Golovna > vegël elektrike > Vlera më e madhe e funksionit për algoritmin alternativ. Funksionet më të rëndësishme dhe më pak të rëndësishme. Funksioni i domosdoshëm ekstrem mendor i një ndryshimi

Vlera më e madhe e funksionit për algoritmin alternativ. Funksionet më të rëndësishme dhe më pak të rëndësishme. Funksioni i domosdoshëm ekstrem mendor i një ndryshimi

\\ (\\ Blacktreangleright \\) Për të ditur vlerën më të madhe / më të vogël të një funksioni në një degë \\ (\\), është e nevojshme të përshkruhet skematikisht grafiku i funksionit në atë degë.
Në detyrën e kësaj detyre, mund të punoni për ndihmë shtesë: njihni intervalet e rritjes (\\ (f "\u003e 0 \\)) dhe ndryshoni (\\ (f"<0\) ) функции, критические точки (где $f"=0$ или $f"$ не существует).

\\ (\\ Blacktreangleright \\) Mos harroni se cila mund të merret vlera më e madhe / më e vogël e funksionit jo vetëm në pikat e brendshme të trekëndëshit \\ (\\), por edhe në pika të tjera.

\\ (\\ E drejta e zezë trekëndëshi \\) Funksioni më i madh/vlera më e vogël - Vlera e koordinatave \\ (y \u003d f (x) \\).

\\ (\\ Trekëndëshi i zi \\) Një lloj funksioni i palosshëm \\ (f (t (x)) \\) ndjek rregullin: \\ [(\\ E madhe (f "(x) \u003d f" (t) \\ cdot t "(x))) \\]
\\ [\\ Filloni (grumbullim) (| r | c | c |) \\ hline & \\ tekst (Funksion) f (x) & \\ tekst (Funksion) f "(x) \\\\ \\ hline \\ textbf (1) & c & 0 \\\\ && \\\\ \\ textbf (2) & x ^ a & a \\ cdot x ^ (a-1) \\\\ && \\\ \ \\ textbf (3) & \\ ln x & \\ dfrac1x \\\\ && \\\\ \\ & a ^ x \\ cdot \\ ln a \\\\ && \\\\ \\ textbf (7) & \\ sin x & \\ cos x \\\\ && \\\\ \\ textbf (8) & \\ cos x & - \\ sin x \\\\ \\ hline \\ fund ( grup) \\ quad \\ quad \\ quad \\ quad \\ start (array) (| r | c | c |) \\ hline & \\ tekst (Funksion) f (x) & \\ tekst (Next) f"(x)\\\\\\hline\\textbf(9)&\\mathrm(tg)\\,x&\\dfrac1(\\cos^2x)\\\\&&\\\\ \\ textbf(10)&\\ mathrm(ctg)\\,x&-\\arccos x&-\\,\\dfrac1(\\sqrt(1-x^2))\\\\&& \\ \\ \\ textbf (13) & \\ mathrm (arctg) \\, x & \\ dfrac1 (1 + x ^ 2) \\\\ Puna 1 #2357

Rivne zavdannya: Rivniy ЄDI

Gjeni vlerën më të vogël të funksionit \\ (y \u003d e ^ (x ^ 2 - 4) \\) në nënvargun \\ ([- 10; -2] \\).

ODZ: \\ (x \\) - dovіlny.

Në këtë renditje, \\ (y "\u003d 0 \\) me \\ (x \u003d 0 \\).

1) \

\ 3) Ne i dimë boshllëqet e karaktereve \\ (y "\\) në nënvargun e dhënë \\ ([- 10; -2] \\):

4) Grafika Eskіz për vіdrіzku \\ ([- 10; -2] \\):

Në këtë renditje, vlera e funksionit më të vogël \\ ([- 10; -2] \\) mund të arrihet në \\ (x \u003d -2 \\).

\\ Së bashku: \\ (1 \\) - vlera më e vogël e funksionit \\ (y \\) në \\ ([- 10; -2] \\).

Sugjerim: 1

Menaxheri 2 # 2355

\$Y\u003d\\sqrt(2)\\cdot\\sqrt(x^2+1)\$

Gjeni vlerën më të vogël të funksionit \\ (y \u003d e ^ (x ^ 2 - 4) \\) në nënvargun \\ ([- 10; -2] \\).

te rimorkioja \\ ([- 1; 1] \\).

Në këtë renditje, \\ (y "\u003d 0 \\) me \\ (x \u003d 0 \\).

1) \

Ne i dimë pikat kritike (d.m.th., pikat e brendshme të zonës së funksionit të caktuar, në këtë rast është i ngjashëm \\ (0 \\) ose jo): \\ [\\ Sqrt (2) \\ cdot \\ dfrac (x) (\\ sqrt (x ^ 2 + 1)) \u003d 0 \\ qquad \\ Shigjeta majtas e djathta \\ qquad x \u003d 0 \\,. \\] Pokhіdna іsnuє në rastin \\ (x \\).

2) Ne i dimë hapësirat e karakterit konstant \\ (y "\\):

3) Ne i dimë boshllëqet e karaktereve \\ (y "\\) në nënvargun e dhënë \\ ([- 1; 1] \\):

4) Grafika Eskіz për vіdrіzku \\ ([- 1; 1] \\):

Kështu, vlera më e madhe në \\ ([- 1; 1] \\) është e disponueshme në \\ (x \u003d -1 \\) ose në \\ (x \u003d 1 \\). Vlera e funksionit është e barabartë në këto pika.

\ Së bashku: \\ (2 \\) - vlera më e madhe e funksionit \\ (y \\) në \\ ([- 1; 1] \\).

Sugjerim: 2

Menaxheri 3 # 2356

Gjeni vlerën më të vogël të funksionit \\ (y \u003d e ^ (x ^ 2 - 4) \\) në nënvargun \\ ([- 10; -2] \\).

Gjeni vlerën më të ulët të funksionit \\ (y \u003d \\ cos 2x \\) në nënvargun \\ (\\).

Në këtë renditje, \\ (y "\u003d 0 \\) me \\ (x \u003d 0 \\).

1) \

Ne i dimë pikat kritike (d.m.th., pikat e brendshme të zonës së funksionit të caktuar, në këtë rast është i ngjashëm \\ (0 \\) ose jo): \\ [-2 \\ cdot \\ sin 2x \u003d 0 \\ qquad \\ Shigjeta majtas \\ qquad 2x \u003d \\ pi n, n \\ në \\ mathbb (Z) \\ qquad \\ Shigjeta majtas \\ qquad x \u003d \\ dfrac (\\ pi n) (2), n \\ në \\ mathbb (Z) \\,. \\] Pokhіdna іsnuє në rastin \\ (x \\).

2) Ne i dimë hapësirat e karakterit konstant \\ (y "\\):

(Këtu ka një numër të pashtershëm pasazhesh, në të cilat vizatohen shenjat e së ardhmes).

3) Ne i dimë boshllëqet e karaktereve \\ (y "\\) në degën e dhënë \\ (\\):

4) Eskіz grafik për vіdrіzku \\ (\\):

Kështu, vlera më e vogël e \\ (\\) është e disponueshme në \\ (x \u003d \\ dfrac (\\ pi) (2) \\).

\ Së bashku: \\ (- 1 \\) - vlera më e vogël e funksionit \\ (y \\) në \\ (\\).

Sugjerim: -1

Zyra qendrore 4 # 915

Gjeni vlerën më të vogël të funksionit \\ (y \u003d e ^ (x ^ 2 - 4) \\) në nënvargun \\ ([- 10; -2] \\).

Gjeni funksionin më të rëndësishëm

\\ (Y \u003d - \\ log_(17) (2x^2 - 2 \\ sqrt (2) x + 2) \\).

ODZ: \$2x^2 - 2\\sqrt(2)x + 2\u003e 0\$. Virishima në ODZ:

1) Në mënyrë të konsiderueshme \\ (2x ^ 2-2 \\ sqrt (2) x + 2 \u003d t (x) \\), pastaj \\ (y (t) \u003d - \\ log_ (17) t \\ ).

Ne i dimë pikat kritike (d.m.th., pikat e brendshme të zonës së funksionit të caktuar, në këtë rast është i ngjashëm \\ (0 \\) ose jo): \\[-\\dfrac(1)(\\ln 17)\\cdot \\dfrac(4x-2\\sqrt(2))(2x^2-2\\sqrt(2)x+2)\ u003d 0 \\ qquad \\ Shigjeta djathtas \\ qquad 4x-2 \\ sqrt (2) \u003d 0 \\]- në ODZ, zvіdki rrënjë e njohur \\ (x \u003d \\ dfrac (\\ sqrt (2)) (2) \\). Funksionet Pokhіdna \\ (y \\) nuk funksionojnë për \\ (2x ^ 2-2 \\ sqrt (2) x + 2 \u003d 0 \\), por ky barazim ka një diskriminues negativ, por nuk ka zgjidhje . Për të ditur vlerën më të madhe / më të vogël të funksionit, është e nevojshme të kuptohet se si në mënyrë skematike shikohet grafiku.

2) Ne i dimë hapësirat e karakterit konstant \\ (y "\\):

3) Skica e grafikës:

Kështu, vlera më e madhe e funksionit është në dispozicion në \\ (x \u003d \\ dfrac (\\ sqrt (2)) (2) \\):

\\ (Y \\ majtas (\\ dfrac (\\ sqrt (2)) (2) \\ djathtas) \u003d - \\ log_ (17) 1 \u003d 0 \\),

Së bashku: \\ (0 \\) - vlera më e madhe e funksionit \\ (y \\).

Përgjigje: 0

Menaxheri 5 # 2344

Gjeni vlerën më të vogël të funksionit \\ (y \u003d e ^ (x ^ 2 - 4) \\) në nënvargun \\ ([- 10; -2] \\).

Gjeni vlerën më të ulët të një funksioni

\\ (Y \u003d \\ log_(3) (x^2 + 8x + 19) \\).

ODZ: \\ (x^2 + 8x + 19\u003e 0 \\). Virishima në ODZ:

1) Në mënyrë domethënëse \\ (x ^ 2 + 8x + 19 \u003d t (x) \\), pastaj \\ (y (t) \u003d \\ log_ (3) t \\).

Ne i dimë pikat kritike (d.m.th., pikat e brendshme të zonës së funksionit të caktuar, në këtë rast është i ngjashëm \\ (0 \\) ose jo): \\ [\\Dfrac (1) (\\ ln 3) \\ cdot \\ dfrac (2x + 8) (x ^ 2 + 8x + 19) \u003d 0 \\ qquad \\ Shigjeta djathtas \\ qquad 2x + 8 \u003d 0 \\]- në ODZ, zvіdki e di rrënjën \\ (x \u003d -4 \\). Funksionet Pokhіdna \\ (y \\) nuk funksionojnë kur \\ (x ^ 2 + 8x + 19 \u003d 0 \\), por ky barazim ka një diskriminues negativ, por nuk ka zgjidhje. Për të ditur vlerën më të madhe / më të vogël të funksionit, është e nevojshme të kuptohet se si në mënyrë skematike shikohet grafiku.

2) Ne i dimë hapësirat e karakterit konstant \\ (y "\\):

3) Skica e grafikës:

Në këtë renditje, \\ (x \u003d -4 \\) është pika minimale e funksionit \\ (y \\) dhe vlera më e vogël mund të arrihet në të:

\\ (Y (-4) \u003d \\ log_ (3) 3 \u003d 1 \\).

Së bashku: \\ (1 \\) - vlera më e vogël e funksionit \\ (y \\).

Menaxheri 2 # 2355

Zyra qendrore 6 # 917

Rivne zavdannya: Skladnіshe ЄDI

Gjeni funksionin më të rëndësishëm

\\ (Y \u003d -e ^ ((x ^ 2 - 12x + 36 + 2 \\ ln 2)) \\).

Në këtë artikull, unë do t'ju tregoj për algoritmi i kërkimit me vlerën më të madhe dhe më të vogël funksionet, pikët minimale dhe maksimale.

Nga teoria, ne patjetër do të jemi në favor tabela і rregullat e diferencimit. Gjithçka është në këtë tabelë:

Algoritmi për të kërkuar vlerën më të madhe dhe më të vogël.

Mund të shpjegoj më qartë në një shembull specifik. Le t'i hedhim një sy:

prapanicë: Gjeni vlerën më të lartë të funksionit y \u003d x ^ 5 + 20x ^ 3-65x për dyfish [-4; 0].

Krok 1. Le të largohemi.

Y "\u003d(x^5 + 20x^3-65x)" \u003d 5x^4 + 20*3x^2 - 65 \u003d 5x^4 + 60x^2 - 65

Krok 2. Ne i dimë pikat ekstreme.

pikë ekstreme Ne i quajmë pika të tilla në të cilat funksioni arrin vlerën e tij më të madhe ose më të vogël.

Për të njohur pikat ekstreme, duhet të barazoni funksionin tjetër me zero (y "\u003d 0)

5x^4 + 60x^2 - 65 \u003d 0

Tani është e qartë se ne jemi krejtësisht të barabartë dhe i dimë rrënjët e pikave tona ekstreme.

Unë besoj se kjo është e barabartë me zëvendësimin e t \u003d x ^ 2, pastaj 5t ^ 2 + 60t - 65 \u003d 0.

Ritmi i shpejtë me 5, minus: t ^ 2 + 12t - 13 \u003d 0

D \u003d 12^2 - 4 * 1 * (- 13) \u003d 196

T_ (1) \u003d (-12 + sqrt (196)) / 2 \u003d (-12 + 14) / 2 \u003d 1

T_ (2) \u003d (-12 - sqrt (196)) / 2 \u003d (-12 - 14) / 2 \u003d -13

Robimo zavorotnu zaminu x ^ 2 \u003d t:

X_ (1 dhe 2) \u003d ± sqrt (1) \u003d ± 1
x_ (3 і 4) \u003d ± sqrt (-13)

Së bashku: x_ (1) \u003d 1 і x_ (2) \u003d -1 - ce і є pikat tona ekstreme.

Krok 3. Më e rëndësishmja është më pak e rëndësishme.

Metoda e zëvendësimit.

Në mendje, na u dha një vіdrіzok [b] [- 4; 0]. Pika x \u003d 1 nuk përfshihet në këtë seksion. Pra, ne nuk mund ta shohim atë. Pikat Ale krіm x \u003d -1 gjithashtu duhet të shikojmë majtas dhe djathtas midis vіdrіzka-s sonë, këto janë pikat -4 і 0. Për të cilat mund të vendosim të tre pikat në funksionin e daljes. Respektoni vihіdnu - tse që, siç është dhënë në mendje (y \u003d x ^ 5 + 20x ^ 3-65x), deyakі pіdstavlyat pokhіdnu ...

Y (-1) \u003d (-1) ^ 5 + 20 * (- 1) ^ 3 - 65 * (- 1) \u003d -1 - 20 + 65 \u003d [b] 44
y (0) \u003d (0) ^ 5 + 20 * (0) ^ 3 - 65 * (0) \u003d 0
y (-4) \u003d (-4) ^ 5 + 20 * (- 4) ^ 3 - 65 * (- 4) \u003d -1024 - 1280 + 260 \u003d -2044

Do të thotë vlera më e madhe e funksionit [b] 44 dhe arrin deri në pikat [b] -1, siç quhet pika maksimale e funksionit në krye [-4; 0].

Ne virish dhe otrimali vіdpovіd, mi shokë të mirë, ju mund të relaksoheni. Ale ndalo! A po pyesni veten pse y (-4) është shumë i zgjuar? Në mendjet e një ore të bindur, është më mirë të shpejtosh në një mënyrë tjetër, unë e quaj jogën si kjo:

Përmes boshllëqeve të qëndrueshmërisë.

Di numrin e boshllëqeve për një funksion të rastësishëm, pastaj për barazimin tonë b_kvadratnyh.

Unë punoj në këtë mënyrë. Drejtim i vogël i vіdrіzok. I vë pikat: -4, -1, 0, 1. Mos u habisni nga ata që 1 nuk përfshihen në detyrat e nënndarjeve, të gjitha të njëjtat duhet të caktohen për të caktuar saktë boshllëqet e qëndrueshmërisë. Le të supozojmë se numri i herë është më i madh se 1, le të themi 100, ne mund të imagjinojmë se në ekuacionin tonë bikuadratik 5 (100) ^ 4 + 60 (100) ^ 2 - 65. . Dhe për të nënkuptuar і në promizhki vіd 1 deri në 100 won mund të jetë një shenjë plus. Kur kalojmë nëpër 1 (lëvizim djathtas majtas), funksioni do të ndryshojë shenjën në minus. Kur kalon në pikën 0, funksioni ruan shenjën e tij, pasi është më pak kufi midis rreshtave dhe jo rrënja e rreshtit. Kur kalon nga -1, funksioni do të ndryshojë përsëri shenjën në plus.

Nga teoria, ne e dimë se cilat janë funksionet (dhe ne vetë bëmë karrige për të) ndryshoni shenjën nga plus në minus (Pika -1 në vipad tonë) funksioni i disponueshëm maksimumin e saj lokal (Y (-1) \u003d 44, pasi bula ishte dhënë më parë) në këtë vіdrіzku (logjikisht është më e arsyeshme, funksioni ka pushuar së rrituri, kështu që arriti maksimumin dhe filloi të bjerë).

Natyrisht, ka disa funksione të dobishme ndryshoni shenjën nga minus në plus, i arritshëm minimumi lokal i funksionit. Pra, kështu, ne dinim gjithashtu pikën e minimumit lokal ce 1, dhe y (1) - vlerën minimale të funksionit në krye, për shembull, nga -1 në + ∞. Për të rivendosur respektin e madh, i cili është vetëm një MINIMUM LOKALE, pastaj një minimum në një erë kënduese. Pra, minimumi aktual (global) i funksionit do të arrihet këtu, në -∞.

Sipas meje, mënyra e parë është më e thjeshtë teorikisht, dhe tjetra është më e thjeshtë nga pikëpamja e veprimeve aritmetike, por më e pasur nga pikëpamja teorike. Edhe nëse funksioni nuk e ndryshon shenjën kur kalon nëpër rrënjën e barabartë, atëherë është e mundur të humbësh me këto maksimum dhe minimum lokal, global, nëse dëshiron të kesh një shans të mirë për ta zotëruar atë, nëse planifikon t'i bashkohesh. pse tjetër keni një profil ЄDI dhe virishuvati tse zavdannya). Ale praktikoni dhe praktikoni vetëm një herë e mirë për t'ju mësuar se si ta bëni këtë detyrë. Dhe ju mund të stërviteni në faqen tonë të internetit. Boshti.

Yakshcho z'u shfaq si ushqim, chis nezrazumilo - obov'yazkovo energize. Më vjen mirë që ju shoh dhe do të bëj ndryshime, duke shtuar në artikull. Mos harroni faqen e mi robimo tsey menjëherë!

Vlera më e madhe (më e vogël) e funksionit - merr vlerën më të madhe (më të vogël) të ordinatës në intervalin e ekzaminuar.

Për të ditur vlerën më të madhe ose më të vogël të funksionit, është e nevojshme:

Verifikoni që pikat e palëvizshme të përfshihen në detyrat e nënndarjeve.
Njehsoni vlerën e funksionit në skajet e prerjes dhe në pikat e palëvizshme të f.3
Zgjidhni nga zvogëlimi i rezultateve nga vlera më e madhe ose më e vogël.

Për të ditur pikët maksimale ose minimale është e nevojshme:

Njihni funksionin tjetër $ f "(x) $
Gjeni pika të palëvizshme, duke zgjidhur $ f "(x) \u003d 0 $
Vendosni funksione të ngjashme në shumëzues.
Kaloni vijën e koordinatave, vendosni pika të palëvizshme në të dhe caktoni shenja të një të ngjashme në nën-intervale, duke përdorur shënimin f.3.
Njihni pikat në maksimum ose minimal për rregullin: nëse në pikë është e ngjashme të ndryshohet shenja e plus në minus, atëherë do të ketë një pikë në maksimum (nëse nga minus në plus, atëherë do të ketë një pika minimale). Në praktikë, është e lehtë të vizatoni imazhin e shigjetave në hapësira: në hapësirë, është pozitive, shigjeta vizatohet lart e poshtë.

Tabela e funksioneve të ngjashme elementare:

funksionin	mirë
$C$	$0$
$X$	$1$
$ X ^ n, n∈N $	$ Nx ^ (n-1), n∈N $
$(1)/(x)$	$ - (1) / (x^2) $
$(1) / x(^n), n∈N $	$ - (n) / (x ^ (n + 1)), n∈N $
$ √ ^ n (x), n∈N $	$(1)/(n√^n(x^(n-1)), n∈N$
$ sinx $	$Cosx$
$Cosx$	$-Sinx$
$tgx$	$(1)/(cos^2x)$
$ctgx$	$ - (1) / (sin^2x) $
$cos^2x$	$-Sin2x$
$sin^2x$	$Sin2x$
$E^x$	$E^x$
$A^x$	$A^xlna$
$Lnx$	$(1)/(x)$
$Log_(a)x$	$(1)/(xlna)$

Rregullat themelore të diferencimit

1. Kostoja e sumit dhe kostoja me pakicë e kujdesit të lëkurës

$(F(x)±g(x))'\u003d f'(x)±g'(x)$

Gjeni funksionin tjetër $ f (x) \u003d 3x ^ 5 - cosx + (1) / (x) $

Kostoja e çantës dhe kostoja e shitjes me pakicë

$F'(x)\u003d(3x^5)'-(cosx)'+((1)/(x))"\u003d 15x^4+sinx-(1)/(x^2)$

2. Bëj punë të mirë.

$ (F (x) ∙ g (x)) '\u003d f' (x) ∙ g (x) + f (x) ∙ g (x) '$

Njihni trukun $ f (x) \u003d 4x ∙ cosx $

$ F '(x) \u003d (4x)' ∙ cosx + 4x ∙ (cosx) '\u003d 4 ∙ cosx-4x ∙ sinx $

3. Shkoni private

$ ((F (x)) / (g (x))) "\u003d (f ^" (x) ∙ g (x) -f (x) ∙ g (x) ") / (g ^ 2 (x ) ) $

Njihuni me koston $ f (x) \u003d (5x ^ 5) / (e ^ x) $

$ F "(x) \u003d ((5x ^ 5)" ∙ e ^ x-5x ^ 5 ∙ (e ^ x) ") / ((e ^ x) ^ 2) \u003d (25x ^ 4 ∙ e ^ x- 5x ^ 5 ∙ e ^ x) / ((e ^ x) ^ 2) $

4. Zëvendësoni funksionin e palosjes me atë të vjetër

$ F (g (x)) '\u003d f' (g (x)) ∙ g '(x) $

$ F '(x) \u003d cos' (5x) ∙ (5x) '\u003d - mëkat (5x) ∙ 5 \u003d -5sin (5x) $

Gjeni pikën minimale të funksionit $ y \u003d 2x-ln\u2061 (x + 11) + 4 $

1. Ne e dimë SPV-në e funksionit: $ x + 11\u003e 0; x\u003e -11 $

2. Ne e dimë funksionin e mëposhtëm $ y "\u003d 2 (1) / (x + 11) \u003d (2x + 22-1) / (x + 11) \u003d (2x + 21) / (x + 11) $

3. Ne i njohim pikat stacionare, duke e barazuar ndryshimin me zero

$ (2x + 21) / (x + 11) \u003d 0 $

Drib arrin zero, kështu që numëruesi arrin zero, dhe flamuri nuk arrin zero

$ 2x + 21 \u003d 0; x ≠ -11 $

4. Le të rregullojmë vijën e koordinatave, të vendosim në të pikat e palëvizshme dhe të nënkuptojmë shenjat e së njëjtës në intervale otrimanih. Për kë është e imagjinueshme në të ardhmen nëse numri nga rajoni i ekstremit të djathtë, për shembull, është zero.

$Y "(0) \u003d (2 ∙ 0 + 21) / (0 + 11) \u003d (21) / (11) \u003e 0 $

5. Në pikën e minimumit, ndryshoni shenjën minus në një plus, gjithashtu pikën -10,5 $ - e njëjta pikë në minimum.

Përgjigja: -10,5 $

Gjeni vlerën më të lartë të një funksioni $ y \u003d 6x ^ 5-90x ^ 3-5 $ për $ $ [- 5; 1]$

1. Ne i dimë funksionet e mëposhtme $ y '\u003d 30x ^ 4-270x ^ 2 $

2. Shkoni në zero dhe njihni pikat e palëvizshme

$30x^4-270x^2 \u003d 0 $

Shumëzuesi i nxehtë Vinesemo 30$x^$2 për pranga

$30x^2 (x^2-9) \u003d 0 $

$30x^2(x-3)(x+3)\u003d 0$

Vendosni shumëzuesin e lëkurës në zero

$X^2 \u003d 0; x-3 \u003d 0; x + 3 \u003d 0 $

$ X \u003d 0; x \u003d 3; x \u003d -3 $

3. Zgjedhim pika stacionare, të cilat shtrihen në skajin e dhënë $ [- 5; 1]$

Na duhen pika të palëvizshme $ x \u003d 0 $ i $ x \u003d -3 $

4. Llogaritni vlerën e funksionit në skajet e çelësit dhe në pikat e palëvizshme të f.3.

Pyesim veten se si ta plotësojmë funksionin për ndihmën e orarit. Duke u dukur, duke u mrekulluar nga grafiku, mund të dalloni gjithçka që na qan dhe veten tuaj:

fushëveprimi i funksionit
zona e vlerës
funksionet null
ngritja dhe rënia
pikë maksimale dhe minimale
vlera më e madhe dhe më e vogël e funksionit në vіdrіzka.

Le të sqarojmë terminologjinë:

abshisë- koordinata horizontale e pikës.
ordinator- koordinata vertikale.
të gjitha abscisë- horizontale të gjitha, më të quajtura të gjitha.
të gjitha ordinatat- vertikale të gjitha, por të gjitha.

argument- ndryshim i pavarur, në funksion të të cilit qëndron vlera e funksionit. Më e theksuar.
Me fjalë të tjera, ne vetë zgjedhim, zëvendësojmë në formulën e funksionit dhe e marrim atë.

Zona e takimit funksionet - vlera jopersonale e heshtur (dhe vetëm e heshtur) e argumentit, për të cilin funksioni është i vlefshëm.
Shënohet: ose.

Në të voglin tonë, zona e funksionit të caktuar është tse vіdrіzok. Për veten tuaj në anën tjetër të bojës në grafikun e funksionit. Vetëm këtu jepet funksioni.

Gama e funksionit- tse kuptimi jopersonal, yakі pranoni ndryshimin. Në të voglin tonë fryn fllad - nga vlera më e ulët tek ajo më e lartë.

funksionet null- pikë, vlera e funksionit është e barabartë me zero, tobto. Ka pika i mbi vogëlushin tonë.

Vlera e funksionit është pozitive atje de. Për të voglin tonë ka premtime.
Vlera e funksionit është negative atje de. Kemi tse promizhok (ose interval) nga më parë.

Kuptimi më i rëndësishëm - rritja dhe prishja e funksionit në shumëzuesin dhjetor. Si jopersonale, ju mund të merrni një vіdrіzok, një interval, një interval të përbashkët ose një rresht të plotë numerik.

funksionin rritet

Me fjalë të tjera, sa më i madh, aq më i madh, grafiku shkon djathtas dhe përpjetë.

funksionin ubuvaє mbi impersonalitetin, sikur për një lloj i, çfarë të gënjejë impersonaliteti, nga nervozizmi pranë nervozizmit.

Për funksionin e zbërthimit, vlerës më të madhe i jepet një vlerë më e vogël. Grafiku shkon djathtas dhe poshtë.

Tek i vogli ynë, funksioni rritet në interval dhe zvogëlohet në intervale.

Në mënyrë domethënëse, çfarë është tregon maksimumin dhe minimumin e funksionit.

pikë maksimale- kjo është pika e brendshme e zonës së caktuar, e tillë që vlera e funksionit në të të jetë më e madhe, më e ulët në të gjitha pikat afër saj.
Me fjalë të tjera, pika në maksimum është një pikë e tillë, vlera e funksionit në më shumë, Nіzh në suіdnіh. Tse lokale "gungë" në grafikë.

Në të voglin tonë - pika në maksimum.

pikë minimale- një pikë e brendshme e zonës së caktuar, e tillë që vlera e funksionit në të të jetë më e vogël, më e ulët në të gjitha pikat afër saj.
Kjo është pika minimale - e tillë që vlera e funksionit të jetë më e vogël në të, më e ulët në tjetrën. Ekziston një "vrimë" lokale në grafik.

Në të voglin tonë - pika minimale.

Pika është kufitare. Nuk është një pikë e brendshme e zonës së caktuar dhe nuk është e përshtatshme për maksimumin e pikës së caktuar. Aje, ajo nuk ka susidiv zliva. Në të njëjtën mënyrë, nuk mund të jetë një pikë minimale në grafikun tonë.

Pikat maksimale dhe minimale thirren në të njëjtën kohë tregon në ekstremin e funksionit. Sipas mendimit tonë, tse i.

Dhe çfarë të punosh, çfarë duhet të dish, për shembull, funksioni minimal në vіdrіzku? Në këtë rast, unë duhet të them:. Sepse funksioni minimal- tse її znachennya në pikë minimale.

Në mënyrë të ngjashme, maksimumi i funksioneve tona është i shëndetshëm. Vin është në dispozicion deri në pikën.

Mund të thuhet se funksionet ekstreme janë të barabarta.

Është e nevojshme të njihni njerëz të tjerë në zavdannya funksionet më të vlerësuara dhe më pak të vlerësuara në një vіrіzku të dhënë. Erë e keqe nuk obov'yazkovo zbіgayutsya z ekstremume.

Sipas pëlqimit tonë funksioni i vlerës më të vogël në vіdrіzku një i zbіgаєtsya me një minimum funksioni. Dhe boshti është më i rëndësishmi për njëri-tjetrin. Është e arritshme në skajin e majtë të lumit.

Qoftë për një këndvështrim të caktuar, vlera më e vogël e funksionit jo të përshkueshëm në skaj arrihet ose në pikat e skajshme ose në skajet e skajit.

І për її vyrіshennya kërkohet njohuri minimale nga ata. fund chergovy rіk fillestar, Të gjithë duan të shkojnë me pushime dhe që momenti të jetë afër, menjëherë do të kthehem djathtas:

Le të fillojmë nga rajoni. Rajoni, për të cilin gjuha është në mendje, është vetvetja obmezhene mbylljet pika pa fytyrë e aeroplanit. Për shembull, një pikë pa fytyrë, e rrethuar nga një triko, duke përfshirë TË GJITHË trikun (Yakscho s ndërmjet“Vicoloti” duke kërkuar një pikë, atëherë zona nuk mbyllet më). Në praktikë, zonat me forma drejtkëndëshe, të rrumbullakëta dhe të trefishta janë gjithashtu të mprehura. Më poshtë janë treguesit se në teorinë e analizës matematikore jepen detyra strikte obmezhennosti, izolim, kordon, etj., Ale, mendoj se të gjithë duhet të jenë në gjendje të kuptojnë në një nivel intuitiv, por nuk keni nevojë për më shumë menjëherë.

Zona e sheshtë shënohet standardisht me një shkronjë, i, si rregull, caktohet në mënyrë analitike - dekilcoma është e barabartë (Jo obov'yazykovo lineare); më shumë si mospërputhje. Lëvizje tipike verbale: "një zonë e mbyllur, e rrethuar me vija".

Pjesë e padukshme e imja shikoi kokën e rajonit të obudovas në kolltuk. Si tse robiti? Është e nevojshme të kaloni të gjitha linjat e shpenguara (në këtë rast 3 drejt) Unë analizoj atë që ndodhi. Shkundni lehtë zonën për Shukanin dhe shihni kordonin si një vijë të theksuar:

Zona Qiu mund të vendoset i parregullsi lineare:, Unë mendoj se shpesh shkruaj një listë numërimi, dhe jo sistemi.
Pra, si të shtriheni midis rajoneve, atëherë gjithë nervozizmi, kuptohet, jo-suvori.

Dhe tani thelbi i çështjes. Tregoni se nga kalli i koordinatave gjithçka po ju vjen drejt. Le të shohim funksionin, si p.sh i pandërprerë në lëkurë pikat e rajonit. Orari i funksionit dhe dita sipërfaqe, më gëzon pak fakti që për hir të detyrës së sotme, nuk kemi nevojë të dimë për gjuhën, sikur të shohim sipërfaqen. Vaughn mund të ngrihet më lart, më poshtë, të kalojë banesën - nuk është e rëndësishme. Dhe është e rëndësishme të shkelni: zgіdno Teoremat e Weierstrass, i pandërprerë në qark i mbyllur zona, funksioni është i disponueshëm në më të madhin (nga "më të lartat") dhe më së paku ("më i ulëti") kuptimi, që është e nevojshme të dihet. Kuptime të tilla arrijnë ose në pika të palëvizshme, çfarë duhet të rajonitD , ose në pika, yakі shtrihen në kordonin e rajonit. Pse zgjidhja është e thjeshtë dhe e kuptueshme:

prapanicë 1

Në një zonë të mbyllur

Zgjidhje: Para së gjithash, është e nevojshme të përshkruani zonën në kolltuk. Fatkeqësisht, është teknikisht e rëndësishme për mua që të zhvilloj një model interaktiv të detyrës dhe do të sjell menjëherë një ilustrim përfundimtar për këtë, i cili tregon të gjitha pikat "të dyshimta" të gjetura gjatë hulumtimit. Tingëlloni erën e keqe të lëshuar një nga një në botën e manifestimit të tyre:

Preambula e Vyhodyachi, zgjidhja e ndarë manualisht në dy paragrafë:

I) Ne i njohim pikat stacionare. Tse standard diyu, yakі mi vazhdimisht vykonuvali në mësim rreth ekstremeve dhe ndryshimit dekilkoh:

Gjendet pika e palëvizshme zgjatem zonat: (Duket se është në kolltuk), Dhe kështu, ne duhet të llogarisim vlerën e funksionit në këtë pikë:

- jak i në statti Funksionet më dhe më pak të rëndësishme në vіdrіzku, Rezultate të rëndësishme do t'i shoh me shkronja të zeza. Në zoshitі їх vizatohet me dorë me një ulli.

Për të respektuar lumturinë e mikut tonë - nuk ka asnjë mënyrë për të ndryshuar sensin mjaft mendje deri në ekstrem. Pse? Navі akshcho në pikën që funksioni është i disponueshëm, për shembull, minimale lokale, NUK DO TË THOTË ÇFARË DO TË JETË minimale në të gjithë rajonin (Div. Mësimi i Kallirit për ekstremet e çmendura) .

Sa e fortë është që një pikë e palëvizshme NUK shtrihet në një zonë? Asgjë! Është e nevojshme të tregohet se çfarë të shkohet në pikën tjetër.

II) Doslіdzhuєmo kordoni i rajonit.

Copat e kufirit palosen nga anët e trikosë, pastaj ndahen me dorë në 3 nënpika. Ale me mire se zrobiti jo aby yak. Nga këndvështrimi im, në pjesën e prapme të syrit, shikoni vіrіzki, paralel me boshtet e koordinatave, dhe në rreshtin e parë - të shtriheni në vetë akset. Për të kapur të gjithë sekuencën dhe logjikën e veprimit, përpiquni të mësoni frazën "me një frymë":

1) Le të hedhim një vështrim në anën e poshtme të trikutnikut. Për të cilat është e mundur të përfaqësohet drejtpërdrejt në funksion:

Si opsion, mund ta lëshoni si kjo:

Gjeometrikisht do të thotë se rrafshi koordinativ (Yakak tezh kërkohet nga të barabartët)"Visikaє" sipërfaqe Parabola "hapësirë", maja e së cilës është shkelur keq nën dyshim. Më vjen keq, de fitoi për të ditur:

- të hiqet kuptimi i "goditit" në zonë, dhe në tërësi mund të jetë, ai në pikë (Duket si në kolltuk) funksioni arrin vlerën më të lartë ose më të ulët në të gjithë rajonin. Pra, chi іnakshe, ka kryer llogaritjen:

"Kandidatë" të tjerë - tse, zvichayno f, kіntsi vіdrіzka. Llogaritja e vlerës së funksionit në pikë (Duket si në kolltuk):

Këtu, para fjalimit, mund të shkruani një mini-verifikim sipas versionit "urized":

2) Për ndjekje anën e djathtë trikutnika i paraqitet funksionit dhe “aty i vendosim gjërat në rregull”:

Këtu ne shohim jehonën e zezë, që "kumbon" të njëjtën përmbledhje të fundit të erës:
, Vіdminno.

Situata gjeometrike është e diskutueshme me pikën e mëparshme:

- vlera otrimane tezh "ka hyrë në sferën e interesave tona", dhe për këtë arsye, është e nevojshme të llogaritet se cili funksion i rëndësishëm në pikë u shfaq:

Dolіdzhuєmo një tjetër kinets vіdrіzka:

funksion vikorist , Riverifikimi i kontrollit të Vikonaemo:

3) Në mënyrë të këndshme, të gjithë po hamendësojnë, sikur të kishin humbur anën e tyre. Zëvendësoni funksionin dhe kryeni sa vijon:

kіntsi vіdrіzka tashmë është bërë, por në të zezë gjithçka kontrollohet, nëse e dinim saktë funksionin :
- përputhet me rezultatin e nënpikës 1;
- përputhet me rezultatin e nënparagrafit 2.

Z'yasuvati ka humbur, chi є shchos tsіkave në mes të vіdrіzka:

- є! Duke zëvendësuar në vijë të drejtë, heqim ordinatën e qiєї "zikavinki":

Tregohet në pikën e kolltukut dhe dihet se vlera e funksionit është:

Ne kontrollojmë llogaritjen sipas versionit "buxheti". :
, Porosit.

І prerja përfundimtare: E RËNDËSISHME, duke rishikuar të gjithë numrat "të shëndoshë", ju rekomandoj që të krijoni një listë të vetme:

nga i cili zgjidhet vlera më e madhe dhe më e vogël. provë ne shkruajmë në stilin e zavdannya znakhodzhennya vlera më e madhe dhe më e vogël e funksionit në vіdrіzka:

Për çdo vipadok, komentoni edhe një herë kuptimin gjeometrik të rezultatit:
- këtu është pika më e rëndësishme sipërfaqësore në rajon;
- këtu është pika më e ulët e sipërfaqes në rajon.

Në detyrën e zgjidhur kishim 7 pikë "të dyshimta", por nga detyra në detyrë, numri ndryshon. Për zonën e trikove, minimumi "seti i fundit" përbëhet nga tre pikë. Merrni atë, nëse funksioni, për shembull, është vendosur banesë- është absolutisht e qartë se pikat e palëvizshme të ditës dhe funksioni mund të arrijnë vlerën më të madhe / më të vogël vetëm në majat e trikutnikut. Ale, aplikime të ngjashme një herë, dy herë, ajo mustaqe - unazë për t'i sjellë nënës në të djathtë siperfaqja e rendit 2.

Nëse bëni një gjë të tillë si kjo, atëherë mund ta mbështillni kokën si një kokë të thurur, dhe unë kam përgatitur për ju një prapanicë të pandarë që të bëhet katror :))

prapanicë 2

Njihni vlerën më të madhe dhe më të vogël të një funksioni ne nje zone te mbyllur, te rrethuar me vija

prapanicë 3

Zbuloni funksionet më të rëndësishme dhe më pak të rëndësishme në një zonë të mbyllur.

Respekt të veçantë kthimi në një rend dhe teknikë racionale për të arritur në kordonin e rajonit, si dhe në shtizën e rishikimeve të ndërmjetme, siç mund të lejohet të anulojë numrin e faljeve. Vzagali kazhuchi, vyrishuvati mund të jetë aq i mirë si kurrë më parë, por në deyaky zavdannya, për shembull, në të njëjtin Shembull 2, ka çdo shans për ta bërë ndjeshëm jetën tuaj më të lehtë. Një paraqitje e shkurtër e dizajnit përfundimtar të detyrës në fund të mësimit.

Ne sistemojmë algoritmin e zgjidhjes, përndryshe, për shkak të zellit tim, merimanga e verërave dukej se ishte zhdukur në fillin e vjetër të komenteve në prapanicën e parë:

- Në fazën e parë, rajoni do të jetë, її zashtrihuvat, dhe kordoni do të shihet me një vijë të theksuar. Gjatë ceremonisë shfaqen pika, të cilat duhet të vendosen në kolltuk.

- Njihni pikat stacionare dhe njehsoni vlerën e funksionit vetëm në qetësinë e tyre, Zona e shtrirjes Yaki. Kuptimi Otrimani shihet në tekst (për shembull, i rrethuar në ullinj). Nëse një pikë e palëvizshme NUK shtrihet në një zonë, atëherë ky fakt tregohet me një ikonë ose verbalisht. Meqenëse nuk ka pika fikse, atëherë letra të turpshme për ata që qelbet çdo ditë. Është e pamundur të kalosh pikën e kontrollit në asnjë mënyrë daneze!

- Doslіdzhuєmo kordoni i rajonit. Pjesa e pasme e kokës mund të shihet nga linjat e drejta, të cilat janë paralele me boshtet koordinative (Yakscho so є vzagali). Vlera e funksionit, e llogaritur në pikat "të dyshimta", është gjithashtu e dukshme. Është thënë shumë më tepër për teknikën e zgjidhjes, dhe më shumë do të thuhet më poshtë - lexoni, rilexoni, kuptoni!

- Nga vështrimi i numrave, ne zgjedhim më të rëndësishmin dhe më pak të rëndësishëm dhe japim përgjigjen. Në disa raste, një funksion i tillë mund të arrihet menjëherë në pikat e dekalimit - në të njëjtën mënyrë, të gjitha pikat ndjekin të njëjtin model. Hajde, për shembull, dhe doli se cila ishte më pak e rëndësishme. Pastaj e shkruajmë atë

Shembujt kryesorë i kushtohen ideve të tjera të çuditshme, në mënyrë që të bëheni me fat në praktikë:

prapanicë 4

Gjeni vlerën më të madhe dhe më të vogël të një funksioni në një zonë të mbyllur .

Unë kam marrë formulën e autorit, në cilën zonë është dhënë në një pamje të pabarabartë të nënrrymës. Mendja Qiu mund të shkruhet me një sistem ekuivalent, ose në një mënyrë më tradicionale për një detyrë të caktuar:

Gjeje çfarë jolineare Unë u përplasa me parregullsi dhe nëse nuk e kuptoni ndjesinë gjeometrike të regjistrimit, atëherë jini të sjellshëm, mos më lejoni ta sqaroj situatën menjëherë ;-)

Zgjidhje, Si rregull, nis nga nxitja e rajonit, pasi përfaqëson “pistoletën” e vet:

Hmm, ndonjëherë nuk janë vetëm granitët e shkencës që sillen për të kafshuar….

I) Ne i njohim pikat stacionare:

System-mriya idiota :)

Një pikë e palëvizshme shtrihet në rajon, dhe vetë, shtrihet në kordonin її.

Dhe kështu, atje, asgjë ... mësim argëtues pishov - çfarë do të thotë të pish çajin e duhur \u003d)

II) Doslіdzhuєmo kordoni i rajonit. Jo me dinakëri, le t'i hedhim një sy boshtit të abscisës:

1) Yakscho, atëherë

Ne e dimë, në krye të parabolës:
- vlerësoni momente të tilla - ata "shpenzuan" drejtpërdrejt në pikën, pasi gjithçka është tashmë e qartë. Ale, për riverifikimin, një gjë nuk harrohet:

Le të llogarisim vlerën e funksionit në skajet e mbështjelljes:

2) Me pjesën e poshtme të "këmbës" e marrim "për një ulje" - pa asnjë kompleks, i paraqitet funksionit, për më tepër, do të jemi më pak se të dehur:

kontrolli:

Boshti tashmë duhet të sjellë deake pozhavlennya në një udhëtim monoton përgjatë rrotës së përthyer. Ne i dimë pikat kritike:

në mënyrë të shkëlqyer shtrirje katrore E mbani mend Takën? ... Tim, mbaj mend, padyshim, përndryshe nuk do të kishe lexuar rreshtat \u003d) Ashtu si në dy prapanicat e përparme, kishte llogaritje të qarta në dhjetore(E cila, para fjalimit, rіdkіst), atëherë këtu kontrollohemi nga thyesat zvichnі zvichaynі. Ne e dimë rrënjën "iksovі" dhe sipas rіvnyanyu nënkuptojmë koordinatat e ndryshme "igreke" të pikave - "kandidatët":

Le të llogarisim vlerën e funksionit në pikat e njohura:

Rikontrolloni sipas funksionit për ta kryer në mënyrë të pavarur.

Tani është e respektueshme të fitosh trofe dhe të regjistrosh provë:

Boshti është “kandidatët”, pra “kandidatët”!

Për një zgjidhje të pavarur:

prapanicë 5

Gjeni vlerën më të vogël dhe më të madhe të një funksioni në një zonë të mbyllur

Një hyrje me harqe kaçurrelë lexon kështu: "pika jopersonale, të tilla që".

Të tjerët në vikorist të ngjashëm Metoda e shumëzuesit të Lagranzhit, Ale, nevoja për joga është vërtet reale. Kështu, për shembull, nëse një funksion i jepet zonës "de", atëherë pas zëvendësimit në të - me një pamje të ngjashme të çdo vështirësie; Për më tepër, gjithçka është hartuar "në një rresht" (me shenja) pa pasur nevojë të shikoni okremo pіvkola sipërme dhe të poshtme. Por, padyshim, ka më shumë rënie të palosshme, pa funksionin Lagrange (Për shembull, të njëjtin aksion të barabartë)është e rëndësishme të shkosh mirë - sa e rëndësishme është të shkosh mirë pa një fillim të mirë!

Të gjitha të mirat për të mbajtur një seancë dhe për zustrіch suedez në sezonin e ardhshëm!

Zgjidhje dhe sugjerime:

Shembulli 2: Zgjidhje: Shfaqja e zonës në kolltuk: