Përcaktoni pikat kritike të funksionit në internet. Funksioni ekstrem. ekstremi i nevojshëm intelektual

Tse dosit ende tsіkavy razdіl matematikanët, s stikayutsya absolutisht të gjitha klasat uchnі diplomimit që studentët. Prote është larg nga të qenit i përshtatshëm për lëkurën matan. Deyakі nuk mund t'i kuptojë fjalimet elementare deri në pikën, siç duket, një funksion standard përcjellës. Ky artikull u kërkua për të korrigjuar faljen. Dëshironi të mësoni më shumë rreth analizës së funksionit? Dëshironi të dini se cilat janë pikat ekstreme dhe si të dini? Pastaj jepet një artikull për ju.

Orari tjetër i funksionit

Për kalli varto zrozumіti, navіscho vzagali është e nevojshme të analizohet orari. Іsnuyut thjeshtë funktsії, nakresliti yakі nuk është një depo e vështirë. Mund të përdorim një parabolë si shembull të një funksioni të ngjashëm. Merrni orarin її jo në magazinë e vështirë. Gjithçka është e nevojshme, kështu që për ndihmën e një transformimi të thjeshtë, duhet të dini numrat për të cilët funksioni merr vlerën 0. Në parim, duhet të dini gjithçka për të krijuar një grafik parabolë.

Po puna, si është një funksion, çfarë orari duhet të krijojmë, të palosur mjaft? Pjesët e fuqisë së funksioneve të palosjes nuk janë ende të dukshme, është e nevojshme të bëhet një analizë e tërë. Vetëm pak më vonë, ju mund ta përshkruani funksionin në mënyrë grafike. Si mund ta thoni? Ju mund të mësoni rreth zinxhirit të furnizimit me energji elektrike në këtë artikull.

Plani i analizës së funksionit

Gjëja e parë që duhet të bëni është të kryeni një ndjekje sipërfaqësore të funksionit, gjatë së cilës ne e dimë qëllimin e detyrës. Oh, le ta bëjmë me radhë. Zona e emërimit është tërësia e kuptimit të qetë, funksioni i të cilit është vendosur. Në dukje më të thjeshta, këta janë numrat, kështu që ju mund të fitoni në funksionin e zëvendësimit të x. Për të përcaktuar qëllimin e detyrës, thjesht duhet të shikoni të dhënat. Për shembull, është e qartë se funksioni y (x) \u003d x 3 + x 2 - x + 43 ka një zonë të caktuar - numra realë jopersonalë. Epo, me funksionin e një syri (x 2 - 2x) / x të gjithë trohi іnakshe. Nëse numri në baner nuk është fajtor për shtimin e 0, atëherë zona e caktuar për këtë funksion do të jetë të gjithë numrat e vlefshëm, përveç zeros.

Është e nevojshme të njihen emrat e funksioneve zero. Duke pasur parasysh vlerën e argumentit, për të cilin i gjithë funksioni merr vlerën zero. Për të cilët është e nevojshme të barazohet funksioni me zero, të raportojë dhe të përpunojë veprat e transformimit. Le të marrim funksionin y (x) \u003d (x 2 - 2x) / x që tashmë e dimë. Nga kursi i këmbimit të shkollës, ne e dimë se kostoja është 0 nëse numri është zero. Për këtë, flamuri i numrit të mi vіdkidaєmo i pomenaemo pratsyuvati, duke barazuar Yogo me zero. Marrim x 2 - 2x \u003d 0 dhe nxjerrim x nga kllapat. Vlerat x (x - 2) \u003d 0. Si rezultat, marrim parasysh që funksioni ynë është i barabartë me zero nëse x është i barabartë me 0 ose 2.

Në orën tjetër, grafiku i funksionit është shumë afër problemit në pikën e ekstremit. Dhe është e mrekullueshme. Aje extremumi - tse dosit është një temë e thjeshtë. Nuk e besoj? Ndryshoni veten, pasi të keni lexuar këtë pjesë të artikullit, në këtë artikull do të flasim për pikët minimale dhe maksimale.

Për kalli, varto do të rritet në atë që është një ekstrem. Ekstremum - vlera kufitare tse, si shtrirja e funksionit në grafikë. Është e nevojshme të dilni, e cila ka dy vlera ekstreme - maksimale dhe minimale. Për qartësi, mund të shikoni foton, e cila është më e detajuar. Në rajonin tjetër, pika -1 është maksimumi i funksionit y (x) \u003d x 5 - 5x, dhe pika 1, padyshim, është minimumi.

Pra, mos u largoni të keqkuptuar nga ju. Pikat ekstreme të funksionit janë të njëjtat argumente, për të cilat funksionit i jepen vlera ekstreme. Në mënyrën e tyre, ekstremet quhen vlerat e minimumeve dhe maksimaleve të funksionit. Për shembull, do t'i shikoj sërish të vegjlit. -1 і 1 janë pikat e ekstremit të funksionit, dhe 4 і -4 janë vetë ekstremet.

Njohja e pikës ekstreme

Por si i dini pikat ekstreme të një funksioni? Gjithçka është e lehtë për t'u bërë. Gjëja e parë që duhet të dini është të dini se si të jeni të zgjuar. Supozoni se morëm detyrën: "Gjeni pikat e ekstremumit të funksionit y (x), x është argumenti. Për saktësi, marrim funksionin y (x) \u003d x 3 + 2x 2 + x + 54. Ne kryejmë diferencimin dhe marrim të barabartën e avancuar: 3x 2 + 4x + 1. Si rezultat, ne zbritëm barazimin standard të katrorit. Gjithçka që duhej ishte ta barazojmë atë me zero dhe të dimë rrënjën. їх і marrim dy vlera : 1/3 і -1 Për shembull, le të marrim numrin -2, pasi e dimë vlerën përgjatë vijës së koordinatave në -1. që në intervalin ndërmjet 1/3 dhe -1 funksioni rritet. id min z mospërputhje deri në 1/3 id -1 në plus mospërputhje funksioni zvogëlohet. Në këtë mënyrë, është e mundur të bëhet visnovok, se numri 1/3 është pika e minimumit të funksionit në intervalin e fundit, dhe -1 është pika e maksimumit.

Do të thotë gjithashtu se nuk është e lehtë të njohësh pikat ekstreme në EDI, por edhe të kryesh një operacion me to (shto, shumëzo, etj.). Same z ієї shkaktojnë varto bishë respekt të veçantë ki parasysh. Aje permes mosrespektimit mund te harxhoj bali.

funksionin y \u003d f (x) quhet në rritje (recesionare) Në një interval të caktuar, edhe nëse x 1< x 2 выполняется неравенство (f (x 1) < f (x 2) (f (x 1) >f(x2)).

Nëse funksioni y \u003d f (x) diferencohet me një rritje (në rënie), atëherë її është i ngjashëm me atë degë f " (x)> 0

(f"(X)< 0).

Krapka x rreth thirrur pikë maksimale lokale (minimale) Funksionet f (x), si dhe rrethina e një pike x pro, Për të gjitha pikat, është e vërtetë që f (x)≤ f (x o) (f (x)≥ f (x o)).

Quhen pikat maksimale dhe minimale pika ekstreme, Dhe vlera e funksionit në këto pika - її ekstreme.

pika ekstreme

Mendja e nevojshme ekstreme . si një pikë x rreth e pika e ekstremumit të funksionit f (x), pastaj ose f " (x o) \u003d 0, ose f(x o) nuk e di. Emërtoni pika të tilla kritike për më tepër, vetë funksioni përcaktohet në pikën kritike. Funksionet ekstreme pranë mesit të її pikave kritike.

Mendja e parë mjafton. Eja x rreth - pikë kritike. Yakscho f" (x) kur kalon nëpër një pikë x rreth ndryshoni shenjën plus në minus, pastaj në pikë x pro funksioni mund të jetë maksimal, në rastin tjetër - minimal. Nëse, kur kalon nëpër një pikë kritike, nuk ndryshon shenjën, atëherë në pikë x rreth nuk ka ekstrem.

Një mendje tjetër mjaft. Le të jetë funksioni f (x).
f" (x) rreth pikës x rreth dhe shokun f "" (x 0) në të njëjtën pikë x pro. Yakscho f"(x pro) \u003d 0, f "" (x 0)\u003e 0 (f "" (x 0)<0), то точка x proє pika e minimumit lokal (maksimumit) të funksionit f (x). Ashtu si f "" (x 0) \u003d 0, atëherë është e nevojshme ose të fitoni mendjen e parë të mjaftueshme, ose të merrni gjërat.

Në krye, funksioni y \u003d f (x) mund të arrijë vlerën më të vogël ose më të madhe, qoftë në pikat kritike, ose në skajet e majës.

Stoku 3.22.

Zgjidhje. pra jak f " (

Detyra e njohjes së ekstremit të funksionit

Stoku 3.23. a

Zgjidhje. x і y y
0 ≤ x≤
\u003e 0, ndërsa x\u003e a / 4 S " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение funksione sq.. një).

Stoku 3.24. p ≈

Zgjidhje. fq
S"
R \u003d 2, H \u003d 16/4 \u003d 4.

Stoku 3.22.Gjeni ekstremet e funksionit f (x) \u003d 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

Zgjidhje. pra jak f " (x) \u003d 6x 2 - 30x +36 \u003d 6 (x -2) (x - 3), pastaj pikat kritike të funksionit x 1 \u003d 2 і x 2 \u003d 3. Ekstremet mund të jenë vetëm në këto pika . Meqenëse kur kaloni nëpër pikën x 1 \u003d 2, është e nevojshme të ndryshoni shenjën plus në minus, atëherë funksioni ka një maksimum në pikën x. Kur kaloni nëpër pikën x 2 \u003d 3, është e ngjashme të ndryshoni shenjën minus në një plus, në atë që në pikën x 2 \u003d 3 funksioni ka një minimum. Kuptimi i vlerave të funksionit në pikë
x 1 \u003d 2 і x 2 \u003d 3

Stoku 3.23.Është e nevojshme të inkurajohet një maidanchik i prerë drejt që të rrahë një mur guri në mënyrë që nga tre anët të jetë i mbuluar me një rrjetë shigjetë, dhe në anën e katërt të ngjitet me murin. Për kë? a vrapues metra rrjetë. Me çfarë lloj spіvvіdnoshnіnі storіn maidanchik matima më katror?

Zgjidhje.Në mënyrë domethënëse, anët e Maidanchik përmes x і y. Sheshi i Maidanchik është më i shtrenjtë S \u003d xy. Eja y- tse dozhina e anës, që ngjitet me murin. Todі për umovoy levy vykonuvatysya qetësi 2x + y \u003d a. Tom y \u003d a - 2x і S \u003d x (a - 2x), de
0 ≤ x≤ a / 2 (gjatësia dhe gjerësia e fushës nuk mund të jenë negative). S "\u003d a - 4x, a - 4x \u003d 0 në x \u003d a / 4, yje
y \u003d a - 2 × a / 4 \u003d a / 2. copa x \u003d a / 4 - një pikë e vetme kritike, e kthyeshme, shenja e tjetrës ndryshon kur kalon nëpër këtë pikë. Për x a / 4 S "\u003e 0, ndërsa x\u003e a / 4 S " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение funksione S (a / 4) \u003d a / 4 (a - a / 2) \u003d a 2/8 (sq.. një). Shkallëzimi S është jo i përhershëm në і її vlera në kintet S (0) і S (a / 2) arrin zero, atëherë vlera do të jetë vlera më e madhe e funksionit. Në këtë gradë, mbështetja më e madhe për mbështetjen e anëve të Maidan për mendjet e dhëna të detyrës është є y \u003d 2x.

Stoku 3.24.Është e nevojshme të përgatitet një rezervuar cilindrik i mbyllur për lokalitetin V \u003d 16 p ≈ 50 m3.

Zgjidhje.Sipërfaqja totale e cilindrit është e fortë S \u003d 2 fq R (R + H). Ne e dimë cilindrin V \u003d p R 2 N Þ N \u003d V / p R 2 \u003d 16 p / p R 2 \u003d 16 / R 2. Pra, S (R) \u003d 2 fq (R2+16/R). Ne i dimë funksionet e mëposhtme:
S"(R) \u003d 2 p (2R- 16 / R 2) \u003d 4 p (R- 8 / R 2). S" (R) \u003d 0 për R 3 \u003d 8, gjithashtu
R \u003d 2, H \u003d 16/4 \u003d 4.

Emërimi 1. Pika M (x 0; y 0) quhet pika e maksimumit (minimum) të funksionit z \u003d f (x; y), e cila është periferia e pikës M, e tillë që për të gjitha pikat (x; y ) vrazhdësia eliminohet:

f (x 0; y 0)  f (x; y),.

teorema 1 (Arsyeja e nevojshme për ekstrem) . Nëse funksioni i diferencuar z \u003d f (x; y) arrin ekstremin në pikën M (x 0; y 0), atëherë kalimet private të rendit të parë në pikën z arrijnë zero, kështu që
;

Quhen pikat në të cilat vlerat private janë të barabarta me zero stacionare ose pikat kritike.

teorema 2 (Arsye e mjaftueshme për ekstrem)

Le të jetë funksioni z \u003d f (x; y):

a) i caktohet rrymës pranë pikës (x 0; y 0), në të cilën
і
;

b) mundet ne kete pike pa nderprerje pushime private me nje radhe tjeter

;

Atëherë, nëse  \u003d АС  B 2\u003e 0, atëherë në pikën (x 0; y 0) funksioni z \u003d f (x; y) mund të ketë një ekstrem, për më tepër, edhe A< 0 (или С < 0) – максимум, если А >0 (ose С\u003e 0) - minimale. U herë  \u003d AC  B 2< 0, функция z = f(x; y) экстремума не имеет. Если  = AC  B 2 = 0, то требуется дальнейшее исследование (сомнительный случай).

Shembulli 1. Gjeni ekstremin e funksionit z \u003d x 2 + xy + y 2  3x  6y.

Zgjidhje. Ne i dimë ngjarjet private të rendit të parë:

Ne po përshpejtojmë arsyen e nevojshme mendore për ekstremin:

Sistemi Virishyuchi i barabartë, ne i dimë koordinatat x і y pikat stacionare: x \u003d 0; y \u003d 3, d.m.th. M (0; 3).

Le të numërojmë ngjashmëritë private të një rendi të ndryshëm dhe të dimë vlerat e tyre në pikën M.

Një \u003d
\u003d 2; C \u003d
= 2;

Në \u003d
.

Diskriminues i inventarit  \u003d AC  B 2 \u003d 2  2  1\u003e 0, A \u003d 2\u003e 0. Gjithashtu, në pikën M (0; 3) jepet maksimumi i funksionit. Vlera e funksionit në pikën e th z min \u003d 9.

Njihni ekstremet e funksioneve

322. z \u003d x 2 + y 2 + xy  4x  5y 323. z \u003d y 3  x 3  3xy

324.z \u003d x 2  2xy + 4y 3 325.z \u003d
 y 2  x + 6y

326. z \u003d x y (1  x  y) 327. z \u003d 2xy  4x  2y

328. z \u003d e  x / 2 (x + y 2) 329. z \u003d x 3 + 8y 3  6xy + 1

330. z \u003d 3x 2 y  x 3  y 4 331. z \u003d 3x + 6y  x 2  xy + y 2

Vlera më e lartë dhe më e ulët e funksionit të dy ndryshoreve në një zonë të mbyllur

Për të ditur shumica і më së paku Vlera e funksionit në një zonë të mbyllur, kërkohet:

1) të njohë pikat kritike, të shpërndara në zonën e caktuar dhe të llogaritë vlerat e funksionit në këto pika;

2) të njohë pikat kritike në zonën e kordonit dhe të numërojë më shumë vlera më e vogël funksionon në to;

3) nga vlerat e njohura, zgjidhni më të madhin dhe më të voglin.

Shembulli 2. Gjeni vlerën më të lartë dhe më të ulët të një funksioni z \u003d
kur x 2 + y 2  1.

Zgjidhje. Dimë koordinatat e pikave kritike, të shtrira në mes të zonës së dhënë, për të cilat llogarisim funksionet private të rendit të parë z dhe i barazojmë me zero.

yjet x \u003d 0, y \u003d 0 i, gjithashtu, M (0; 0) është një pikë kritike.

Ne llogarisim vlerën e funksionit z në pikën M (0; 0): z (0; 0) \u003d 2.

Ne i dimë pikat kritike në kordonin e rajonit  rrethi i dhënë nga drejtëzat x 2 + y 2 \u003d 1. Duke zëvendësuar y 2 \u003d 1  x 2 në funksionin z \u003d z (x; y), ne zbres funksionin e një ndryshimi

z \u003d
;

për më tepër x [1; një].

duke llogaritur koston
dhe vendosja e її në zero, pikat kritike në zonën e kordonit hiqen x 1 \u003d 0, x 2 \u003d , X 3 \u003d

Ne e dimë vlerën e funksionit z (x) \u003d
në pikat kritike dhe në skajet e vіdrіzka [1; 1]: z (0) \u003d;
=;
; z (1) \u003d; z (1) \u003d

Ne zgjedhim vlerat më të mëdha dhe më të vogla mesatare të funksionit z në pikat kritike, të shtrira në mes dhe në kordonin e kunjit.

Otzhe, z max. \u003d Z (0; 0) \u003d 2

Pra, mund të thuhet se në këto pika funksioni ndryshon drejtpërdrejt: nëse funksioni pushon së rënë dhe fillon të rritet - e njëjta pikë është minimumi, dhe tjetra është maksimumi.

Minimumet dhe maksimalet thirren menjëherë funksioni ekstrem.

Me fjalë të tjera, të pesë pikat, që shihen më shumë në tabelë, janë ekstreme.

Nëse dikush i di pikat, nuk është problem, kështu që nuk keni një tabelë funksionesh.

Respekt! nëse shkruani ekstreme përndryshe, maksimumi / minimumet mund të varen nga vlera e funksionit tobto \\ (Y \\). nëse shkruani pikat ekstreme ose pikat e maksimumeve/minimumeve mund të jenë në vazі іksi në të cilat arrihen maksimalet/minimumet. Për shembull, për pak më shumë, \\ (- 5 \\) është pika e minimumit (ose pika e ekstremit), dhe \\ (1 \\) është minimumi (ose ekstremi).

Si të njihen pikat e ekstremeve të funksionit pas orarit të së ardhmes (dita e 7-të e EDI)?

Le të dimë menjëherë sa pikë në ekstremin e funksionit për grafikun e ngjashëm me aplikacionin:

Ne kemi dhënë një grafik - do të thotë që në disa pika të grafikut duket si zero. Natyrisht, pikat janë \\ (- 13 \\), \\ (- 11 \\), \\ (- 9 \\), \\ (- 7 \\) dhe \\ (3 \\). Numri i pikave për ekstremin e funksionit është \\ (5 \\).

Respekt! Si jepet orari më qesharake funksionon, por duhet ta dini pikat ekstreme të funksionit, Nuk na interesojnë maksimumet dhe minimumet e më të këqijave! Ne marrim parasysh pikat në të cilat disa funksione kthehen në zero (kjo është arsyeja pse të gjitha \\ (x \\) janë përmbysur).

Si të njohim pikët maksimale dhe minimale të funksionit për orarin e së ardhmes (detyra e 7-të e ED)?

Për t'iu përgjigjur zinxhirit ushqimor, është e nevojshme të hamendësoni dy rregulla të rëndësishme:

- Pokhіdna është pozitive atje, funksioni rritet.
- Pokhіdna është negative atje, de funkt_ya ulet.

Për ndihmën e këtyre rregullave, le të shohim grafikun e pikës lëvizëse të minimumit dhe maksimumit të funksionit.

Ishte e qartë se minimalet dhe maksimalet kërkohen për të gjetur pikat e mesme të ekstremeve, pastaj mesin \\ (- 13 \\), \\ (- 11 \\), \\ (- 9 \\), \\ (- 7 \\) і \\ (3 \\).

Për ta bërë më të lehtë zgjidhjen e problemit, vendosim shenja plus dhe minus në kokën e vogël, që do të thotë shenjë e të ardhmes. Shigjetat Potim - tregojnë rritjen, rënien e funksionit.

Le të themi vetëm \\ (- 13 \\): para \\ (- 13 \\) është pozitiv, kështu që funksioni rritet, pastaj është negativ, kështu që funksioni bie. Pasi ta shihni, bëhet e qartë se \\ (- 13 \\) është pika maksimale.

\\ (- 11 \\): hera e parë është pozitive, dhe më pas është negative; Provoni përsëri të vizatoni disa ide dhe do t'ju bëhet e qartë se \\ (- 11 \\) është minimumi.

\\ (- 9 \\): funksioni rritet, dhe më pas ndryshon - maksimumi.

\\ (- 7 \\): minimale.

\\ (3 \\): maksimumi.

Të gjitha sa më sipër mund të jenë zagalniti me mustaqe hapëse:

- Funksioni mund të ketë një maksimum atje, de pokhіdna dorivnyuє zero dhe të ndryshojë shenjën plus në minus.
- Funksioni mund të jetë të paktën aty, de pokhіdna në zero dhe të ndryshojë shenjën nga minus në plus.

Si të njohim pikat maksimale dhe minimale, si dhe formulën e funksionit (detyra 12 ЄДІ)?

Për të kontrolluar zinxhirin ushqimor, duhet të punoni njësoj si në paragrafin përpara: ju e dini që është pozitiv, se është negativ dhe se është zero. Për të qenë më i mençur, unë do të shkruaj një algoritëm me një prapanicë zgjidhjeje:

1. Gjeni funksionet e mëposhtme \\ (f "(x) \\).
2. Gjeni rrënjët rrënjë \\ (f "(x) \u003d 0 \\).
3. Vizatoni të gjitha \\ (x \\) dhe shënoni mbi të pikat që hiqen në paragrafin 2, tregoni harqet e boshllëqeve, mbi të cilat është thyer e tëra. Shkruani mbi rreshtin \\ (f "(x) \\), dhe nën rreshtin \\ (f (x) \\).
4. Gjeni shenjën e duhur në hendekun e lëkurës (me metodën e intervaleve).
5. Vendosni një shenjë të së majtës në hendekun e lëkurës (mbi krye) dhe përdorni shigjetën për të treguar një rritje (↗) ose një ulje (↘) të funksionit (nën fund).
6. Vini re se si ka ndryshuar shenja e të kundërtës kur kaloni nëpër pikat e hequra në paragrafin 2:
   - nëse \\ (f '(x) \\) ndryshoi shenjën e z "\\ (+ \\)" në "\\ (- \\)", atëherë \\ (x_1 \\) është pika maksimale ;
   - nëse \\ (f '(x) \\) ndryshoi shenjën nga "\\ (- \\)" në "\\ (+ \\)", atëherë \\ (x_3 \\) është pika minimale;
   - nëse \\ (f '(x) \\) nuk ka ndryshuar shenjën, atëherë \\ (x_2 \\) mund të jetë një pikë pushimi.

Mustaqe! Gjenden pikat maksimale dhe minimale.

Imazhet në boshtin e pikës në disa të ngjashme me zero - shkalla nuk mund të korrigjohet. Sjellja e funksionit mund të tregohet pasi është zbërthyer pak. Pra, do të jetë e qartë de maksimumi, dhe de minimumi.

prapanicë(EDI). Gjeni pikën maksimale të funksionit \\ (y \u003d 3x ^ 5-20x ^ 3-54 \\).
Zgjidhja:
1. Ne i dimë funksionet e mëposhtme: \\ (y "\u003d 15x ^ 4-60x ^ 2 \\).
2. Udhëtoni deri në zero dhe virishimo është i barabartë:

\\ (15x^4-60x^2 \u003d 0 \\) \\ (|:15 \\)
\\ (X^4-4x^2 \u003d 0 \\)
\\ (X^2 (x^2-4) \u003d 0 \\)
\\ (X \u003d 0 \\) \\ (x^2-4 \u003d 0 \\)
\\ (X \u003d ± 2 \\)

3. - 6. Vendosim pikë në vlerën numerike dhe janë domethënëse, pasi shenja e të ngjashmes ndryshon dhe funksioni shembet:

Tani është e qartë se pika maksimale është є \\ (- 2 \\).

provë. \(-2\).

Detyra e optimizimit të fajit është nevoja për të njohur ekstremet funksionet e dy e më shumë per mendjen tende cila eshte lidhja ndermjet ndryshimit te lidhjes me cym, qe u jepet barazimeve . Kush dëshiron të thotë atë që duhet të dijë ekstrem mendor .

Për të njohur ekstremin intelektual, është e nevojshme të dihet pushime private dhe virishuvati sistemet rivnyan Algoritmi Іnuє për njohjen e ekstremit mendor nga tre krokiv, i cili është ngjitës dhe i renditur në prapanicë, dhe sensi gjeometrik i ekstremit mendor, i cili është fajtor për të shkuar në lëkurë kur zgjidh vetë prapanicën.

Otzhe, algoritmi, i cili zgjidhet në bazë të detyrës më të gjerë - njohja e ekstremit mendor të funksionit të dy variablave. .

Krok 1. hyjnë Funksioni i Lagranzhit

shtesa e parë është vetë funksioni kalli, dhe shtesa tjetër me shenjën minus - pjesa e majtë e ekuacionit është e barabartë me lidhjen, shumëzuar me (lambda) - shumëzuesi Lagranzh.

Shembulli 1. e di ekstreme të zgjuara funksionet e dy zminnyh, të cilat përkulin zonën e drejtkëndëshit përmes anës yogo x і y per mendjen cfare do te thote, cfare eshte baza e shkopit, me te cilen mund te rrethohet kjo prerje e drejte, dhe gjatesia e bobines se pellit eshte e shtrenjte 100.

Krok 1. Zgjidhje. Le ta sjellim lidhjen në nivelin e nevojshëm me një zero në pjesën e djathtë:

.

të deponueshme Funksioni i Lagranzhit:

Krok 2. Ne kemi bashkuar një sistem të barazimit të barazive pushime private zero i barazova lidhjen inteligjente (shenjë e nevojshme e arsyes së ekstremit të zgjuar):

Zgjidhja e sistemit është e barabartë me pikat e një ekstremi të mundshëm intelektual - pika stacionare ose, siç duket, pika kritike.

Prapa 1. Krok 2.

Zgjidhje.

x і y :

Duke zëvendësuar qi virazi në barazimin e tretë dhe ne e dimë vlerën e shumëzuesit të Lagranzhit:

x і y dhe ne e dimë kuptimin e ndryshimit të funksioneve të prodhimit:

Ata morën i. Numri i vlerave është gjithashtu koordinatat e një pike të palëvizshme. Me këtë urdhër, ata morën një pikë të palëvizshme.

Krok 3. Le të jetë një pikë e palëvizshme, e gjetur në lakoren 2. Për të përcaktuar nëse është një ekstrem mendor, një minimum apo një maksimum, është e nevojshme të dihet një diferencial tjetër i funksionit të Lagranzhit.

dhe në një mënyrë tjetër, zëvendësoni vlerën "lambda" її (vlera e shumëzuesit Lagrange) që gjendet në croc 2.

Nëse vlera e një diferenciali tjetër të funksionit të Lagranzhit është më e vogël se zero (), atëherë pika e palëvizshme është pika maksimale, nëse është më e madhe se zero (), atëherë pika e palëvizshme është pika minimale. Edhe pse vlera e një diferenciali tjetër të funksionit të Lagranzhit është më afër zeros, atëherë kërkohen hapa shtesë, por devijime të tilla praktikisht nuk bllokohen në detyrat që u jepen studentëve.

Koordinatat e pikave stacionare dorëzohen në pikën dalëse i, në këtë renditje na mbetet të dimë ekstreme të zgjuara (Ose minimale dhe maksimale ose një nga këto ekstreme).

Prapa 1. Krok 3.

Zgjidhje. Ne njohim një diferencial tjetër të funksionit Lagrange:

Sipas mendimit tonë, duke qenë se magazinat e para dhe të treta mblidhen me zero, nuk do të mund të vendosim në to vlerën e shumëzuesit Lagranzh. Atëherë është e nevojshme të dihet ndryshimi midis diferencialeve dx і dy :

Pra, ndërsa e heqim kuptimin - duke u përhapur pas shenjës, atëherë do ta heqim atë, në çdo rast.

Tani mund ta dimë kuptimin ekstrem mendor funksioni i daljes, i cili është maksimumi:

.

Kjo jepet nga funksioni i sipërfaqes maksimale të drejtkëndëshit, i cili mund të rrethohet nga një motuzka, gjatësia e së cilës është 100.

Shembulli 2. e di ekstreme të zgjuara

Krok 1. të deponueshme Funksioni i Lagranzhit:

Krok 2. Na tregoni funksionet private të ngjashme të Lagranzhit dhe ruajini ato të barabarta me zero dhe barazoni sistemin e barazimit:

Nga i pari dhe i dyti janë të barabartë x і y :

Duke zëvendësuar qi virazi në barazimin e tretë dhe ne e dimë vlerën e shumëzuesit të Lagranzhit:

Duke zëvendësuar tani vlerën e shumëzuesit të Lagranzhit në Virazi për x і y dhe ne e dimë vlerën e ndryshimit të funksionit të prodhimit për dy vlera të shumëzuesit Lagrange:

Vlerat e ixi dhe Іgrek janë koordinatat e dy pikave të palëvizshme. Në këtë gradë, ata hoqën pikë të palëvizshme .

Krok 3. Ne i njohim funksionet private të ngjashme të Lagranzhit në një mënyrë tjetër:

Ne njohim një diferencial tjetër të funksionit të Lagranzhit me formulë

:

Ne hoqëm vlerën, më pak se zero, otzhe, dot - dot maksimumi mendor:

.

Fusim shenjën e një diferenciali tjetër të funksionit Lagranzh në vlerën e shumëzuesit Lagranzh:

Ne hoqëm vlerën, më të madhe se zero, pastaj, pikë - pikë minimumi mendor:

.

në një mënyrë të tillë, ekstreme të zgjuara gjetur funksionin e dhënë.

Shembulli 3. e di ekstreme të zgjuara funksionet e dy mendjeve.

Krok 1. të deponueshme Funksioni i Lagranzhit:

Krok 2. Na tregoni funksionet private të ngjashme të Lagranzhit dhe ruajini ato të barabarta me zero dhe barazoni sistemin e barazimit:

Nga i pari dhe i dyti janë të barabartë x і y :

Ne mendojmë se, megjithatë, zëvendësimi i këtyre vlerave të ndryshuara në nivelin e tretë të sistemit nuk jep barazi të vërtetë. Prandaj, është e rëndësishme që bashkë-shumëzuesi tjetër i barazisë të jetë realisht i barabartë me zero:. Zvіdsi otrimuєmo

Shukaemo koordinatat e pikave të palëvizshme në vlerën e shumëzuesit Lagranzh. Todi z viraziv për iksi i Іgreka z sistem barazohet me rrëshqitje, sho. Nga niveli i tretë i sistemit është marrë.