Vlera e Vipadkovy rozpodіlyaєtsya sipas ligjit normal. Normal rozpodіl pa vlera perervnyh vypadkovyh. Rozpodіl normale: bazat teorike
Në detyrat e pasura që përfshijnë vlera të ndryshoreve të shpërndara normalisht, është e nevojshme të tregohet aftësia e vlerës së variablit në rënie, e cila renditet nga ligji normal me parametra, në një grafik deri në. Për llogaritjen e vlerës së imovirnostit, ne shpejtojmë formulën e shkruar
de - funksioni i nënndarjes së vlerës.
Të njohim funksionin e nënndarjes së vlerës së ndryshores, nënndarja sipas ligjit normal me parametrat. Madhësia e ndryshimit midis vlerave është më e shtrenjtë:
.
(6.3.2)
Zvіdsi e di funksionin rozpodіlu
. (6.3.3)
Integrisht (6.3.3) ndryshimi i ndryshimit
dhe sillni në mendje jogën:
(6.3.4)
Integrali (6.3.4) nuk shprehet përmes funksioneve elementare, por mund të llogaritet përmes një funksioni të veçantë, në mënyrë që integrali të shihet si rregull ose (të ashtuquajturat integrale të ndryshoreve), për një lloj tabele të palosshme. . Ka shumë lloje të funksioneve të tilla, për shembull:
;
dhe etj. Cili nga këto funksione është corystuvatisya - shije ushqyese. Ne zgjedhim në kapacitetin e një funksioni të tillë
. (6.3.5)
Nuk ka rëndësi që funksioni nuk është asgjë tjetër, pasi funksioni u nda për një vlerë variabël të nënndarë normalisht me parametra.
Le ta quajmë funksionin funksion normal të nënndarjes. Në shtesë (Tabela 1), vlerat e funksionit janë renditur në tabelë.
Le të përdorim funksionin e nënndarjes (6.3.3) të vlerës me parametrat i përmes funksionit normal të nënndarjes. padyshim,
.
(6.3.6)
Tani ne e dimë palëvizshmërinë e rënies në rënien e madhësisë së komplotit nga vіd në. E vlefshme për formulën (6.3.1)
Në këtë mënyrë, ne varëm aftësinë për të rënë në parcelën e një vlere vipadkovoї, të ndarë me ligjin normal me çfarëdo parametri, përmes funksionit standard të shpërndarjes, sipas ligjit normal më të thjeshtë me parametrat 0.1. Me respekt, që argumentet e funksionit në formulën (6.3.7) mund të kenë një kuptim edhe më të thjeshtë: є kalojnë nga skaji i djathtë i grafikut në qendrën e zgjerimit, të shprehur në hapjet kuadratike të mesme; - në të njëjtën mënyrë për skajin e majtë të biznesit, për më tepër, ai duhet të konsiderohet pozitiv, pasi është fundi i përhapjes së dorës së djathtë në qendër të trëndafilit, dhe negativ, pasi është i zemëruar.
Pëlqeje dhe bëhu si funksioni i rozpodіlu, funksioni i autoritetit maє:
3. - një funksion i pathyeshëm.
Për më tepër, nga simetria rozpodіlu normale s parametrave
Koristuyuchis tsієyu power, vlasne kazhuchi, do të ishte e mundur të rrethoheshin tabelat e funksioneve vetëm me vlera pozitive të argumentit, por, për të shmangur hyrjen e operacionit (në rastin e njërit), në tabelën 1 të shtesa, vlerat janë futur si për argumentet pozitive ashtu edhe për ato negative.
Në praktikë, shpesh është e nevojshme të llogaritet shuma e parave të shpenzuara për një madhësi vertikale të shpërndarë normalisht për parcelë, simetrike me qendrën e zgjerimit. Le t'i hedhim një sy një shtëpie të tillë dozhini (Fig. 6.3.1). Le të llogarisim numrin e goditjeve në një grafik qiu duke përdorur formulën (6.3.7):
Duke parë fuqinë (6.3.8) të funksionit dhe duke i dhënë pjesës së majtë të formulës (6.3.9) një formë më kompakte, heqim formulën e paluajtshmërisë së konsumit të vlerës së ndryshueshme, e cila shpërndahet sipas sipas ligjit normal në komplot, simetrik me qendrën e zgjerimit:
.
(6.3.10)
Të shohim të nesërmen. Vіdklademo vіd rozsіyuvannya posledovnі vіdіvnі vіdіzki vіdzhinoj (Fig. 6.3.2) dhe vіdіvіrіnі vіdannya vypadkovї ї vіpadkovї ї në kozheni z іn to. Meqenëse kurba e normales është simetrike me ligjin, është e mundur të arrihet një prerje e tillë vetëm në një drejtim.
Për formulën (6.3.7) dimë:
(6.3.11)
Siç shihet nga këto të dhëna, shkalla e goditjes në lëkurë nga plagët sulmuese (p'yaty, shosty, etj.) me saktësi deri në 0,001 është e barabartë me zero.
Duke rrumbullakosur saktësinë e rënies në boshllëqet deri në 0.01 (deri në 1%), tre numra hiqen, gjë që është e lehtë për t'u mbajtur mend:
0,34; 0,14; 0,02.
Shuma e këtyre trinjakëve është e barabartë me 0,5. Tse do të thotë që për një vlerë normalisht rozpodіlenoї vipadkovoї, të gjitha rozsіyuvannya (pikërisht deri në chasto vіdsotka) përshtaten në dilyantsі.
Tse lejon, duke ditur variacionin mesatar-katror dhe spodіvannya matematikore të vlerës së rënies, paraprakisht me intervale këndimi të vlerave praktikisht të mundshme. Një metodë e tillë për të vlerësuar gamën e vlerave të mundshme të madhësisë së luhatjeve në statistikat matematikore quhet "rregulli i tre sigmave". Nga rregulli i tre sigmave, është gjithashtu e qartë se metoda orientuese për përcaktimin e devijimit kuadratik mesatar të rrënjës së vlerës vertikale është të merret devijimi më praktik i mundshëm nga mesatarja dhe ta ndajë atë me tre. E kuptoj që kjo qasje e përafërt mund të jetë vetëm rekomandime, por nuk ka mënyra të tjera më të sakta emërimi.
Prapa 1. Vlera Vipadkova, rozpodіlena për ligjin normal, є falje vimiryuvannya deyakoї vіdstanі. Në rast vdekjeje lejohet falja sistematike në një faturë prej 1.2 (m); falje mesatare katrore vіmir dovnyuє 0.8 (m). Të njohësh imovirnіst të asaj, të cilën widhilennya e vimіryany e vlerëson nga e vërteta nuk mund të peshohet nga vlere absolute 1.6 (m).
Zgjidhje. Falë vimiryuvannya є vlera vipadkovy, pіdorderovana ligji normal me parametra і. Është e nevojshme të dihet paluajtshmëria e goditjes së vlerës së parcelës përballë. Për formulën (6.3.7) mund të:
Bazuar në tabelat e funksioneve (shtimi, Tabela 1), ne dimë:
;
,
Prapa 2. Dije të njëjtin ymovirnist që është në prapanicë, por për mendjen, se nuk ka falje sistematike.
Zgjidhje. Pas formulës (6.3.10), ne dimë:
.
Prapa 3. Pas metodës, e cila shihet smuga (rruga pa pagesë), gjerësia e së cilës është 20 m, gjuajtja kryhet në vijë të drejtë, pingul me autostradën. Synimi kryhet përgjatë vijës së mesme të autostradës. Devijimi mesatar kuadratik në gjuajtjen drejt është një m.
Ligji normal përdoret më shpesh në praktikë. E veçanta kryesore, e cila shihet në mes të ligjeve të tjera, qëndron në faktin se është ligji kufizues, të cilit po i afrohen ligje të tjera, kur dozohen, shpesh rriten në mendje tipike.
Emërimi. Vlera vipadike e pandërprerë Х maє ligj normal rozpodіlu(Ligji i Gausit )me parametrat a dhe σ 2, që do të thotë(x) mund të shikojnë:
| . | (6.19) |
Kurba e ligjit normal quhet sipas ligjit normale ose Kurba Gaussian. Në fig. 6.5 a), b) tregon një kurbë normale me parametra por і σ2 dhe grafiku i funksionit u nda.
Zvernemo respekt për ata që janë normale kurbë simetrike vizualisht drejt X = por, Maj maksimumi në pikë X = por, E barabartë, dhe dy pika të kthesës X = por σ
me koordinata.
A mund të mbani mend se në gjerësinë e dukshme të ligjit normal, parametrat janë shënuar me shkronja por і σ2, Me të cilën nënkuptuam përputhjen dhe shpërndarjen matematikore. Një zbіg i tillë nuk është vipadkovo. Le t'i hedhim një sy teoremës, e cila do të krijojë kuptimin teorik dhe lëvizës të parametrave në ligjin normal.
Teorema. Matematikisht, nënndarja e vlerës së ndryshores X, e nënpjestuar me ligjin normal, është e njëjtë për parametrin a, i cili nënndahet, Tobto
| M(X) = por, | (6.20) |
dhe varianca її - parametri σ 2, Tobto
| D(X) = σ2. | (6.21) |
Sigurisht, si do të ndryshojë kurba normale kur ndryshoni parametrat por і σ .
yakscho σ \u003d Const dhe parametri ndryshohet a (por 1 < por 2 < por 3), atëherë qendra e simetrisë nën-ndahet, atëherë kurba normale do të zhvendoset përgjatë boshtit të abshisës, pa ndryshuar formën (Fig. 6.6).
Mal. 6.6
Mal. 6.7
yakscho por\u003d Konstoni dhe ndryshoni parametrin σ , Pastaj ordinata ndryshohet në maksimum të lakores fmax(a) \u003d. me rritur σ ordinata ndryshon në maksimum, por nëse zona e saj është një kurbë, ajo bie për shkak të mbetur vetëm, atëherë kurba bëhet më e sheshtë, duke zgjeruar boshtin e abshisë. me një ndryshim σ , Navpaki, kurba normale fryn përpjetë, në të njëjtën kohë duke u shtrydhur nga anët (Fig. 6.7).
Në këtë renditje, parametri a karakterizon mulli, dhe parametri σ - forma e një kurbë normale.
Ligji normal për shpërndarjen e madhësisë së madhësisë me parametra a\u003d 0 i σ \u003d 1 quhet standarde ose racionimi, A është një kurbë normale - standarde ose të standardizuara.
Palosshmëria e vlerës jo të ndërmjetme të një funksioni të një nënndarjeje të ndryshueshme, e cila ndahet nga ligji normal, është për faktin se integrali i një funksioni të një nënndarjeje normale nuk mund të shprehet përmes funksioneve elementare. Megjithatë, ai mund të llogaritet përmes një funksioni të veçantë, në mënyrë që të merret ose një integral i thjeshtë. Një funksion i tillë quhet Funksioni Laplace, Për tavolinat e saj të palosur. Ka shumë lloje të ndryshme funksionesh të tilla, për shembull:
, 
.
Ne do të fitojmë funksionin
Le të hedhim një vështrim në fuqinë e një magnitude vipadkovo, rozpodіlenoї pas ligjit normal.
1. Imovirnіst vyluchennya vipadkovoї vlera X, rozpodіlenoї sipas ligjit normal, në interval [α , β ] dorivnyuє
Le të llogarisim çmimin me formulën e imovirnostit me vlera të ndryshme δ (Vlera e tabelës Vikoristovuyuchi e funksionit Laplace):
në δ = σ \u003d 2Ф (1) \u003d 0,6827;
në δ = 2σ \u003d 2Ф (2) \u003d 0,9545;
në δ = 3σ \u003d 2Ф (3) \u003d 0,9973.
Zvіdsi klithmë e ashtuquajtura " rregulli tre sigma»:
Nëse vlera e X është e ndryshueshme, nëse ligji normal ndahet me parametrat a dhe σ, atëherë është praktikisht e sigurt që vlerat përshtaten në interval.(a – 3σ ; a + 3σ ).
Shembulli 6.3. E rëndësishmja, rritja e grupit cholovіk_v sevnoї vіkovoї є normalisht vlera rozpodіlena vipadkovy X me parametra por\u003d 173 i σ 2 \u003d 36, dije:
1. Viraz schilnosti ymovirnosti dhe funksionet rozpodіlu vpadkovoї vlera X;
2. Një pjesë e kostumeve të përmasave të 4-t (176 - 183 cm) dhe një pjesë të kostumeve të përmasave të 3-ta (170 - 176 cm), pasi është e nevojshme të transferohen në koleksionin funeral për këtë grupmoshë;
3. Formuloni "rregullin e tre sigmave" për vlerën vipadkovy X.
1. Ne e dimë qëllimin e imovirnosti
dhe funksioni i vlerës rozpodіl vypadkovoї Х
= .
2. Një pjesë e kostumeve të madhësisë së 4-të (176 - 182 cm) njihet si imitim.
R(176 ≤ X ≤ 182) = 
\u003d Ф (1.5) - Ф (0.5).
Sipas tabelës, vlera e funksionit Laplace ( Shtojca 2) E dimë:
Ф (1,5) \u003d 0,4332, Ф (0,5) \u003d 0,1915.
mbetja e pranueshme
R(176 ≤ X ≤ 182) = 0,4332 – 0,1915 = 0,2417.
Një pjesë e kostumeve të madhësisë së tretë (170 - 176 cm) mund të gjenden në të njëjtën mënyrë. Megjithatë, është më e lehtë të kuptosh se si të gënjesh se intervali i dhënë është simetrik me përsosjen matematikore por\u003d 173 kështu që pabarazia 170 ≤ X≤ 176 nervozizëm po aq i fortë │ X- 173│≤ 3. Todi
R(170 ≤X ≤176) = R(│X- 173│≤ 3) \u003d 2Ф (3/6) \u003d 2Ф (0,5) \u003d 2 0,1915 \u003d 0,3830.
3. Ne formulojmë "rregullin e tre sigmave" për vlerën vipadike X:
Është praktikisht e sigurt se rritja e njerëzve të kësaj grupmoshe strukturash në kufijtë e por – 3σ \u003d 173 - 3 6 \u003d 155 deri por + 3σ \u003d 173 + 3 6 \u003d 191, pastaj 155 ≤ X ≤ 191. ◄
7. Teoremat kufitare të teorisë së paluajtshmërisë
Siç është thënë tashmë, kur merren vlerat vipadkovyh, është e pamundur të transferohet vonë, nëse është e rëndësishme të pranohet vlera e vipadkovy si rezultat i një kampionimi të vetëm - nuk është e mundur të gënjehet për arsye të ndryshme, është e pamundur të gënjesh.
Megjithatë, në rast të testimit të përsëritur të bagatoriazës, natyra e sjelljes së shumës së madhësive të madhësive mund të ndryshojë në një karakter depresioni dhe të bëhet e rregullt. Shfaqja e rregullsive është e lidhur me vetë masën e fenomeneve, të cilat lindin një vlerë vipadkovike në tërësinë e tyre, të urdhëruara nga një ligj i tërë. Thelbi i qëndrueshmërisë së manifestimeve masive mund të sillet në ofensivë: tiparet specifike të manifestimit vipadikal të mbuluar me lëkurë mund të mos tregohen në rezultatin mesatar të masës së manifestimeve të tilla; vypadkovy vіdhilennya vіd avіdny, neminuchi në lëkurë okremy yavshі, në masі ato paguhen reciprokisht, nivelohen, virіvnyuyutsya.
Vetë stabiliteti i atyre të mesëm është një shenjë fizike e "ligjit të numrave të mëdhenj", i cili mund të kuptohet në një kuptim të gjerë të fjalës: në prani të një numri të madh manifestimesh vipadkovyh, rezultati praktikisht pushon së qeni vipadkovym. dhe mund të jenë transferime me një shkallë të madhe rëndësie.
Në kuptimin e ngushtë të fjalës, nën "ligjin e numrave të mëdhenj", në teorinë e palëvizshmërisë, kuptohet një sërë teoremash matematikore, në lëkurë, për mendjet më të qeta, fakti i afrimit të karakteristikave mesatare të është krijuar një numër i madh njerëzish.
Ligji i numrave të mëdhenj luan një rol të rëndësishëm në zhvillimin praktik të teorisë së plotfuqishmërisë. Fuqia e vlerave vipadike me mendjet kënduese për t'u sjellë praktikisht, sikur të mos vipadkovy, e lejon njeriun të operojë me vlera vipadike, duke i transferuar rezultatet e manifestimeve masive vipadike në mayzhe me rëndësi të plotë.
Mundësia e transferimeve të tilla në fushën e fenomeneve masive vipadike zgjerohet gjithnjë e më shumë në prani të një grupi tjetër teoremash kufitare, të cilat nuk janë më vlerat kufitare të vlerave të ndryshueshme, por ligjet kufitare janë të ndara. Ekziston një grup teoremash që unë do t'i quaj "teorema të kufirit qendror". Forma të ndryshme të teoremës së kufirit qendror ndahen midis tyre nga këto mendje, për të cilat përcaktohet fuqia kufitare e shumës së vlerave vipadkovy.
Forma të ndryshme të ligjit të numrave të mëdhenj me forma të ndryshme të teoremës së kufirit qendror krijojnë një shumësi të të ashtuquajturave teorema kufitare teoritë e paluajtshmërisë. Teoremat e kufirit japin mundësinë jo vetëm për të bërë parashikime shkencore në fushën e fenomeneve të modës, por edhe për të vlerësuar saktësinë e këtyre parashikimeve.
) Luan një rol veçanërisht të rëndësishëm në teorinë e imovirnosti dhe shpesh për të tjerët zastosovuєtsya në krye të detyrave praktike. Kjo është veçoria kryesore në faktin se është një ligj kufitar, të cilit po i afrohen ligje të tjera, ndërsa shpesh ndjekin mendjet tipike. Për shembull, shuma për të mbledhur një numër të madh vlerash të paqëndrueshmërisë në mënyrë të pavarur (ose pak të paqëndrueshme) është afër ligjit normal, dhe është më e saktë, aq më shumë vlerat e paqëndrueshmërisë përmblidhen.
Është vërtetuar eksperimentalisht se ligji normal është që të jetë në gjendje të ndryshojë rregullat, lejimet për rregullimet gjeometrike dhe pozicionet e elementeve dizajne budіvelny gjatë përgatitjes dhe instalimit të tyre, karakteristika të ulëta fizike dhe mekanike të materialeve dhe ngrohje-zok, të cilat përdoren në ndërtimet e përditshme.
Nënndarja e Gausit sipas renditjes mund të jetë e gjitha vipadkovi-chini, dallimi i disa prej tyre në mes është rëndësia e vazhdimësisë së madhe të faktorëve vipadkovi, lëkura e disa prej tyre është shumë e parëndësishme. (Teorema e kufirit qendror).
trëndafili normal quajtur rozpodil vipadkovoї vlerë konstante, Për disa probabilitete schіlnіst mund të shihen (Fig. 18.1).
Mal. 18.1. Ligji normal ndahet për 1< a 2 .
| (18.1) |
de a i - parametrat e nënndarjes.
Karakteristikat Іmovіrnіsnі të vlerës së ndryshueshme, rozbrі-podіlenіy për ligjin normal, të barabartë:
Kuptimi matematikor (18.2)
Dispersioni (18.3)
Sheshi mesatar i rrënjës (18.4)
koeficienti i asimetrisë A \u003d 0(18.5)
teprica E= 0. (18.6)
Parametri σ, i cili duhet të përfshihet në shpërndarjen Gaussian, është i barabartë me raportin mesatar-jo katror të një ndryshoreje të rastësishme. magnitudë por përcakton pozicionin e qendrës së shpërndarjes (div. Fig. 18.1), dhe vlerën por- gjerësia e shpërndarjes (Fig. 18.2), në mënyrë që shpërndarja statistikore të jetë rreth vlerës mesatare.
Mal. 18.2. Ligji normal ndahet për σ 1< σ 2 < σ 3
Imovirnіst vluchennya në intervalin e detyrave (vіd x 1 deri në x 2) për rozpodіlu normale, si në të gjitha vipadkakh, vyznachaetsya іntegral vіd shіlnostі іmovіrnostі (18.1), e cila nuk është një shprehje përmes funksioneve elementare dhe përfaqësohet nga një funksion i veçantë, i. (Integrali i dinamikës).
Një nga të dhënat e integralit të dinamikës:
magnitudë і thirrur kuantile.
Mund të shihet se Ф (x) është një funksion i paçiftuar, d.m.th. Ф (x) \u003d-Ф (x) . Vlera e këtij funksioni llogaritet dhe paraqitet në tabelën e literaturës teknike dhe parësore.
Funksioni i shpërndarjes së ligjit normal (Fig. 18.3) mund të shprehet përmes integralit të homogjenitetit:
Mal. 18.2. Funksioni i ligjit normal u nda.
Vlera Imovirnіst vyluchennya vipadkoї, rozpodіlenoї sipas ligjit normal, në intervalin vіd X. në x, Viran-yum tregohet:
Ju lutemi respektoni atë
Ф (0) \u003d 0; Ф (∞) \u003d 0,5; Ф (-∞) \u003d -0,5.
Me përjashtim të detyrave praktike që lidhen me Rozpodіlivsh-nyam, shpesh është e mundur të shikohet mundësia e hyrjes në interval, mënyra simetrike e ochіkuvannya matematikore, si dhe gjatësia e intervalit të atij intervali, si dhe Vetë intervali, ndërmjet intervalit dhe intervalit, mund të jetë:
Kur detyrat praktike virishenny kordon vіdkhilen vlerat e rastësishme shprehen përmes vіdhilennya standarde, rrënjë-mesatare-katrore, shumëzuar me një shumëzues dhjetor, i cili tregon vlerën ndër-rajonale vіdkhilen vipadkovoї.
Merrni dhe gjithashtu formulën vikoriste (18.10) dhe tabelën F (x) (shtojca nr. 1), është e nevojshme
Formulat Qi tregojnë Nëse vlera e vipad-it ka një rozpodіl normal, atëherë ymovіrnіst її vіdhilennya në formën e vlerës mesatare të saj nuk është më e ulët me σ për t'u bërë 68,27%, jo më shumë se më e ulët me 2σ - 95,45% dhe jo më shumë se më e ulët me Zσ - 99 .73%.
Oskіlki vlera prej 0,9973 është afër unitetit, është praktikisht e rëndësishme të merret parasysh pamundësia e ndryshimit të shpërndarjes normale të vlerës vertikale në formën e një shkallëzimi matematikor më të madh se më i ulëti me Zσ. Ky rregull, i cili është i vërtetë vetëm për një shpërndarje normale, quhet rregulli i tre sigmave. Shkatërrimi i yogës mund të imovirnist P \u003d 1 - 0,9973 \u003d 0,0027. Sipas këtij rregulli, ato mbyllen kur instalohen - bëhen banja kordonesh me lejime të pranueshme për karakteristikat gjeometrike të kallëpeve dhe strukturave.
Ligji normal i ndarjes (shpesh i quajtur ligji i Gausit) luan një rol jashtëzakonisht të rëndësishëm në teorinë e paluajtshmërisë dhe zë mesin e ligjeve të tjera të ndarjes së një kampi të caktuar. Tse - më shpesh e përdorur në praktikë, ligji është i ndarë. E veçanta kryesore, e cila sheh ligjin normal të mesit të ligjeve të tjera, qëndron në faktin se është ligji kufitar, të cilit po i afrohen ligje të tjera, kur bëhet fjalë për dozimin, ato shpesh rriten në mendje tipike.
Është e mundur të sillni shumën për të arritur një numër të madh vlerash të pavarura (ose të dobëta) të ulëta, sipas rendit të disa ligjeve të rregullta të shpërndarjes (nëse ka shumë kufij të mëdhenj të ulët), është afër sipas ligjit normal, dhe është më mirë të jemi të saktë, çfarë më shumë Numrat më të mëdhenj shihen në praktikën e vlerave vipadkovy, të tilla si, për shembull, faljet e vimiryuvan, faljet e pushkatimit, etj., mund të imagjinohen si një mënyrë për të arritur një numër të madh të sasive të barabarta të dodankivëve të vegjël - falje elementare, lëkurë. s tjera. Disa nga ligjet nuk u ndanë në rendin e faljeve elementare, veçoritë e këtyre trëndafilave në shumën e një numri të madh dodankiv janë zero, dhe shuma duket sipas ligjit, afër normales. Obezhennya kryesore, e cila mbivendoset në përmbledhjen e faljeve, qëndron në faktin se era e keqe luajti njësoj një rol të vogël në shumën totale. Sikur të mos i rrihet mendja dhe, për shembull, një nga faljet vipadkovy shfaqet pas infuzionit të tij mbi shumën, ai i pushton ashpër të tjerët, atëherë ligji u ngrit nën çmimin e faljes së dërrmuar mbi barrën e hyrjes së tij në shumën dhe caktoni ligjin e trëndafilave në orizin kryesor.
Teoremat që vendosin një ligj normal si ligj kufitar për një shumë të shtesave të pavarura, njëlloj të vogla, do të diskutohen më në detaje në Kapitullin 13.
Ligji normal i rozpodіlu karakterizohet nga një shumëllojshmëri e gjerë e pamjes:
Lakorja ndryshon sipas ligjit normal dhe ka pamje kodrinore simetrike (Fig. 6.1.1). Ordinata maksimale e kurbës, rivna, pikat vіdpovіdaє; në botë, në distancë, ndërsa gjerësia e pikës bie, dhe në kurbë i afrohet asimptotikisht boshtit të abshisës.
Është e nevojshme të ndryshohen parametrat numerikë i, të cilët përfshihen në ligjin normal (6.1.1); Mund të konkludohet se vlera nuk është diçka tjetër, si llogaritje matematikore, dhe vlera është vlera mesatare. Për të cilat ne llogarisim karakteristikat kryesore numerike të vlerës - ochіkuvannya matematikore dhe variancë.
Zastosovuyuchi zëvendësojë ndryshimin
Nuk ka rëndësi nëse i pari nga dy intervalet në formulën (6.1.2) është i barabartë me zero; tjetri është integrali i Euler-it:
. (6.1.3)
otzhe,
Prandaj, parametri është një vlerë matematikore. Ky parametër, veçanërisht në detyrat e qitjes, shpesh quhet qendra e zgjerimit (shkurtuar - c. R.).
Ne llogarisim shpërndarjen e vlerës:
.
Zastosuvshi përsëri duke zëvendësuar ndryshimin
.
Duke u integruar sipas pjesëve, ne marrim parasysh:
Shtesa e parë në harqet kaçurrela është më afër zeros (sikur lartësia është ulur, lartësia e poshtme është e njëjtë me këmbët), tjetra pas formulës (6.1.3) është më afër, yjet
Gjithashtu, parametri i formulës (6.1.1) nuk është asgjë më shumë se një vlerë mesatare.
Z'yasuєmo zmіst parametrіv i normal rozpodіlu. Është e qartë nga formula (6.1.1) se qendra e simetrisë së trëndafilit nën qendër është qendra e trëndafilit. Është e qartë nga fakti se kur ndryshon markën e shitjes me pakicë në shenjën e kthimit (6.1.1), ajo nuk ndryshon. Për të ndryshuar qendrën e zgjerimit, kurba e zgjerimit do të kompensohet nga boshti i abshisës pa ndryshuar formën e saj (Fig. 6.1.2). Qendra e rozsiyuvannya karakterizon stacionin rozpodіlu në boshtin abscissa.
Hapja ndaj qendrës së zgjerimit është e njëjtë me zgjerimin e madhësisë vipadkovy.
Parametri nuk karakterizon kampin, por formën e vetë kurbës. Tse є karakteristikë e rozsiyuvannya. Ordinata më e madhe e vijës së shtrembër nën kurbë është në përpjesëtim të kundërt; kur rritet, ordinata maksimale ndryshon. Pra, pasi zona e trëndafilit të shtrembër nën kokë është fajtore për të mbetur vetëm, atëherë me një rritje të kurbës, trëndafili nën kokë bëhet më i sheshtë, duke shtrirë boshtin e abscisës; nga ana tjetër, kur lakorja ndryshohet, ajo ngrihet përpjetë, duke u shtrydhur në të njëjtën kohë nga anët dhe bëhet më e zbrazët. Në fig. 6.1.3 tregon tre kthesa normale (I, II, III) në; Nga këto, kurba I tregon vlerën më të madhe dhe kurba III tregon vlerën më të vogël. Ndryshimi i parametrit është i barabartë me ndryshimin e shkallës së kurbës nën shkallë - rritja e shkallës përgjatë një boshti dhe i njëjti ndryshim për tjetrin.
Në artikull, thuhet se tregohet se një ligj i tillë normal është ndarë në një vlerë të ndryshueshme dhe se si ai koristuvatsya në rast të shkeljes së një detyre praktike.
Shpërndarja normale në statistika
Historia e ligjit është 300 vjeçare. Abraham de Moivre u bë figura e parë, pasi shpiku një përafrim për 1733 rrotullime të tjera. Përmes shumë shkëmbinjve Karl Friedrich Gaus (1809) dhe Pier-Simon Laplace (1812) zhvilluan funksione matematikore.
Laplace zbuloi gjithashtu ligjin e mrekullueshëm dhe formuloi teorema e kufirit qendror (CPT), Zgidno me ca shuma numër i madh vlerat e vogla dhe të pavarura mund të jenë normale.
Ligji normal nuk rregullon të barabarta të barabarta të një ndryshimi në tjetrin. Është fiksuar vetëm natyra e tokës djerrë. Forma specifike e rozetës përcaktohet nga parametra të veçantë. për shembull, y \u003d sëpatë + b- vija te drejta. Megjithatë, e njëjta gjë nuk do të kalojë dhe nën një lloj paturpësie, varet nga parametrat por і b. E njëjta gjë me rosacea normale. Është e qartë se ky funksion, siç përshkruan tendencën e përqendrimit të lartë, është vlera e qendrës, por forma e saktë përcaktohet nga parametra të veçantë.
Kurba e një shpërndarje normale Gaussian mund të duket kështu.
Orari i zvіn-it normal rozpodіlu hamendësues, mund ta emërtoni kurba e ziles. Grafikat kanë një "gungë" në mes dhe një rënie të mprehtë të gjerësisë përgjatë skajeve. Në të cilin dua të them thelbin e një rozpodіlu normale. Imovirnist se vlera vipadike duket të jetë më e pasur në qendër, ul ato që frymëzohen fort në mes.
Në një shkallë të vogël, dy komplote përshkruhen nën kurbën Gaussian: blu dhe jeshile. Imagjinoni që intervalet janë të barabarta në të dy vendet. Ale pomitno vіdіznyayutsya vіsoti. Një pemë blu në distancë nga qendra, dhe mund të jetë pak më pak e gjatë, gjelbërim më i ulët, i cili ndodhet në qendër të trëndafilit. Otzhe, vіrіznyayutsya i ploschі, chi që paketoj ymovіrnostі podadannya në intervalet e njohura.
Formula e rozpodіlu normale (shіlnostі) është fyese.
Formula përbëhet nga dy konstante matematikore:
π - numri pi 3.142;
e- substava e logaritmit natyror 2,718;
dy parametra në ndryshim që përcaktojnë formën e një kurbë specifike:
m- përsosje matematikore (në raste të ndryshme, mund të dallohen përkufizime të tjera, për shembull, µ ose a);
σ2- dispersion;
mirë unë ndryshoj veten x, Për të cilën fuqia e imovirnostit është për t'u nderuar.
Forma specifike e trëndafilit normal nën depozitim në formën e 2 parametrave: ( m) І ( σ2). shkurtimisht N (m, σ 2) ose N (m, σ). parametri m(Matozhidanіє) përcakton qendrën e nënndarjes, e cila përcakton lartësinë maksimale të grafikut. dispersion σ2 karakterizojnë gamën e variacioneve, domethënë "njollosjen" e të dhënave.
Parametri i përsosjes matematikore ndryshon qendrën e përhapjes në të djathtë ose në të majtë, pa ndikuar në vetë formën e kurbës.
Dhe boshti i shpërndarjes përcaktohet nga një kurbë e mprehur. Nëse jepet një rozkid i vogël, atëherë e gjithë masa e tij përqendrohet në qendër. Nëse danezët kanë një rozkid të madh, atëherë era e keqe "përhapet" në një gamë të gjerë.
Shtrirja e rozpodіlu nuk mund të jetë e drejtpërdrejtë zastosuvannya praktike. Për analizën e vetive është e nevojshme të integrohet funksioni i hapësirës.
Imovirnist se vlera vipad duket më e vogël se vlera aktuale x, nënkupton funksioni i shpërndarjes normale:
Autoriteti matematikor Vikoristovuyuchi, qoftë rozpodіlu i pandërprerë, rozrahuvat ngathët і qoftë іnshі іmovіrnostі, pra jak
P (a ≤ X< b) = Ф(b) – Ф(a)
Trëndafili standard normal
Rozpodіl normale qëndrojnë në parametrat e mesatares dhe variancës, përmes të cilave është e keqe të shihet fuqia. Nëna e mirë bekoje standardin rozpodіlu, karrierës të mos gënjejë në shkallën e të dhënave. І vіn іsnuє. thirrur trëndafili standard normal. Në fakt, shpërndarja më normale, vetëm me parametrat e pikëzimit matematikor është 0, dhe varianca është 1, shkruhet shkurt N (0, 1).
Pavarësisht nëse është normale, është e lehtë të shndërrohet në një mënyrë standarde të normalizimit:
de z- ndryshim i ri, si deputet fitimtar x;
m- ochіkuvannya matematikore;
σ
- kujdes standard.
Për të dhënat vibruese, merren vlerësimet:
Mesatarja aritmetike dhe varianca e ndryshimit të ri z tani є baraz me 0 dhe 1 janë të qarta. Është e lehtë për të që të shkojë në ndihmën e transformimeve elementare algjebrike.
Emri përmendet në literaturë z-rezultati. Këto janë të njëjtat - të dhëna të normalizuara. Rezultati Z Mund të krahasoni drejtpërdrejt me mundësitë teorike, në mënyrë që shkalla të shkojë përtej standardit.
Tani, duke u mrekulluar se si duket gjerësia e rozetës normale standarde (për z-pikat). Mendoni se si mund të duket funksioni Gaussian:
i argumentuar zv (X-m) / σ letër z, Një deputet σ - i vetëm, i hequr funksioni i gjerësisë së shpërndarjes normale standarde:
Orari i gjerësisë:
Qendra, siç doli, ndodhet në pikën 0. Në këtë pikë, funksioni Gaussian arrin maksimumin e tij, x-m \u003d 0). Numri në këtë pikë është më i shtrenjtë 0.3989, i cili mund të rrotullohet në Duma, në mënyrë që e 0 \u003d 1 dhe nuk mjafton të ngrihet vetëm mbështetja e 1 në rrënjën e 2 pi.
Në këtë renditje, pas grafikut, shihet qartë se kuptimi, i cili mund të jetë i vogël në mes, shpesh bie pas të tjerëve, dhe ato që janë shumë larg qendrës, rriten dukshëm më ngadalë. Shkalla e boshtit të abshisës përshtatet me përkufizimet standarde, gjë që lejon që dikush të veçojë dallimet dhe të marrë parasysh strukturën universale të shpërndarjes normale. Kurba e Gausit për normalizimin e të dhënave tregon qartë fuqinë e shpërndarjes normale. Për shembull, është simetrik në lidhje me boshtin e ordinatave. Në kufijtë e ± 1σ, si mesatare aritmetike, një pjesë e madhe e të gjitha vlerave është e përqendruar (për momentin vlerësojmë). Në kufijtë e ± 2σ ka më shumë të dhëna. Në kufijtë e ± 3σ, mund të ketë të gjitha të dhënat. Fuqia e mbetur njihet gjerësisht me emrin rregulli tre sigma për një trëndafil normal.
Funksioni i rozpodіl normal standard ju lejon të rozrakhovuvat ymovіrnostі.
Është e qartë, nuk më intereson askënd me dorë. Gjithçka është e siguruar dhe e vendosur në tabela të veçanta, si në rastin e çdo asistenti statistikor.
Tabela e shpërndarjes normale
Tabelat e shpërndarjes normale ndahen në dy lloje:
- tavolinë forcë;
- tavolinë funksione(Integral në gjerësi).
tabela forcë vikoristovuєtsya rrallë. Prote, i mrekulluar, sikur shikon atje. Është e pranueshme, është e nevojshme të hiqet hapësira për z \u003d 1, Kjo është rëndësia e vlerës, në pamjen e largët të pritjes matematikore me 1 sigma. Më poshtë janë leximet e pjesëve tabelare.
Fallow në organizimin e këtyre të dhënave, është e nevojshme për emrin e kolonës dhe rreshtit. Prapa jonë ka një rresht 1,0 i sobave 0 , Për këtë nuk ka qindra pjesë. Vlera e Shukane është 0.2420 (0 para 2420 lëshime).
Funksioni Gaussian është simetrik përgjatë boshtit të ordinatave. Tom φ (z) \u003d φ (-z), Tobto schіlnіst për 1 të njëjtën fuqi për -1 , e cila duket qartë tek i vogli.
Sob mos i njolloji letrat kot, tabelat përdoren vetëm për vlera pozitive.
Në praktikë, më shpesh sesa jo, vlerat funksione rozpodіlu standarde normale, tobto ymovіrnostі për rіznih z.
Tabelat e tilla gjithashtu kanë vetëm vlera pozitive. Për atë për rozuminnya dhe njohës cfaredo nevojave të dijes pranë fisnikërisë fuqia e trëndafilit standard normal.
funksionin Ф (z)është simetrik me vlerën e tij prej 0,5 (dhe jo boshti i ordinatave, si gjerësia). Tingëllon ekuivalencë e drejtë:
Fakti i dëshmisë në imazh:
vlera e funksionit F (-z) і Ф (z) ndani grafikun në 3 pjesë. Për më tepër, pjesët e sipërme dhe të poshtme janë të barabarta (të shënuara me shenja). Për të shtuar imovirnist Ф (z) deri në 1, shtoni vlerën ditore F (-z). Weide rivnist, treguar troch më shumë.
Është e nevojshme të kontrollohet paluajtshmëria e rënies në interval (0;z), Për të ndryshuar vlerën e devijimit nga zero në një drejtim pozitiv në një numër të caktuar devijimesh standarde, për të arritur vlerën e funksionit të diferencës normale standarde në 0.5:
Për saktësi, mund të shikoni të vegjlit.
Në lakoren Gaussian, kjo situatë duket si një katror nga qendra në të djathtë z.
Dosit shpesh analitikë për të kërcitur ymovіrnіst vіdhilennya në anën ofenduese të zeros. Dhe meqenëse funksioni është simetrik me qendrën, është e nevojshme të shumëzoni formulën e përparme me 2:
E vogla më poshtë.
Nën lakoren Gaussian, ekziston një pjesë qendrore, e kufizuar nga vlerat kufizuese -z i zemëruar dhe z i djathtë
Emërimet e pushtetit duhet të çohen në pikën e respektit, sepse vlerat tabelare rrallë tregojnë intervalin.
Për ta bërë më të lehtë vendosjen në asistentë, thirrni tabelat për funksionin e formularit:
Nëse keni nevojë për aftësinë për të lëvizur në anën fyese të zeros, atëherë, ashtu siç kemi ndryshuar, vlera e tabelës për këtë funksion thjesht shumëzohet me 2.
Tani le të shohim shembuj specifikë. Më poshtë është një tabelë e një shpërndarje normale standarde. Ne i dimë vlerat e tabelës për tre z: 1.64, 1.96 dhe 3.
Si të kuptoni numrat sensacionalë? Pochnemo s z \u003d 1.64, Për cilën vlerë tabelare të bëhet 0,4495 . Më e lehtë për t'i shpjeguar ndjeshmërinë vogëlushit.
Tobto aftësinë e asaj që është standardizuar normalisht rozpodіlena vipadkovy vlerë për të shpenzuar në intervalin vіd 0 përpara 1,64 , i dashur 0,4495 . Kur urdhri hidhet poshtë, është e nevojshme të tingëllojë qëndrueshmëria e pakënaqësisë në anën ofenduese, për këtë ne shumëzojmë vlerën 0,4495 në 2 i është marrë afërsisht 0.9. Zona e zënë nën lakoren Gaussian tregohet më poshtë.
Në këtë mënyrë, 90% e të gjitha vlerave të shpërndara normalisht konsumohen në interval ± 1,64σ si mesatare aritmetike. Unë nuk jam vipadkovo dridhje kuptimin z \u003d 1.64, Sepse lagja është rreth mesatares aritmetike, e cila zë 90% të të gjithë sipërfaqes, ndonjëherë fitimtare për dhe rozrahunku dovirchih іnvalіv. Nëse vlera nuk ndryshon nëse zona është e shënuar, atëherë ajo do të vijë pak (vetëm 10%).
Megjithatë, për të rishqyrtuar hipotezat, shpesh zgjidhet intervali, i cili lakon 95% të të gjitha vlerave. Gjysma e ymovirnosti vіd 0,95 - ce 0,4750 (Shih Tjetër Shihen në Tabelën e Vlerave).
Për çmimin e imovirnosti z \u003d 1.96. Tobto në mes të mayzhe ± 2σ në vlerën mesatare 95%. Vetëm 5% humbet për çmimin ndërmjet.
Një më shumë cicava dhe shpesh vikoristovuetsya kuptime tabelare z \u003d 3, Është më e shtrenjtë sipas tabelave tona 0,4986 . Shumëzojeni me 2 dhe zbrisni 0,997 . Pra, brenda ± 3σ në mesataren aritmetike mund të jenë të gjitha vlerat.
Kështu duket rregulli 3 sigma për një shpërndarje normale në diagram.
Pas ndihmës së tabelave statistikore, ju mund të hiqni nëse jeni imovirnist. Megjithatë, metoda është më e zakonshme, e padobishme dhe shumë e vjetër. Sot të gjithë punojnë në kompjuter. Le të kalojmë në praktikën e rozrachunkiv në Excel.
Përhapja normale në Excel
Në Excel, ka disa funksione për pushin ose vlerën e kthimit të përhapjes normale.
Funksioni NORM.S.DIST
funksionin NORM.SHT.DIST njohur për rozrahunku schіlnostі φ(z) ndryshe imovirnosti Φ(z) sipas normalizimit të të dhënave ( z).
\u003d NORM.ST.DIS(z; integr)
z- vlera e ndryshimit të standardizuar
integrale- nëse 0, atëherë mbulimi i sigurimit ështëφ(z) , Yaxcho 1 - vlera e funksionit Ф (z), pra imovirnost P (Z
Përcaktimi i shtrirjes dhe rëndësisë së funksionit për të ndryshme z: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3(Їx tregohet në mes të A2).
Formula \u003d NORM.ST.DIST (A2; 0) kërkohet për llogaritjen e gjerësisë. Në diagramin më poshtë - pika e kuqe.
Për të zgjeruar vlerën e funksionit \u003d NORM.ST.DIST (A2; 1). Në diagram - zona nën kurbën normale është e mbushur.
Në realitet, shpesh është e nevojshme të shpjegohet qëndrueshmëria e faktit që vlera e vipadit nuk shfaqet përtej mesatares midis mesatareve (në devijimet e katrorit mesatar, mesatarisht z), Tobto P(|Z|
Në mënyrë domethënëse, pse është vlera e konsumimit të një vipadkovi në mes ± 1z, ± 2z dhe ± 3z zero. Formula do të jetë e nevojshme 2Ф (z) -1, Në Excel \u003d 2 * NORMAL DIST(A2; 1) -1.
Në diagram, ju mund të shihni qartë fuqinë kryesore bazë të shpërndarjes normale, duke përfshirë rregullin e tre sigmave. funksionin NORM.SHT.DIST- tabela automatike e vlerës së funksionit të shpërndarjes normale në Excel.
Mund të ketë një detyrë vdekjeprurëse: për imovirnosti të dukshme P(Z
Funksioni NORM.ST.INV
NORM.ST.INV rozrakhovu zvorotne znachennya znachennya funktsii standarde rozpodіlu. Sintaksa përbëhet nga një parametër:
\u003d NORM.ST.OBR (immovirnist)
imovirnist- qëllimi.
Kjo formulë është fitimtare aq shumë shpesh, si në të kaluarën, madje pas të njëjtave tavolina shukati, sillen jo vetëm luhatje, por edhe kuantile.
Për shembull, kur rozrahunka dovirchih іntervalіv zadaє voіrcha ymovirnіst, sipas nevojës për të razrahuvat vlerë z.
Unë shikoj ato që intervali i besimit formohet nga kufijtë e sipërm dhe të poshtëm, dhe ato që diapazoni normal është simetrikisht mbi zero, mjafton të marrim kufirin e sipërm (rikuperim pozitiv). Kufiri i poshtëm merret me një shenjë negative. Besoni ndjeshëm jakun imovirnist γ (Gama), edhe kufiri i sipërm i intervalit të besuar mbulohet nga formula fyese.
Razrahuemo në vlerën e Excel z(që tregon diferencën e mesatares në sigma) për dekilkoh imovirnosti, duke përfshirë t, për kujtesë, i dini statistikat: 90%, 95% dhe 99%. Në mes të B2 vendosim formulën: \u003d NORM.ST.OBR ((1 + A2) / 2). Ndryshimi i vlerës së ndryshimit (ndryshimi në mes të A2) hiqet nga diferenca midis intervaleve.
Intervali i besimit për besimin 95% është 1,96, kështu që mund të ketë 2 devijime rrënjë-mesatare-katrore. Është e lehtë të shohësh yjet në mendjen tënde dhe të vlerësosh trëndafilat e mundshëm të një madhësie vertikale normale. Zagalom, intervalet e besimit prej 90%, 95% dhe 99% tregojnë intervale besimi prej ± 1,64, ± 1,96 dhe ± 2,58 σ.
Në përgjithësi, funksionet e NORM.ST.RASP dhe NORM.ST.OBR ju lejojnë të mbini çdo lloj rozrahunok, veshje me një rozpodil normal. Ale, për ta bërë më të lehtë dhe për të ndryshuar numrin e funksioneve, në Excel ka disa funksione të tjera. Për shembull, për rozrahunku dovirchih _interval_v sredneї është e mundur të mposhtet CONFIDENCE.NORM. Për një reverb rreth mesatares aritmetike, formula Z.TEST.
Le t'i hedhim një sy disa formulave kafe me vithe.
Funksioni NORM.DIST
funksionin NORM.DIST përfundoj brenda NORM.SHT.DIST privoni tim, її vikorivuyut për përpunimin e të dhënave, qoftë në një farë mase, dhe jo vetëm racionimi. Parametrat e nënndarjes normale janë të specifikuara në sintaksë.
\u003d NORM.DIST(x; mesatare; stddev; kumulative)
e mesme- përsosje matematikore, e cila është fitimtare në kapacitetin e parametrit të parë të modelit të shpërndarjes normale
standard_off- Ventilimi rrënjë-mesatar katror - një tjetër parametër i modelit
integrale- nëse 0, atëherë siguria është e siguruar, nëse 1 - atëherë vlera e funksionit, atëherë P (X
Për shembull, marzhi për vlerën 15, i cili është i ngjashëm me përzgjedhjen normale me pritjen prej 10, marzhi standard prej 3, llogaritet si më poshtë:
Nëse parametri i mbetur është vendosur në 1, atëherë supozohet se vlera normale e variacionit duket të jetë më e vogël se 15 kur parametrat vendosen më poshtë. Në një rit të tillë, paratë mund të investohen pa ndërmjetës për homazhet e fundjavës.
Funksioni NORM.INV
Kjo është sasia e shpërndarjes normale, që është vlera e funksionit kryesor. Sintaksa e avancuar.
\u003d NORM.INV (imazh; mesatar; stddev)
imovirnist- imovirnist
e mesme- pritje
standard_off- ventilim rrënjë-mesatar katror
Emërohet njësoj si NORM.ST.INV, Vetëm funksioni funksionon në lidhje me çdo shkallë.
Dëshmitë e prapanicës në videon në artikull.
Modelimi i një trëndafili normal
Për disa detyra, është e nevojshme të gjenerohen numra normalë vipad. Nuk ka funksione të gatshme për kë. Sidoqoftë, ekzistojnë dy funksione në Excel që mund të kthejnë me kokë poshtë numrat: RASTËSISHMEі RAND. I pari është numrat vipadkovі rіvnomіrno razpodіleni tsіlі në kufijtë e caktuar. Një funksion tjetër gjeneron numra të nënndarjeve të shpërndara në mënyrë të barabartë midis 0 dhe 1. RAND.
Le të supozojmë se për eksperimentin është e nevojshme të zgjidhet një përzgjedhje me një popullsi të përgjithshme të shpërndarë normalisht me një pritje matematikore prej 10 dhe një pritje standarde prej 3. Për një vlerë të ndryshores, ne do të shkruajmë një formulë në Excel.
NORM.INV(RAND(); 10; 3)
E shtrijmë për sasinë e nevojshme të mesit dhe seleksionimi normal është gati.
Për modelimin e të dhënave të standardizuara, shpejtësia është NORM.ST.OBR.
Procesi i shndërrimit të numrave të barabartë në normalë mund të tregohet në diagramin vijues. Në rastin e dinamikës së barabartë, siç gjenerohet nga formula RANDOM, vijat horizontale vizatohen në grafikun e funksionit të shpërndarjes normale. Më pas le të shohim pikën e kryqëzimit të imazheve me grafikun që ul projeksionet në boshtin horizontal.
