Презентація на тему "схема горнера". ІІІ. Приклади задач з рішеннями Формула горнера
Багаточлен виду
a n x n + a n-1 x n-1 + a n-2 x n-2 + ... + a 1 x + a 0
можна розкласти на множники за схемою Горнера,якщо відомий хоча б 1 його корінь.
Розберемо поділ за схемою Горнера з прикладу:
2x 4 + 9x 3 - 10x 2 - 27x - 10
Для початку необхідно шляхом вибору знайти один корінь. Зазвичай він є дільником вільного члена. У цьому випадку дільниками числа -10 є ±1, ±2, ±5, ±10.Почнемо їх підставляти по черзі:
1: 2 + 9 - 10 - 27 - 10 = -36 ⇒ число 1
-1: 2 - 9 - 10 + 27 - 10 = 0 ⇒ число -1 є коренем багаточлена
Ми знайшли один з коренів багаточлена. Коренем багаточлена є -1, отже вихідний многочлен повинен ділитися на x + 1. Для того, щоб виконати поділ багаточленів, скористаємося схемою Горнера:
| 2 | 9 | -10 | -27 | -10 | |
| -1 |
У верхньому рядку виставляються коефіцієнти вихідного многочлена. У першому осередку другого рядка ставиться знайдений нами корінь -1. У другому рядку пишуться коефіцієнти багаточлена, який вийде внаслідок розподілу. Вони вважаються так:
| У другому осередку другого рядка запишемо число 2, просто перенісши його з відповідного осередку першого рядка. | ||||||||||||
| -1 ∙ 2 + 9 = 7 | ||||||||||||
| -1 ∙ 7 - 10 = -17 | ||||||||||||
| -1 ∙ (-17) - 27 = -10 | ||||||||||||
| -1 ∙ (-10) - 10 = 0 |
Останнє число - це залишок від розподілу. Якщо він дорівнює 0, то ми всі правильно порахували.
2x 4 + 9x 3 - 10x 2 - 27x - 10 = (x + 1) (2x 3 + 7x 2 - 17x - 10)
Але це ще не кінець. Можна спробувати розкласти таким же способом багаточлен 2x 3 + 7x 2 – 17x – 10.
Знову шукаємо коріння серед дільників вільного члена. Як ми вже з'ясували, дільниками числа -10 є ±1, ±2, ±5, ±10.
1: 2 + 7 - 17 - 10 = -18 ⇒ число 1 не є коренем багаточлена
-1: -2 + 7 + 17 - 10 = 12 ⇒ число -1 не є коренем багаточлена
2: 2 ∙ 8 + 7 ∙ 4 - 17 ∙ 2 - 10 = 0 ⇒ число 2 є коренем багаточлена
Напишемо знайдений корінь у нашу схему Горнера і почнемо заповнювати порожні осередки:
| У другому осередку третього рядка запишемо число 2, просто перенісши його з відповідного осередку другого рядка. | ||||||||||||||||||
| 2 ∙ 2 + 7 = 11 | ||||||||||||||||||
| 2 ∙ 11 - 17 = 5 | ||||||||||||||||||
| 2 ∙ 5 - 10 = 0 |
Таким чином ми вихідний багаточлен розклали на множники:
2x 4 + 9x 3 - 10x 2 - 27x - 10 = (x + 1)(x - 2)(2x 2 + 11x + 5)
Багаточлен 2x 2 + 11x + 5також можна розкласти на множники. Для цього можна вирішити квадратне рівняння через дискримінант, а можна пошукати корінь серед дільників числа 5. Так чи інакше, ми дійдемо висновку, що корінням цього багаточлена є число -5
| До другого осередку четвертого рядка запишемо число 2, просто перенісши його з відповідного осередку третього рядка. | ||||||||||||||||||||||||
| -5 ∙ 2 + 11 = 1 | ||||||||||||||||||||||||
| -5 ∙ 1 + 5 = 0 |
Таким чином, ми вихідний многочлен розклали на лінійні множники.
1. Розділити 5x 4 + 5 x 3 + x 2 − 11 на x − 1, використовуючи схему Горнер.
Рішення:
Складемо таблицю з двох рядків: у першому рядку запишемо коефіцієнти багаточлена 5 x 4 +5x 3 +x 2 −11, розташовані за зменшенням ступенів змінної x. Зауважте, що цей багаточлен не містить xу першому ступені, тобто. коефіцієнт перед xв першому ступені дорівнює 0. Оскільки ми ділимо на x−1, то в другому рядку запишемо одиницю:
Почнемо заповнювати порожні комірки у другому рядку. У другому осередку другого рядка запишемо число 5 , просто перенісши його з відповідного осередку першого рядка:
Наступний осередок заповнимо за таким принципом: 1⋅ 5 + 5 = 10 :
Аналогічно заповнимо і четвертий осередок другого рядка: 1⋅ 10 + 1 = 11 :
Для п'ятого осередку отримаємо: 1⋅ 11 + 0 = 11 :
І, нарешті, для останнього, шостого осередку, маємо: 1⋅ 11 + (−11)= 0 :
Завдання вирішено, залишилося лише записати відповідь:
Як бачите, числа, розташовані в другому рядку (між одиницею та нулем), є коефіцієнти багаточлена, отриманого після поділу 5 x 4 +5x 3 +x 2 −11 на x−1. Природно, що ступінь вихідного многочлена 5 x 4 +5x 3 +x 2 −11 дорівнювала чотирьом, то ступінь отриманого многочлена 5 x 3 +10x 2 +11x+11 на одиницю менше, тобто. дорівнює трьом. Останнє число в другому рядку (нуль) означає залишок від поділу багаточлена 5 x 4 +5x 3 +x 2 −11 на x−1.
У разі залишок дорівнює нулю, тобто. багаточлени діляться націло. Цей результат можна охарактеризувати так: значення многочлена 5 x 4 +5x 3 +x 2 −11 за x=1 дорівнює нулю.
Можна сформулювати висновок і в такій формі: оскільки значення багаточлена 5 x 4 +5x 3 +x 2 −11 за x=1 дорівнює нулю, то одиниця є коренем багаточлена 5 x 4 +5x 3 +x 2 −11.
2. Знайдіть неповне приватне, залишок від поділу багаточлена
А(х) = х 3 – 2х 2 + 2х- 1 на двочлен х – 1.
Рішення:
– 2 |
– 1 |
|||
|
α = 1 |
– 1 |
Відповідь: Q(x) = х 2 – х + 1 , R(x) = 0.
3. Обчисліть значення багаточлена А(х) при х = – 1, якщо А(х) = х 3 – 2 х – 1.
Рішення:
– 2 |
– 1 |
|||
|
α = – 1 |
– 1 |
– 1 |
Відповідь: А(– 1) = 0.
4. Обчисліть значення багаточленаА(х) при х= 3, неповне приватне тазалишок, де
А(х)= 4 х 5 – 7х 4 + 5х 3 – 2 х + 1.
Рішення:
– 7 |
– 2 |
|||||
|
α = 3 |
178 |
535 |
Відповідь: R(x) = A(3) = 535, Q(x) = 4 х 4 + 5х 3 + 20х 2 + 60х +178.
5. Знайдіть коріння рівняннях 3 + 4 х 2 + х – 6 = 0.
Рішення:
Знаходимо дільники вільного члена ±1; ±2; ±3; ±6
1, 4, 1, – 6. Будуємо таблицю для застосування схеми Горнера:
Цілі уроку:
- навчити учнів вирішувати рівняння вищих ступенів, використовуючи схему Горнера;
- виховувати вміння працювати у парах;
- створити разом із основними розділами курсу базу у розвиток здібностей учнів;
- допомогти учневі оцінити свій потенціал, розвивати інтерес до математики, уміння мислити, висловлюватись на тему.
Обладнання:картки для роботи в групах, плакат із схемою Горнера.
Метод навчання:лекція, розповідь, пояснення, виконання тренувальних вправ.
Форма контролю:перевірка завдань самостійного розв'язання, самостійна робота.
Хід уроку
1. Організаційний момент
2. Актуалізація знань учнів
Яка теорема дозволяє визначити, чи є число коренем цього рівняння (сформулювати теорему)?
Теорема Безу. Залишок від поділу многочлена Р(х) на двочлен х-с дорівнюєР(с), число з називають коренем багаточлена Р(х), якщо Р(с)=0. Теорема дозволяє, не виконуючи операцію поділу, визначити, чи це число коренем многочлена.
Які твердження полегшують пошук коренів?
а) Якщо старший коефіцієнт багаточлена дорівнює одиниці, то коріння багаточлена слід шукати серед дільників вільного члена.
б) Якщо сума коефіцієнтів многочлена дорівнює 0, один із коренів дорівнює 1.
в) Якщо сума коефіцієнтів що стоять на парних місцях, дорівнює сумі коефіцієнтів, які стоять на непарних місцях, то один із коренів дорівнює -1.
г) Якщо всі коефіцієнти позитивні, то корінням багаточлена є негативні числа.
д) Багаточлен непарного ступеня має хоча б один дійсний корінь.
3. Вивчення нового матеріалу
При вирішенні цілих рівнянь алгебри доводиться знаходити значення коренів многочленів. Цю операцію можна спростити, якщо проводити обчислення за спеціальним алгоритмом, який називається схемою Горнера. Цю схему названо на честь англійського вченого Вільяма Джорджа Горнера. Схема Горнера це алгоритм для обчислення частки та залишку від поділу многочлена Р(х) на х-с. Стисло, як він влаштований.
Нехай дано довільний багаточлен Р(х) = а 0 х n + а 1 х n-1 + … + а n-1 х + а n. Розподіл цього многочлена на х-с – це його у вигляді Р(х)=(х-с)g(х) + r(х). Приватне g(х)=в 0 х n-1 + n х n-2 +…+в n-2 х + n-1 , де 0 =а 0 , n =св n-1 +а n , n = 1,2,3, ... n-1. Залишок r(х) = св n-1 + а n. Цей метод обчислення називається схемою Горнера. Слово «схема» у назві алгоритму пов'язана з тим, що зазвичай його виконання оформлюють в такий спосіб. Спочатку малюють таблицю 2(n+2). У лівій нижній клітині записують число, а у верхньому рядку коефіцієнти многочлена Р(х). У цьому ліву верхню клітину залишають порожній.
у 0 = а 0 |
в 1 = св 1 + а 1 |
в 2 = св 1 + а 2 |
в n-1 = св n-2 + а n-1 |
r(х)=f(с)=св n-1 + а n |
Число, яке після виконання алгоритму виявляється записаним у правій нижній клітині, є залишок від поділу многочлена Р(х) на х-с. Інші числа в 0, в 1, в 2, нижнього рядка є коефіцієнтами приватного.
Наприклад: Розділити багаточлен Р(х) = х3-2х +3 на х-2.
Виходить, що х 3 -2х+3=(х-2) (х 2 +2х+2) + 7.
4. Закріплення вивченого матеріалу
Приклад 1:Розкладіть на множники з цілими коефіцієнтами многочлен Р(х) = 2х4-7х3-3х2 +5х-1.
Шукаємо ціле коріння серед дільників вільного члена -1:1; -1. Складемо таблицю:
X = -1 - корінь
Р(х)=(х+1) (2х3-9х2+6х-1)
Перевіримо 1/2.
Х = 1/2 - корінь |
Отже, багаточлен Р(х) можна подати у вигляді
Р(х)=(х+1) (х-1/2) (х 2 -8х +2) = (х+1) (2х -1) (х 2 - 4х +1)
Приклад 2:Розв'язати рівняння 2х 4 – 5х 3 + 5х 2 – 2 = 0
Так як сума коефіцієнтів многочлена, записаного в лівій частині рівняння, дорівнює нулю, то один із коренів 1. Скористаємося схемою Горнера:
Х = 1 - корінь |
Отримуємо Р(х)=(х-1) (2х3-3х2=2х+2). Шукатимемо коріння серед дільників вільного члена 2.
З'ясували, що цілого коріння більше немає. Перевіримо 1/2; -1/2.
Х = -1/2 - корінь |
Відповідь: 1; -1/2.
Приклад 3:Розв'язати рівняння 5х4 – 3х3 – 4х2-3х+5 = 0.
Коріння цього рівняння будемо шукати серед дільників вільного члена 5: 1; -1; 5; -5. х=1 - корінь рівняння, оскільки сума коефіцієнтів дорівнює нулю. Скористайтеся схемою Горнера:
рівняння представимо як твори трьох множників: (х-1) (х-1) (5х 2 -7х + 5)=0. Вирішуючи квадратне рівняння 5х2-7х+5=0, отримали Д=49-100=-51, коріння немає.
Картка 1
- Розкладіть на множники многочлен: х 4+3х3-5х2-6х-8
- Розв'яжіть рівняння: 27х 3 -15х 2 +5х-1=0
Картка 2
- Розкладіть на множники багаточленів: х 4 -х 3 -7х 2 +13х-6
- Розв'яжіть рівняння: х 4 +2х 3 -13х 2 -38х-24=0
Картка 3
- Розкладіть на множники: 2х3 -21х2+37х+24
- Розв'яжіть рівняння: х 3 -2х 2 +4х-8=0
Картка 4
- Розкладіть на множники: 5х3-46х2+79х-14
- Розв'яжіть рівняння: х 4 +5х 3 +5х 2 -5х-6=0
5. Підбиття підсумків
Перевірка знань при вирішенні у парах здійснюється на уроці шляхом впізнавання способу дії та назви відповіді.
Домашнє завдання:
Розв'яжіть рівняння:
а) х 4 -3х 3+4х2-3х+1=0
б) 5х4-36х3+62х2-36х+5=0
в) х 4 + х 3 + х + 1 = 4х 2
г) х 4+2х3-х-2=0
Література
- Н.Я. Віленкін та ін., Алгебра та початки аналізу 10 клас (поглиблене вивчення математики): Просвітництво, 2005.
- У.І. Сахарчук, Л.С. Сагателова, Рішення рівнянь найвищих ступенів: Волгоград, 2007.
- С.Б. Гашков, Системи числення та їх застосування.
4x 3 - 19x 2 + 19x + 6 = 0
Для початку необхідно шляхом вибору знайти один корінь. Зазвичай він є дільником вільного члена. У цьому випадку дільниками числа 6 є ±1, ±2, ±3, ±6.
1: 4 - 19 + 19 + 6 = 10 ⇒ число 1
-1: -4 - 19 - 19 + 6 = -36 ⇒ число -1 не є коренем багаточлена
2: 4 ∙ 8 - 19 ∙ 4 + 19 ∙ 2 + 6 = 0 ⇒ число 2 є коренем багаточлена
Ми знайшли один з коренів багаточлена. Коренем багаточлена є 2, отже вихідний многочлен повинен ділитися на x - 2. Для того, щоб виконати поділ багаточленів, скористаємося схемою Горнера:
| 4 | -19 | 19 | 6 | |
| 2 |
У верхньому рядку виставляються коефіцієнти вихідного многочлена. У першому осередку другого рядка ставиться знайдений нами корінь 2. У другому рядку пишуться коефіцієнти багаточлена, який вийде внаслідок розподілу. Вони вважаються так:
| У другому осередку другого рядка запишемо число 1, просто перенісши його з відповідного осередку першого рядка. | ||||||||||
| 2 ∙ 4 - 19 = -11 | ||||||||||
| 2 ∙ (-11) + 19 = -3 | ||||||||||
| 2 ∙ (-3) + 6 = 0 |
Останнє число - це залишок від розподілу. Якщо він дорівнює 0, то ми всі правильно порахували.
Таким чином ми вихідний багаточлен розклали на множники:
4x 3 - 19x 2 + 19x + 6 = (x - 2)(4x 2 - 11x - 3)
І тепер, лише, залишилося знайти коріння квадратного рівняння
4x 2 - 11x - 3 = 0
D = b 2 - 4ac = (-11) 2 - 4 ∙ 4 ∙ (-3) = 169
D > 0 ⇒ рівняння має 2 корені
Ми знайшли все коріння рівняння.
У цій статті ми розповімо про зручну схему вирішення прикладів на поділ багаточленів. Якщо нам потрібно обчислити коефіцієнт часткового P n (x) = a n a n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 і залишок від розподілу многочлена на лінійний двочлен x - s, то зручно буде скористатися схемою (методом) Горнера.
Вона полягає у створенні особливої таблиці та занесенні до неї вихідних даних:
Числа bn, bn-1, bn-2,. . . , b 1 і будуть потрібними нам коефіцієнтами від поділу P n (x) = a n a n + an - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 на x-s. Залишок позначений тут як b0. Інакше можна записати рішення так:
Тепер покажемо, як застосовувати цю схему на практиці.
Приклад 1
Умова:розділіть многочлен 2 x 4 - 3 x 3 - x 2 + 4 x + 13 на лінійний двочлен х - 1 , використовуючи схему Горнера.
Рішення
Заповнимо таблицю. У нас є s , що дорівнює одиниці, і коефіцієнти a 4 = 2 , a 3 = - 3 , a 2 = - 1 , a 1 = 4 , a 0 = 13 .
Відповідь:отримали приватне, що дорівнює b 4 x 3 + b 3 x 2 + b 2 x + b 1 = 2 x 3 - x 2 - 2 x + 2 і залишок b 0 = 15 .
У другому завданні ми обійдемося без докладних коментарів.
Приклад 2
Умова:визначте, чи можна розділити багаточлен 2 x 3 - 11 x 2 + 12 x + 9 на двочлен x + 1 2 без залишку. Обчисліть частки.
Рішення
Заповнимо таблицю згідно зі схемою Горнера.
В останній комірці ми бачимо нульовий залишок, отже, розділити вихідний багаточлен на двочлен можна.
Відповідь:приватне буде являти собою багаточлен 2 x 2 - 12 x + 18 .
Якщо b 0 = 0 , можна говорити про ділимості многочлена P n (x) = a n a n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 на двочлен x - s і ми маємо корінь вихідного многочлена, рівний s . Використовуючи слідство з теореми Безу, можемо уявити цей многочлен як твори:
P n (x) = n an + an - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = = x - s (b n x n + 1 + b n - 1 x n - 2 + . . . + b 1)
Завдяки цьому схема Горнера добре підходить для тих випадків, коли потрібно відшукати цілі корені рівнянь вищих ступенів, що мають цілі коефіцієнти, або розкласти багаточлен на прості множники.
Приклад 3
Умова:розв'яжіть рівняння x 3 - 7 x - 6 = 0 . Розкладіть многочлен зліва окремі множники.
Рішення
Ми знаємо, що ціле коріння рівняння (якщо воно є) потрібно шукати серед дільників вільного члена. Запишемо їх окремо 1, - 1, 2, - 2, 3, - 3, 6, - 6 і перевіримо, використовуючи схему Горнера.
З даних таблиці видно, що одиниця не входитиме до числа коренів цього рівняння.
Доповнимо таблицю ще одним можливим коренем.
А ось - 1 підходить, отже, ми можемо уявити вихідний багаточлен як x 3 - 7 x - 6 = (x + 1) (x 2 - x - 6).
З цього випливає, що - 1 не буде кратним (повторюваним) коренем. Беремо наступний варіант та обчислюємо:
| x i | коефіцієнти багаточленів | ||||
| a 3 = 1 | a 2 = 0 | a 1 = - 7 | a 0 = - 6 | ||
| 1 | 1 | 0 + 1 · 1 = 1 | - 7 + 1 · 1 = - 6 | - 6 + - 6 · 1 = - 12 | |
| - 1 | 1 | 0 + 1 · (- 1) = - 1 | - 7 + - 1 · - 1 = - 6 | - 6 + (- 6) · (- 1) = 0 | |
| - 1 | 1 | - 1 + 1 · - 1 = - 2 | - 6 + - 2 · - 1 = - 4 | ||
| 2 | 1 | - 1 + 1 · 2 = 1 | - 6 + 1 · 2 = - 4 | ||
Число 2 не входить до числа коренів рівняння. Доповнимо таблицю Горнера для х = - 2:
| x i | коефіцієнти багаточленів | ||||
| a 3 = 1 | a 2 = 0 | a 1 = - 7 | a 0 = - 6 | ||
| 1 | 1 | 0 + 1 · 1 = 1 | - 7 + 1 · 1 = - 6 | - 6 + - 6 · 1 = - 12 | |
| - 1 | 1 | 0 + 1 · (- 1) = - 1 | - 7 + - 1 · - 1 = - 6 | - 6 + (- 6) · (- 1) = 0 | |
| - 1 | 1 | - 1 + 1 · - 1 = - 2 | - 6 + - 2 · - 1 = - 4 | ||
| 2 | 1 | - 1 + 1 · 2 = 1 | - 6 + 1 · 2 = - 4 | ||
| - 2 | 1 | - 1 + 1 · - 2 = - 3 | - 6 + - 3 · - 2 = 0 | ||
Мінус два буде коренем вихідного рівняння. Ми можемо записати багаточлен так:
x 3 - 7 x - 6 = (x + 1) (x 2 - x - 6) = = (x + 1) (x + 2) (x - 3)
Третій і останній корінь рівняння дорівнюватиме трьом. Закінчимо заповнення таблиці, взявши значення останнього отриманого рядка як коефіцієнти:
| x i | коефіцієнти багаточленів | ||||
| a 3 = 1 | a 2 = 0 | a 1 = - 7 | a 0 = - 6 | ||
| 1 | 1 | 0 + 1 · 1 = 1 | - 7 + 1 · 1 = - 6 | - 6 + - 6 · 1 = - 12 | |
| - 1 | 1 | 0 + 1 · (- 1) = - 1 | - 7 + - 1 · - 1 = - 6 | - 6 + (- 6) · (- 1) = 0 | |
| - 1 | 1 | - 1 + 1 · - 1 = - 2 | - 6 + - 2 · - 1 = - 4 | ||
| 2 | 1 | - 1 + 1 · 2 = 1 | - 6 + 1 · 2 = - 4 | ||
| - 2 | 1 | - 1 + 1 · - 2 = - 3 | - 6 + - 3 · - 2 = 0 | ||
| 3 | 1 | - 3 + 1 · 3 = 0 | |||
З цього можна дійти невтішного висновку, що остання отримана таблиця, заповнена методом Горнера, і буде рішенням нашого прикладу. Це завдання можна було вирішити і розподілом багаточлена на лінійний двочлен стовпчиком, проте показана схема наочніше і простіше.
Відповідь:х = - 1, х = - 2, х = 3, x 3 - 7 x - 6 = (x + 1) (x + 2) (x - 3).
Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter
