bo'linish qonuniga bo'ysunadi. Yakuniy (qoniqarli) dastur protsessorni 35 soniyadan ko'proq vaqt davomida iste'mol qilishiga ishonch hosil qiling. Qaror: Qaysi ilova ko'proq matematik asosga ega? Todi shukana fazilat: Aksiya 2.30. Har biri 10 kishidan iborat 20 qatordan iborat zalda 15 nafar talabadan iborat guruh yig‘iladi. Kozhen talaba zalda tasodifiy tarzda o'z o'rnini egallaydi. Bir joyda ketma-ket uchtadan ortiq odam bo'lmasligi qanchalik ishonchli? Qaror: Aksiya 2.31. Bu ishonchlilikning klassik qiymatiga mos keladi: de --
partiyadagi qismlar soni; --
partiyadagi nostandart qismlar soni; –
tanlangan qismlar soni; --
tanlanganlar orasida nostandart qismlar soni. Keyin tushish qiymatining bo'linish qonuni quyidagicha bo'ladi.
Zvidsi yoki ...
. Zvidsi yoki.
x \u003d 0 da qidiruv amalga oshirilmaydi.
intervallarda; oraliqda poza qiling. X oraliq ichiga tushadigan qiymatni qabul qiladigan narsaning haqiqiyligini toping.
. Ozhe, shukana ymovirnyst
.
. (*)
.
.
. (*)
.
.
. (*)
(**)
Bu miya ma'lum bir funktsiya uchun mo'ljallanganligiga ishonch hosil qilishimiz kerak:
.
. (*)
(**)
ha. Vikorist formulasi
ha. Vikorist formulasi
=
4/3
(X)\u003d; ƒ (x) \u003d 0 oralig'idagi joy. X qiymatining matematik asosini toping.
ha. Vikorist formulasi
. Ko'rinib turibdiki, x\u003d 3 da bo'limning qalinligi maksimal darajaga etadi; Ha mayli. Bo'linishning egri chizig'i x \u003d 3 to'g'ri chiziqqa nosimmetrikdir, ya'ni.
; f (x) oralig'idagi joy \u003d 0. X qiymatining rejimini, matematik hisobini va medianasini toping.
. Ko'rinib turibdiki, x\u003d 3 da bo'limning qalinligi maksimal darajaga etadi; Ha mayli. Bo'linishning egri chizig'i x \u003d 4 to'g'ri chiziqqa nosimmetrikdir, ya'ni.
; f (x) \u003d 0 oralig'ida poza. Biling: a) moda; b) median X.Uzluksiz tushish qiymati va intensivlik kuchi bo'linmasining funktsiyasi
.
.
.
Uzluksiz o'zgaruvchan qiymatning intensivligining quvvat funktsiyasining kuchi
.
.
.1-jadval - Doimiy bo'lmagan o'zgaruvchan miqdorlarning sonli xarakteristikalari
raqamli xarakteristikasi Belgilanishi va formulasi
Matematik hisoblash
Agar X ning barcha mumkin bo'lgan qiymatlari (a, b) oraliqda bo'lsa, matematik jihatdan hisoblash osonroq bo'ladi.
dispersiya
uzluksiz o'zgaruvchan qiymat X
aks holda
Agar X ning barcha mumkin bo'lgan qiymatlari (a, b) oraliqda bo'lsa, u holda dispersiya hisoblanadi
aks holda
O'rtacha kvadratik tiklanish
uzluksiz o'zgaruvchan qiymat X
"Uzluksiz tushish qiymatlari" mavzusidagi muammoni hal qilish misoli
f (x), F (x) grafiklarini yarating.
P(-p/4< x < π/4) = F(π/4) - F(-π/4) = ½ (1-cos π/4) – 0 = ½ (1-½√2).
.
.
.
.
.
.
. Ushbu tizimga asoslanib, biz ikkita qiymat juftligini olib tashlaymiz: Demak, u miyaning orqasida bo'lgani uchun, qolganlari: 
. .
.
.
0,6561
0,2916
0,0486
0,0036
0,0001
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0,2
,
.
,
.
.
.
.
.
. .
. .
, Va voqealarning shiddati zamonaviy.
